顧勝良，王建平，胡紅專，褚家如

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230027）

1 引 言

中國(guó)科技大學(xué)邢曉正教授在國(guó)際上首次提出了并行可控式光纖單元定位方式[1］，目前已經(jīng)成為大規(guī)模光譜巡天設(shè)備中光纖定位的主要模式，這一模式已經(jīng)成功應(yīng)用在具有4 000根光纖定位單元的LAMOST上。目前越來(lái)越多的國(guó)外研究機(jī)構(gòu)開始研究類似的并行可控式定位系統(tǒng)。例如，日本的Subaru具有400根并行可控式光纖定位單元[2］，美國(guó)的DESI則采用5 000根光纖定位單元[3］。并行可控雙回轉(zhuǎn)式的光纖定位單元通過中心回轉(zhuǎn)以及偏心回轉(zhuǎn)的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)末端光纖的定位。但是，隨著光譜巡天技術(shù)發(fā)展，需要更小尺寸、高密度、高精度的光纖定位單元，雙回轉(zhuǎn)形式的光纖定位單元一方面會(huì)給防碰撞方案的設(shè)計(jì)帶來(lái)更大的難度，同時(shí)也會(huì)降低單元的定位速度。相比于雙回轉(zhuǎn)形式的光纖定位單元，Rθ形式的定位單元更有優(yōu)勢(shì)[4］，其通過中心回轉(zhuǎn)以及徑向移動(dòng)的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)末端光纖的定位。R-θ形式既可以簡(jiǎn)化防碰撞方案，也可以實(shí)現(xiàn)快速重新定位并避免末端光纖的纏繞。例如，Silber等通過使用撓曲的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)R方向的徑向移動(dòng)[4］，Saviauk等人通過線性驅(qū)動(dòng)器將線性運(yùn)動(dòng)傳遞給楔形塊，然后通過楔形塊的運(yùn)動(dòng)來(lái)帶動(dòng)末端產(chǎn)生R方向的運(yùn)動(dòng)[5］，早期LAMOST關(guān)于R方向運(yùn)動(dòng)的設(shè)想是通過蝸輪蝸桿的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)R方向的擺動(dòng)[1］。

為了進(jìn)一步提高R方向上的定位精度，可以使用粗、精定位分離的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)R方向上的運(yùn)動(dòng)。本文的研究?jī)?nèi)容則是用壓電陶瓷并結(jié)合位移放大機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)光纖定位單元R方向上的精定位，通過使用Preisach逆模型建立了精定位的位移模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)位移模型做了進(jìn)一步的優(yōu)化，同時(shí)對(duì)逆模型的迭代搜索過程做了相應(yīng)的改進(jìn)從而來(lái)降低迭代次數(shù)。最終基于Preisach逆模型建立了光纖定位單元R機(jī)構(gòu)精定位部分的位移模型，且實(shí)現(xiàn)了較高的定位精度。

2 R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)及放大機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)概要設(shè)計(jì)

雙回轉(zhuǎn)與R-θ的示意圖如圖1所示，其中R-θ光纖單元運(yùn)動(dòng)原理圖如圖2所示，由中心θ回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及徑向R方向的直線運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)末端光纖的定位，從而收集天體光譜信息。

圖1 雙回轉(zhuǎn)（左）與R-θ（右）示意圖Fig.1 Schematic diagram of double revolving（left）and R-θ（right）

圖2 R-θ光纖單元運(yùn)動(dòng)原理圖Fig.2 R-θf(wàn)iber unit motion schematic

R-θ形式光纖定位單元的θ形式中心回轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、精度高，而在R方向上由于空間限制，提高位置精度比較困難。為了提高R方向上的定位精度，可以使用粗、精定位分離的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)R方向上的運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，粗定位示意圖如圖4所示，粗定位由齒輪驅(qū)動(dòng)齒條實(shí)現(xiàn)，精定位由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)杠桿放大機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。相比于粗定位，精定位的定位精度對(duì)于整個(gè)R方向的運(yùn)動(dòng)精度有著重要的影響，所以對(duì)精定位部分的定位精度有著更高的要求。因此本文以壓電陶瓷結(jié)合杠桿放大機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)精定位作為研究?jī)?nèi)容。

圖3 粗、精定位示意圖Fig.3 Rough and precise positioning diagram

圖4 粗定位示意圖Fig.4 Schematic diagram of coarse positioning

2.2 柔性鉸鏈?zhǔn)礁軛U放大機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.2.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文精定位采用疊堆式壓電陶瓷來(lái)實(shí)現(xiàn)，相比于傳統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)，壓電陶瓷的可控精度更高，且體積小、質(zhì)量輕[6］。文中采用的疊堆式壓電陶瓷本身的最大輸出位移僅為30μm，不能夠滿足精定位300μm左右的行程要求。相比于傳統(tǒng)放大機(jī)構(gòu)，柔性機(jī)構(gòu)具有無(wú)間隙、無(wú)摩擦等特點(diǎn)[7-9］。因此，設(shè)計(jì)了柔性鉸鏈?zhǔn)礁軛U放大機(jī)構(gòu)來(lái)對(duì)壓電陶瓷的輸出位移進(jìn)行適當(dāng)放大從而滿足精定位的行程需求。

放大機(jī)構(gòu)的柔性鉸鏈部分采用的是直圓弧形式，如圖5所示，直圓型柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度表達(dá)式為[10］：

圖5 直圓型柔性鉸鏈?zhǔn)疽鈭DFig.5 Schematic diagram of straight circular flexible hinge

杠桿放大機(jī)構(gòu)的示意圖如圖6所示，輸入力臂l1=6 mm，輸出力臂l2=63 mm，放大后的輸出位移s=300μm，疊堆式壓電驅(qū)動(dòng)器輸出力F范圍為20 N～120 N，由此可以算出所需柔性鉸鏈 的 轉(zhuǎn) 角 剛 度（Fl1l2/s×103）范 圍 為2.52×104MPa～1.51×105MPa。根據(jù)設(shè)計(jì)需求，首先確定柔性鉸鏈的寬度b=6 mm，然后在圖7中黑色區(qū)域內(nèi)，即所需鉸鏈轉(zhuǎn)角剛度范圍內(nèi)選擇合適的圓弧半徑和最小厚度相關(guān)參數(shù)即可。最終柔性鉸鏈的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)確定為：寬度b=6 mm，最小厚度t=0.6 mm，圓弧半徑R=1.4 mm。

圖8為設(shè)計(jì)的柔性鉸鏈?zhǔn)礁軛U放大機(jī)構(gòu)示意圖，壓電陶瓷與杠桿機(jī)構(gòu)之間用M4螺母進(jìn)行預(yù)緊，設(shè)計(jì)的放大倍數(shù)約為10倍，從而滿足精定位300μm的位移輸出需求。

圖6 杠桿放大機(jī)構(gòu)示意圖Fig.6 Schematic diagram of lever magnifying mechanism

圖7 鉸鏈厚度與圓弧半徑對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的影響Fig.7 Influence of hinge thickness and arc radius on rotational stiffness

圖8 杠桿放大機(jī)構(gòu)裝配圖Fig.8 Assembly diagram of lever magnifying mechanism

2.2.2 有限元仿真

對(duì)杠桿機(jī)構(gòu)的輸入端施加大小不同的力來(lái)模擬壓電陶瓷的輸出力，便可以得到輸入端的位移以及放大后輸出端的位移，圖9為通過ABAQUS仿真后得到的壓電陶瓷的驅(qū)動(dòng)力與輸入端位移及放大后輸出位移的關(guān)系圖。從圖中可以看出，當(dāng)壓電陶瓷的輸出力在23 N左右時(shí)，放大機(jī)構(gòu)的輸出位移大約為300μm，剛好滿足輸出位移需求。圖10為當(dāng)輸入端施加23 N的驅(qū)動(dòng)力時(shí)，柔性鉸鏈的應(yīng)力分布圖。其中最大應(yīng)力為195.2 MPa，小于杠桿機(jī)構(gòu)所使用的65Mn彈簧鋼432 MPa的許用應(yīng)力，所以能夠滿足靜力學(xué)使用需求。

從上述仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)輸入端施加23 N驅(qū)動(dòng)力，可以得到期望的300μm輸出位移，疊堆式壓電陶瓷的最大輸出力為140 N，所以在輸出力方面能夠滿足需求。同時(shí)，施加23 N力時(shí)柔性鉸鏈部分的應(yīng)力分布也能夠滿足靜力學(xué)需求，因此通過有限元分析可以看出該機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)較為合理。

3 遲滯非線性與Preisach模型

3.1 壓電陶瓷遲滯非線性

壓電陶瓷雖然具有分辨率大、位移精度高等優(yōu)點(diǎn)，但遲滯、蠕變等固有特性會(huì)嚴(yán)重影響壓電陶瓷的定位精度。遲滯是一種復(fù)雜的非線性特征，表現(xiàn)為不同時(shí)刻的電壓、位移曲線的不重合，即輸入電壓與輸出位移之間的不平滑、具有記憶的非線性現(xiàn)象。壓電陶瓷遲滯的特點(diǎn)表現(xiàn)為當(dāng)前輸出位移不僅與當(dāng)前輸入電壓有關(guān)，而且與過去的輸入電壓也有關(guān)，即具有記憶效應(yīng)。經(jīng)過測(cè)試，本文的壓電陶瓷經(jīng)過杠桿機(jī)構(gòu)放大后的輸出位移最大遲滯非線性誤差約為40μm，如圖11所示。

圖11 放大機(jī)構(gòu)輸出位移遲滯非線性Fig.11 Hysteresis nonlinearity of output displacement of amplifying mechanism

放大機(jī)構(gòu)的輸出端加工直線度以及壓電陶瓷裝配對(duì)放大機(jī)構(gòu)輸出端產(chǎn)生的初始位置誤差可以通過輸出端進(jìn)行初始位置調(diào)零進(jìn)行彌補(bǔ)修正。另外對(duì)于機(jī)構(gòu)可能存在的除了目標(biāo)位移外其它方向的寄生位移，后期可以在該機(jī)構(gòu)與粗定位部分裝配時(shí)進(jìn)行裝配調(diào)整，并檢測(cè)目標(biāo)位移垂直方向上的位移分量，從而降低可能存在的寄生位移影響。放大機(jī)構(gòu)通過線切割一體化加工，由于柔性鉸鏈部分發(fā)生彈性變形，因此鉸鏈部分變形產(chǎn)生的誤差影響有限，另外由于是直接對(duì)放大機(jī)構(gòu)的輸出端進(jìn)行遲滯建模，因此機(jī)構(gòu)本身所產(chǎn)生的誤差將直接反映在遲滯模型的誤差中。壓電陶瓷直流電壓施加過程中保持時(shí)間較長(zhǎng)，因此蠕變產(chǎn)生的誤差非常有限。

綜上分析，因遲滯非線性所產(chǎn)生的40μm左右的誤差對(duì)精定位的定位精度產(chǎn)生了嚴(yán)重的影響，因此要對(duì)該遲滯非線性建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛷亩鴣?lái)提高杠桿機(jī)構(gòu)輸出端精定位的精度。

3.2 Preisach模型

3.2.1 經(jīng)典Preisach模型

為了描述遲滯現(xiàn)象，經(jīng)典Preisach模型將非線性產(chǎn)生的一維多值映射到二維α-β平面，同時(shí)引進(jìn)遲滯單元γ因子以及密度函數(shù)μ，并將此時(shí)的輸出量表示為多個(gè)微元疊加后的結(jié)果[11］，其數(shù)學(xué)積分表達(dá)式如下：

其中：u(t)和f(t)分別為遲滯系統(tǒng)的輸入和輸出量；γαβ[u(t)]為遲滯因子，如圖12左圖所示；μ(α，β)為密度函數(shù)；積分平面S即為α-β平面，如圖12右圖所示。

圖12 遲滯因子（左）和Preisach平面（右）Fig.12 Hysteresis factor（left）and Preisach plane（right）

遲滯因子γαβ[u(t)]的表達(dá)式如式（3）[12］，其中，α和β分別為遲滯因子的上下閾值，由于文中使用的為疊堆式壓電陶瓷，最小施加的電壓為0 V，所以這里的β等于0，α等于壓電陶瓷的最大施加電壓，ξ的值根據(jù)電壓上升或下降取0或1。

經(jīng)典Preisach模型通過在α-β平面，即S平面上記錄歷史電壓軌跡從而計(jì)算出當(dāng)前電壓所產(chǎn)生的位移。遲滯現(xiàn)象中的記憶效應(yīng)也是通過記錄歷史極值電壓軌跡來(lái)解決的。圖13中S平面上電壓軌跡是這樣形成的：（1）輸入電壓u(t)逐漸上升，直到u(t)=α1；（2）輸入電壓u(t)開始逐漸下降，直到u(t)=β1；（3）電壓u(t)開始上升，上升至α2，且α2＜α1；（4）電壓u(t)下降，下降至β2，且β2＞β1。于是就形成了圖13的電壓軌跡，此時(shí)電壓β2所產(chǎn)生的位移通過式（2）對(duì)陰影部分進(jìn)行積分便可以得到[13］。

圖13 S平面上電壓軌跡Fig.13 Voltage traces on the S-plane

上述電壓軌跡的形狀由施加電壓過程中的極大值電壓序列α(n)=(α1，α2，…，αn)以及極小值電壓序列β(m)=(β1，β2，…，βm)決定。如果當(dāng)前電壓輸入大于歷史極大值或者小于歷史極小值，相應(yīng)的電壓軌跡的邊界線將會(huì)被擦除，此時(shí)的極大值序列或極小值序列也會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的更新，這就是Preisach模型的擦除特性。

3.2.2 數(shù)值化Preisach模型

式（2）中的密度函數(shù)μ(α，β)的求解較為復(fù)雜，這對(duì)Preisach模型的實(shí)際應(yīng)用造成了一定的困難，因此在實(shí)際應(yīng)用中是建立離散化的Preisach模型。離散化的Preisach平面如圖14所示，每一個(gè)離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)F函數(shù)值，然后通過F函數(shù)值來(lái)求取電壓軌跡所對(duì)應(yīng)的位移值。

圖14 離散化的Preisach平面Fig.14 Discretized Preisach plane

圖15 一階回轉(zhuǎn)曲線示意圖Fig.15 Schematic diagram of the first-order gyration curve

F函數(shù)值通過一階回轉(zhuǎn)曲線在各個(gè)離散點(diǎn)處的實(shí)測(cè)位移值進(jìn)行求取，一階回轉(zhuǎn)曲線如圖15所示。

F函數(shù)的計(jì)算表達(dá)式如下[14］：

這樣通過實(shí)驗(yàn)獲取所有離散點(diǎn)處的位移值后，便可以構(gòu)建出F函數(shù)，進(jìn)而建立離散化Preisach模型。Preisach數(shù)值模型的位移計(jì)算表達(dá)式如下所示[15］：

當(dāng)最后一次輸入電壓u(t)處于下降段時(shí)：

當(dāng)最后一次輸出電壓u(t)處于上升段時(shí)：

這樣通過F函數(shù)法以及極大值電壓數(shù)組α序列和極小值數(shù)組β序列，便可以構(gòu)建出數(shù)值化Preisach模型，對(duì)于未處于離散點(diǎn)處的F函數(shù)值，則可以通過雙線性插值的方法進(jìn)行近似計(jì)算。

4 Preisach正模型的建立以及優(yōu)化

對(duì)于一組電壓序列u(k)=(u1，u2，…，uk)，數(shù)值化Preisach正模型的目的就是預(yù)測(cè)該電壓序列所產(chǎn)生的位移序列s(k)=(s1，s2，…，sk)。首先定義有關(guān)符號(hào)：α(·)序列為極大值電壓序列，β(·)序列為極小值電壓序列。Preisach正模型建立的基本過程為：（1）依次遍歷電壓序列u(k)中的每一個(gè)元素ui，將ui與其前一個(gè)電壓元素ui-1進(jìn)行比較；（2）如果ui＞ui-1，根據(jù)Preisach模型的擦除性質(zhì)更新極大值電壓α(·)序列，并通過公式（6）中F函數(shù)計(jì)算出電壓ui對(duì)應(yīng)的位移si；如果ui＜ui-1，根據(jù)擦除性質(zhì)更新極小值電壓β(·)序列，并通過公式（5）中F函數(shù)計(jì)算出電壓ui對(duì)應(yīng)的位移si；（3）由前面過程最終得到電壓序列u(k)對(duì)應(yīng)的模型計(jì)算位移序列s(k)。

圖16為杠桿放大機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)測(cè)試圖，所用的位移測(cè)量?jī)x器為激光測(cè)微儀（型號(hào)為optoNCDT ILD 2300-2系列，線性量程2 mm，精度0.6μm，分辨率0.03μm）。壓電陶瓷75 V時(shí)的輸出位移為30μm（型號(hào)為THORLABS公司的PK2JUP1系列），實(shí)驗(yàn)只用到了0～70 V部分，電源為直流電壓源，0 V到220 V連續(xù)可調(diào)，電壓分辨率0.01 V。

精定位實(shí)現(xiàn)過程只考慮準(zhǔn)靜態(tài)遲滯，即與輸入電壓變化速率無(wú)關(guān)，因此給疊堆式壓電陶瓷施加的為直流電壓。施加電壓時(shí)，手動(dòng)調(diào)節(jié)直流電壓源依次施加有關(guān)電壓元素，待激光測(cè)微儀讀數(shù)穩(wěn)定后對(duì)有關(guān)位移值進(jìn)行記錄。

圖16 杠桿放大機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)測(cè)試圖Fig.16 Experimental test of the lever magnifying mechanism

4.1 F函數(shù)的構(gòu)建

疊堆式壓電陶瓷離散化電壓間隔為5 V，電壓范圍為0～70 V，按照?qǐng)D15所示測(cè)得一階回轉(zhuǎn)曲線處的位移值，進(jìn)而構(gòu)建F函數(shù)。具體過程為：將電壓由0 V升到αV，記錄下對(duì)應(yīng)位移f(α，α)，然 后 按 照5 V間 隔 依 次 從αV下 降 到βV，直至下降0 V為止，在此過程中記錄下相應(yīng)位移值f(α，β)。測(cè)出0 V到70 V范圍內(nèi)所有一階回轉(zhuǎn)曲線離散點(diǎn)處的位移值，最后根據(jù)F(α，β)=f(α，α)-f(α，β)構(gòu)建出F函數(shù)，得到的離散Preisach模型的F函數(shù)圖如圖17所示。

圖17 F函數(shù)圖Fig.17 Graph of the F-function

4.2 Preisach正模型的建立及優(yōu)化

4.2.1 Preisach正模型的建立與驗(yàn)證

通過F函數(shù)法便可構(gòu)建出數(shù)值化Preisach正模型，為了驗(yàn)證Preisach正模型是否能夠準(zhǔn)確的描述壓電陶瓷施加電壓與杠桿機(jī)構(gòu)輸出位移之間的關(guān)系，一共測(cè)試了三組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，每組數(shù)據(jù)有40個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)點(diǎn)。圖18所示為第一組數(shù)據(jù)中施加的電壓序列以及施加相應(yīng)電壓所對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)位移。然后通過Preisach正模型計(jì)算出施加的電壓序列所對(duì)應(yīng)的理論位移，最后比較實(shí)測(cè)位移與理論位移，便得到了正模型的誤差，如圖19所示。圖20為第二組數(shù)據(jù)中施加的電壓序列以及相應(yīng)電壓所對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)位移，圖21則為相應(yīng)的理論模型計(jì)算位移和誤差圖。圖22為第三組數(shù)據(jù)中施加的電壓序列和測(cè)得的對(duì)應(yīng)電壓的實(shí)測(cè)位移，圖23為對(duì)應(yīng)電壓序列的模型計(jì)算位移和誤差分布圖。三組數(shù)據(jù)的絕對(duì)值平均誤差如表1所示，分別為2.31μm、3.36μm、1.95μm。

圖18 組1施加電壓序列和實(shí)測(cè)位移Fig.18 Applied voltage sequence and actual test displacement of the group one

圖19 組1模型計(jì)算位移和誤差圖Fig.19 Model calculated displacement and error plots of the group one

圖20 組2施加電壓序列和實(shí)測(cè)位移Fig.20 Applied voltage sequence and actual test displacement of the group two

圖21 組2模型計(jì)算位移和誤差圖Fig.21 Model calculated displacement and error plots of the group two

圖22 組3施加電壓序列和實(shí)測(cè)位移Fig.22 Applied voltage sequence and measured displacement of the group three

圖23 組3模型計(jì)算位移和誤差圖Fig.23 Applied voltage sequence and actual test displacement of the group three

表1 正模型絕對(duì)值平均誤差表Tab.1 Absolute mean error table for positive models

4.2.2 Preisach正模型優(yōu)化

通過觀察三組數(shù)據(jù)的誤差分布圖可以發(fā)現(xiàn)，每組數(shù)據(jù)的誤差分布點(diǎn)大多數(shù)都處于0刻度線以上，只有極少數(shù)的誤差點(diǎn)分布在0刻度線以下。這一特征說(shuō)明通過Preisach正模型計(jì)算出來(lái)的放大機(jī)構(gòu)輸出理論位移大多數(shù)情況下小于實(shí)測(cè)位移，下面對(duì)Preisach模型進(jìn)行了相關(guān)的優(yōu)化，優(yōu)化后的Preisach正模型的位移計(jì)算表達(dá)式如下：

當(dāng)最后一次輸入電壓u(t)處于下降段時(shí)：

當(dāng)最后一次輸出電壓u(t)處于上升段時(shí)：

即試圖通過加上常數(shù)C的方式盡量將上面三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分布圖移動(dòng)到0刻度線兩邊分布，從而達(dá)到降低絕對(duì)值平均誤差提高正模型精度的目的。

上面三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的絕對(duì)值平均誤差隨著常數(shù)C的變化趨勢(shì)如圖24所示，當(dāng)C取值為1.90時(shí)，三組數(shù)據(jù)的Preisach正模型絕對(duì)值平均誤差相對(duì)都處于一個(gè)較低的狀態(tài)。三組數(shù)據(jù)優(yōu)化前后的絕對(duì)值平均誤差如表2所示。

圖24 絕對(duì)值平均誤差隨常數(shù)C的變化Fig.24 Absolute mean error varies with the constant C

表2 優(yōu)化前后絕對(duì)值平均誤差Tab.2 Absolute mean error before and after optimization

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分布圖提出了常數(shù)C的優(yōu)化，由于是對(duì)壓電陶瓷經(jīng)過杠桿機(jī)構(gòu)放大后的位移進(jìn)行遲滯建模，所以常數(shù)C的產(chǎn)生可能與放大機(jī)構(gòu)柔性鉸鏈部分的變形特性有關(guān)，因此加上常數(shù)C來(lái)彌補(bǔ)柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)本身特性所產(chǎn)生的微小誤差。另外常數(shù)C數(shù)值的確定是根據(jù)前三組數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整確定的，為了進(jìn)一步驗(yàn)證優(yōu)化的有效性，測(cè)得另外一組數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證，結(jié)果如圖25所示。優(yōu)化前的絕對(duì)值平均誤差為3.74μm，優(yōu)化后的對(duì)值平均誤差為2.26μm，優(yōu)化后誤差得到了下降。

圖25 正模型優(yōu)化前后誤差分布圖Fig.25 Error distribution diagram of positive model before and after optimization

5 精定位位移模型的建立及驗(yàn)證

放大機(jī)構(gòu)位移模型是基于Preisach逆模型建立的，即期望的位移序列通過位移模型求出應(yīng)施加的電壓序列。s(N)=(s1，s2，…，sN)為期望的位移輸出序列，V(N)=(V1，V2，…，VN)為通過位移模型求出的收斂電壓序列，下面介紹位移模型求解收斂電壓的基本過程。

假設(shè)α(n)=(α1，α2，…，αn)為V(N)中的極大值電壓序列，β(m)=(β1，β2，…，βm)為V(N)中的極小值電壓序列。假如N+1時(shí)刻期望的位移為sN+1，收斂電壓VN+1的求解基本過程如下。

當(dāng)sN+1＞sN，則 當(dāng) 前 收 斂 電 壓VN+1＞VN，即當(dāng)前電壓需要上升，因此更新極大值序列，α(n+1)=(α1，α2，…，αn，αn+1)，其中αn+1即為所求的收斂電壓VN+1。將此時(shí)的極大值α(n+1)序列和極小值β(m)序列帶入Preisach正模型中即可求得當(dāng)前電壓αn+1所對(duì)應(yīng)的位移s′N+1。

如果s′N+1-sN+1＞e，則減小αn+1的電壓值，其中e為迭代終止誤差；如果s′N+1-sN+1＜-e，則 需 要 增 加 αn+1的 電 壓 值 ，直 至|s′N+1-sN+1|≤e，求解過程結(jié)束，此時(shí)的αn+1即可近似的表示為收斂電壓VN+1。同理當(dāng)sN+1＜sN時(shí)，更新極小值電壓序列，其后的求解過程同上。

以上就是位移模型的建立過程，下面將通過實(shí)驗(yàn)對(duì)位移模型的精度進(jìn)行驗(yàn)證并對(duì)收斂電壓求解過程中具體的迭代策略進(jìn)行探討。

5.1 精定位位移模型精度驗(yàn)證

期望的位移序列經(jīng)過位移模型求出應(yīng)施加的電壓序列，然后通過實(shí)驗(yàn)依次手動(dòng)施加這些電壓序列即可得到實(shí)際的位移序列。最后通過比較期望位移序列和實(shí)際位移序列便可以進(jìn)行位移模型誤差的分析，進(jìn)而對(duì)基于Preisach逆模型建立的放大機(jī)構(gòu)的輸出位移模型的精度做出一個(gè)評(píng)價(jià)。這里的Preisach逆模型是建立在優(yōu)化后的Preisach正模型的基礎(chǔ)上的。

圖26 組1期望位移及計(jì)算電壓序列Fig.26 Expected displacement and calculated voltage sequence of the group one

圖27 組1逆模型誤差分布Fig.27 Inverse model error distribution of the group one

同樣為了確認(rèn)逆模型求解的有效性，通過實(shí)驗(yàn)共驗(yàn)證了三組不同的期望位移序列。圖26為第一組期望的位移序列以及根據(jù)逆模型所計(jì)算出來(lái)的對(duì)應(yīng)的期望位移應(yīng)施加的電壓序列，圖27則是相應(yīng)的誤差分布圖，其絕對(duì)值平均誤差為2.05μm。圖28則是第二組期望位移序列以及對(duì)應(yīng)的計(jì)算電壓序列，圖29所示的絕對(duì)值平均誤差為2.70μm。第三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖30和31，第三組數(shù)據(jù)的絕對(duì)值平均誤差為2.17μm。三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的絕對(duì)值平均誤差表如表3所示，可以看出在優(yōu)化后的Preisach正模型基礎(chǔ)之上建立起的逆模型同樣具有較高的精度，基于其建立的放大機(jī)構(gòu)的輸出位移模型也能夠滿足精定位的精度需求。

圖28 組2期望位移及計(jì)算電壓序列Fig.28 Expected displacement and calculated voltage sequence of the group two

圖29 組2逆模型誤差分布Fig.29 Inverse model error distribution of the group two

圖30 組3期望位移及計(jì)算電壓序列Fig.30 Expected displacement and calculated voltage sequence of the group three

圖31 組3逆模型誤差分布Fig.31 Inverse model error distribution of the group three

表3 逆模型絕對(duì)值平均誤差Tab.3 Absolute mean error of the inverse model

5.2 迭代搜索策略的探討

在Presaich逆模型建立過程中涉及到大量的迭代運(yùn)算過程，因此采用何種迭代策略對(duì)于加快收斂電壓的求解具有重要意義。對(duì)于收斂電壓的求解，本文一共提出了三種迭代搜索策略。

第一種搜索收斂電壓的策略如圖32所示，以ΔV的電壓間隔逐步遞增或遞減向收斂電壓逼近，其中起點(diǎn)電壓為前一次的收斂電壓。

圖32 搜索策略1Fig.32 Search strategy 1

圖33 搜索策略2Fig.33 Search strategy 2

第二種搜索策略如圖33所示，首先以較大電壓間隔V尋找到收斂電壓所在的收斂區(qū)間，然后在收斂區(qū)間內(nèi)采用二分搜索的辦法快速尋找到收斂 電壓。若s′N+1-sN+1＜0，此時(shí)s′N+1所對(duì) 應(yīng)的電壓為收斂區(qū)間的下限電壓；若s′N+1-sN+1＞0，則此時(shí)s′N+1所對(duì)應(yīng)的電壓為收斂區(qū)間的上限電壓。

第三種搜索策略示意圖如圖34所示，首先采用線性關(guān)系確定出大致電壓，然后以該電壓為中心，以電壓間隔V找出收斂電壓區(qū)間范圍，最后在該范圍內(nèi)采用二分搜索的方法確定出收斂電壓。其中采用線性關(guān)系確定出大致電壓的示意圖如圖35，即以主磁滯環(huán)兩個(gè)端點(diǎn)的連線所確定的線性表達(dá)式來(lái)求出大致電壓。

圖34 搜索策略3Fig.34 Search strategy 3

上面三種搜索策略相關(guān)參數(shù)的具體數(shù)值為：ΔV=0.05 V，V=5 V，迭 代 終 止 誤 差e=0.4μm。在Preisach逆模型迭代求解收斂電壓的過程中，三種搜索策略在5.1節(jié)三組數(shù)據(jù)中的迭代次數(shù)如表4所示。第一種搜索策略在三組數(shù)據(jù)逆模型的求解過程中迭代次數(shù)達(dá)到幾百到上千次，第二種搜索策略在三組數(shù)據(jù)中的迭代次數(shù)基本在10次左右，第三種搜索策略則基本可以將收斂電壓的迭代次數(shù)控制在10次以下。

因此三種搜索策略中，第三種搜索策略最優(yōu)，第二種搜索策略次之，最差的則是第一種搜索策略。相比于第一種搜索策略，第三種搜索策略的迭代搜索次數(shù)得到了大幅下降，所具有的優(yōu)勢(shì)也更加明顯。因此第三種搜索策略在大數(shù)量光纖單元精定位過程中具有一定的優(yōu)勢(shì)。

圖35 線性示意圖Fig.35 Linear schematic diagram

表4 迭代次數(shù)Tab.4 Number of iterations

6 結(jié) 論

針對(duì)壓電陶瓷輸出位移小不能滿足光纖定位單元R機(jī)構(gòu)精定位的位移行程要求的情況，設(shè)計(jì)了杠桿柔性鉸鏈?zhǔn)轿灰品糯髾C(jī)構(gòu)并對(duì)其關(guān)鍵結(jié)構(gòu)部分進(jìn)行了計(jì)算及仿真，放大后的輸出位移能夠滿足精定位的行程要求。為了進(jìn)一步解決壓電陶瓷的遲滯非線性，建立了經(jīng)典的Preisach正模型并進(jìn)行了有關(guān)的優(yōu)化，并基于Preisach逆模型建立了精定位的位移模型。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了建立的位移模型的平均誤差在4μm以內(nèi)，能夠很好地滿足精定位的誤差要求，同時(shí)精定位中較小的定位誤差為粗定位的設(shè)計(jì)留下了更大的空間，也為整個(gè)光纖定位單元R機(jī)構(gòu)定位精度的設(shè)計(jì)奠定了良好的基礎(chǔ)。此外，在Preisach逆模型的迭代求解過程中，對(duì)不同的迭代搜索策略進(jìn)行了對(duì)比，最終得出了較優(yōu)的策略。本文精定位的相關(guān)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)以及位移模型的建立對(duì)后期整個(gè)光纖定位單元R機(jī)構(gòu)定位精度的設(shè)計(jì)有重要的意義，其中的迭代搜索策略對(duì)于Preisach逆模型中的迭代求解也具有一定啟發(fā)作用。