黃水華

(江蘇省江陰市祝塘中學(xué),江蘇江陰，214415)

1 問題呈現(xiàn)

此題以三角形為問題背景，結(jié)合三角形的兩邊與夾角的已知條件合理創(chuàng)設(shè)情境，通過相應(yīng)邊上的動(dòng)點(diǎn)與對應(yīng)三角形的兩頂點(diǎn)所對應(yīng)的向量的數(shù)量積的構(gòu)建，來確定對應(yīng)的最值問題．問題比較常規(guī)，難度中等，巧妙設(shè)置“動(dòng)點(diǎn)”，通過動(dòng)靜結(jié)合，“動(dòng)”中取“靜”，合理求解對應(yīng)數(shù)量積的最值．

2 解題思維

思維視角一：基底思維

方法1：(數(shù)量積法)

解析：設(shè)MC=t∈[0，3]，

解后反思：隨著線段長度的變化引入對應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合平面向量的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為含參的二次函數(shù)的最值或取值范圍問題，借助配方處理并利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定數(shù)量積的取值范圍．抓住平面向量的基底思維，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算是解決平面向量問題中最常用的基本思維．

思維視角二：幾何思維

方法2：(相交弦定理法)

解析：如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，可得AD=ABcos 60°=1，則有DC=2，

過點(diǎn)C作CE⊥BM，垂足為E，則知B、C、E、D四點(diǎn)共圓，結(jié)合圓的相交弦定理，可得MB×ME=MD×MC，

解后反思：根據(jù)題目條件合理構(gòu)建平面幾何圖形，結(jié)合所求結(jié)論確定動(dòng)點(diǎn)的位置，通過垂直的構(gòu)建，結(jié)合四點(diǎn)共圓合理構(gòu)建圓，利用圓的相交弦定理以及平面向量的投影加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，利用基本不等式的應(yīng)用來確定對應(yīng)的最值問題．抓住平面向量的幾何思維，利用三角形、圓以及投影等幾何要素來合理轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用．

方法3：(極化恒等式法)

解析：由AB=2，AC=3，∠BAC=60°，

如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，

解后反思：根據(jù)題目條件加以合理構(gòu)建平面幾何圖形，借助平面幾何的直觀，通過解三角形思維的應(yīng)用以及直角三角形的性質(zhì)特征，利用極化恒等式加以轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合來確定對應(yīng)數(shù)量積的最小值，實(shí)現(xiàn)問題的直觀轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合．抓住平面向量的幾何思維，結(jié)合平面幾何圖形的直觀形象來數(shù)形結(jié)合，合理推理與巧妙應(yīng)用．

思維視角三：解三角形思維

方法4：(解三角形法)

解析：設(shè)MC=t∈[0，3]，

由AB=2，AC=3，∠BAC=60°，

解后反思：隨著線段長度的變化引入對應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合解三角形中的余弦定理的應(yīng)用求解對應(yīng)的邊長與角的余弦值，進(jìn)而確定對應(yīng)邊的表達(dá)式，綜合余弦定理的向量式加以轉(zhuǎn)化，構(gòu)建含參的二次函數(shù)的最值或取值范圍問題，結(jié)合配方處理并利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定取值范圍．抓住平面向量的解三角形思維，從三角形視角切入來分析與求解，回歸平面向量相關(guān)概念的幾何意義來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

思維視角四：坐標(biāo)思維

方法5：(坐標(biāo)法)

解析：以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy，

解后反思：將對應(yīng)的三角形放入平面直角坐標(biāo)系中去，結(jié)合對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的確定與設(shè)置，將幾何問題代數(shù)化，借助平面向量的坐標(biāo)性質(zhì)與運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定一個(gè)含參的二次函數(shù)問題，借助配方法的巧妙處理，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．抓住平面向量的坐標(biāo)思維，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算，是代數(shù)法解決平面向量問題中一種基本技巧策略．

3 變式拓展

探究1：保持題目條件，改變所求平面向量的數(shù)量積的最值為取值范圍，使得問題更加全面，實(shí)現(xiàn)問題的進(jìn)一步拓展與提升．

探究2：保持題目條件，進(jìn)一步加以拓展，求解動(dòng)點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中任意兩個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的向量的數(shù)量積之和的取值范圍問題，使得問題變得更加復(fù)雜多樣．

點(diǎn)評：這里也可以設(shè)置求解對應(yīng)平面向量的數(shù)量積和式的最小值(或最大值)問題．通過坐標(biāo)法處理最為合理有效，也是坐標(biāo)思維的進(jìn)一步綜合應(yīng)用．

探究3：在變式2的基礎(chǔ)上，將動(dòng)點(diǎn)M在規(guī)定的邊上運(yùn)動(dòng)，拓展到在三角形所在的平面上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得到以下對應(yīng)的變式問題．

解析：以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy，

點(diǎn)評：對動(dòng)點(diǎn)不加以限制.改變其他的限制變化情況，都可以合理創(chuàng)設(shè)新的變式問題.解決此問題可以巧妙借助坐標(biāo)思維加以分析與處理．也可以嘗試其他思維方法.

4 教學(xué)啟示

4.1 思維視角總結(jié)，方法技巧歸納

解決平面向量時(shí)，經(jīng)常利用基底、幾何與坐標(biāo)這幾個(gè)常見的思維方式進(jìn)行切入，有時(shí)還有解三角形思維、三角函數(shù)思維以及特殊思維等，從平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算或三角函數(shù)運(yùn)算等來進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，或從平面幾何圖象的直觀形象來數(shù)形結(jié)合，充分展示平面向量同時(shí)兼?zhèn)洹皵?shù)”的性質(zhì)與“形”的特征這一雙重性質(zhì)．

4.2 “一題多解”發(fā)散，“一題多變”升華

對平面向量問題的“一題多解”，進(jìn)一步發(fā)散思維，融合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能，形成穩(wěn)定的知識架構(gòu)；而借助“一題多變”，進(jìn)一步升華能力，真正達(dá)到會(huì)解、會(huì)用、會(huì)拓展等．在此層面上，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“一題多得”的良好效果．