梁 棟 劉 軍 暢博彥 金國光

(1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387； 2.天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300387)

0 引言

3D打印因高效、環(huán)保、材料利用率高，目前已應(yīng)用于汽車、航空、醫(yī)療、智慧農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域[1-2]。為提高打印速度及效率，改善精度，需大力發(fā)展打印技術(shù)和打印方式，而設(shè)計(jì)一種新型運(yùn)動執(zhí)行機(jī)構(gòu)并將其應(yīng)用于3D打印領(lǐng)域已然成為一種趨勢。3D打印機(jī)運(yùn)動執(zhí)行機(jī)構(gòu)主要分為串聯(lián)與并聯(lián)兩種拓?fù)錁?gòu)型。串聯(lián)機(jī)構(gòu)由于其承載能力低、剛度小、關(guān)節(jié)誤差累積等因素，應(yīng)用于3D打印領(lǐng)域時，難以保證高打印質(zhì)量。相比之下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、承載力高、響應(yīng)速度快、輸出精度高等優(yōu)點(diǎn)[3]，能夠很好地適應(yīng)3D打印要求，因此開發(fā)基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3D打印設(shè)備是未來3D打印發(fā)展的趨勢之一。

一般而言，3D打印機(jī)最少需實(shí)現(xiàn)空間三平動自由度。作為三平動自由度高速并聯(lián)機(jī)器人，Delta機(jī)器人是目前商業(yè)應(yīng)用最成功的并聯(lián)機(jī)器人之一。研究者運(yùn)用Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)制作3D打印機(jī)器人，其價格相對便宜，體積小，適合家庭辦公[4]。SONG等[5]將并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于3D打印，使末端執(zhí)行器以傾斜角度運(yùn)動，可實(shí)現(xiàn)多向打印。常定勇等[6]設(shè)計(jì)的雙輸出3D打印解耦并聯(lián)機(jī)器人，其動平臺有較大轉(zhuǎn)動角度，能同時打印兩種相同物體。

除Delta機(jī)器人外，一些學(xué)者亦對其他三平動并聯(lián)機(jī)構(gòu)開展了廣泛研究。TSAI等[7]提出一種由移動副驅(qū)動，支鏈含4R平行四邊形機(jī)構(gòu)的三自由度移動機(jī)構(gòu)；沈惠平等[8-9]基于方位特征(POC)方程設(shè)計(jì)出具有較大工作空間的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對其位置正逆解、奇異性等進(jìn)行了分析；李仕華等[10]設(shè)計(jì)出3-UPU型三平移機(jī)構(gòu)，并對其運(yùn)動學(xué)性能進(jìn)行了分析。然而，目前此類并聯(lián)機(jī)構(gòu)中多數(shù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動副類型較多，結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，制造成本相對較高。

空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能是影響其工程應(yīng)用的重要因素，而對其進(jìn)行運(yùn)動學(xué)尺度綜合是保證較好運(yùn)動性能的重要手段[11]。宋軼民等[12]基于瞬時旋量理論對空間兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)造了功率傳遞系數(shù)指標(biāo)以評價機(jī)構(gòu)的運(yùn)動傳遞性能，并開展了尺度參數(shù)綜合。張良安等[13]以機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的全域均值條件數(shù)和全域波動量構(gòu)建全域綜合性能評價指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。國內(nèi)外眾多學(xué)者為研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能，提出很多相應(yīng)的性能指標(biāo)，并建立目標(biāo)優(yōu)化模型對其尺度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其中以單目標(biāo)優(yōu)化居多，而多目標(biāo)優(yōu)化相對較少。

鑒于上述研究現(xiàn)狀及存在的問題，本文提出一種結(jié)構(gòu)簡潔且易于制造的末端鉸接三平動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對其構(gòu)型設(shè)計(jì)、位置正/逆解、速度/加速度、工作空間、奇異性、綜合性能評價及多目標(biāo)優(yōu)化等進(jìn)行系統(tǒng)研究，為該機(jī)器人機(jī)構(gòu)在3D打印領(lǐng)域及其他領(lǐng)域的拓展應(yīng)用提供理論/技術(shù)基礎(chǔ)。

1 構(gòu)型設(shè)計(jì)

1.1 初始構(gòu)型

參照文獻(xiàn)[3,14-15]，圖1給出了本文拓?fù)溲莼O(shè)計(jì)的初始構(gòu)型。該機(jī)構(gòu)由3條完全相同的單開鏈支路以及動、靜平臺組成，上方為靜平臺，下方為動平臺，每條支鏈包含5個轉(zhuǎn)動副，其中靜、動平臺的轉(zhuǎn)動副軸線分別與靜、動平臺相垂直，支鏈中另外3個轉(zhuǎn)動副的軸線相互平行且均平行于靜平臺。為保證支鏈運(yùn)動的對稱性，靜、動平臺上的豎直轉(zhuǎn)動副中心點(diǎn)分別張成兩個等邊三角形。

圖1 初始構(gòu)型機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic of initial configuration

采用螺旋理論解析該機(jī)構(gòu)的自由度[16]。不失一般性，分支AiBiCiDiEi(i=1,2,3)如圖2所示。

圖2 單分支螺旋運(yùn)動分析Fig.2 Twist analysis of single branch

其分支坐標(biāo)系A(chǔ)ixiyizi如圖2所示。在此坐標(biāo)系下分支中5個運(yùn)動副運(yùn)動螺旋表示為

(1)

$r°$i=0 (i=1,2,…,5)

(2)

求得反螺旋為

$r=(0 0 0; 0 1 0)

(3)

由此可知，3條相同的分支將會產(chǎn)生3個約束力偶且共同作用到動平臺上。若設(shè)立一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系OXYZ位于靜平臺中央(圖1)，則動平臺所承受來自3個分支的3個約束螺旋可統(tǒng)一表述為

(4)

(5)

(6)

其中

d=6-λ

式中M——機(jī)構(gòu)整體自由度d——機(jī)構(gòu)階數(shù)

λ——機(jī)構(gòu)公共約束數(shù)

n——機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)之和

g——機(jī)構(gòu)運(yùn)動副個數(shù)

fi——運(yùn)動副i具有的自由度

v——機(jī)構(gòu)中除去公共約束后的冗余約束數(shù)

考慮λ=0和v=1，有

M=6(14-15-1)+15+1=4

(7)

因此初始構(gòu)型有4個自由度，為三平一轉(zhuǎn)(3T1R)機(jī)構(gòu)。

1.2 動平臺拓?fù)溲莼?/h3>

初始構(gòu)型的動平臺上有3個繞中心點(diǎn)P周向布置的萬向鉸接結(jié)構(gòu)，如圖3a所示。然后，借鑒文獻(xiàn)[17-18]中拓?fù)鋬?yōu)化思想，在此將初始構(gòu)型動平臺上的3個轉(zhuǎn)動副軸心沿徑向方向往中心處不斷平移靠攏，如圖3b所示。重復(fù)此步驟，使動平臺上的轉(zhuǎn)動副軸線到動平臺中心的距離無限縮小，最終使3個轉(zhuǎn)動副的軸線重合，如圖3c所示。為保證3條支鏈的運(yùn)動具有完全對稱性，使末端3個鉸接桿處于同一平面，為此采用兩種不同樣式鉸接桿，如圖3d所示。

圖3 動平臺演化示意圖Fig.3 Evolution schematic of mobile platform1.彎折桿 2.直桿

1.3 目標(biāo)構(gòu)型

經(jīng)拓?fù)溲莼螅?個末端鉸接桿鉸接于點(diǎn)P，形成復(fù)合鉸鏈，得到目標(biāo)構(gòu)型如圖4所示。由于動平臺演化成了一鉸接點(diǎn)，其失去了繞Z軸的轉(zhuǎn)動自由度，此時，該機(jī)構(gòu)末端鉸接點(diǎn)具有3個自由度，分別是沿X、Y、Z3個坐標(biāo)軸的平動。特別需指出，本文中拓?fù)溲莼椒ㄅc文獻(xiàn)[17-18]中的拓?fù)浣雕顑?yōu)化方法存在一定區(qū)別，本文機(jī)構(gòu)通過拓?fù)溲莼O(shè)計(jì)后，其自由度發(fā)生了變化，且未改變機(jī)構(gòu)運(yùn)動及結(jié)構(gòu)的對稱性。

圖4 目標(biāo)構(gòu)型機(jī)構(gòu)簡圖Fig.4 Schematic of target configuration

圖5 含末端鉸接桿的三平動并聯(lián)機(jī)器人Fig.5 Three-translational parallel manipulator with end hinged rods1.靜平臺 2.轉(zhuǎn)動叉 3.減速器裝置 4.驅(qū)動電機(jī) 5.主動臂 6.軸承 7.被動桿 8.末端鉸接桿1 9.末端執(zhí)行器 10.末端鉸接桿2 11.高速攝像機(jī)

1.4 機(jī)器人虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)

基于上述分析，設(shè)計(jì)出一種含末端鉸接桿的并聯(lián)機(jī)器人，虛擬樣機(jī)如圖5所示。靜平臺上的3個豎直轉(zhuǎn)動副圍繞靜平臺中心周向彼此相隔120°均勻分布。每條支鏈包含5個轉(zhuǎn)動副，且3條支鏈的末端鉸接于一點(diǎn)，形成復(fù)合鉸鏈。當(dāng)3個轉(zhuǎn)動叉上的電機(jī)驅(qū)動時，末端執(zhí)行器可以實(shí)現(xiàn)三維移動輸出。需要說明的是，由于轉(zhuǎn)動叉上的電機(jī)繞一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，而并未隨整條支鏈做大范圍空間運(yùn)動，故其不會帶來太大的運(yùn)動慣量，這對整體系統(tǒng)的動力學(xué)性能有一定影響，但影響并不大。該機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡潔緊湊，制造成本低，在3D打印運(yùn)動執(zhí)行模塊設(shè)計(jì)及其他高速作業(yè)場合，如紡織/食品行業(yè)高速分揀、電子封裝等，具有較好的應(yīng)用價值。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析

2.1 位置逆解分析

圖6 機(jī)構(gòu)支鏈閉環(huán)及靜平臺俯視圖Fig.6 Branch chain closed loop of mechanism and top view of fixed platform

末端參考點(diǎn)P在靜坐標(biāo)系下坐標(biāo)記為PO(x,y,z)。在俯視狀態(tài)下Z向坐標(biāo)值可不考慮，從而將點(diǎn)P在靜坐標(biāo)系OXY下的投影點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至局部坐標(biāo)系Oxiyi中，其坐標(biāo)為

(8)

(9)

θi正負(fù)與點(diǎn)P在俯視狀態(tài)下的位置有關(guān)。例如在局部坐標(biāo)系{S1}中，如圖6b所示的位置，點(diǎn)P在坐標(biāo)系Ox1y1中的第一象限，此時θ1取正值。

在坐標(biāo)系OXYZ下，有

(10)

(11)

(12)

化簡式(12)可得

Ai+Bisinαi+Cicosαi=0 (i=1,2,3)

(13)

其中

考慮到機(jī)構(gòu)的實(shí)際裝配，最終可得

(14)

αi取逆時針轉(zhuǎn)動為正方向。

假設(shè)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動軌跡為

(15)

不失一般性，現(xiàn)給定機(jī)構(gòu)的一組尺度參數(shù)為La=0.1 m，Lb=0.25 m，Lc=0.6 m，R=0.3 m，r=0.1 m，將式(15)分別代入式(14)與式(9)中，得到3個主動臂的轉(zhuǎn)角隨時間變化曲線，以及3條支鏈繞點(diǎn)Ai處軸線的轉(zhuǎn)角隨時間變化曲線，如圖7所示。

圖7 轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.7 Angle variation curves vs time

由圖7可看出，轉(zhuǎn)角連續(xù)且隨時間呈周期性變化。

2.2 位置正解分析

正解分析是已知機(jī)構(gòu)3個主動臂的輸入角αi，求末端參考點(diǎn)P的三維坐標(biāo)。

正解求解的方法主要有解析法和數(shù)值法兩類。解析法主要通過消元最終得到只含單個未知量的高次方程[19]。數(shù)值法又分為迭代法[20]和優(yōu)化方法[21]，其中優(yōu)化方法是將對非線性方程組的求解轉(zhuǎn)換為對優(yōu)化問題的求解，而數(shù)值法的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型比較簡單，省去了繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。因此，本文采用數(shù)值法中的Newton迭代法[22-23]求解非線性方程組，輸入主動臂轉(zhuǎn)角，通過迭代計(jì)算，求出對應(yīng)的末端參考點(diǎn)位置。

已知末端點(diǎn)位置為(0.2, 0.1,-0.5) m，首先利用逆解式(14)，計(jì)算出在此位置時3個主動臂的轉(zhuǎn)角,得到：α1=2.379 1 rad、α2=0.553 8 rad、α3=0.857 0 rad；然后將得到的3個轉(zhuǎn)角代入

(16)

式中，θi可用x與y表示。經(jīng)牛頓迭代運(yùn)算可得末端點(diǎn)的位置為(0.2,0.1,-0.5) m，可看出，正解的輸出坐標(biāo)與逆解的輸入坐標(biāo)能夠完全對應(yīng)，由此可證明以上關(guān)于位置逆解的推導(dǎo)正確。

2.3 速度分析

矢量OP用u表示，則閉環(huán)矢量方程為

u=lOAi+lAiBi+lBiCi+lCiDi+lDiP

(17)

將式(17)對時間求導(dǎo)可得

(18)

式中k1i——靜平臺Ai處豎直轉(zhuǎn)動副軸線的單位方向矢量

k2i——BiCiDi所在平面的單位法矢量

(19)

寫成矩陣形式

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中J——雅可比矩陣，表征了機(jī)構(gòu)末端速度與主動關(guān)節(jié)速度之間的映射關(guān)系

Jq——逆向雅可比矩陣

Jx——正向雅可比矩陣

2.4 加速度分析

(26)

(27)

對式(18)兩側(cè)再次求導(dǎo)，可得

(28)

(29)

在給出的機(jī)構(gòu)參數(shù)下，將式(15)代入式(26)并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到支鏈繞Ai處軸線轉(zhuǎn)動的角速率關(guān)于時間的變化規(guī)律，如圖8a所示；代入式(19)得到主動臂角速率關(guān)于時間的變化規(guī)律，如圖8b所示；代入式(29)得到主動臂角加速率關(guān)于時間的變化規(guī)律，如圖8c所示。

由圖8可看出，仿真曲線光滑、連續(xù)且無突變，且與前述轉(zhuǎn)角變化曲線呈導(dǎo)數(shù)關(guān)系。由于機(jī)構(gòu)對稱布置，且末端運(yùn)動圓軌跡的圓心位于靜平臺中心所在的豎直直線上，因此仿真曲線隨時間呈周期性變化，由此可判斷機(jī)構(gòu)運(yùn)行平穩(wěn)、連貫。

圖8 角速率與角加速率變化曲線Fig.8 Variation curves of angular velocity and acceleration

3 工作空間與奇異性分析

3.1 理論工作空間分析

機(jī)構(gòu)的理論工作空間是機(jī)構(gòu)動平臺(末端執(zhí)行器)所能到達(dá)的位置點(diǎn)的集合，對于此并聯(lián)機(jī)構(gòu)，亦 即支鏈末端鉸接中心所到達(dá)位置點(diǎn)的集合。采用逐層搜索的方法搜索每一層點(diǎn)，對掃描到的點(diǎn)利用逆運(yùn)動學(xué)關(guān)系求解其對應(yīng)的主動輸入角，若

αi，min≤αi≤αi，max(i=1,2,3)

(30)

即所有被掃描到的點(diǎn)都位于主動臂輸入角范圍內(nèi)，則該點(diǎn)位于理論工作空間內(nèi)，予以保存。由于機(jī)構(gòu)對稱布置，可設(shè)定每個主動臂轉(zhuǎn)角范圍相同，在此均取為-15°≤αi≤150°(i=1,2,3)。將掃描的邊界點(diǎn)取包絡(luò)面，即得到理論工作空間。算法具體步驟如下：① 如圖9所示，首先根據(jù)機(jī)構(gòu)參數(shù)，預(yù)估工作空間的大致范圍，并取一個能夠涵蓋這一范圍的圓柱體。② 用垂直于Z軸的平面將上述圓柱體分成n層間隔為ΔZ的子平面，所有的子平面為相同的圓截面，且大于理論工作空間最大截面處的外接圓，從下往上逐層搜索。③ 采用極坐標(biāo)搜索法，每個平面內(nèi)的每條極徑初值從0開始，逐次增加Δρ，由于受到桿長以及轉(zhuǎn)角范圍的限制，到ρmax停止；極角從0開始逐次增加Δγ到2π停止，接著搜尋下一層，如圖9中的第i-1層所示。④ 將所有子平面邊界點(diǎn)求出之后，再對整體邊界點(diǎn)取外包絡(luò)面，最終形成一個實(shí)體。依據(jù)上述算法，得到機(jī)器人的工作空間如圖10所示。

圖9 工作空間搜索示意圖Fig.9 Search schematic for workspace

圖10 理論工作空間Fig.10 Three-dimensional views of theoretical workspace

3.2 實(shí)際工作空間分析

由于桿件之間可能存在一定約束，有些位置或不能到達(dá)。機(jī)構(gòu)運(yùn)動時，其3條支鏈各自所在平面分別繞靜平臺Ai(i=1,2,3)點(diǎn)處豎直軸轉(zhuǎn)動，且DiP(i=1,2,3)3個桿分層鉸接于P處，當(dāng)末端點(diǎn)運(yùn)動軌跡在靜平臺三頂點(diǎn)外接圓內(nèi)時，不會發(fā)生干涉。當(dāng)末端點(diǎn)運(yùn)動軌跡在靜平臺外接圓外的某一區(qū)域時，由于3個鉸接桿的水平轉(zhuǎn)動副一端位于同一水平面上(圖5)，在運(yùn)動到某一位置時，可能發(fā)生重疊干涉。

圖11 干涉位置分析Fig.11 Interference position analysis

如圖11所示，將機(jī)構(gòu)倒置，Ai(i=1,2,3)連接成等邊三角形。若末端執(zhí)行器在某一平面上按圖中紫色圓周軌跡順時針運(yùn)動，三角形每個頂點(diǎn)處的支鏈會在相鄰兩邊與另一頂點(diǎn)處的支鏈在末端鉸接桿處產(chǎn)生重疊干涉。3條支鏈產(chǎn)生6次干涉情況，當(dāng)末端執(zhí)行器處于點(diǎn)d1時，如A1處的黃色支鏈與A2處的綠色支鏈在邊c上重合，此時兩支鏈的末端鉸接桿產(chǎn)生重疊干涉；當(dāng)末端執(zhí)行器運(yùn)動到點(diǎn)e1時，A1處的黃色支鏈與A3處的藍(lán)色支鏈在邊a上重合，此時兩支鏈的末端鉸接桿產(chǎn)生重疊干涉；同理亦可得出其余4次干涉。經(jīng)分析，可得：①A1處的2次干涉位置之間形成一個夾角∠d1A1e1，末端點(diǎn)的運(yùn)動在此處產(chǎn)生中斷，故圖中夾角對應(yīng)的紅色區(qū)域無法到達(dá)。② 同理，在A2處的2次干涉位置及A3處的兩次干涉位置之間分別形成夾角∠d2A2e2與∠d3A3e3，因此，其各自所對應(yīng)的紅色區(qū)域無法到達(dá)。

綜上所述，當(dāng)末端點(diǎn)在大于Ai(i=1,2,3)外接圓半徑區(qū)域運(yùn)動時，在3處區(qū)域存在干涉。因此在實(shí)際應(yīng)用時可將干涉位置加以識別并避開。

3.3 奇異性分析

機(jī)器人奇異位形分析[24]方法有多種，如運(yùn)動學(xué)法、幾何法、代數(shù)法等。其中，代數(shù)法分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形實(shí)質(zhì)是判斷雅可比矩陣是否滿秩，若不滿秩則機(jī)器人出現(xiàn)奇異。本文基于雅可比矩陣分析該機(jī)構(gòu)的奇異位形。

3.3.1逆向運(yùn)動學(xué)奇異

當(dāng)逆向雅可比矩陣Jq奇異時，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于逆向運(yùn)動學(xué)奇異，此時det(Jq)=0，即

(31)

(1)當(dāng)lCiDi與lBiCi重合時，即∠BiCiDi=0,只要有1條支鏈出現(xiàn)此種情況，連桿lBiCi與轉(zhuǎn)動叉之間，桿與桿之間則產(chǎn)生干涉，而在實(shí)際設(shè)計(jì)中不會出現(xiàn)這種情況。

(2)當(dāng)lCiDi與lBiCi共線時，即∠BiCiDi=π，可得到3種可能奇異位形，如圖12所示。

圖12 逆向運(yùn)動學(xué)奇異Fig.12 Reverse kinematics singularities

3.3.2正向運(yùn)動學(xué)奇異

圖13 正向運(yùn)動學(xué)奇異Fig.13 Forward kinematics singularities

3.3.3復(fù)合奇異

若機(jī)構(gòu)正向雅可比矩陣Jx與逆向雅可比矩陣Jq均奇異，則機(jī)構(gòu)會出現(xiàn)復(fù)合奇異位形的情況。經(jīng)以上分析可知，該機(jī)構(gòu)不會出現(xiàn)復(fù)合奇異位形。

4 性能分析及多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 靈巧度指標(biāo)

利用雅可比矩陣條件數(shù)為指標(biāo)來評價機(jī)器人的靈巧度，故一般也稱為靈巧度指標(biāo)[26]，定義為

(32)

一般多將κJ的倒數(shù)1/κJ作為衡量機(jī)構(gòu)性能的指標(biāo)，定義為運(yùn)動學(xué)局部靈巧度，其值越大越好，通過研究其在工作空間內(nèi)的分布情況，可了解機(jī)構(gòu)在不同位姿下的運(yùn)動性能變化情況。以前述尺度參數(shù)(以下同)為例進(jìn)行分析，如圖14所示，圖14a～14c為末端點(diǎn)在不同位置時的構(gòu)型圖，圖14e為在理論工作空間中靈巧度的四維分布圖，圖14d、14f為在不同截面上靈巧度的等高線分布圖?？煽闯觯酵行?，機(jī)構(gòu)運(yùn)動性能越好。

圖14 構(gòu)型圖與靈巧度指標(biāo)分布Fig.14 Configuration maps and dexterity index distributions

4.2 速度、承載力、剛度指標(biāo)

4.2.1速度指標(biāo)

(33)

其中

J-1=Jf

式中Jf——并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動學(xué)雅可比矩陣

(34)

令輸入速度矢量為單位矢量

(35)

(36)

4.2.2承載力指標(biāo)

承載力是并聯(lián)機(jī)構(gòu)重要的性能之一，它決定了機(jī)構(gòu)能否支撐作用在動平臺上的外力。

廣義力和雅可比矩陣有直接關(guān)系。根據(jù)文獻(xiàn)[28]，作用在動平臺上的外力F和主動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力τ有關(guān)系

F=JTτ

(37)

承載力即定義為當(dāng)驅(qū)動力矢量τ的模為1時，外力矢量F模的極值，即矩陣JJT的最大、最小特征值的開方

(38)

圖15 性能指標(biāo)分布Fig.15 Distribution diagrams of performance indices

同樣期望最小承載力越大越好，即取最小承載力分析。圖15b為不同平面上的最小承載力指標(biāo)等高線分布圖，可看出越往中心處最小承載力越大，且Z=-0.5 m平面上的承載能力更好。

4.2.3剛度指標(biāo)

由于機(jī)構(gòu)在運(yùn)動時受到外力作用會產(chǎn)生變形，且變形與構(gòu)件剛度有關(guān)，而這些變形相互疊加就會產(chǎn)生較大的誤差，從而影響精度。因此剛度也是評價并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一種重要性能指標(biāo)[29]。由文獻(xiàn)[30]對于對稱式并聯(lián)機(jī)構(gòu)，把每條支鏈中主動臂的剛度視為相等，且令其值為1，可得到機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器變形D與動平臺外力F的關(guān)系為

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同樣定義末端執(zhí)行器的外力矢量的模為1，可得到末端變形的極值為

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預(yù)期的最大變形越小，機(jī)構(gòu)的剛度性能越好，因此，僅考慮最大變形。圖15c為不同平面上的剛度指標(biāo)等高線分布圖，可看出中心處變形量小于邊緣處，且Z=-0.5 m平面上的變形量相對更小。

4.3 多目標(biāo)優(yōu)化

在給定工作空間內(nèi)，由于機(jī)構(gòu)雅可比矩陣隨位形的變化而變化，因此靈巧度、速度、承載力以及變形極值也依賴于機(jī)構(gòu)的位形。在此定義機(jī)構(gòu)靈巧度、速度、承載力以及剛度的全域評價指標(biāo)為

(41)

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式中η(1/κJ)——靈巧度全域均值評價指標(biāo)

ηFmin——最小承載力全域均值評價指標(biāo)

ηDmax——最大變形全域均值評價指標(biāo)

以靜平臺尺寸為基準(zhǔn)，且避免末端鉸接桿重疊，將末端執(zhí)行器參考點(diǎn)的運(yùn)動范圍限制在半徑R=0.3 m的圓柱中，得到工作空間如圖16所示?？紤]轉(zhuǎn)動叉所在軸線，根據(jù)實(shí)際工程要求，選取半徑為r′=0.25 m，高為h=0.2 m的圓柱體為任務(wù)工作空間，記為Wt。同時，鉸接桿長度預(yù)設(shè)為r=0.1 m。

圖16 任務(wù)工作空間示意圖Fig.16 Schematic of task workspace

據(jù)此，該機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化可歸結(jié)為：給定r′和h，確定尺度參數(shù)Lb、Lc、H，使得其任務(wù)工作空間內(nèi)綜合性能最優(yōu)。為滿足設(shè)計(jì)要求，綜合考慮機(jī)構(gòu)的靈巧度、速度、承載力及剛度等指標(biāo)構(gòu)造優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。研究發(fā)現(xiàn)，上述指標(biāo)具有矛盾性，靈巧度、最小速度指標(biāo)以及最小承載力指標(biāo)的數(shù)值越大越好，而最大變形則越小越好。因此為統(tǒng)一變化趨勢，定義子目標(biāo)函數(shù)，使單目標(biāo)值越小越好。

(45)

設(shè)計(jì)變量包括主動臂長度Lb、從動臂長度Lc以及任務(wù)工作空間相對于靜坐標(biāo)系的垂直位置H，記為x=(Lb,Lc,H)。綜合該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及實(shí)際應(yīng)用需求，構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型[31]為

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式中fi(x)——子目標(biāo)函數(shù)

wi——權(quán)重，取w1=0.3，w2=0.1，w3=0.3，w4=0.3

為便于理解設(shè)計(jì)變量對目標(biāo)函數(shù)的影響規(guī)律，利用Matlab求得目標(biāo)函數(shù)與桿長以及H的關(guān)系，如圖17所示。

圖17 目標(biāo)函數(shù)隨尺度參數(shù)變化規(guī)律Fig.17 Variations of objective function with scale parameters

由圖17可看出，目標(biāo)函數(shù)的變化都與從動臂桿長的變化呈正相關(guān)，且在H=-0.50 m和H=-0.55 m時，目標(biāo)函數(shù)的最小值出現(xiàn)在主動臂桿長最大值附近，在H=-0.60 m時，目標(biāo)函數(shù)的最小值出現(xiàn)在主動臂桿長取值范圍之間。進(jìn)一步借助Matlab優(yōu)化工具箱中的遺傳算法[32]求解設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)值，約經(jīng)過70次迭代，最終機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表1。

表1 優(yōu)化后機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)Tab.1 Dimensional parameters of optimized mechanism

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，綜合考慮機(jī)構(gòu)的運(yùn)動性能以及 具備較大的工作空間，選擇表1的第1組數(shù)據(jù)作為最終的尺度參數(shù)。其優(yōu)化前后空間投影視圖如圖18所示，結(jié)果表明，優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)除了具備更好的運(yùn)動性能外，還具有更大的理論可達(dá)工作空間。

圖18 優(yōu)化前后投影視圖Fig.18 Projection views of workspace before and after optimization

5 多體仿真校驗(yàn)

圖19 仿真過程中不同時刻機(jī)構(gòu)的運(yùn)行狀態(tài)Fig.19 Running states of mechanism at different times during simulation process

為驗(yàn)證前述機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與運(yùn)動學(xué)分析的正確性，借助多體軟件ADAMS開展虛擬運(yùn)動仿真。首先，將SolidWorks中的三維虛擬樣機(jī)模型作適當(dāng)簡化后，導(dǎo)入ADAMS中，定義約束并添加驅(qū)動。將第2節(jié)逆運(yùn)動學(xué)中3個主動臂驅(qū)動轉(zhuǎn)角的輸出數(shù)據(jù)，導(dǎo)入ADAMS中，作為主動關(guān)節(jié)的輸入，運(yùn)用其強(qiáng)大的仿真求解功能，進(jìn)行正向運(yùn)動學(xué)分析，仿真輸出過程如圖19所示。將末端跟蹤軌跡與前述期望軌跡對比，可看出，末端執(zhí)行器參考點(diǎn)跟蹤軌跡與期望軌跡完全吻合，從而驗(yàn)證了前述機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與運(yùn)動學(xué)分析的正確性與合理性，為基于該機(jī)構(gòu)的3D打印運(yùn)動模塊制造及其拓展應(yīng)用提供了依據(jù)。

6 結(jié)論

(1)提出了一種拓?fù)溲莼O(shè)計(jì)方法，據(jù)此設(shè)計(jì)出了一種含末端鉸接結(jié)構(gòu)的新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，基于螺旋理論分析可知，機(jī)構(gòu)末端具有三平動(3T)的能力。與現(xiàn)有機(jī)構(gòu)相比，該機(jī)構(gòu)僅含轉(zhuǎn)動副，結(jié)構(gòu)簡潔緊湊，制造成本低。

(2)借助幾何投影法和閉環(huán)矢量法，建立了位置約束方程，推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)位置逆解，并分析了正解；通過求導(dǎo)法建立了速度、加速度映射模型，并得到了速度雅可比矩陣；進(jìn)行了正/逆解數(shù)值驗(yàn)證，為后續(xù)運(yùn)動控制奠定了基礎(chǔ)。

(3)利用分層搜索的思想，得到了該機(jī)構(gòu)理論及實(shí)際可達(dá)工作空間，并對其進(jìn)行了奇異性辨識，結(jié)果表明，在給定的輸入角范圍內(nèi)，只存在逆向運(yùn)動學(xué)奇異。

(4)對機(jī)構(gòu)靈巧度、速度、承載力以及剛度等性能進(jìn)行了系統(tǒng)分析，繪制了相應(yīng)的性能圖譜。據(jù)此構(gòu)造了融合上述指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，完成了多目標(biāo)優(yōu)化，得到了機(jī)構(gòu)最優(yōu)尺度參數(shù)，為后續(xù)實(shí)體樣機(jī)制造提供了重要依據(jù)。在理論分析基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用ADAMS軟件進(jìn)行虛擬仿真，證實(shí)了該并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)可行性和理論分析正確性。