石勇國 宋西泠 羅小宇

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641100) (四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué) 641208) (內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641100)

在各類高中數(shù)學(xué)競賽中，常見的一類線性函數(shù)方程形如：

Af

(

x

)+

Bf

(

φ

(

x

))=

g

(

x

)，

(1)

其中

A

,

B

為給定實(shí)數(shù)，

f

是未知函數(shù)，

g

為已知函數(shù)，

φ

是迭代周期為

n

的函數(shù)，這里的迭代周期是指存在最小的正整數(shù)

n

，使得

φ

自身復(fù)合

n

次等于本身，即對(duì)于在定義域內(nèi)任意的

x

，有

φ

(

x

)≠

x

(

m

=1,2,…,

n

-1)，

φ

(

x

)=

x.

對(duì)于具有迭代周期性質(zhì)的線性函數(shù)方程，在上世紀(jì)60年代左右，已有初步研究，代換法是求解該類函數(shù)方程的基本方法

.

1987年，革燕芳討論了迭代周期為2、用代換法求解方程(1)的過程

.

1990年，李光芹利用歸納法對(duì)于

φ

是迭代周期為

n

的函數(shù)，得到了方程(1)的求解公式

.

最近，周德春探究了

A

=2且

B

=1，

φ

是迭代周期為2，3，4，5的線性分式函數(shù)(另外可參見文[6]與[7])時(shí)，方程(1)的求解公式以及相關(guān)例子

.

上述研究都滿足非奇異條件

A

-

B

≠0，而對(duì)于奇異情形

A

-

B

=0的方程(1)如何求解沒有涉及

.

本文重點(diǎn)探討線性函數(shù)方程(1)在奇異情形

A

-

B

=0下的求解方法，并且給出實(shí)例，完整討論了迭代周期為2的線性函數(shù)方程(1)的所有解

.

1 非奇異情形下的解

例1

已知函數(shù)

f

(

x

)滿足其中

x

≠0，求

f

(

x

)

.

解

用代換

x

，則有

φ

(

φ

(

x

))=

x

，且聯(lián)立解得那么，對(duì)于更一般的函數(shù)方程(1)，是否存在

f

(

x

)的求解公式？下面，就求解線性函數(shù)方程的方法展開說明

.

定理1

假設(shè)

A

-

B

≠0，

φ

是迭代周期為2的函數(shù)，則方程(1)的解為

(2)

證

由

φ

(

x

)=

φ

(

φ

(

x

))=

x

，以

φ

(

x

)代換

x

，代入

Af

(

x

)+

Bf

(

φ

(

x

))=

g

(

x

)，即

Af

(

φ

(

x

))+

Bf

(

x

)=

g

(

φ

(

x

))

.

與方程(1)聯(lián)立并化簡得

A

f

(

x

)-

B

f

(

x

)=

Ag

(

x

)-

Bg

(

φ

(

x

))

.

由于

A

-

B

≠0，因此在定理1中，若

φ

(

x

)是一個(gè)迭代周期為2的分式線性函數(shù)，則

φ

必定具有如下形式證明從略，詳見文[5]和文[7]

.

于是，方程(2)可以改寫為一般地，當(dāng)

φ

(

x

)為一個(gè)迭代周期為

n

的函數(shù)，且

A

+(-1)-1

B

≠0時(shí)，歸納可得求解方法詳見文[4]

.

以上所有求解方法都基于非奇異的必要條件

A

-

B

≠0

.

然而，在奇異情形

A

-

B

=0下，以上定理都不再適用

.

那么，又如何求奇異情形下方程(1)的解呢？

2 奇異情形下的解

在方程(1)中，當(dāng)

A

-

B

=0時(shí)，不妨假設(shè)

A

=

B

=1，或

A

=1且

B

=-1，并考慮最簡單情形

g

(

x

)=0時(shí)方程(1)的解

.

引理1

設(shè)

φ

(

x

)是迭代周期為2的函數(shù)，

A

=

B

=1，則線性函數(shù)方程

f

(

x

)+

f

(

φ

(

x

))=0的解形如

f

(

x

)=

h

(

x

)-

h

(

φ

(

x

))，其中

h

為任意函數(shù)

.

證明

因?yàn)?p>f

(

x

)=-

f

(

φ

(

x

))，那么

f

(

φ

(

x

))=-

f

(

x

)，由2

f

(

x

)=

f

(

x

)+

f

(

x

)=

f

(

x

)-

f

(

φ

(

x

))，得

令為任意函數(shù)，則有

f

(

x

)=

h

(

x

)-

h

(

φ

(

x

))

.

引理2

設(shè)

φ

(

x

)是迭代周期為2的函數(shù)，

A

=1且

B

=-1，則線性函數(shù)方程

f

(

x

)-

f

(

φ

(

x

))=0的解形如

f

(

x

)=

h

(

x

)+

h

(

φ

(

x

))，

h

為任意函數(shù)

.

證明

因?yàn)?p>f

(

x

)=

f

(

φ

(

x

))，那么

f

(

φ

(

x

))=

f

(

x

)，由2

f

(

x

)=

f

(

x

)+

f

(

x

)=

f

(

x

)+

f

(

φ

(

x

))，得

令為任意函數(shù)，則有

f

(

x

)=

h

(

x

)+

h

(

φ

(

x

))

.

例2

已知求該方程的解

.

解

根據(jù)引理1，設(shè)

h

(

x

)為任意函數(shù)，則形如的函數(shù)均是解

.

例3

已知求該方程的一般解

.

解

根據(jù)引理2，設(shè)

h

(

x

)為任意函數(shù)，則形如的函數(shù)是一般解

.

進(jìn)一步地，討論

g

(

x

)≠0時(shí)，方程(1)有解的必要條件，以及求解方法

.

引理3

設(shè)

φ

(

x

)是迭代周期為2的函數(shù)，

A

=

B

=1，則

f

(

x

)+

f

(

φ

(

x

))=

g

(

x

)有解的必要條件為

g

(

x

)=

g

(

φ

(

x

))，且存在一個(gè)特解為

證明

用

φ

(

x

)代換

x

，得到新方程

f

(

φ

(

x

))+

f

(

x

)=

g

(

φ

(

x

))，而由原式

f

(

x

)+

f

(

φ

(

x

))=

g

(

x

)，故

g

(

x

)=

g

(

φ

(

x

))

.

將代入原式，得

左邊右邊，故其是特解

.

引理4

設(shè)

φ

(

x

)是迭代周期為2的函數(shù)，

A

=1且

B

=-1，則

f

(

x

)-

f

(

φ

(

x

))=

g

(

x

)有解的必要條件為

g

(

x

)=-

g

(

φ

(

x

))，且存在一個(gè)特解為

證明

用

φ

(

x

)代換

x

，得到新方程

f

(

φ

(

x

))-

f

(

x

)=

g

(

φ

(

x

))，又由原式

f

(

x

)-

f

(

φ

(

x

))=

g

(

φ

(

x

))，則

g

(

x

)=-

g

(

x

)

.

將代入原式，得

左邊右邊，故其是特解

.

定理2

設(shè)

φ

(

x

)是迭代周期為2的函數(shù)，則函數(shù)方程

f

(

x

)+

f

(

φ

(

x

))=

g

(

x

)的解形如為任意函數(shù)

.

證明

因?yàn)?p>f

(

x

)=

g

(

x

)-

f

(

φ

(

x

))，則有2

f

(

x

)=

f

(

x

)+

f

(

x

)=

f

(

x

)+

g

(

x

)-

f

(

φ

(

x

))，即

令為任意函數(shù)，則有

類似地，可以證明：

定理3

設(shè)

φ

(

x

)是迭代周期為2的函數(shù)，則函數(shù)方程

f

(

x

)-

f

(

φ

(

x

))=

g

(

x

)的解形如為任意函數(shù)

.

證明

因?yàn)?p>f

(

x

)=

g

(

x

)+

f

(

φ

(

x

))，則有2

f

(

x

)=

f

(

x

)+

f

(

x

)=

f

(

x

)+

g

(

x

)+

f

(

φ

(

x

))，即

令為任意函數(shù)，則有

例4

已知求該方程的特解和一般解

.

解

用代換

x

，有

φ

(

φ

(

x

))=

x

，驗(yàn)證滿足

g

(

x

)=

g

(

φ

(

x

))

.

由引理3，得到特解為

再由定理2，方程的一般解形如：

其中

h

為任意函數(shù)

.

例5

已知求該方程的特解和一般解

.

解

首先，利用換元法將方程變形，令sin

x

則原式為令則有

φ

(

φ

(

t

))=

t.

可以驗(yàn)證且滿足

g

(

t

)= -

g

(

φ

(

t

))，由引理4和定理3得到特解為一般解則形如：其中

h

為任意函數(shù)

.

例6

已知求該方程的特解和一般解

.

解

用代換

x

，則有

φ

(

φ

(

x

))=

x

，可以驗(yàn)證滿足

g

(

x

)=

g

(

φ

(

x

))，由引理3得到特解為再由定理2得一般解形如：其中

h

為任意函數(shù)

.

3 總結(jié)

本文針對(duì)一類線性函數(shù)方程

Af

(

x

)+

Bf

(

φ

(

x

))=

g

(

x

)，其中

φ

(

x

)是迭代周期為2的函數(shù)，提供了通用的求解方法，補(bǔ)充探討了這類線性函數(shù)方程在奇異情形

A

-

B

=0時(shí)解的性質(zhì)以及求解的方法，并設(shè)計(jì)了實(shí)際例子以作參考

.

類似本文方法，可以繼續(xù)研究

φ

(

x

)的迭代周期為3，4，5，…，

n

時(shí)該線性函數(shù)方程的解

.