?深圳市龍華區(qū)大浪實(shí)驗(yàn)學(xué)校 倪勤華
2022年1月深圳市舉行了初三年級(jí)中考適應(yīng)性考試,這是一次在雙減背景下以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試,筆者以填空題的15題為例談?wù)剬?duì)初中幾何教學(xué)的感悟.
圖1
本題以學(xué)生熟悉的等腰直角三角形為背景構(gòu)造圖形,屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的綜合問題,內(nèi)涵豐富,特點(diǎn)突出.從知識(shí)角度看,以三角形為載體,涵蓋了平行線、等腰三角形、相似三角形、勾股定理等知識(shí);從能力角度看,關(guān)注了學(xué)生的幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等綜合能力;從數(shù)學(xué)思想角度看,滲透了模型思想、轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想.
本題從“形”(圖形的形狀、大小)聯(lián)想到“子母型相似”“三線合一”,作出等腰三角形底邊上的高,借助幾何直觀構(gòu)建基本模型“一線三等角”“A型相似”等,綜合分析條件與結(jié)論,運(yùn)用多種解題策略,推理得出線段間的數(shù)量關(guān)系,實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化,從而解決問題.考查學(xué)生在理解“一線三等角”“子母型相似”“A型相似”等模型之后,能否借助圖形多角度考慮問題.
本題具有典型性、靈活性與創(chuàng)新性等特點(diǎn),富有深圳特色,解法開放,考查了學(xué)生的幾何直觀、模型思想、運(yùn)算能力等素養(yǎng),不但重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查,又聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).作為教師要做到追本溯源,探究推廣.
分析:許多學(xué)生初看本題,感到既熟悉又無從下手.其實(shí),可以由條件中的等腰直角三角形得出45°和90°這兩個(gè)切入口.
思路一:子母型相似.
解法1:如圖2,作AG⊥BC于點(diǎn)G.
圖2
思路二:子母型相似+勾股定理.
解法2:如圖2,作AG⊥BC于點(diǎn)G.
評(píng)析:解法1和2考查學(xué)生對(duì)“形”的高度敏感性,發(fā)現(xiàn)△AFB與△DFA有公共角F,由兩個(gè)等腰直角三角形,得出∠ABF=∠DAF=135°,找到子母型相似,再作出AG,自然而然聯(lián)想到勾股定理,問題破解.這兩種方法本質(zhì)上是相同的,即通過構(gòu)造子母型相似,將幾何圖形的線段關(guān)系代數(shù)化為方程解決問題.
思路三:一線三等角+A型相似.
解法3:如圖3,作AG⊥BC于點(diǎn)G,EH⊥BC,交BC的延長線于點(diǎn)H.
圖3
評(píng)析:解法3是基于對(duì)∠ADE=90°的聯(lián)想與思考,由于邊FD上斜著擺放了一個(gè)直角,因而構(gòu)造出“一線三等角”的基本模型.此解法貼合學(xué)生想法,容易想到,大多數(shù)同學(xué)能作出輔助線,但對(duì)綜合能力的要求較高,很多學(xué)生沒能順利解決問題.
思路四:子母型相似+A型相似.
解法4:如圖4,連接CE.
圖4
評(píng)析:解法4的發(fā)現(xiàn),源于幾何直觀,學(xué)生直覺認(rèn)為CE平行于AB,若平行,問題自然迎刃而解.根據(jù)勾股定理算出BC與AE的長度,并且發(fā)現(xiàn)了“子母型相似”與“A型相似”,很快能證明△ABF與△DAF相似.此解法凸顯直觀想象素養(yǎng),運(yùn)算簡單,體現(xiàn)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
思路五:“12345”.
解法5:如圖2,作AG⊥BC于點(diǎn)G.
思路六:建立坐標(biāo)系.
圖5
作EH⊥BC于點(diǎn)H.
評(píng)析:解法6源于數(shù)形結(jié)合思想,運(yùn)用代數(shù)的方法解決幾何問題.雖然此解法與解法3本質(zhì)相同,但頗具“數(shù)學(xué)味”,體現(xiàn)學(xué)生思維的靈活性,彰顯出教師教學(xué)中對(duì)課內(nèi)知識(shí)的延伸,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)解析幾何奠定基礎(chǔ).
圖6
圖7
設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)思維是學(xué)生在思考問題、解決問題的過程中逐步積累起來的.前面我們探究出了一題多解,現(xiàn)將題目進(jìn)行拓展,一題多變,突破學(xué)生思維障礙,在“做”和“思”的過程中,幫助學(xué)生掌握解決一類問題的基本方法,提升學(xué)生的綜合分析能力,發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、廣闊性以及靈活性,落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
“圖形與幾何” 是數(shù)學(xué)四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一,因此幾何教學(xué)在義務(wù)教育階段占有重要的地位,在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著不可替代的作用.初中幾何教學(xué)對(duì)學(xué)生幾何直觀與邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要的影響,更是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)之一[2].
教材是教學(xué)的根本,是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、獲得數(shù)學(xué)能力、形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體.教師需立足教材,高于教材,把握核心模型,關(guān)注學(xué)生對(duì)幾何模型的夯實(shí)與理解.
本題源自北師大版《數(shù)學(xué)》(2013版)九年級(jí)上冊第120頁復(fù)習(xí)題第11題:如圖8,點(diǎn)C,D在線段AB上,△PCD是等邊三角形,且 △ACP∽△PDB,求∠APB的度數(shù).
圖8
題目以等腰直角三角形為背景,綜合考查等腰三角形、直角三角形、相似三角形的性質(zhì)與判定等初中幾何的主要知識(shí)點(diǎn).題目包含眾多基本模型,如“一線三等角”“A型相似”“子母型相似”,涵蓋初中三角形的所有基礎(chǔ)模型,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)對(duì)學(xué)生從整體上把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求.
教師在進(jìn)行幾何教學(xué)時(shí),需深鉆教材,對(duì)整個(gè)幾何知識(shí)體系有清晰的認(rèn)知,并對(duì)教材有宏觀的把握能力,對(duì)內(nèi)容進(jìn)行整合和重組,歸納出常見幾何模型,引導(dǎo)學(xué)生觀察體會(huì)這些模型的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”,使學(xué)生對(duì)這些基本模型具備較好的認(rèn)知基礎(chǔ)和解題經(jīng)驗(yàn)以及順利解決問題的思維基礎(chǔ)[2].
學(xué)生在學(xué)習(xí)研究幾何時(shí),需細(xì)心觀察,借助幾何直觀,展開線與線的位置,圖形間的全等、相似等變換的研究,發(fā)現(xiàn)圖形的關(guān)系特征,形成必備的空間想象、推理與計(jì)算、方程與函數(shù)、分類與整合、動(dòng)靜結(jié)合、特殊與一般等后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展所需的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[3].
學(xué)生遇到綜合性幾何問題時(shí),往往束手無策,不得其法.很多時(shí)候面對(duì)復(fù)雜圖形不知如何下手,這時(shí)學(xué)生需要有挖掘圖形幾何特征的意識(shí),結(jié)合已知條件,識(shí)別出熟悉的基本模型,喚醒與此模型相關(guān)的結(jié)論、方法,作為解題的突破口.比如,本試題可以從兩個(gè)等腰三角形中45°或直角作為切入點(diǎn),識(shí)別出“一線三等角”“12345”“A型相似”“子母型相似”等模型,從而快速找到解決問題的思路.
幾何教學(xué)意在引導(dǎo)學(xué)生善于從圖形出發(fā)挖掘模型的幾何特征,關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)模型經(jīng)驗(yàn)方法的積累,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、幾何直觀等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).
初中數(shù)學(xué)問題的解決思路是由已知到未知,中間要經(jīng)歷“由已知得可知,由未知想需知”的過程,其中推理能力貫穿解題的始終.在嘗試解決問題時(shí),順向與逆向推理、猜想與驗(yàn)證推理、歸納與演繹推理,都凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)[4].
對(duì)于綜合性的幾何問題,常常要綜合分析:由題設(shè)及模型特征正向推理得出若干條件;由未知逆向推理得出解決問題所需的條件.通過若干次推理后讓兩者相遇,最終使問題得以突破.
在幾何教學(xué)中,教師要注重強(qiáng)化學(xué)生邏輯推理能力.比如,結(jié)合題設(shè)條件展開合情推理,從條件入手得出各種結(jié)論,從結(jié)論入手逆推方法,建立知識(shí)間的邏輯聯(lián)系,從而順利解決問題.
綜合性幾何問題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,解法多樣.教師在教學(xué)時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維,實(shí)現(xiàn)一題多解;對(duì)各種解法進(jìn)行提煉,優(yōu)化解題策略;反思方法和規(guī)律,體會(huì)多解歸一;設(shè)置延續(xù)性的變式問題進(jìn)行一題多變,抓住問題的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu),掌握解決問題的通式通法,提升和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).
在解決了綜合性的幾何問題后,教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思優(yōu)化歸納,如,這道題考查了哪些模型?這類模型常見的輔助線與結(jié)論有哪些?解決這類題的關(guān)鍵是什么?每種解法的切入點(diǎn)在哪里?各種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么?以后解決這類問題該如何做?使得學(xué)生在提煉方法和回顧思維的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).