夏洪星

(南通師范高等?？茖W(xué)校，江蘇 南通 226010)

0 引言

將大規(guī)模蜂窩網(wǎng)絡(luò)中基站和用戶的空間位置用二維隨機(jī)點(diǎn)過程建模，再利用隨機(jī)幾何工具分析系統(tǒng)的通信性能已成為一種重要的研究手段[1]。最早的相關(guān)工作是由GILBERT E N[2]提出用隨機(jī)幾何來評估隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的連通性，但關(guān)鍵數(shù)學(xué)框架是最近十幾年才逐步形成[3]，主要研究的是下行傳輸?shù)男旁氡?Signal to Interference and Noise Ratio， SINR)以及覆蓋率(Coverage Probability， CP)。相較于下行，上行分析的情形要復(fù)雜得多，原因是要考慮移動(dòng)用戶的功率控制策略，難以獲得CP的簡潔形式。Novlan等[4]對上行覆蓋率(Uplink CP)進(jìn)行了分析，并獲得了積分形式的結(jié)果。Guruacharya等[5]對下行覆蓋率的近似計(jì)算進(jìn)行了探討，其結(jié)果可以應(yīng)用于較簡單的二重積分的近似，而對具有三到四重積分形式的上行覆蓋率公式卻不適用。

考慮到移動(dòng)用戶上行覆蓋率計(jì)算式?jīng)]有閉合形式，本文采取數(shù)值積分進(jìn)行上行覆蓋率的計(jì)算。由于積分上限為無窮大且復(fù)雜的被積函數(shù)在某些情況下無法確保收斂性[5]，直接使用Matlab(Octave)的數(shù)值積分函數(shù)會(huì)導(dǎo)致超時(shí)或失敗。為此，本文提出首先研究被積函數(shù)的性質(zhì)，然后確定一個(gè)有效積分區(qū)間，從而將無窮積分轉(zhuǎn)化成有限積分，快速得到較高精度的積分值。本文提出的方法不僅可用于上行覆蓋率的計(jì)算，還可以用于其他較復(fù)雜概率型公式的計(jì)算，對于無線通信領(lǐng)域的工程計(jì)算以及科學(xué)研究都具有一定參考價(jià)值。

1 問題描述

假設(shè)用戶位置服從密度為λ的均勻泊松分布，用戶和基站之間采用最近關(guān)聯(lián)原則，每個(gè)資源塊在一個(gè)蜂窩內(nèi)只分配給一個(gè)用戶，則基站可認(rèn)為在用戶所在的泰森多邊形內(nèi)服從均勻分布。移動(dòng)用戶的基礎(chǔ)發(fā)射功率為μ-1，接收端噪聲功率為σ2，路徑損耗指數(shù)為α。考慮到蜂窩邊緣用戶的公平性，采用基于距離的分?jǐn)?shù)功率控制策略，功率控制因子為∈[0,1]。則對于SINR閾值為T的上行鏈路，其上行覆蓋率計(jì)算式為[6]：

pc(T，λ，α，)

(1)

其中，LIz(s)為其他用戶干擾功率的拉普拉斯變換，不考慮目標(biāo)用戶和干擾用戶位置的相關(guān)性(可作為實(shí)際情況的近似)，其表達(dá)式為：

LIz(μTrα(1-))

(2)

因?yàn)槭?1)和式(2)都是無窮上限的反常積分，直接使用Matlab等工具對其進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)，會(huì)出現(xiàn)積分時(shí)間長且報(bào)告迭代步長超長的問題。其原因可以從Guruacharya等[5]分析中看到，對不同的路徑損耗指數(shù)α，通過級數(shù)展開得到的余式不收斂，存在奇點(diǎn)。應(yīng)當(dāng)指出，奇點(diǎn)存在是由于多個(gè)函數(shù)復(fù)合時(shí)導(dǎo)致，應(yīng)去掉部分積分區(qū)間以獲得收斂的結(jié)果。本文提出的辦法是選取合適的積分區(qū)間，將反常積分轉(zhuǎn)化成正常積分。

2 積分區(qū)間選取

對于覆蓋率積分，被積函數(shù)往往是概率密度函數(shù)，其值域在(0，1)上。大部分概率密度函數(shù)的變量只在有限區(qū)間內(nèi)有意義，如均值μ=0，方差σ2=1的正態(tài)分布，隨機(jī)變量概率不為0的區(qū)間在(-5σ2,5σ2)內(nèi)。在已知被積函數(shù)中部分概率分布的情況下，可以采用方差的20～40倍來代替無窮大作為積分上限，從而解決積分難以收斂的問題。但這種方式是經(jīng)驗(yàn)法，存在擴(kuò)大或者縮小積分區(qū)間的風(fēng)險(xiǎn)。因此，本文提出對每一層積分的被積函數(shù)進(jìn)行分析，通過圖像法找出被積函數(shù)有意義的定義區(qū)間，進(jìn)而確定積分上限的取值。這樣既可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間，也能獲得較高的精確度。

對第2節(jié)提出的問題，把式(1)和式(2)合并起來并做適當(dāng)簡化，得到式(3)：

pc(T，λ，α，)

(3)

其中：

(4)

給定一組參數(shù)T=10dB，λ=0.25,α=4,=1,這時(shí)積分值與r無關(guān)，可以畫出積分I1(x)隨x變化的曲線，以得到第二重積分的上限，如圖1所示。發(fā)現(xiàn)當(dāng)x≥20時(shí)積分值基本不再變化，因此可以取20為第二重積分的上限。

圖1 積分I1隨x變化的曲線

接下來考察最外層積分的上限。由于I1>0，式(3)中被積函數(shù)的后半部分是小于1 的有限值，對積分上限的影響不大。因此，主要考慮前面部分函數(shù)的性質(zhì)，即表達(dá)式(5)。

h(r)=re-πλr2-μTrα(1-)σ2

(5)

不失一般性，假設(shè)噪聲功率可以忽略(σ2=0)，其余參數(shù)和前面一致，畫出h(r)圖像，如圖2所示。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r≥10時(shí)，函數(shù)的值可以忽略不計(jì)，因此可以取最外層積分的上限為10。

圖2 被積函數(shù)h(r)隨r變化的曲線

經(jīng)以上分析，最終得到的積分表達(dá)式為式(6)，將反常積分近似表達(dá)為有限定積分形式，將在第4節(jié)驗(yàn)證這一近似計(jì)算的準(zhǔn)確度。值得指出的是，本節(jié)得出的積分限和公式中所設(shè)定的參數(shù)有關(guān)。如果要計(jì)算不同參數(shù)組合下的積分，需要重新設(shè)定，其中較重要的參數(shù)包括路徑損耗指數(shù)α和用戶密度λ。

pc(T，λ，α，)

(6)

3 數(shù)值結(jié)果

首先驗(yàn)證本數(shù)值積分方法的準(zhǔn)確度。雖然式(1)對一般的系統(tǒng)參數(shù)沒有閉合形式，但對于參數(shù)組合α=4,μ=1,=1卻有如下閉合表達(dá)式[6]：

(7)

此外，為了進(jìn)一步確認(rèn)計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度，采用蒙特卡洛仿真得到了覆蓋率。仿真窗口是一個(gè)2 000 m×2 000 m的矩形，通過3 000次的網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)覆蓋次數(shù)來計(jì)算覆蓋率。如圖3 所示，比較了本文所提出的數(shù)值積分方法和解析法、仿真法所得到的覆蓋率隨著SINR門限變化的曲線。結(jié)果顯示，數(shù)值積分和解析法得到的結(jié)果差異可以忽略，而仿真的結(jié)果也和前兩種結(jié)果基本吻合，這充分驗(yàn)證了所提出計(jì)算方法的準(zhǔn)確度。

圖3 數(shù)值積分、解析和仿真計(jì)算覆蓋率比較

其次，如圖4和圖5所示，比較了本文提出的有限積分方法和無窮上限積分方法的計(jì)算時(shí)間，仿真使用的計(jì)算機(jī)配置為Intel(R)Core i5-10210U CPU，8G內(nèi)存。采用Matlab?(Octave)數(shù)值積分函數(shù)integral均可進(jìn)行無窮限的數(shù)值積分，但缺點(diǎn)是耗時(shí)較長。如圖4所示，比較了用戶密度λ=0.25/m2時(shí)，兩種積分方法對不同SIR門限值的計(jì)算時(shí)間，發(fā)現(xiàn)采用有限積分方法的計(jì)算時(shí)間均控制在10 s左右，但是采用無窮限積分則在20 s左右，耗時(shí)約增加一倍。當(dāng)用戶密度減小時(shí)，如λ=1×10-6/m2，如圖5所示，無窮上限積分耗時(shí)最多是有限積分的7倍。這充分說明本方法計(jì)算效率較高，同時(shí)保證了一定的準(zhǔn)確度。

圖4 有限數(shù)值積分和無窮數(shù)值積分計(jì)算時(shí)間比較，用戶密度為0.25/m2

圖5 有限數(shù)值積分和無窮數(shù)值積分計(jì)算時(shí)間比較，用戶密度為1×10-6/m2

另外需要強(qiáng)調(diào)的是，一些更加復(fù)雜的多重積分，比如上行覆蓋率計(jì)算公式[7]，均無法在有限時(shí)間內(nèi)獲得滿意的積分結(jié)果。這時(shí)不得不采用本文提出的有限積分來進(jìn)行近似計(jì)算，達(dá)到計(jì)算效率和準(zhǔn)確度的均衡。本文所有代碼均可在筆者的Github倉庫中獲取[8]。

4 結(jié)語

針對蜂窩網(wǎng)絡(luò)用戶上行覆蓋率沒有閉合表達(dá)式的問題，本文提出一種數(shù)值積分方法將原表達(dá)式中的無窮上限積分轉(zhuǎn)化成有限積分，在保證一定準(zhǔn)確度的前提下極大地提高了計(jì)算速度，為快速評估蜂窩網(wǎng)絡(luò)的上行通信性能提供了一種新選擇。本文提出的方法也適合于工程應(yīng)用中其他概率類函數(shù)的積分。