張宇展 鐘航宇 梁 坤 桑子豪 孫犇淵

中國民航大學中歐航空工程師學院 天津 300300

電阻抗層析成像技術(shù)(Electrical Impedance Tomography，簡稱EIT)起源于20世紀20年代，它的基本原理是根據(jù)在不同情況下材料具有不同的電阻/電導率，采用各種方法對被測物體施加驅(qū)動電流/電壓，通過測量被測場域周圍的響應(yīng)信息，從而重建其內(nèi)部電導率分布的圖像。

目前的建模和圖像重建的大部分研究都是圍繞二維電阻抗層析成像展開的，然而，實際應(yīng)用中，獲取三維上的分布信息可以更直觀地感知場域的電學特性的分布情況。體積圖像對于工業(yè)應(yīng)用也至關(guān)重要，例如，流速剖面和體積分數(shù)測量。

3D-EIT在傳感器設(shè)計、激勵測量策略、有限元模擬、算法構(gòu)建等方面還有待進一步深入研究。2019年，Rafiul K.Rasel等人研究并量化了簡化跨平面采集策略對優(yōu)化圖像重建和抑制電學成像病態(tài)性的影響。本文在此基礎(chǔ)上，進一步探究三維電阻抗層析成像中跨層激勵對圖像重建的影響。

1 EIT的數(shù)學模型

設(shè)

u

為求解域的電勢分布，

σ

為求解域的電導率分布，則EIT的數(shù)學模型可以由麥克斯韋方程組及似穩(wěn)場假設(shè)推出：

(1)

其中，

I

為從第

l

個電極

E

注入的電流，

E

具有接觸阻抗

z

。

V

是電極

E

上的電壓，

n

是向外的單位法向量。電阻抗層析成像的正問題是已知電導率分布及邊界注入電流情況，求解邊界電極的測量電壓。線性化方法是基于電場靈敏度理論的線性求解方法。由于求解域的邊界電壓信息

U

唯一的由場域的電導率分布

σ

確定，即:

U

=

F

(

σ

)

(2)

可以考慮將求解域分割為

N

個體元，計算每個體元電導率發(fā)生微小變化時邊界電壓的變化，即可獲得該求解域的靈敏度場信息。則可寫為：

ΔU

=

JΔσ

(3)

其中，

ΔU

為

M

×1維的矩陣，包含了在不同激勵模式下電極對的電壓值變化；

Δσ

為

N

×1維的矩陣，為電導率變化量；

J

為

M

×

N

維的靈敏度矩陣或Jacobian矩陣。

借助David B.Geselowitz于1971年提出的四端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗靈敏度表達式，可以大大減少求解靈敏度矩陣所花費的時間。

(4)

其中，Ω為第

k

個體元，

u

(

I

)和

u

(

I

)分別為第

d

個電極對和第

m

個電極對被激勵且激勵電流為

I

時的電勢分布，

E

(

I

)和

E

(

I

)分別為第

d

個電極對和第

m

個電極對被激勵且激勵電流為

I

時的電場分布。

為簡化逆問題的求解，方程可歸一化為：

z

=

Sg

(5)

式中，

z

為

N

×1維的測量值矩陣，

S

為

M

×

N

維的歸一化靈敏度矩陣，

g

為

M

×1維的灰度值矩陣。

2 仿真模型建立

2.1 正問題模型

本文在有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics 3.5a上建立EIT系統(tǒng)模型并進行仿真計算獲取有關(guān)參數(shù)。EIT模型設(shè)計了七層16電極模型，如圖1所示。

(a)物理模型

(b)有限元模型圖1 七層16電極EIT模型

圓柱形容器的半徑為20cm，高度為62.8cm，內(nèi)部是電導率為1S/m。電極形狀為圓柱形，電導率設(shè)置為鈦的電導率7.407×10S/m，排布方式上采用了陳曉艷等人提出的占空比為0.4的方案。依照此方案，電極的半徑設(shè)置為1.57cm，高度為2cm，分別位于高度為7.85cm、15.70cm、23.55cm、31.40cm、39.25cm、47.10cm、54.95cm的七個平面上。

2.2 激勵測量模式

為討論跨層激勵對圖像重建的影響，本文采取的激勵測量模式主要分為兩類，分別為同層相鄰驅(qū)動的策略以及跨層方形驅(qū)動的策略。

同層相鄰驅(qū)動的策略類似于2D-EIT的相鄰激勵相鄰測量模式，電流由相鄰電極注入，同時按激勵順序測量除激勵電極之外的各相鄰電極之間的電壓差，如圖2所示。電極的激勵順序為：1A—2A—3A—…15A—16A，具體激勵測量方案為：激勵1A和2A電極，測量(3A—4A)(4A—5A)……(15A—16A)電極間的電壓，然后激勵2A和3A電極，測量(4A—5A)(5A—6A)……(16A—1A)電極間的電壓，直到所有電極對都被激勵過。

圖2 同層驅(qū)動模式

跨層方形驅(qū)動的策略將平面的相鄰驅(qū)動的延伸到了三維上，以中間層(D層)上下各跨一層為例，電極的激勵順序為：1D—1E—2E—2D—2C—3C—3D—…—16D—16C—1C；電極測量方式類似同層相鄰驅(qū)動的策略，按激勵順序測量除激勵電極之外的各相鄰電極之間的電壓差。

我們將七層各層僅采取同層驅(qū)動時來獲得3D EIT直接成像數(shù)據(jù)的設(shè)置稱為

E

0。對應(yīng)的，對于跨層驅(qū)動策略，

En

指的是中間層(D層)及中間層上下

n

層數(shù)量的跨平面驅(qū)動的設(shè)置。例如，

E

2指的是在B、C、D、E、F五層間采取跨層驅(qū)動策略時的采集。

2.3 逆問題模型

圖3展示了本文設(shè)置的兩種分布情況，成像目標的電導率均設(shè)置為3S/m。

(a)

(b)圖3 兩種分布的位置情況

圓柱體目標和球體目標的半徑為4cm，圖3(a)中左側(cè)球的球心距離底面36.65cm，右側(cè)球的球心到底面的距離分別為10.47cm、20.94cm、31.42cm、41.89cm、52.36cm；圖3(b)中左側(cè)球的球心到底面的距離分別為19.42cm、31.42cm、43.42cm。

3 實驗結(jié)果

下表展示了兩種分布在不同激勵方案下的使用共軛梯度迭代法求解逆問題然后直接3D成像的結(jié)果，重建物是取最大值的0.5倍的等值面繪成的。

不同分布的圖像重建結(jié)果表

對比不同激勵層數(shù)的直接3D成像，隨著激勵層數(shù)的增加，獲取的3D信息也就越全面，對原始分布的還原越精確。對比分布一在不同激勵模式下成像結(jié)果，可以明顯發(fā)現(xiàn)，

E

0的“粘連”現(xiàn)象比較嚴重，已經(jīng)無法區(qū)分五個球體，而

E

3的可以明顯區(qū)別五個球體。對于分布二，

E

0對于圓柱體的還原比較好，而

E

3對于物體的間隔顯示更清楚。結(jié)合分析可知，跨層激勵與同層激勵相比，跨層激勵獲取了

z

軸方向上的信息，在

z

軸方向上還原更準確，而沒有像同層激勵一樣由于缺乏立體信息而出現(xiàn)“粘連”現(xiàn)象。相反的，也正是因為這樣，同層激勵對

z

軸方向上連續(xù)變化的物體(如圓柱形物體)的還原比跨層激勵的要更準確。

結(jié)語

經(jīng)過上述的仿真以及結(jié)果分析可以得知，對于EIT直接3D成像，跨層激勵的數(shù)量將影響

z

軸方向上信息的提取，跨的層數(shù)越多，對圖像的還原越準確，對EIT系統(tǒng)也會提出更高的要求。通過對多種分布的對比，同層激勵的方案對于電導率在

z

軸方向上連續(xù)變化的物體的重建效果更好，但總體上，跨層驅(qū)動可以更好地還原原始的分布情況。