◎鄭 言

(國(guó)防科技大學(xué)文理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410022)

隨機(jī)分析是概率論的一個(gè)重要分支，它誕生于20世紀(jì)40年代，創(chuàng)始人伊藤清以此獲得1987年沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng).在其獲獎(jiǎng)評(píng)價(jià)中專家指出：隨機(jī)分析可以看作隨機(jī)王國(guó)中的牛頓定律.時(shí)至今日，它在金融、網(wǎng)絡(luò)、監(jiān)測(cè)、生物、醫(yī)學(xué)和圖像處理等方面仍有重要應(yīng)用.2016年3月國(guó)家基金委八大學(xué)部鄭重發(fā)布了“十三五”期間的“優(yōu)先發(fā)展領(lǐng)域及其主要研究方向”.其中，數(shù)學(xué)學(xué)科僅遴選了四個(gè)研究領(lǐng)域，而“隨機(jī)分析方法及其應(yīng)用”赫然在列.基金委強(qiáng)調(diào)這是為了“通過(guò)支持我國(guó)優(yōu)勢(shì)學(xué)科和交叉學(xué)科的重要前沿方向，以及從國(guó)家重大需求中凝練可望取得重大原始創(chuàng)新的研究方向，進(jìn)一步提升我國(guó)主要學(xué)科的國(guó)際地位，提高科學(xué)技術(shù)滿足國(guó)家重大需求的能力.”

研究生作為科研工作的主體，需要熟練運(yùn)用現(xiàn)代化的科學(xué)研究方法.因此，將隨機(jī)分析課程納入研究生培養(yǎng)計(jì)劃，是提升研究生創(chuàng)新能力十分重要的環(huán)節(jié).然而，我們的調(diào)研表明，國(guó)內(nèi)很多高校并不具備開(kāi)設(shè)這門(mén)課程的條件，即便開(kāi)設(shè)了這一課程，也存在著種種問(wèn)題.

隨機(jī)分析實(shí)質(zhì)上是一門(mén)“高端”的數(shù)學(xué)課程，以高等數(shù)學(xué)、概率論、隨機(jī)過(guò)程等選修課為基礎(chǔ)，不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的分析學(xué)功底，而且也要求學(xué)生具備相當(dāng)?shù)碾S機(jī)思維能力.對(duì)于很多研究生而言，“隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)”并不是一句玩笑話，那么在隨機(jī)過(guò)程之上的隨機(jī)分析就更是難以攀登的高峰了.

隨機(jī)分析數(shù)理分析性強(qiáng)，學(xué)習(xí)周期長(zhǎng).大多研究生對(duì)基礎(chǔ)性、理論性、抽象性強(qiáng)的數(shù)學(xué)課是抗拒的，而隨機(jī)分析在這些方面還高于它的所有先修課程.學(xué)生要想入門(mén)這一課程，起碼要學(xué)習(xí)隨機(jī)積分的定義和相關(guān)性質(zhì)，一般這就需要課程的一半學(xué)時(shí)了，而這部分內(nèi)容十分不好理解，需要學(xué)生對(duì)微積分中的積分理論、概率論中的期望、條件期望與收斂，隨機(jī)過(guò)程與布朗運(yùn)動(dòng)等知識(shí)點(diǎn)有一定的體會(huì)，在此基礎(chǔ)上再細(xì)致琢磨隨機(jī)積分的構(gòu)建理論.可以說(shuō)這部分教學(xué)內(nèi)容是純數(shù)學(xué)的，即便面向數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生也頗有難度，更遑論其他專業(yè)的研究生了.

一門(mén)工科研究生需要選修的課程，應(yīng)該具備應(yīng)用要素，而隨機(jī)分析的應(yīng)用環(huán)節(jié)介入遲，理解難度高.這其實(shí)仍然與隨機(jī)分析的學(xué)習(xí)周期有關(guān)，即便只是想要泛泛了解與課程相關(guān)的應(yīng)用例子，也要學(xué)習(xí)隨機(jī)微分方程和擴(kuò)散的相關(guān)知識(shí)，這一般就要到課程的收尾階段了.隨機(jī)分析課程的尷尬之處就在于此，在前面的授課內(nèi)容雖然可以點(diǎn)出多處數(shù)學(xué)上的閃光點(diǎn)，但是在應(yīng)用上乏善可陳，這對(duì)大多研究生的意志品質(zhì)是一個(gè)很大的考驗(yàn)，如何不被茫茫的數(shù)學(xué)理論消磨興趣，堅(jiān)持到最后領(lǐng)略應(yīng)用的風(fēng)景？

其實(shí)，隨機(jī)分析課程在教學(xué)上所面臨的挑戰(zhàn)不止于此，還有課程建設(shè)滯后、師資隊(duì)伍薄弱、課時(shí)緊張、教材不趁手等.為此我們提出以下幾點(diǎn)應(yīng)對(duì)措施.

一、明確教學(xué)對(duì)象，制定合理的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)規(guī)劃

隨機(jī)分析的教學(xué)對(duì)象可以簡(jiǎn)單分為兩類：一類是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，另一類是其他專業(yè)的學(xué)生.前者理論功底好，對(duì)應(yīng)用的興趣一般，更希望能深入地學(xué)習(xí)隨機(jī)分析的理論知識(shí),而后者大都是沖著隨機(jī)分析的應(yīng)用性選課的，他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)只是高數(shù)和概率論，一般沒(méi)有學(xué)過(guò)隨機(jī)過(guò)程.因此，有條件的學(xué)校應(yīng)該至少開(kāi)設(shè)兩個(gè)班，將這些學(xué)生分流.學(xué)校如果不能做到這點(diǎn)，就要采用靈活細(xì)化的分層教學(xué)，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，針對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、個(gè)人意愿、專業(yè)方向等要素進(jìn)行分層，在確保完成教學(xué)大綱基本任務(wù)的前提下，制定更細(xì)化的教學(xué)目標(biāo)和配套的教學(xué)規(guī)劃，在兼顧大多數(shù)學(xué)生的需求下，提升課程的深度和受眾性，讓不同基礎(chǔ)的學(xué)生都能跟上課程進(jìn)度，學(xué)有所得，學(xué)有所獲，引導(dǎo)不同學(xué)生朝著自己的優(yōu)勢(shì)方向發(fā)展.在具體的實(shí)施方案上，教師應(yīng)該用問(wèn)卷調(diào)查等方式掌握選課學(xué)生的實(shí)際情況，尤其是把握他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與選課預(yù)期之間的矛盾，以做到有的放矢，制定有明確指向性的教學(xué)目標(biāo)；應(yīng)該把握教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)規(guī)劃的一致性，做到“一以貫之”，將教學(xué)規(guī)劃細(xì)化為長(zhǎng)期、中期、短期規(guī)劃，試圖在不同的學(xué)習(xí)階段保持學(xué)生的學(xué)習(xí)激情；應(yīng)該將知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化、教學(xué)內(nèi)容模塊化，以便靈活地實(shí)施新學(xué)期的教學(xué)規(guī)劃；應(yīng)該持續(xù)建設(shè)案例庫(kù)和習(xí)題庫(kù)，針對(duì)不同的教學(xué)目標(biāo)配套不同的教學(xué)資源.

二、選擇合適的教材

隨機(jī)分析的講義大致可以分為三類：一是面向數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，無(wú)疑這是最難讀的一類教材，一般以建立半鞅的積分理論為目標(biāo)，而基本不涉及應(yīng)用章節(jié)；二是面向非數(shù)學(xué)專業(yè)的一般學(xué)生，此類教材一般在理論部分希望能盡量簡(jiǎn)化，如只介紹最簡(jiǎn)單的布朗運(yùn)動(dòng)積分理論，而將大量篇幅放在應(yīng)用上；三是面向金融專業(yè)的學(xué)生，此類教材在理論上的難度與第二類接近，不過(guò)在應(yīng)用環(huán)節(jié)一般只舉金融方面的例子，素材十分豐富.因此教材的遴選是一個(gè)非常慎重的問(wèn)題，即便是撰寫(xiě)專門(mén)的講義也不能很好地適應(yīng)每年授課對(duì)象都在變化的現(xiàn)實(shí)，一般是要與當(dāng)年的教學(xué)規(guī)劃盡量契合，很多時(shí)候應(yīng)該以一本教材為主，另?yè)駧妆窘滩臑檩o，在課上適時(shí)地布置好閱讀任務(wù)，讓不同層次不同需求的學(xué)生制定不同的閱讀策略.需要指出的是，做教材的比較研究是很有意義的事情，它不僅可以幫助教師找準(zhǔn)教學(xué)目的與教材的對(duì)接點(diǎn)，而且可以豐富教學(xué)內(nèi)容.如不同教材的定義和定理陳述會(huì)有所差別，在定理證明上、內(nèi)容的處理上會(huì)體現(xiàn)更大差別，歸根結(jié)底與作者的傾向性有關(guān).出現(xiàn)分歧的地方教師要特別重視，因?yàn)檫@往往體現(xiàn)同一個(gè)內(nèi)容在不同視角下的不同呈現(xiàn).教師可以從中深挖細(xì)掘，尋覓合適的教學(xué)素材向?qū)W生講授，加深他們的理解.如不同教材里隨機(jī)積分的定義有多種，形式上與被積函數(shù)和積分值有關(guān)，但實(shí)質(zhì)上與鞅論有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，這不是只接觸一種隨機(jī)積分理論就能知道的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí).

三、在教學(xué)設(shè)計(jì)上兼顧大局觀與細(xì)節(jié)感，優(yōu)選教學(xué)內(nèi)容

教師首先將知識(shí)點(diǎn)模塊化，區(qū)分為理論知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)兩類；然后針對(duì)不同的學(xué)生群體將知識(shí)按照了解、識(shí)記、理解、掌握四個(gè)層次劃分，以確定教學(xué)的主次；最后構(gòu)建知識(shí)框圖、標(biāo)出知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生梳理起脈絡(luò)體系，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).簡(jiǎn)單而言，隨機(jī)分析的核心基礎(chǔ)理論知識(shí)是隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程，其他知識(shí)點(diǎn)如果不是為了它們的引入而做的必要準(zhǔn)備，就是在它們基礎(chǔ)上的拓展和應(yīng)用.對(duì)于隨機(jī)積分理論，最重要的是伊藤公式和伊藤等距的建立，關(guān)注于理論的學(xué)生重點(diǎn)是通過(guò)研究這兩個(gè)公式的證明分析布朗運(yùn)動(dòng)(或者半鞅等其他過(guò)程)的哪些性質(zhì)被利用，而關(guān)注于應(yīng)用的學(xué)生重點(diǎn)是熟練掌握這兩個(gè)公式的使用.因此教師除非不講證明，講證明就要點(diǎn)出其中的關(guān)鍵點(diǎn).公式的學(xué)習(xí)不僅要輔以大量訓(xùn)練，而且教師要指出其應(yīng)用的時(shí)機(jī)和小心避免的錯(cuò)誤，以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.教師對(duì)每堂課的結(jié)構(gòu)要有全局設(shè)計(jì)的意識(shí)，在起承轉(zhuǎn)合中突出教學(xué)重點(diǎn)，分散教學(xué)難點(diǎn).教師要恰當(dāng)?shù)卮_定學(xué)生獨(dú)立探究、力所能及的最近發(fā)展區(qū)，精心考量，布置難度適當(dāng)、有思考空間的典型問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境.教師扮演一個(gè)組織者的角色，始終做一個(gè)稱職的引導(dǎo)者，適時(shí)介入，巧以點(diǎn)撥，誘導(dǎo)探究的方向；注重學(xué)生的自我發(fā)展和互相促進(jìn)，讓學(xué)生之間交流成果，對(duì)模糊認(rèn)識(shí)及分歧處進(jìn)行討論，對(duì)照自己的思路深刻總結(jié)；努力為學(xué)生的合作、競(jìng)爭(zhēng)搭建舞臺(tái)，讓他們只要有討論的機(jī)會(huì)就可以放開(kāi)手腳、相互質(zhì)疑、相互探究、相互碰撞，從而相互融會(huì)、相互補(bǔ)充、迸發(fā)思維火花，促進(jìn)創(chuàng)造思維的發(fā)展.經(jīng)過(guò)這樣的教學(xué)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)式、發(fā)散式、啟發(fā)式、研討式等多樣的教學(xué)方式會(huì)多元組合交叉作用發(fā)揮實(shí)效，這不僅打牢了學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新思維能力及從事學(xué)術(shù)研究的品質(zhì).

四、注重隨機(jī)數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成

如果說(shuō)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)隨機(jī)系列數(shù)學(xué)課程的起點(diǎn)，那么隨機(jī)分析就是終點(diǎn).一個(gè)有意思的現(xiàn)象是即便是數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)好的學(xué)生，在學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)時(shí)也會(huì)感覺(jué)困難重重，那么可以想象他們?cè)趯W(xué)習(xí)隨機(jī)分析時(shí)會(huì)遭遇更大的挫折.造成這種問(wèn)題的原因在于，隨機(jī)系列課程與其他數(shù)學(xué)課程不同，需要學(xué)生具備特殊的隨機(jī)數(shù)學(xué)思維.一般而言，我們?cè)谔岬綌?shù)學(xué)思維時(shí)想到的會(huì)是嚴(yán)密的邏輯思維能力、高度的抽象思維能力、豐富的(直觀)想象能力、敏銳深刻的觀察力和洞察力、創(chuàng)造性的思考能力和構(gòu)建能力等，而隨機(jī)數(shù)學(xué)思維其實(shí)也蘊(yùn)含其中，只是需要我們深入地了解隨機(jī)數(shù)學(xué)，洞察其中的精神和本質(zhì).比如樣本空間其實(shí)是抽象的結(jié)合，數(shù)學(xué)期望是抽象的積分，關(guān)于鞅的收斂定理本質(zhì)上是關(guān)于可測(cè)函數(shù)的收斂定理，只有理解了其中的隨機(jī)背景才能更好地理解并應(yīng)用.總之，教師既要注意指出隨機(jī)分析中各個(gè)概念和定理的“分析內(nèi)核”，又要點(diǎn)出如何在隨機(jī)觀點(diǎn)下審視它們，并提供豐富的指導(dǎo)性線索.這樣，教師可以培養(yǎng)學(xué)生逐步形成隨機(jī)數(shù)學(xué)思維，讓他們舉一反三，由老師牽著走變成自覺(jué)地探索和發(fā)現(xiàn).隨機(jī)數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成還應(yīng)輔以習(xí)題訓(xùn)練，教師在總結(jié)解題規(guī)律和技巧的過(guò)程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生具備正確的解題思路，使學(xué)生在此基礎(chǔ)上提升到思維訓(xùn)練的層級(jí)，實(shí)踐橫行思維訓(xùn)練、逆向思維訓(xùn)練、多路思維訓(xùn)練、立體思維訓(xùn)練、側(cè)向思維訓(xùn)練、組合思維訓(xùn)練等.教師可以將典型問(wèn)題拓展，設(shè)置一些開(kāi)放性的題目，設(shè)計(jì)多樣性和多層次的關(guān)聯(lián)問(wèn)題，可以一式多變、一題多問(wèn)、一題多思、一問(wèn)多解，多題一解，引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多層次改造問(wèn)題、拓展問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.這樣的習(xí)題訓(xùn)練可以幫助學(xué)生鍛煉集中思維與擴(kuò)散思維的結(jié)合、求同思維與求異思維的結(jié)合、正向思維與逆向思維的結(jié)合，最終形成確定思維與隨機(jī)思維的結(jié)合.

五、適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史，提高數(shù)學(xué)審美

隨機(jī)分析是一門(mén)很有魅力的學(xué)科，在它發(fā)展的歷程上有很多閃光點(diǎn)，吸引了當(dāng)時(shí)法國(guó)、日本、前蘇聯(lián)最頂尖的一批數(shù)學(xué)家.教師在教授這門(mén)課程的時(shí)候，應(yīng)該點(diǎn)出其中的一些亮點(diǎn)，這樣不僅可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以降低課程的難度.比如布朗運(yùn)動(dòng)的定義離不開(kāi)愛(ài)因斯坦的洞見(jiàn)，這位偉大的科學(xué)家在這里的貢獻(xiàn)是什么？他突破了前人的哪些局限，他為后人做好了哪些準(zhǔn)備？伊藤清為什么要發(fā)明隨機(jī)積分？他的原始動(dòng)機(jī)是什么？為什么在鞅論后面人們又建立了上下鞅、擬鞅、局部鞅、半鞅等理論？-分解為什么十分重要？它們與隨機(jī)積分的發(fā)展歷程有怎樣的關(guān)系？當(dāng)時(shí)閉塞的蘇聯(lián)學(xué)術(shù)界獨(dú)立創(chuàng)立了哪些理論？他們的哪些工作后來(lái)可以視為是與西方數(shù)學(xué)界英雄所見(jiàn)略同？學(xué)生一旦了解了其中的歷史，就能夠自然掌握很多知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)脈絡(luò)了，對(duì)重難點(diǎn)也會(huì)漸漸明晰.學(xué)習(xí)隨機(jī)分析另外一個(gè)途徑是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到其中的數(shù)學(xué)美，而不是單純地把它當(dāng)成一門(mén)由符號(hào)與公式堆砌的數(shù)學(xué)工具.羅素曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)不僅擁有真理，而且擁有至高無(wú)上的美……這種美沒(méi)有繪畫(huà)或是音樂(lè)那樣華麗的裝飾，它可以純潔到崇高的程度，能夠達(dá)到只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的完美境界.”黑格爾也說(shuō)過(guò)，“理性的最高行動(dòng)是一種審美行動(dòng)，我深信，真和善只有在美中間才能水乳交融……一個(gè)人如果沒(méi)有美感，做什么都無(wú)精打采”.因此，在隨機(jī)分析非常多的數(shù)學(xué)定理與公式之下，依然凝聚著豐富的人文精神，寄托了人類對(duì)美的訴求.隨機(jī)分析教學(xué)的一個(gè)高層次內(nèi)容就是以知識(shí)為載體培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，重新認(rèn)識(shí)和審視隨機(jī)分析.如布朗運(yùn)動(dòng)的定義非常簡(jiǎn)單，直觀很容易理解，但是它的數(shù)學(xué)構(gòu)造非常煩瑣，在一般的教科書(shū)中要用大概一節(jié)的內(nèi)容講授.其實(shí)，布朗運(yùn)動(dòng)的定義本身就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美、對(duì)稱美等多方面內(nèi)容，而構(gòu)造過(guò)程本身是將這些不同角度的美逐步呈現(xiàn)出來(lái)，宛如一幅徐徐展開(kāi)的畫(huà)卷，懂得欣賞的人自然會(huì)不厭其煩而樂(lè)在其中.

六、發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用，讓自主學(xué)習(xí)發(fā)揮實(shí)效

隨機(jī)分析是一門(mén)十分前沿的課程，僅靠課堂機(jī)械地傳授知識(shí)不僅枯燥，而且教學(xué)容量也會(huì)受限.教師要想實(shí)現(xiàn)高效的教學(xué)效能，必須激發(fā)學(xué)生的興趣，讓他們對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生自覺(jué)性和積極性.教師要處在科研一線，了解學(xué)術(shù)前沿動(dòng)態(tài)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生適當(dāng)引介最新的發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生在高觀點(diǎn)下解讀知識(shí)點(diǎn)和理解問(wèn)題，讓他們從單純的題目訓(xùn)練中解脫出來(lái)，看到另一道風(fēng)景.為此，教師應(yīng)該努力建設(shè)課程的精品網(wǎng)站，鏈接相關(guān)知識(shí)和參考資料，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入一些教學(xué)或科研的調(diào)研課題，開(kāi)拓學(xué)生的視野，讓他們主動(dòng)獲取一些信息.教師還可以利用網(wǎng)絡(luò)引入互動(dòng)式教學(xué)模式，將教學(xué)平臺(tái)從課堂拓展到互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)，這樣教師不僅可以為學(xué)生答疑解惑，也可以成立小群組成不同的研討小組，讓不同程度不同興趣的學(xué)生在課下得以分流，促進(jìn)學(xué)生化被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí).如近年來(lái)隨機(jī)分析領(lǐng)域最激動(dòng)人心的發(fā)展就是粗糙路徑理論和正則結(jié)構(gòu)理論，它們與傳統(tǒng)的隨機(jī)積分理論迥異，說(shuō)是改頭換面也不為過(guò).在課堂的有限學(xué)時(shí)內(nèi)教師為學(xué)生系統(tǒng)講解這一理論并不現(xiàn)實(shí)，但教師如果能讓學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)其提前了解，那么對(duì)于開(kāi)發(fā)他們的學(xué)習(xí)潛能是十分有意義的.

結(jié)束語(yǔ)

本文旨在對(duì)隨機(jī)分析課程開(kāi)展貼近實(shí)踐的教學(xué)改革：正確處理加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)與提高應(yīng)用能力的關(guān)系、內(nèi)容浩繁與學(xué)時(shí)限制的關(guān)系、理論證明與現(xiàn)象說(shuō)明的關(guān)系、教學(xué)內(nèi)容封閉性與前沿知識(shí)開(kāi)放性的關(guān)系，使隨機(jī)分析教學(xué)更加貼近學(xué)生接受能力、貼近實(shí)際應(yīng)用、貼近計(jì)算機(jī)信息時(shí)代、貼近理論前沿研究水平.