王小農(nóng)，黃靖宇

（1.同濟(jì)大學(xué)國家磁浮交通工程技術(shù)研究中心，上海 201804；2.同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804）

在新型軌道交通發(fā)展多樣化的進(jìn)程中，高速磁浮列車以轉(zhuǎn)彎半徑小、爬坡能力強、對環(huán)境友好等特點，成為最具競爭力的地面交通運輸工具之一［1-6］。相對成熟的列車磁浮技術(shù)包括電磁懸?。╡lectromagnetic suspension，EMS）和 電 動 懸 浮（electrodynamic suspension，EDS）。EMS磁浮列車懸浮間隙較小（8～10 mm），其懸浮和導(dǎo)向系統(tǒng)采用主動控制［7-8］。超導(dǎo)電動磁浮列車作為EDS磁浮技術(shù)的一種，懸浮間隙較大（約100 mm），懸浮和導(dǎo)向系統(tǒng)采用被動控制。超導(dǎo)線圈無鐵心、質(zhì)量輕、磁場強、能耗低，并具備懸浮、導(dǎo)向、驅(qū)動的作用［9］，因此就超導(dǎo)電動磁浮列車相關(guān)技術(shù)展開分析。

日本山梨磁浮試驗線以ML型電動磁浮列車為試驗樣車，通過安裝在導(dǎo)軌上及車輛兩側(cè)的長定子直線電機驅(qū)動，車載超導(dǎo)線圈起勵磁作用，軌道內(nèi)側(cè)線圈起電樞作用。懸浮力與導(dǎo)向力來自于車輛兩側(cè)，在導(dǎo)軌兩側(cè)的側(cè)壁上排列著多組懸浮和導(dǎo)向繞組，車輛的超導(dǎo)磁場在導(dǎo)軌側(cè)壁的短路繞組中產(chǎn)生感應(yīng)電流和感應(yīng)磁場，維持車體運行過程中的穩(wěn)定懸浮和導(dǎo)向。ML型電動磁浮系統(tǒng)軌道結(jié)構(gòu)的懸浮與導(dǎo)向繞組為“8”字形零磁通線圈，確保了不受牽引繞組的影響。導(dǎo)軌產(chǎn)生的懸浮和導(dǎo)向磁場為感應(yīng)磁場，列車運行速度越高，懸浮力與導(dǎo)向力越大，當(dāng)列車速度低于懸浮和導(dǎo)向臨界速度時，超導(dǎo)磁浮車輛所產(chǎn)生的懸浮力和導(dǎo)向力較小，不足以支撐列車懸浮和導(dǎo)向，車輛依靠安裝在轉(zhuǎn)向架上的支撐車輪和導(dǎo)向車輪輔助運行。因此，開展超導(dǎo)電動磁浮列車的懸浮和導(dǎo)向特性研究，揭示超導(dǎo)線圈與軌道線圈之間的作用力關(guān)系，對于超導(dǎo)電動磁浮列車的穩(wěn)定控制以及電動磁浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化具有重要意義。

王志濤等［10］以日本MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車為研究對象，僅考慮了超導(dǎo)線圈與單個軌道線圈正對的情況，研究了電磁力隨橫向位移、懸浮位移的變化規(guī)律以及軌道線圈感應(yīng)電流的形成機理。Cai等［11］探討了MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車運行過程中影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵參數(shù)，并計算和分析了列車發(fā)生豎向位移和側(cè)向位移時列車的相關(guān)特性，所建立的模型也僅考慮了轉(zhuǎn)向架單側(cè)的作用，未建立完整的磁浮列車轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)模型。電動磁浮列車?yán)秒姶帕崿F(xiàn)推進(jìn)、懸浮和導(dǎo)向，目前計算電磁力的常用方法是電磁場方法和電路方法，但大多數(shù)磁場計算有限元軟件無法實現(xiàn)與運動相關(guān)的計算問題［5］，因此大多數(shù)學(xué)者選擇電路元件來表示實際系統(tǒng)中的元件及其相對運動，以電路的方式模擬電磁系統(tǒng)或機電系統(tǒng)的瞬態(tài)和動態(tài)性能［12］。Say［13］采用電路理論分析了旋轉(zhuǎn)電機的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)性能，Elliott［14］采用動態(tài)電路理論分析了電磁發(fā)射裝置的瞬態(tài)和動態(tài)性能。加拿大磁懸浮研究團(tuán)隊采用動態(tài)電路理論計算了連續(xù)薄板的懸浮性能，并且將動態(tài)電路理論與諧波分析相結(jié)合，確定了連續(xù)薄板的瞬態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能［15-16］。因此，結(jié)合動態(tài)電路理論和磁場理論，建立超導(dǎo)電動磁浮列車單個轉(zhuǎn)向架的場-路-運動耦合模型，開展MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車相關(guān)電磁關(guān)系及作用力關(guān)系的研究。

以MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車為研究對象，分析超導(dǎo)線圈與軌道線圈組成系統(tǒng)的電路一般表達(dá)式，并建立單個轉(zhuǎn)向架與軌道線圈的場-路-運動耦合數(shù)值模型。隨后，分析不同垂向位移和橫向位移下超導(dǎo)線圈與軌道線圈之間作用力的關(guān)系特性，揭示無交叉連接與交叉連接“8”字形軌道線圈之間的關(guān)系，并研究列車運行過程中浮阻比與導(dǎo)阻比變化特性。

1 懸浮和導(dǎo)向系統(tǒng)一般電路數(shù)值模型

根據(jù)MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車地面軌道“8”字形零磁通線圈（下文簡稱“8”字形線圈）與超導(dǎo)線圈的位置結(jié)構(gòu)關(guān)系，超導(dǎo)線圈與“8”字形線圈系統(tǒng)中的電流矩陣、電壓矩陣、電感矩陣、電阻矩陣分別如下所示：

式中：Iv、Ev分別為超導(dǎo)線圈的電流和電壓子矩陣；Ig、Eg分別為“8”字形線圈的電流和電壓子矩陣；Lv、Lg分別為超導(dǎo)線圈和“8”字形線圈的電感子矩陣；Lvg和Lgv分別為超導(dǎo)線圈和“8”字形線圈的互感子矩陣；Rv、Rg分別為超導(dǎo)線圈和“8”字形線圈的電阻子矩陣。鑒于超導(dǎo)線圈的特性，式（4）中的Rv為零元素矩陣。定義變換矩陣，如下所示：

式中：Tv、Tg分別為超導(dǎo)線圈和“8”字形線圈電流和電壓的變換子矩陣，其結(jié)構(gòu)形式取決于線圈之間的連接方式。若僅“8”字形線圈的連接方式發(fā)生變化而超導(dǎo)線圈的結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，則Tv為單位對角陣。

基于能量守恒定律，變換后系統(tǒng)的電流、電壓表達(dá)式以及變換后系統(tǒng)的電感矩陣、電感變化率矩陣和電阻矩陣表達(dá)式分別如下所示：

式中：I和I′分別為系統(tǒng)變換前后的電流矩陣；E和E′分別為系統(tǒng)變換前后的電壓矩陣；L和L′分別為系統(tǒng)變換前后的電感矩陣；G和G′分別為系統(tǒng)變換前后的電感變化率矩陣；R和R′分別為系統(tǒng)變換前后的電阻矩陣?；诔瑢?dǎo)電動磁浮列車系統(tǒng)電路相關(guān)參數(shù)表達(dá)式，假設(shè)在超導(dǎo)電動磁浮車輛一側(cè)由m個超導(dǎo)磁體（SCM）與n個“8”字形線圈相互作用而產(chǎn)生懸浮力和導(dǎo)向力，其中n個“8”字形線圈包括2n個線圈，上部線圈從1到n編號，下部線圈從n+1到2n編號。超導(dǎo)電動磁浮列車單個轉(zhuǎn)向架與“8”字形線圈結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 超導(dǎo)電動磁浮列車單個轉(zhuǎn)向架與“8”字形線圈Fig.1 Single bogie and figure-eight-shaped coil of superconducting electrodynamic maglev train

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，超導(dǎo)高速磁浮系統(tǒng)的電壓方程如下所示：

超導(dǎo)電動磁浮列車運行過程為三維運動，采用vx、vy、vz分別表示車輛在x、y、z方向上的運行速度，將式（11）轉(zhuǎn)化為以下形式的動態(tài)電壓方程：

根據(jù)能量法，超導(dǎo)磁浮系統(tǒng)中作用在車輛上的3個力分量fx、fy及fz表達(dá)式如下所示：

式中：fx為超導(dǎo)磁浮系統(tǒng)運行方向產(chǎn)生的推進(jìn)力；fy為超導(dǎo)磁浮系統(tǒng)水平方向的導(dǎo)向力；fz為超導(dǎo)磁浮系統(tǒng)豎直方向的懸浮力。

2 超導(dǎo)電動磁浮列車動態(tài)電路模型

2.1 無交叉連接“8”字形線圈電路模型

無交叉連接“8”字形線圈與超導(dǎo)線圈結(jié)構(gòu)模型如圖2a所示，電路簡化模型如圖2b所示。

圖2 無交叉連接“8”字形線圈與超導(dǎo)線圈結(jié)構(gòu)和電路模型Fig.2 Structure and circuit model of non-cross connection figure-eight-shaped coil and superconducting coil

每個分支具有電阻R和電感L，代表8”字形線圈的單個環(huán)路。上下回路之間的互感為M，移動超導(dǎo)磁體和“8”字形線圈的上下回路之間的耦合分別由電壓Ea和Eb表示。Ea、Eb的表達(dá)式以及系統(tǒng)電壓方程如下所示：

因此，由式（13）、（14）、（15）可得超導(dǎo)線圈所受電磁力fx、fy及fz的表達(dá)式，如下所示：

式（16）―（21）中：Is和v分別為超導(dǎo)線圈的電流和速度；Msa和Msb分別為超導(dǎo)線圈與“8”字形線圈上下回路之間的互感；i為“8”字形線圈中循環(huán)的電流；Ia和Ib分別為在上下環(huán)路中流動的電流。

2.2 交叉連接“8”字形線圈電路模型

超導(dǎo)線圈與安裝在導(dǎo)軌兩側(cè)的交叉連接“8”字形線圈結(jié)構(gòu)模型如圖3a所示，電路模型如圖3b所示?；芈?和2之間的互感與回路3和4之間的互感均為M。Ij（j=a，b，c，d）和Ej（j=a，b，c，d）分別為環(huán)路中的流動電流和感應(yīng)電壓，電路中流動的網(wǎng)狀電流分別為i1、i2和i3，其中i2為穿過導(dǎo)軌的交叉連接電纜中的電流，實現(xiàn)超導(dǎo)磁浮系統(tǒng)導(dǎo)向功能。回路3和4中的感應(yīng)電壓分別為Ec和Ed，超導(dǎo)線圈與回路3和4之間的互感分別為Msc和Msd表示，關(guān)系式如下所示：

圖3 交叉連接“8”字形線圈與超導(dǎo)線圈結(jié)構(gòu)和電路模型Fig.3 Structure and circuit model of cross connection figure-eight-shaped coil and superconducting coil

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，如圖3b所示網(wǎng)格電壓方程如下所示：

求解方程（24）―（26），超導(dǎo)電動磁浮列車運行過程中超導(dǎo)線圈所受電磁力的3個分量表達(dá)式如下所示：

式中：y1與y2分別為超導(dǎo)電動磁浮列車運行時超導(dǎo)線圈兩側(cè)與軌道側(cè)壁之間的橫向位移。由式（27）―（29）可知，交叉連接“8”字形線圈懸浮和導(dǎo)向結(jié)構(gòu)的電磁力分量取決于“8”字形線圈之間流動的電流。當(dāng)超導(dǎo)電動磁浮列車處于軌道中心位置時，交叉連接“8”字形線圈的懸浮和導(dǎo)向系統(tǒng)成為2個無交叉連接“8”字形線圈，并且列車運行過程中所受到的電磁力由兩部分組成，一部分是由交叉連接“8”字形線圈產(chǎn)生的，另一部分是由單個“8”字形線圈和氣隙差異形成的。

3 超導(dǎo)電動磁浮列車懸浮和導(dǎo)向特性分析

以MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車為例進(jìn)行懸浮和導(dǎo)向特性分析，相關(guān)參數(shù)如表1所示［10］。由第2節(jié)知，懸浮和導(dǎo)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)各方向所受的電磁力與超導(dǎo)線圈和“8”字形線圈各環(huán)之間的互感及其不同方向的互感變化率有關(guān)，因此根據(jù)聶以曼公式計算超導(dǎo)線圈與“8”字形線圈之間的互感［17］。結(jié)合無交叉連接“8”字形線圈電路模型和交叉連接“8”字形線圈電路模型，建立單個轉(zhuǎn)向架的場-路-運動耦合數(shù)值模型，并采用Matlab編寫該模型仿真程序。

表1 MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車參數(shù)Tab.1 Parameters of superconducting electrodynamic maglev train of MLX01 type

3.1 單個轉(zhuǎn)向架的場-路-運動耦合模型及數(shù)值驗證

MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車懸浮和導(dǎo)向系統(tǒng)受力分析如圖4所示，其中fpq(p=x，y，z，q=R，L)表示不同方向左右兩側(cè)的受力。文獻(xiàn)［18］中對日本山梨磁浮試驗線“8”字形線圈無交叉連接時轉(zhuǎn)向架單側(cè)的懸浮力和導(dǎo)向力進(jìn)行了現(xiàn)場測量試驗，因此本研究中采用現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)驗證單個轉(zhuǎn)向架場-路-運動耦合數(shù)值模型的正確性。采用單個轉(zhuǎn)向架的場-路-運動耦合數(shù)值模型，對不同時速下的垂向力、縱向力以及側(cè)向力進(jìn)行計算，并將速度為150、200、250、300 km·h-1下的垂向力、縱向力以及側(cè)向力與山梨試驗線實測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，如圖5～7所示?？梢钥闯?，在忽略現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)和單個轉(zhuǎn)向架數(shù)值模型誤差的基礎(chǔ)上，本模型計算值與山梨試驗線實測值基本吻合，驗證了本模型的正確性。

圖4 懸浮和導(dǎo)向系統(tǒng)受力分析Fig.4 Force analysis of levitation and guidance system

圖5 垂向力計算值與實測值對比Fig.5 Comparison between calculated value and measured value of vertical force

3.2 超導(dǎo)電動磁浮列車懸浮和導(dǎo)向特性分析

圖6 縱向力計算值與實測值對比Fig.6 Comparison between calculated value and measured value of longitudinal force

MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車處于軌道中心時，單側(cè)超導(dǎo)線圈與“8”字形線圈之間的橫向位移為18.5 cm。超導(dǎo)線圈與“8”字形線圈之間的位置關(guān)系以及垂向位移和橫向位移定義如圖8所示。假設(shè)左側(cè)橫向位移為13.5 cm，右側(cè)橫向位移為23.5 cm，轉(zhuǎn)向架的垂向位移變化范圍為0～15 cm，車輛速度為135 m·s-1。圖9為轉(zhuǎn)向架左右兩側(cè)懸浮力與垂向位移關(guān)系。從圖9可以看出，MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車運行過程中懸浮力主要由無交叉連接下左右兩側(cè)“8”字形線圈提供，而交叉連接下懸浮力較小。同時，無交叉連接下左側(cè)的懸浮力明顯大于右側(cè)的懸浮力，因此超導(dǎo)轉(zhuǎn)向架會發(fā)生側(cè)滾現(xiàn)象，影響列車的運行穩(wěn)定性。圖10為轉(zhuǎn)向架左右兩側(cè)導(dǎo)向力與垂向位移的關(guān)系。當(dāng)垂向位移為零時，無交叉連接下左右兩側(cè)的導(dǎo)向力均為零。圖11為交叉連接與無交叉連接下導(dǎo)向力與垂向位移關(guān)系。由于兩側(cè)初始橫向位移不相等，因此垂向位移為零時交叉連接“8”字形線圈提供導(dǎo)向力，大小為50 kN左右。當(dāng)垂向位移小于5 cm時，無交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力明顯小于交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力，但垂向位移大于5 cm時，無交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力急劇增大，并且無交叉連接和交叉連接下在垂向位移為5 cm時導(dǎo)向力基本相等。在MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車運行過程中，垂向位移一般為1～4 cm，因此車輛正常運行時交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力作為車輛導(dǎo)向的主要作用力。

圖8 垂向位移與橫向位移定義Fig.8 Definition of vertical displacement and lateral displacement

圖9 交叉連接與無交叉連接下轉(zhuǎn)向架左側(cè)和右側(cè)懸浮力與垂向位移關(guān)系Fig.9 Relationship between levitation force and vertical displacement under cross and non-cross connection on left and right sides of bogie

圖10 交叉連接與無交叉連接下轉(zhuǎn)向架左側(cè)和右側(cè)導(dǎo)向力與垂向位移關(guān)系Fig.10 Relationship between guidance force and vertical displacement under cross and noncross connection on left and right sides of bogie

圖11 交叉連接與無交叉連接下導(dǎo)向力與垂向位移關(guān)系Fig.11 Relationship between guidance force and vertical displacement under cross and noncross connection

圖7 橫向力計算值與實測值對比Fig.7 Comparison between calculated value and measured value of transverse force

假設(shè)左側(cè)橫向位移變化范圍為18.5～6.5 cm，右側(cè)橫向位移變化范圍為18.5～30.5 cm，車輛垂向位移為5 cm。圖12為交叉連接與無交叉連接下轉(zhuǎn)向架左右兩側(cè)懸浮力與橫向位移關(guān)系。由圖12可知，隨著橫向位移的變化，交叉連接下產(chǎn)生的懸浮力基本趨近于零，車輛運行過程中的懸浮力主要由無交叉連接下產(chǎn)生的懸浮力提供，因此超導(dǎo)轉(zhuǎn)向架會發(fā)生側(cè)滾現(xiàn)象，影響列車的運行穩(wěn)定性。圖13為交叉連接與無交叉連接下轉(zhuǎn)向架左右兩側(cè)導(dǎo)向力與橫向位移關(guān)系。隨著橫向位移的變化，無交叉連接下左側(cè)導(dǎo)向力逐步增大，右側(cè)導(dǎo)向力逐步減小，交叉連接下左右兩側(cè)導(dǎo)向力均增大，并且左側(cè)導(dǎo)向力增大速度大于右側(cè)。圖14為交叉連接與無交叉連接下導(dǎo)向力與橫向位移關(guān)系。由圖14可知，交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力大于無交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力，并且2種情況下導(dǎo)向力與橫向位移成正比例關(guān)系。

圖12 交叉連接與無交叉連接下轉(zhuǎn)向架左側(cè)和右側(cè)懸浮力與橫向位移關(guān)系Fig.12 Relationship between levitation force and lateral displacement under cross and non-cross connection on left and right sides of bogie

圖13 交叉連接與無交叉連接下轉(zhuǎn)向架左側(cè)和右側(cè)導(dǎo)向力與橫向位移關(guān)系Fig.13 Relationship between guidance force and lateral displacement under cross and non-cross connection on left and right sides of bogie

圖14 交叉連接與無交叉連接下導(dǎo)向力與橫向位移關(guān)系Fig.14 Relationship between guidance force and lateral displacement under cross and noncross connection

圖15為當(dāng)垂向位移5.0 cm時不同橫向位移下的導(dǎo)阻比和浮阻比變化特性。當(dāng)橫向位移偏移為零時，浮阻比達(dá)到最大值108.718 6，并且浮阻比隨著橫向位移的增大而逐漸減小。當(dāng)橫向位移約為4.0 cm時，導(dǎo)阻比達(dá)到最大值53.63，并且隨著橫向位移的增大導(dǎo)阻比呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。圖16為當(dāng)橫向位移13.5 cm時不同垂向位移下導(dǎo)阻比和浮阻比變化特性。垂向位移為零時，浮阻比為零；當(dāng)垂向位移為2.0 cm左右時，浮阻比達(dá)到最大值110.570 0；當(dāng)垂向位移大于2.0 cm時，浮阻比隨著垂向位移的增大而減小。同時，導(dǎo)阻比隨著垂向位移的增大逐漸呈下降趨勢。

圖15 導(dǎo)阻比和浮阻比與橫向位移關(guān)系Fig.15 Relationship between guidance-drag ratio and lateral displacement and between levitation-drag ratio and lateral displacement

圖16 導(dǎo)阻比和浮阻比與垂向位移關(guān)系Fig.16 Relationship between guidance-drag ratio and vertical displacement and between levitationdrag ratio and vertical displacement

4 結(jié)論

（1）MLX01型超導(dǎo)電動磁浮列車運行過程中懸浮力主要由無交叉連接下左右兩側(cè)“8”字形線圈產(chǎn)生，交叉連接下“8”字形線圈產(chǎn)生的懸浮力較小，并且列車偏離軌道中心時無交叉連接下左右兩側(cè)的懸浮力明顯不等，因此轉(zhuǎn)向架會發(fā)生側(cè)滾現(xiàn)象，影響列車的運行穩(wěn)定性。

（2）當(dāng)垂向位移逐漸增大時，無交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力明顯小于交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力，但隨著垂向位移的增大，無交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力急劇增大。車輛正常運行時垂向位移較小，因此交叉連接下產(chǎn)生的導(dǎo)向力作為車輛導(dǎo)向的主要作用力。

（3）隨著橫向位移的變化，無交叉連接下橫向位移減小的一側(cè)導(dǎo)向力逐步增大，另一側(cè)導(dǎo)向力逐步減小，交叉連接下左右兩側(cè)導(dǎo)向力均增大，并且橫向位移減小的一側(cè)導(dǎo)向力增大速度大于另一側(cè)。

（4）當(dāng)橫向位移為零時，浮阻比達(dá)到最大值，并且浮阻比隨著橫向位移的增大而逐漸減小，但導(dǎo)阻比隨著橫向位移的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。當(dāng)垂向位移為零時，浮阻比為零，隨著垂向位移的逐漸增大，浮阻比先增大后減小，導(dǎo)阻比隨著垂向位移的增大逐漸減小.

作者貢獻(xiàn)聲明：

王小農(nóng)：模型構(gòu)建，程序編寫，論文撰寫。

黃靖宇：研究方向提出，學(xué)術(shù)指導(dǎo)，論文指導(dǎo)。