王干緣 沈 逸 黃永華

(上海交通大學(xué)制冷與低溫工程研究所 上海 200240)

1 引言

兩個(gè)相互接觸的固體表面,相互之間的導(dǎo)熱實(shí)際上僅通過(guò)在總面積遠(yuǎn)小于名義接觸面積的離散接觸點(diǎn)完成,從而形成了接觸熱阻。接觸熱阻的存在嚴(yán)重影響接觸界面間熱量的傳遞能力,在實(shí)際工程應(yīng)用中往往產(chǎn)生消極影響。因此,準(zhǔn)確計(jì)算界面間的接觸熱阻并提供經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式,對(duì)涉及接觸熱阻問(wèn)題的固體導(dǎo)熱相關(guān)應(yīng)用設(shè)計(jì)十分必要。

以往對(duì)接觸熱阻的研究可從實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值模擬兩方面歸類(lèi)。Alcock 和Mech[1]于1943 年首先提出界面熱阻的點(diǎn)接觸理論。隨后,Carslaw 和Jaeger[2]建立了圓柱(圓盤(pán))點(diǎn)接觸模型,包括單點(diǎn)接觸模型和多點(diǎn)接觸模型,并認(rèn)為多點(diǎn)接觸模型可視作多個(gè)單點(diǎn)接觸模型的并聯(lián)。Fenech 和Rohsenow[3]進(jìn)一步細(xì)化圓柱(圓盤(pán))點(diǎn)接觸模型,并給出了圓柱接觸點(diǎn)的換熱系數(shù)和接觸熱阻計(jì)算方法。Cooper 等[4]根據(jù)接觸面的溫度分布和邊界條件給出了更加詳細(xì)的圓柱模型接觸熱阻計(jì)算方法?？紤]到實(shí)際接觸表面上各接觸點(diǎn)可能呈現(xiàn)一定的弧度,Clausing 和Chao[5]引入了半球模型,并給出了半球模型接觸熱阻表達(dá)式。Bahrami 等[6]假設(shè)接觸面的觸點(diǎn)發(fā)生彈性變形,建立了適合預(yù)測(cè)粗糙表面接觸壓力分布的半球模型。Williams 和Major[7]則將接觸點(diǎn)假設(shè)為錐型,提出了圓錐計(jì)算模型。Yovanovich[8]以及Shai 和Santo[9]對(duì)比了上述接觸模型,指出圓錐模型更加符合實(shí)際情況。常用的商用仿真軟件也被很多學(xué)者用作計(jì)算接觸熱阻的工具。如Rostami 等[10]利用ANSYS 軟件建立了接觸面的三維模型,分析了接觸點(diǎn)幾何形狀、尺寸等因素對(duì)接觸熱阻的影響。沈軍等[11]利用Delaunay 三角剖分算法對(duì)溫度場(chǎng)進(jìn)行了非結(jié)構(gòu)預(yù)處理,并計(jì)算了常溫下的接觸熱阻,發(fā)現(xiàn)采用30°錐角的圓錐單點(diǎn)模型時(shí)模擬結(jié)果精度最高。吳登倍[12]采用Msc.Patran/Nastran 軟件對(duì)0—300 ℃下接觸表面形貌和接觸熱阻大小之間的關(guān)系進(jìn)行了數(shù)值模擬分析,結(jié)果表明接觸熱阻大小和粗糙表面的高度成正比,和溫度成反比。陸敏恂等[13]基于ANSYS 軟件選用矩形微凸體模型對(duì)25 ℃下MOSFET 功率管和散熱片之間的接觸熱阻進(jìn)行了模擬計(jì)算,也證實(shí)接觸熱阻隨著粗糙度的增大而增加,隨著間隙的導(dǎo)熱介質(zhì)的熱導(dǎo)率增大而減小。

文獻(xiàn)調(diào)研表明,以往研究主要是針對(duì)室溫以上的接觸熱阻數(shù)值模擬,鮮有對(duì)低溫溫區(qū)接觸熱阻進(jìn)行計(jì)算的報(bào)導(dǎo),更缺乏低溫下典型材料的計(jì)算關(guān)聯(lián)式。本研究分別使用蒙特卡羅法、數(shù)值積分法和有限元法,對(duì)10—30 K 溫區(qū)內(nèi)低溫工程上常用的黃銅、304 不銹鋼和紫銅3 種材料的接觸熱阻值進(jìn)行計(jì)算,結(jié)合與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析,嘗試給出相關(guān)經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式。

2 接觸熱阻實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)

為了評(píng)估后文所開(kāi)展的多種數(shù)值計(jì)算方法的準(zhǔn)確性,本研究搭建了低溫接觸熱阻實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)并進(jìn)行了數(shù)據(jù)測(cè)量。下面簡(jiǎn)要介紹該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的構(gòu)成,各參量測(cè)量精度、實(shí)驗(yàn)樣品以及相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

所搭建的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1 所示。其中測(cè)試段基于穩(wěn)態(tài)疊片法測(cè)量接觸熱阻,在其兩端分別設(shè)置熱源和冷源。熱源為25Ω 電熱絲,冷源則選用G-M 制冷機(jī)。各儀器設(shè)備如表1 所示。

表1 主要儀器設(shè)備情況Table 1 Primary equipment and devices

圖1 測(cè)量低溫接觸熱阻的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.1 Experimental system for measuring TCR

2.2 實(shí)驗(yàn)樣品

實(shí)驗(yàn)被測(cè)樣品材質(zhì)為黃銅、304 不銹鋼以及紫銅。其中,黃銅和紫銅組包含3 種粗糙度,分別為Ra1.6、Ra3.2 以及Ra6.3,304 不銹鋼組有Ra3.2 一種粗糙度;Ra3.2 黃銅組包含0.8—1.4 N·m 4 個(gè)不同螺栓扭矩工況,其他兩個(gè)粗糙度以及紫銅、304 不銹鋼組的螺栓扭矩均固定為1.0 N·m。接觸界面溫度范圍為10—30 K。共計(jì)30 組實(shí)驗(yàn)工況。

2.3 測(cè)量結(jié)果

上述各工況下的接觸熱阻測(cè)量值如表2 所列。需要說(shuō)明的是,紫銅材料由于其性質(zhì)特殊,從測(cè)量結(jié)果發(fā)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)疊片法不適用。

表2 接觸熱阻實(shí)驗(yàn)測(cè)量值Table 2 Experimentally measured value of TCR

3 低溫接觸熱阻的數(shù)值計(jì)算

3.1 蒙特卡羅法

蒙特卡羅法是把概率作為研究對(duì)象的數(shù)值模擬方法,通過(guò)構(gòu)建一個(gè)符合系統(tǒng)概率特性的概率模型,對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)性試驗(yàn)并獲得其特性。將這一思想應(yīng)用于接觸熱阻計(jì)算,即:將具有一定粗糙度的固體表面視為若干隨機(jī)高度粗糙峰的集合,粗糙峰的高度符合一定的分布規(guī)律。當(dāng)兩個(gè)平面接觸時(shí),統(tǒng)計(jì)上下表面的粗糙峰接觸情況。若給定一個(gè)界面間距,則高度大于這一間距的粗糙峰發(fā)生接觸產(chǎn)生形變,而高度小于這一間距的粗糙峰則不發(fā)生接觸。對(duì)發(fā)生接觸的兩個(gè)粗糙峰之間的接觸熱阻采用單點(diǎn)模型進(jìn)行計(jì)算,并將所有單點(diǎn)接觸熱阻視為并聯(lián),從而可得到整個(gè)界面的總接觸熱阻。應(yīng)當(dāng)指出,上述方法需遵循以下基本假設(shè):

(1) 熱流垂直通過(guò)粗糙接觸表面且恒定不變,名義接觸面積為Am,不考慮徑向漏熱;

(2) 兩粗糙表面接觸時(shí),將其等效為一粗糙表面和一剛性平面接觸,且接觸時(shí)發(fā)生純塑性變形,如圖3a 所示;

(3) 粗糙峰分布均勻,且形變和傳熱過(guò)程互相獨(dú)立,即視為一個(gè)離散系統(tǒng);

(4) 上下表面粗糙峰斜率分別為a1、a2,材料硬度分別為H1、H2,兩粗糙面粗糙度分別為σ1、σ2,粗糙峰峰點(diǎn)密度分別為η1、η2,峰高z的概率密度函數(shù)φ(z)服從正態(tài)分布。每個(gè)粗糙峰的單點(diǎn)模型如圖2 所示。

圖2 蒙特卡羅法接觸熱阻模型Fig.2 Monte Carlo thermal contact resistance model

蒙特卡羅法計(jì)算接觸熱阻的步驟如下:

由于將兩粗糙表面接觸等效為一粗糙表面和一剛性平面接觸,因此需要計(jì)算等效后的接觸面的等效參數(shù)。由文獻(xiàn)[14]可知,各等效參數(shù)的計(jì)算方法如下:

等效粗糙度:

式中:σ、σ1、σ2分別表示接觸面等效粗糙度和上、下表面粗糙度,μm。

等效斜率:

式中:a、a1、a2分別表示接觸面粗糙峰等效斜率和上、下表面粗糙峰斜率。

等效硬度:

式中:H、H1、H2分別表示接觸面等效布氏硬度和上、下表面布氏硬度,×9.8 MPa。

根據(jù)假設(shè),粗糙峰高度z的概率密度函數(shù)φ(z)服從正態(tài)分布:

式中:位置參數(shù)μ為0,即圖2b 中的x軸,表示粗糙面輪廓高度均值。尺度參數(shù)σ即前述等效粗糙度,為采樣范圍內(nèi)粗糙峰高度z的均方差:

式中:z為輪廓高度,m;m為輪廓高度均值,m。

在實(shí)際應(yīng)用中,一般采用輪廓算數(shù)平均偏差Ra表示粗糙度:

由文獻(xiàn)[15]的研究結(jié)果可知,在進(jìn)行數(shù)值模擬估算時(shí),σ可以近似為Ra的倍,如圖3 所示。

圖3 σ 和Ra 隨磨損時(shí)間變化曲線(xiàn)[16]Fig.3 σ and Ra vs.wear time[16]

用隨機(jī)方法模擬N個(gè)服從φ(z)分布的隨機(jī)數(shù)zi作為等效界面粗糙峰高度。其中,N可以用面積乘以粗糙峰密度得到:

式中:Am為名義接觸面積,m2;η為粗糙峰密度,個(gè)/m2。

由文獻(xiàn)[16]可知,粗糙峰密度可按照式(8)計(jì)算:

式中:a為接觸面粗糙峰等效斜率;σ為等效粗糙度,μm。

粗糙峰峰頂與剛性平面的距離δi為:

式中:d為兩個(gè)接觸界面的間隙距離,m;zi為粗糙峰高度,m。

當(dāng)δi＞0 時(shí),此粗糙峰與剛性平面發(fā)生接觸,接觸區(qū)圓半徑ri和接觸面積Aci以及接觸載荷Fi分別為:

式中:H為接觸面等效布氏硬度,×9.8 MPa。

在獲得每個(gè)接觸點(diǎn)的幾何參數(shù)后,便可使用單點(diǎn)接觸模型計(jì)算每個(gè)接觸點(diǎn)的接觸熱阻。需要指出的是,圖2b 中的a就是上文中的接觸區(qū)圓半徑r。

根據(jù)上述計(jì)算方法,采用MATLAB 編寫(xiě)計(jì)算程序來(lái)獲取與實(shí)驗(yàn)工況對(duì)應(yīng)的接觸熱阻值。圖4a 為同一工況下采用圓柱模型、半球模型和圓錐模型3 種單點(diǎn)模型的計(jì)算結(jié)果比較,圖4b 為采用圓柱模型時(shí)3種不同壓力和粗糙度工況下接觸熱阻隨溫度的變化曲線(xiàn)。處于篇幅考慮,此處省略用圓柱模型、半球模型和圓錐模型3 種幾何模型的數(shù)學(xué)表征,詳細(xì)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]、[6-7]。由圖4 可見(jiàn):(1)在所涉及的10—30 K 溫區(qū)實(shí)驗(yàn)工況范圍內(nèi),使用蒙特卡羅法計(jì)算得到的結(jié)果在10-4—10-3量級(jí)間;(2)接觸熱阻始終隨溫度升高而減小,且溫度越高,減小幅度越小,最終趨于平緩;(3)同一單點(diǎn)模型下,壓力變化對(duì)接觸熱阻的影響不明顯,而粗糙度的影響比較顯著。更大的粗糙度意味著更小的實(shí)際接觸面積。壓力影響不明顯的原因可能是實(shí)驗(yàn)壓力取值范圍較小,對(duì)應(yīng)的界面形變不充分;(4)同一工況下,圓柱模型和半球模型的計(jì)算結(jié)果十分接近,而圓錐模型計(jì)算值則整體偏小1倍左右。

圖4 蒙特卡羅法計(jì)算黃銅接觸熱阻變化曲線(xiàn)Fig.4 Brass thermal contact resistance change curves obtained by using Monte Carlo method

3.2 積分法

積分法和蒙特卡羅法類(lèi)似,需要構(gòu)建粗糙峰高度正態(tài)分布概率密度函數(shù)。假設(shè)兩個(gè)接觸界面之間的間隙距離為d,當(dāng)粗糙峰高度z＞d時(shí),該峰將和剛性平面發(fā)生接觸。根據(jù)上述概率密度函數(shù)可以積分計(jì)算粗糙峰發(fā)生接觸的概率,與名義接觸面積的乘積即為產(chǎn)生接觸的粗糙峰總數(shù),進(jìn)而計(jì)算總接觸面積和總接觸載荷。與蒙特卡羅法不同的是,積分法將所有接觸峰視為一致,通過(guò)總接觸面積除以接觸峰數(shù),獲得平均的接觸半徑和熱流通道半徑等幾何參數(shù)。通過(guò)單點(diǎn)接觸熱阻模型計(jì)算平均點(diǎn)接觸熱阻,并聯(lián)各點(diǎn)接觸熱阻即可得到總接觸熱阻。由于將所有接觸點(diǎn)視為同樣大小,該方法不具備一定的隨機(jī)性和普適性。圖5給出兩種數(shù)值計(jì)算方法在同一工況下隨溫度變化的接觸熱阻曲線(xiàn)。可以看出,積分法計(jì)算得到的接觸熱阻變化規(guī)律和蒙特卡羅法基本一致,但計(jì)算數(shù)值更大。由于蒙特卡羅法考慮到了每個(gè)粗糙峰之間的隨機(jī)性影響,因此認(rèn)為相對(duì)于積分法更加符合實(shí)際情況。但不管是何種數(shù)值計(jì)算方法它們都更適合用作初步預(yù)測(cè),無(wú)法準(zhǔn)確模擬低溫工況下各物理量的變化情況,因?yàn)樗鼈兾纯紤]溫度降低所帶來(lái)的影響。

圖5 同一工況下蒙特卡羅法和積分法計(jì)算黃銅接觸熱阻結(jié)果比較Fig.5 Comparison between brass thermal contact resistance of Monte Carlo and integral method under same condition

4 低溫接觸熱阻的有限元仿真

選用COMSOL 軟件的固體傳熱物理場(chǎng)模塊進(jìn)行有限元仿真計(jì)算,所建立的模型和網(wǎng)格劃分如圖6 所示。該形狀結(jié)構(gòu)和實(shí)驗(yàn)器件保持一致,其中部分細(xì)節(jié)處如螺帽、螺紋等忽略。上下兩段工件和四周的絲桿選用材料庫(kù)內(nèi)置的304 不銹鋼材料,中間兩塊樣品為自行設(shè)置的黃銅材料,接觸面設(shè)置熱接觸物理場(chǎng)用以模擬接觸熱阻。由于材料的熱導(dǎo)率和溫度有關(guān),因此采用美國(guó)NIST 材料低溫物性庫(kù)給出的式(13)[17]計(jì)算,對(duì)于黃銅材料式中各項(xiàng)系數(shù)見(jiàn)表3。模型同時(shí)考慮了材料隨溫度變化的熱膨脹/收縮效應(yīng)。網(wǎng)格劃分采用物理場(chǎng)控制的自由四面體網(wǎng)格,并對(duì)絲桿和連接處進(jìn)行了細(xì)化處理。經(jīng)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證后,選取的完整網(wǎng)格包含150 611 個(gè)域單元、39 710 個(gè)邊界元和4 084個(gè)邊單元。

表3 黃銅熱導(dǎo)率計(jì)算公式系數(shù)Table 3 Brass thermal conductivity calculation formula coefficient

圖6 有限元模型和網(wǎng)格劃分Fig.6 Finite element simulation model and model meshing

該接觸熱阻模擬主要涉及以下多個(gè)影響因素:溫度、氣隙熱導(dǎo)率、輻射傳導(dǎo)率、表面粗糙度、表面粗糙峰斜率、接觸壓力、布氏硬度、表面輻射率以及熱摩擦。需要說(shuō)明的是,氣隙熱導(dǎo)率一般在常溫常壓實(shí)驗(yàn)或者各類(lèi)特殊氣體環(huán)境中需要考慮,但本研究計(jì)算模型所引用的實(shí)驗(yàn)不僅是低至5 K 的低溫環(huán)境,而且處于10-4量級(jí)的高真空狀態(tài),因此氣隙熱傳導(dǎo)可以忽略不計(jì)。輻射傳導(dǎo)率設(shè)定為灰體漫射平行面,表面輻射率來(lái)自材料物性。熱摩擦采用默認(rèn)的Charron 關(guān)系。選用的樣品材料分別為黃銅、304 不銹鋼以及紫銅,各邊界條件參數(shù)如表4 所示,其中粗糙峰斜率和布氏硬度均為查閱資料選取的較為合適的值。使用參數(shù)化掃描對(duì)所有組合情況進(jìn)行計(jì)算。

表4 邊界條件參數(shù)設(shè)置Table 4 Simulation parameter setting after pressure correction

圖7 為放大顯示的黃銅樣品部位溫度分布云圖?？梢园l(fā)現(xiàn),當(dāng)存在接觸熱阻時(shí),樣品的接觸表面上下會(huì)形成明顯的溫度階躍。當(dāng)熱流方向?yàn)樽陨隙聲r(shí),頂部的夾持工件(上熱流計(jì))溫度整體明顯高于底部工件(下熱流計(jì)),引起溫度變化的原因主要發(fā)生在樣品接觸面上。

圖7 樣品部位局部溫度分布Fig.7 Local temperature distribution at sample site

使用COMSOL 的派生值功能計(jì)算接觸表面的平均接觸熱導(dǎo)(W/(m2·K)),即接觸熱阻的倒數(shù)。在研究溫度、粗糙度以及壓力等影響因素時(shí),選定接觸面硬度為140 ×9.8 MPa 和粗糙峰斜率為。據(jù)此,所研究工況范圍內(nèi)的黃銅接觸熱阻計(jì)算值在1.07 ×10-3—1.31 ×10-2m2·K/W 之間。圖8 給出了同一工況下有限元仿真結(jié)果和前述兩種數(shù)值計(jì)算方法結(jié)果的對(duì)比。不難看出,不同方法計(jì)算的接觸熱阻隨溫度的變化規(guī)律基本一致,但相較于數(shù)值計(jì)算方法,有限元仿真得出的結(jié)果要大得多,與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較情況將在后文闡述。

圖8 黃銅接觸熱阻數(shù)值計(jì)算和有限元仿真結(jié)果比較Fig.8 Comparison of numerical calculation and simulation results of brass thermal contact resistance

通過(guò)仿真模型具體分析各個(gè)因素對(duì)接觸熱阻的影響。圖9a 為保持k=,P=0.288 MPa,Hb=140 ×9.8 MPa 不變,不同粗糙度下接觸熱阻隨溫度的變化情況;圖9b 為在此基礎(chǔ)之上Thot=40 K 時(shí)接觸熱阻隨粗糙度的直接變化曲線(xiàn)?？梢钥闯?(1) 接觸熱阻隨著溫度的升高而減小,這是因?yàn)樵诘蜏卣婵窄h(huán)境下,固體材料間的接觸熱阻主要和材料自身熱導(dǎo)率、硬度、彈性模量等物理性質(zhì)相關(guān)。隨著溫度升高,黃銅的熱導(dǎo)率增大,同時(shí)硬度和彈性模量減小,樣品自身也會(huì)產(chǎn)生一定熱膨脹,使得實(shí)際接觸面積增大,在兩者的共同作用下,接觸熱阻顯著減小。(2) 接觸熱阻隨粗糙度增大而增大,在1.6—6.3 μm 范圍內(nèi)隨粗糙度呈現(xiàn)近似線(xiàn)性變化趨勢(shì)。這是因?yàn)殡S著粗糙度的增大,接觸界面越發(fā)不平整,實(shí)際接觸面積越小,熱流通道面積越小,從而導(dǎo)致傳熱能力降低,接觸熱阻相應(yīng)增大。Ra6.3 粗糙度下的接觸熱阻比Ra1.6粗糙度高出近2 倍,可見(jiàn)粗糙度對(duì)接觸熱阻影響程度顯著,但仍不及溫度的影響。

圖9 溫度和粗糙度對(duì)黃銅接觸熱阻的影響Fig.9 Influence of T and σ on brass thermal contact resistance in simulation

圖10a 為保持k=,σ=3.2 μm,Hb=140 ×9.8 MPa 不變,不同壓力下接觸熱阻隨溫度的變化情況,圖10b 為在此基礎(chǔ)之上Thot=40 K 時(shí)接觸熱阻隨壓力的直接變化曲線(xiàn)?？梢园l(fā)現(xiàn):(1) 隨著壓力改變,接觸熱阻隨溫度的變化趨勢(shì)也始終保持一致;(2) 接觸熱阻隨壓力的增大而減小,這是因?yàn)榻佑|界面受到壓力越大,擠壓產(chǎn)生的形變?cè)矫黠@,實(shí)際接觸面積越大,但其變化幅度相較于粗糙度要小很多。同時(shí),其減小速率隨著壓力的增大逐漸減緩,這是因?yàn)殡S著壓力的增大,實(shí)際接觸面積越來(lái)越大,可供接觸面形變的空間也越來(lái)越少。在本研究引述的實(shí)驗(yàn)工況范圍內(nèi),壓力引起的變化幅度也小于溫度。

圖10 溫度和壓力對(duì)黃銅接觸熱阻的影響Fig.10 Influence of T and P on brass thermal contact resistance in simulation

以上研究的樣品均為黃銅材料,為了探究比較不同材料的接觸熱阻特性,還對(duì)304 不銹鋼和紫銅材料進(jìn)行了模擬計(jì)算。保持其他因素一致,即控制k==3.2 μm,P=0.288 MPa 不變。表5 給出了3 種材料的接觸熱阻計(jì)算值?？梢园l(fā)現(xiàn),在同一工況下,304 不銹鋼的接觸熱阻值是黃銅的數(shù)倍之多。此外,紫銅的接觸熱阻值趨近于0,遠(yuǎn)小于前兩種材料,且接觸熱阻值幾乎不隨溫度產(chǎn)生變化。綜合比對(duì)3 種材料,認(rèn)為材料自身的熱導(dǎo)率在其中起到了關(guān)鍵作用。在10—30 K 溫度范圍內(nèi),黃銅的熱導(dǎo)率是304 不銹鋼的5—6 倍,而相應(yīng)地,仿真計(jì)算得到的黃銅的接觸熱阻正好是304 不銹鋼的1/5—1/6。而紫銅的熱導(dǎo)率要遠(yuǎn)高于不銹鋼和黃銅,且在20 K 左右其數(shù)值存在一個(gè)峰值,接近1 500 W/(m·K),因此在該溫區(qū)內(nèi)測(cè)量紫銅材料的接觸熱阻遠(yuǎn)比其它材料要困難。

表5 3 種典型金屬材料接觸熱阻有限元仿真結(jié)果對(duì)比Table 5 Simulation comparison of thermal contact resistances of three materials

5 低溫接觸熱阻的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式建立

有限元仿真建模計(jì)算能夠給出較為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)并且使得研究不同因素對(duì)接觸熱阻的影響成為可能,但其缺點(diǎn)是建模和計(jì)算費(fèi)時(shí)費(fèi)力,不利于工程實(shí)際應(yīng)用。為了更加方便地獲得接觸熱阻數(shù)據(jù),經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式是一種受歡迎的表達(dá)形式。下文將給出黃銅材料在10—30 K 溫區(qū)內(nèi)的接觸熱阻計(jì)算關(guān)聯(lián)式。

從仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn),接觸熱阻隨溫度的變化較好地遵循Rc=y0+A1e-T/t1規(guī)律,且其3 個(gè)參數(shù)y0,A1及t1中,無(wú)論工況如何變化,t1基本保持不變,t1的取值越大,曲線(xiàn)越平緩。其它2 個(gè)參數(shù)y0和A1均隨著各個(gè)影響因素的變化而改變。y0為T(mén)趨向于無(wú)窮大時(shí)Rc最終趨近于的數(shù)值;A1為曲線(xiàn)下降的速率,A1越大,接觸熱阻減小得越快。

結(jié)合仿真數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律分析,參數(shù)A1和t1均為常數(shù),只需確定y0的表達(dá)式。利用仿真數(shù)據(jù)分別繪制y0關(guān)于4 個(gè)影響因素的圖像,并分別擬合得到式(14)—(17)。除了粗糙度σ為線(xiàn)性表達(dá)式外,其余3 個(gè)變量均使用y0=y+A1e-x/t函數(shù),擬合效果如圖11 所示。

圖11 y0 和各變量擬合關(guān)系Fig.11 Fitting relationship between y0 and each variable

代入其它數(shù)據(jù)確定并修正未知參數(shù),最終得到的黃銅接觸熱阻計(jì)算關(guān)聯(lián)式如下:

式中:T為接觸面溫度,K;σ為接觸面粗糙度,μm;P為載荷壓力,MPa;Hb為接觸面布氏硬度,×9.8 MPa;a為接觸面粗糙峰斜率。

使用該關(guān)聯(lián)式可以計(jì)算各實(shí)驗(yàn)工況下黃銅材料的接觸熱阻值,實(shí)驗(yàn)和關(guān)聯(lián)式計(jì)算結(jié)果比對(duì)如圖12 所示。兩者誤差最大偏差24.15%,平均偏差11.41%,基本滿(mǎn)足該溫區(qū)內(nèi)黃銅低溫接觸熱阻的工程設(shè)計(jì)需求。

圖12 黃銅接觸熱阻實(shí)驗(yàn)和關(guān)聯(lián)式計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of experimental and correlation calculation results of brass thermal contact resistance

式(18)適用于黃銅材料在10—30 K 溫區(qū)內(nèi)的接觸熱阻預(yù)測(cè)。根據(jù)上文所述,在相同的溫度和壓力工況下,粗糙度和硬度接近的材料,其接觸熱阻和熱導(dǎo)率基本成反比關(guān)系。常溫下黃銅的布氏硬度為100—180 ×9.8 MPa,而304 不銹鋼的布氏硬度一般略小于187 ×9.8 MPa,兩者接近。因此,在黃銅接觸熱阻關(guān)聯(lián)式的基礎(chǔ)上,對(duì)于粗糙度相同、硬度接近的304 不銹鋼,其接觸熱阻可以通過(guò)下式進(jìn)行間接計(jì)算:

式中:R,k,Rb,kb分別為目標(biāo)材料和黃銅的接觸熱阻和熱導(dǎo)率。根據(jù)美國(guó)NIST 數(shù)據(jù)庫(kù)給出的兩種材料的熱導(dǎo)率計(jì)算公式,可以進(jìn)一步得到熱導(dǎo)率比值和溫度之間的關(guān)系,如式(20)所示。

因此,用于計(jì)算10—30 K 溫區(qū)內(nèi)304 不銹鋼接觸熱阻的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式如下:

圖13 304 不銹鋼接觸熱阻實(shí)驗(yàn)測(cè)量和關(guān)聯(lián)式計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.13 Comparison of experimental measurement and correlation calculation results of 304 stainless steel thermal contact resistance

6 結(jié)論

本研究使用蒙特卡羅法、積分?jǐn)?shù)值方法和有限元仿真方法分別計(jì)算了不同材料在10—30 K 溫區(qū)內(nèi)的接觸熱阻數(shù)值,比較和分析了它們的適用條件和相互差異?；谟邢拊ǐ@得的仿真數(shù)據(jù)和分離變量法推導(dǎo),給出了適用于該溫區(qū)黃銅和304 不銹鋼的接觸熱阻經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式,并經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證。得到如下結(jié)論:

(1)蒙特卡羅法和積分?jǐn)?shù)值方法之間的接觸熱阻計(jì)算值偏差大,僅可用于初步的估算,并不能準(zhǔn)確地計(jì)算低溫接觸熱阻。

(2)相較于常規(guī)數(shù)值計(jì)算,有限元仿真可以考慮接觸壓力、材料物性、硬度和熱輻射等作用因素,得出的接觸熱阻值更接近實(shí)際測(cè)量結(jié)果。

(3)所給出的黃銅接觸熱阻計(jì)算經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式在多種工況下的最大誤差和平均誤差分別為24.15%和11.41%,基本滿(mǎn)足該溫區(qū)內(nèi)黃銅接觸熱阻的預(yù)測(cè)需求。

(4)真空低溫環(huán)境下,硬度、粗糙度等機(jī)械性質(zhì)接近的材料,其接觸熱阻與熱導(dǎo)率近似成反比關(guān)系?；诖说贸龅?04 不銹鋼在同溫區(qū)內(nèi)的接觸熱阻經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)最大偏差小于9.95%。