馮杭華

（1.浙江華東測(cè)繪與工程安全技術(shù)有限公司，浙江 杭州 310014）

目前監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析的方法主要包括回歸分析法[1]（雙曲線(xiàn)法、指數(shù)曲線(xiàn)法等）、灰色系統(tǒng)[2]、時(shí)間序列分析法[3]、遺傳算法[4]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]、卡爾曼濾波[6]等方法。其中時(shí)間序列分析是通過(guò)建立合適的數(shù)學(xué)模型，擬合時(shí)間序列，并完成預(yù)測(cè)功能。ARIMA模型就是這一類(lèi)的典型代表，被廣泛應(yīng)用到建筑物沉降預(yù)測(cè)[7]、基坑沉降監(jiān)測(cè)[8]和橋梁變形監(jiān)測(cè)[9]等領(lǐng)域。胡波[10]等利用ARIMA模型對(duì)邊坡觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)組成的時(shí)間序列進(jìn)行分析研究，驗(yàn)證ARIMA模型預(yù)測(cè)邊坡變形的可行性。GM(1，1)模型作為灰色系統(tǒng)的核心，同樣被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[11-14]，但該模型具有一定的局限性。張儀萍[15-16]等在GM(1，1)模型基礎(chǔ)上用多項(xiàng)式逼近模型中的參數(shù)，采用最小二乘法確定多項(xiàng)式中的待定系數(shù)，構(gòu)建時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型。楊柳[17]等將時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型運(yùn)用到邊坡位移預(yù)測(cè)分析并且取得很好的效果。

本文的主要內(nèi)容利用權(quán)系數(shù)將ARIMA模型和時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型相結(jié)合形成組合模型，簡(jiǎn)稱(chēng)ARIMA-TGM組合模型。結(jié)合邊坡位移實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)結(jié)果和ARIMA模型與時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型二者的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證ARIMA-TGM組合模型在邊坡位移變形監(jiān)測(cè)中的可行性和優(yōu)越性。

1 理論模型

1.1 ARIMA模型

求和自回歸移動(dòng)平均模型（ARIMA模型）是一種被廣泛應(yīng)用的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，該模型具有完備的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，且算法效率高，易于實(shí)現(xiàn)。ARIMA模型來(lái)自于自回歸滑動(dòng)混合模型（ARMA模型），ARMA模型包括自回歸模型（AR模型）和滑動(dòng)平均模型（MA模型）兩大部分。

運(yùn)用ARMA模型的前提是原始序列必須為平穩(wěn)的，當(dāng)原始序列存在趨勢(shì)性和周期性時(shí)ARMA模型不再適用時(shí)，針對(duì)非平穩(wěn)的時(shí)間序列ARIMA模型應(yīng)運(yùn)而生。ARIMA模型主要思想是先將一個(gè)非平穩(wěn)序列時(shí)間序列{Yt}，經(jīng)過(guò)d次差分Wt=?dYt得到一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列{Wt}，然后運(yùn)用ARMA模型對(duì)平穩(wěn)的時(shí)間序列{Wt}進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。則稱(chēng){Yt}為求和自回歸滑動(dòng)平均模型，即ARIMA（p，d，q）模型，其計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 ARIMA模型計(jì)算流程圖

1.2 時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型

設(shè)x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))為已知的非負(fù)初始數(shù)據(jù)序列，一次累加生成序列為X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))，其中

GM（1，1）模型微分方程為：

式中，z(1)(t)=0.5×x(1)(t)+0.5×x(1)(t-1)。

傳統(tǒng)GM(1，1)模型的白化微分方程中參數(shù)a，b假定為固定常數(shù)，這樣不符合現(xiàn)實(shí)情況，王金柱[18]假定參數(shù)a，b也是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)時(shí)，建立了時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型，具體建模步驟如下：

1）模型的建立，時(shí)變參數(shù)模型微分方程為：

白化方程為：

式中，a(t)和b(t)為所要求解的時(shí)變參數(shù)，可用以下多項(xiàng)式逼近。

則有：

為使s取最小值，對(duì)式（6）進(jìn)行全微分。

將式（5）代入式（4）并展開(kāi)為矩陣形式可得：

式中，Y=(x(0)(2)，…，x(0)(n))T，B=(a0，ap，b0，bq)T。

根據(jù)最小二乘法，可得式（8）的解為：

2）時(shí)變參數(shù)模型的求解，將式（4）中的x(1)(t)用緊鄰均值生成代替，可解得微分方程的通解。

并且令初始條件x(1)(1)=x(1)(0)得到c=x(0)(1)。

根據(jù)復(fù)合梯形積分得式（10）的離散化形式。

式中，當(dāng)t＜n時(shí)，結(jié)果為模型的擬合值；當(dāng)t＞n時(shí)，

所求的結(jié)果為模型的預(yù)測(cè)值[17]，對(duì)作一階累減得到擬合預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列。

3）多項(xiàng)式次數(shù)的確定。時(shí)變參數(shù)模型中多項(xiàng)式次數(shù)p、q的最佳取值根據(jù)原始實(shí)測(cè)值與模型擬合值的平均擬合相對(duì)誤差達(dá)到最小值來(lái)確定[16]。

1.3 ARIMA-TGM組合模型

本文通過(guò)權(quán)系數(shù)將ARIMA模型和時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型相結(jié)合。采用取方差倒數(shù)的方法求解權(quán)系數(shù)的大小，它的主要思想是為了使組合預(yù)測(cè)模型的誤差平方和盡可能地小，對(duì)誤差平方和較小的模型賦予較高的權(quán)系數(shù)，而對(duì)誤差平方和較大的模型賦予較小的權(quán)系數(shù)[19]。

式中，ej為第j個(gè)模型的擬合誤差平方和。

式中，Xt為第t期實(shí)際觀(guān)測(cè)值；Xˉtj為第t期第j種預(yù)測(cè)方法的擬合值；先得到ARIMA模型和時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型的擬合值，根據(jù)式（12）和式（13）計(jì)算2種模型所對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)，然后根據(jù)下式計(jì)算ARIMA-TGM組合模型的擬合預(yù)測(cè)值。

2 工程實(shí)例分析

孔口邊坡的位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)自2010-07-05～2013-02-05，以10 d為一周期，一共32期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，分別使用ARIMA模型、時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型和ARIMA-TGM組合模型對(duì)前20期的位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合建模，并預(yù)測(cè)后12期的邊坡位移變化量。前20周期的實(shí)測(cè)值見(jiàn)表1。

表1 邊坡位移監(jiān)測(cè)的前20周期實(shí)測(cè)值

2.1 ARIMA模型預(yù)測(cè)

ARIMA模型預(yù)測(cè)過(guò)程主要分為以下4步：

1）原始序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)。本文先通過(guò)觀(guān)察位移變化曲線(xiàn)，然后再采用ADF單位根檢驗(yàn)法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。由圖2所得原始時(shí)間序列位移值存在明顯的上升趨勢(shì)，再經(jīng)過(guò)ADF檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量遠(yuǎn)大于1%、5%、10%顯著水平下的臨界值，并且p為0.938遠(yuǎn)大于0.05，所以可以確定原始序列為非平穩(wěn)序列，需要進(jìn)行平穩(wěn)化處理。首先取d=1進(jìn)行一階差分，圖3為一階差分后的時(shí)間序列圖，從圖3可以看出樣本數(shù)據(jù)在0附近波動(dòng)，并且一階差分后序列的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-12.386，遠(yuǎn)小于1%、5%、10%顯著水平下的臨界值，p的值為5.836e-08無(wú)限接近于0，因而經(jīng)過(guò)一階差分后為平穩(wěn)時(shí)間序列，故d取值為1。

圖2 實(shí)測(cè)位移的時(shí)間序列圖

圖3 一階差分后的時(shí)間序列圖

2）模型識(shí)別與定階。通過(guò)觀(guān)察差分后平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖截尾性等特征確定模型形式，并且根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)初步確定p和q的取值范圍，然后再結(jié)合BIC準(zhǔn)則進(jìn)一步確定ARIMA模型的最佳階數(shù)p、q，通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，最終確定當(dāng)p=0，d=1，q=1時(shí)BIC最小值為-3.174，所以ARIMA（0,1,1）為最優(yōu)模型。

3）模型參數(shù)估計(jì)與模型檢驗(yàn)。使用極大似然估計(jì)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到模型參數(shù)θ1為0.389。模型確定后，模型擬合統(tǒng)計(jì)R方為0.966，說(shuō)明擬合效果較好。還需要對(duì)殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果Ljung-BoxQ為11.803，P值為0.812，殘差檢驗(yàn)為白噪聲，自相關(guān)系數(shù)均在95%可信區(qū)間，進(jìn)一步說(shuō)明ARIMA（0,1,1）模型可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。

4）模型預(yù)測(cè)。利用以上確定的最優(yōu)ARIMA（0,1,1）模型對(duì)后12期邊坡位移進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

2.2 時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)

同樣使用時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型對(duì)邊坡位移前20期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合建模，然后預(yù)測(cè)后12期的邊坡位移值。時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型的最佳多項(xiàng)式次數(shù)p、q的取值不能取太大值，否則會(huì)導(dǎo)致矩陣出現(xiàn)病態(tài)現(xiàn)象，所以本文設(shè)定p、q的取值在0～4之間，利用matlab平臺(tái)結(jié)合平均擬合相對(duì)誤差達(dá)到最小原則設(shè)計(jì)搜索算法確定最佳p、q的取值，通過(guò)搜索最終確定當(dāng)p值取0、q值取1時(shí)平均擬合相對(duì)誤差達(dá)到最小，時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型可以取得很好的擬合效果。利用建立好的時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型對(duì)邊坡后12期位移值進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表2。

2.3 ARIMA-TGM組合模型預(yù)測(cè)

根據(jù)邊坡位移的實(shí)測(cè)值和ARIMA模型與時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型前20期邊坡位移的擬合結(jié)果，利用式（12）、（13）求2種模型所對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)，求出賦予ARIMA模型的權(quán)系數(shù)為0.738，賦予時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型的權(quán)系數(shù)為0.262。分別將ARIMA模型與時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型后12期邊坡位移預(yù)測(cè)值乘以各自對(duì)應(yīng)得權(quán)系數(shù)然后相加就得到ARIMA-TGM組合模型的邊坡位移預(yù)測(cè)值，具體預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 3種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

由表2可以看出，ARIMA模型的預(yù)測(cè)最小絕對(duì)誤差為0.001，最大為0.828；時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)最小絕對(duì)誤差為0.004，最大為1.188；ARIMA-TGM組合模型的預(yù)測(cè)最小絕對(duì)誤差為0.043，最大為0.741，3種模型的預(yù)測(cè)值和實(shí)際觀(guān)測(cè)值都很接近，都能很好地描述邊坡位移的變化趨勢(shì)。

為了更加客觀(guān)地對(duì)比3種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度，通過(guò)計(jì)算平均絕對(duì)誤差（MAE）、平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）、和均方根誤差（RMSE）3種評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行模型評(píng)價(jià)，具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 3種模型3種指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果

由表3可得，本文的ARIMA-TGM組合模型的MAE、MAPE和RMSE 3種精度評(píng)價(jià)指標(biāo)均小于ARIMA模型和時(shí)變參數(shù)GM(1，1)模型所對(duì)應(yīng)的MAE、MAPE和RMSE值，所以ARIMA-TGM組合模型的預(yù)測(cè)精度更高。

3 結(jié)語(yǔ)

本文使用權(quán)系數(shù)將ARIMA模型和時(shí)變參數(shù)GM（1，1）模型結(jié)合形成ARIMA-TGM組合模型，分別運(yùn)用3種模型對(duì)邊坡位移進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，通過(guò)計(jì)算MAE、MAPE和RMSE精度評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)3種模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明ARIMA-TGM組合模型的預(yù)測(cè)精度高于單一模型的預(yù)測(cè)精度，能更加有效的對(duì)邊坡監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，對(duì)邊坡穩(wěn)定性評(píng)估和工程的防災(zāi)減災(zāi)具有一定的參考價(jià)值。