蔡孟翔,李 磊,林加劍

(安徽大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院工程力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230601)

1 前 言

上世紀(jì)八十年代末期,E.Yablonovitch和S.John引入了光子晶體(photonic crystals)這一概念[1-2]。光子晶體概念的提出引起了業(yè)內(nèi)學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-5]。光子晶體是指折射率不相同的介電材料在空間上周期性排列形成的人工結(jié)構(gòu)。折射率的周期性變化使得光子晶體能產(chǎn)生光子帶隙(photonic band-gap,PBG),而且PBG 結(jié)構(gòu)阻帶的中心頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)和周期尺寸可比擬。光子帶隙具有阻帶(禁帶)特性,利用光子帶隙中的缺陷引導(dǎo)光的傳播,這和光在光波導(dǎo)的全反射傳輸截然不同。PBG 結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)和光波導(dǎo)相比具有結(jié)果緊湊、體積小、傳輸效率高、損耗低的優(yōu)點(diǎn)。因此對(duì)光子晶體波導(dǎo)傳輸特性的研究具有十分重要的實(shí)際意義。

PBG 架構(gòu)的波導(dǎo)研究具有多種方式。例如,在矩形波導(dǎo)的Y 軸方向上,在兩側(cè)的寬邊之間按一定的周期擺放介質(zhì)立方體,介質(zhì)圓柱體,立方晶體。在微帶電路中,在不穿透微帶線的接地線的情況下對(duì)介質(zhì)層穿孔,或?qū)ξ挥诮拥匕迳系奈Ь€進(jìn)行加工處理出周期性的疊加小孔[6]。結(jié)合上述所提到的PBG 架構(gòu)對(duì)于矩形波導(dǎo)的探究,本研究采用在矩形波導(dǎo)的Y 軸方向上,在兩側(cè)的寬邊之間按一定的周期擺放介質(zhì)的方式。

最初的時(shí)域多分辨率(MRTD)算法是基于Battle-Lemarie小波,Daubechies小波,Haar小波提出的[7]?；陔p正交尺度函數(shù)的時(shí)域多分辨率算法報(bào)道較少[7-8]。Cohen-Daubechies-Feauveau(CDF)小波尺度函數(shù)具有消失矩,緊支撐和對(duì)稱性的特點(diǎn)[9-10]。緊支撐減少了迭代公式需要的相關(guān)電磁場(chǎng)分量,而對(duì)稱性能夠防止分解和重構(gòu)時(shí)的失真。與傳統(tǒng)的時(shí)域有限差分法(FDTD)相比,MRTD 算法具有良好的數(shù)值色散特性,因此可以在較大離散網(wǎng)格尺寸獲得良好的數(shù)值結(jié)果[10]。本研究基于CDF-MRTD 算法對(duì)光子晶體波導(dǎo)阻帶特性進(jìn)行研究,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了程序?qū)崿F(xiàn)的可靠性,以及PBG 架構(gòu)波導(dǎo)的阻帶特性。進(jìn)而分析質(zhì)層厚度比,折射率常數(shù)比,介質(zhì)層數(shù)的變化對(duì)光子晶體波導(dǎo)阻帶特性的影響。

2 基于CDF尺度函數(shù)的MRTD 算法

無(wú)源、均勻、無(wú)耗媒質(zhì)中的麥克斯韋方程(Maxwell) 可表示為:

式中:E指代電場(chǎng)強(qiáng)度,H指代磁場(chǎng)強(qiáng)度,ε和μ分別指代媒質(zhì)中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。

應(yīng)用MRTD 算法將上述方程進(jìn)行數(shù)值轉(zhuǎn)換,將電場(chǎng)與磁場(chǎng)關(guān)系中的CDF尺度函數(shù)代入Maxwell方程組,結(jié)合Wavelet-Galerket法[11]得到基于雙正交CDF尺度函數(shù)CDF-MRTD 的步進(jìn)迭代公式:

式中:L s為基函數(shù)的支撐域;a(v)為CDF 小波尺度函數(shù)的連接系數(shù),在l≤0時(shí)a(v)=-a(1-v),a(v)在l＞0時(shí)的取值如參考文獻(xiàn)[11]中所示。

3 MRTD 算法的穩(wěn)定性和數(shù)值色散特性分析

3.1 CDF-MRTD算法的穩(wěn)定性分析

在CDF-MRTD 算法中,為預(yù)防數(shù)值模擬計(jì)算產(chǎn)生誤差,保證算法執(zhí)行的穩(wěn)定性,需要注意的是時(shí)間步和空間步具有條件限制,具體條件應(yīng)滿足如下不等式關(guān)系:

式中:cmax為在計(jì)算空間中電磁波的最大傳播速度,一般取光速;L s值為有效支撐尺寸。在均勻離散的情況(Δx=Δy=Δz=Δξ),式(4)可以寫(xiě)為:

式中:CFLmax為最大穩(wěn)定性常數(shù),CFL 指代穩(wěn)定性因數(shù)。算法的執(zhí)行過(guò)程中,穩(wěn)定性常數(shù)的取值不能超過(guò)最大值的范圍,否則將導(dǎo)致數(shù)值模擬計(jì)算出的結(jié)果發(fā)散。表1 給出了基于不同尺度函數(shù)的最大穩(wěn)定數(shù)常數(shù)。

表1 CDF-MRTD算法的最大穩(wěn)定數(shù)常數(shù)Table 1 Maximum stability number constant of CDF-MRTD algorithm

3.2 CDF-MRTD算法的數(shù)值色散特性分析

進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),由于時(shí)間和空間方向的離散,會(huì)使非色散媒質(zhì)中出現(xiàn)色散現(xiàn)象。這種色散現(xiàn)象也會(huì)隨著電磁波的傳播方向以及離散化的不同而發(fā)生變化。數(shù)值色散現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致脈沖波形發(fā)生畸變,電磁波的傳播出現(xiàn)各項(xiàng)異性及發(fā)生不可預(yù)測(cè)的虛假折射現(xiàn)象。

三維空間下的MRTD 算法的數(shù)值色散關(guān)系定義如下:

式中:L s為尺度函數(shù)的有效支撐尺寸,k x=ksinθcosφ,k y=ksinθsinφ,k x=kcosφ,k為數(shù)值波數(shù),(θ,φ)為球坐標(biāo)系下的傳播方位角,c為光速。

關(guān)于色散曲線圖的繪制,具體參數(shù)設(shè)置參考如下:在確定一致的空間離散步參數(shù)背景下,穩(wěn)定性常數(shù)取CFL=0.4,平面波入射角度θ=60°,φ=45°。圖1,圖2分別表示CDF-MRTD算法相對(duì)相速度誤差隨空間分辨率及球面角?的變化情況。

圖1 相對(duì)相速度誤差隨空間分辨率的變化Fig.1 Change of relative phase velocity error with spatial resolution

圖2 相對(duì)相速度誤差隨球面角? 的變化,PPW =10Fig.2 Change of relative phase velocity error with spherical angle,PPW=10

從圖1可知,基于CDF 小波尺度函數(shù)的MRTD算法的數(shù)值色散特性略優(yōu)于MRTD,但隨著空間分辨率的提高,兩者的數(shù)值色散特性結(jié)果趨近于近似。此外,空間分辨率的增加還會(huì)帶來(lái)計(jì)算機(jī)額外的內(nèi)存占用,所以在實(shí)際應(yīng)用中通常選用CDF(2,2)小波尺度函數(shù)。

從圖2 可知,CDF-MRTD 算法具有良好的數(shù)值色散特性。CDF(2,6)小波尺度函數(shù)具有比CDF(2,2)和CDF(2,4)的數(shù)值更優(yōu)的色散特性。伴隨著空間分辨率的提高,可以發(fā)現(xiàn)CDF-MRTD 算法的數(shù)值色散特性更為優(yōu)越。相同的空間分辨率條件下,CDF(2,2)方法也能得到精確的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

4.1 算法驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

圖3所示為矩形光子晶體波導(dǎo)架構(gòu)的示意圖。其中,空間離散步長(zhǎng)為Δs=1 nm,時(shí)間離散長(zhǎng)度為Δt=1.67 fs,光子晶體的縱向長(zhǎng)度為600 nm,光子晶體波導(dǎo)內(nèi)部的架構(gòu)是由介質(zhì)層周期交替排列和空氣介質(zhì)層組成的架構(gòu)[12-13]。其具體參數(shù)設(shè)定:ZnS(折射率n1=2.38),MgF(折射率n2=1.38),介質(zhì)層的周期結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)T=7,厚度n a=7 nm 以及n b=12 nm,穩(wěn)定度常數(shù)為CFL=0.4。激勵(lì)源采用正弦調(diào)制高斯脈沖,矩形光子晶體波導(dǎo)的兩端設(shè)置12層的PML 吸收邊界條件。圖4繪制了矩形波導(dǎo)禁帶傳輸特性S11和阻帶特性曲線S21的參數(shù)曲線圖。

圖3 矩形波導(dǎo)中PBG 結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 PBG structure in rectangular waveguide

基于VS軟件對(duì)MRTD 算法的調(diào)試和編譯,算法進(jìn)行數(shù)值模擬并計(jì)算出了矩形光子晶體波導(dǎo)的S參數(shù)曲線隨著頻率變化的圖譜曲線。從圖4 S11和S21圖譜曲線可以發(fā)現(xiàn),矩形光子晶體波導(dǎo)的頻率處于370～530 THz時(shí)出現(xiàn)了明顯的帶隙。

圖4 矩形光子晶體波導(dǎo)的S參數(shù)的曲線Fig.4 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

4.2 CDF-MRTD算法與傳統(tǒng)FDTD運(yùn)算效率對(duì)比

基于相同的誤差邊界(0.3)條件時(shí),改變空間步長(zhǎng),MRTD 和FDTD 兩種算法所占用的內(nèi)存和CPU執(zhí)行的時(shí)間見(jiàn)表2。從表中數(shù)據(jù)得出,MRTD 相對(duì)于FDTD 算法會(huì)節(jié)省約40.72%的內(nèi)存和減少21.97%的計(jì)算時(shí)間。

表2 消耗的計(jì)算機(jī)資源Table 2 Computer resources consumed

4.3 介質(zhì)層數(shù)的變化對(duì)光子晶體波導(dǎo)傳輸特性的影響

研究周期長(zhǎng)度的變化對(duì)于阻帶特性的影響,參數(shù)設(shè)置如下:PBG 結(jié)構(gòu)的介質(zhì)參量保持不變(介質(zhì)的折射率保持不變),介質(zhì)層的厚度保持不變,周期結(jié)構(gòu)的個(gè)數(shù)分別取5,7,10。圖5,圖6分別繪制了矩形光子晶體波導(dǎo)阻帶特性參數(shù)S11和S21的曲線圖。

圖5 矩形光子晶體波導(dǎo)的S11 參數(shù)曲線Fig.5 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

圖6 矩形光子晶體波導(dǎo)的S21 參數(shù)曲線Fig.6 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

如圖波形所示,在保證介質(zhì)折射率及基質(zhì)層厚度的條件下,伴隨著周期T 的增加,阻帶的中心位置與長(zhǎng)度基本保持不變,但帶隙間的震蕩次數(shù)發(fā)生有規(guī)律的增加,矩形光子晶體波導(dǎo)所形成的阻帶底部變得深而寬,因此光子晶體波導(dǎo)阻帶會(huì)依據(jù)介質(zhì)參數(shù)即折射率的周期變化而產(chǎn)生[13-14]。假若介質(zhì)參數(shù)的周期性變化幅度較小,會(huì)有一部分處于能隙位置的光穿透介質(zhì)層。隨著介質(zhì)層數(shù)的增加,介質(zhì)參數(shù)的周期性表現(xiàn)得更加明顯,這時(shí)處于阻帶位置的光在介質(zhì)內(nèi)的傳播就被嚴(yán)格禁止了。在實(shí)際中,介質(zhì)層數(shù)增加會(huì)導(dǎo)致光的損耗,因此在介質(zhì)損耗不能忽略的情況下,介質(zhì)的層數(shù)也不能無(wú)限制的增加。

4.4 折射率常數(shù)比的變化對(duì)光子晶體波導(dǎo)傳輸特性的影響

根據(jù)上述的分析結(jié)果,為了能更好的對(duì)比折射率常數(shù)比的變化對(duì)光子晶體波導(dǎo)阻帶特性的影響,把常見(jiàn)的固體光介質(zhì)材料與組成的介質(zhì)參量MgF 列于表3中。參數(shù)的設(shè)置如下:介質(zhì)層的厚度和周期結(jié)構(gòu)的層數(shù)保持不別,介質(zhì)參數(shù)改變(介質(zhì)的折射率變化)。介質(zhì)層的厚度為n a=7 nm,n b=12 nm,周期結(jié)構(gòu)的介質(zhì)層個(gè)數(shù)T=7。圖7繪制了矩形波導(dǎo)光子晶體阻帶特性參數(shù)S21的曲線圖。

圖7 不同n 1 取值時(shí)矩形光子晶體波導(dǎo)的S21 參數(shù)曲線Fig.7 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

表3 常見(jiàn)光子晶體波導(dǎo)的介質(zhì)參量表Table 3 Dielectric parameters of common photonic crystal waveguides

如圖所示,隨著兩種介質(zhì)常數(shù)比值的增加,在低頻區(qū)域會(huì)形成新的阻帶,也就是阻帶的位置朝低頻方向發(fā)生移動(dòng),帶隙的個(gè)數(shù)增加,阻帶的寬度變寬。

4.5 介質(zhì)層厚度比的變化對(duì)光子晶體波導(dǎo)傳輸特性的影響

介質(zhì)層的折射率常數(shù)與介質(zhì)層個(gè)數(shù)不變,只改變介質(zhì)層的厚度比。周期結(jié)構(gòu)的介質(zhì)層個(gè)數(shù)T=7,ZnS(n1=2.38),MgF(n2=1.38),介質(zhì)層的厚度為n a=6 nm,n b=12 nm,n a=8 nm,n b=10 nm,n a=9 nm,n b=9 nm,n a=12 nm,n b=6 nm,n a=15 nm,n b=3 nm,n a=16 nm,n b=2 nm。圖8繪制了矩形波導(dǎo)光子晶體阻帶特性參數(shù)S21的曲線圖。

圖8 na、nb 不同取值時(shí)矩形光子晶體波導(dǎo)的S21 參數(shù)曲線Fig.8 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

隨高介電常數(shù)介質(zhì)比例的增加,禁帶數(shù)目增加,阻帶寬度變窄并向低頻方向移動(dòng)。隨著高階介電常數(shù)介質(zhì)層厚度的增加,介質(zhì)表面反射波的光程差增大。根據(jù)光干涉原理,隨著高階折射率的增加,干涉消除的頻率會(huì)降低,所以干涉消除的頻率會(huì)向低頻方向移動(dòng)。一維光子晶體波導(dǎo)由多層介質(zhì)周期性排列組成,因此阻帶位置也會(huì)向低頻方向移動(dòng)。

5 結(jié) 論

基于CDF-MRTD 算法對(duì)矩形波導(dǎo)介質(zhì)層PBG結(jié)構(gòu)的傳輸特性進(jìn)行了研究,得出以下結(jié)論:

1.通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明,根據(jù)該算法編寫(xiě)的程序具有比較高的準(zhǔn)確性和可靠性。

2.CDF-MRTD 算法與傳統(tǒng)的FDTD 方法相比,在滿足計(jì)算精度要求的條件下,可以增加空間離散網(wǎng)格提高計(jì)算的效率。

3.通過(guò)分析介質(zhì)層數(shù)的變化對(duì)光子晶體波導(dǎo)阻帶特性曲線的影響,以及折射率常數(shù)比的變化,介質(zhì)層厚度比的變化對(duì)阻帶特性影響,發(fā)現(xiàn)介質(zhì)層數(shù)、折射率常數(shù)比的變化與禁帶與阻帶內(nèi)濾波特性有直接影響,而且影響很大。

4.在進(jìn)行對(duì)矩形光子晶體波導(dǎo)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),可以對(duì)其周期長(zhǎng)度、周期個(gè)數(shù)等參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理。