鄭毓信

(南京大學(xué)哲學(xué)系 210093)

第二，思維的開(kāi)放性．

上面的討論清楚地表明了對(duì)“我們?nèi)绾文軌蛘业胶线m的研究問(wèn)題”進(jìn)行深入思考的重要性，而思維的開(kāi)放性正是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的一個(gè)重要途徑．

例如，面對(duì)需要求解的問(wèn)題，我們應(yīng)認(rèn)真地思考：先前是否遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題，后者是用什么方法解決的，相關(guān)方法是否也可以用于眼前問(wèn)題的求解？眾所周知，這也正是波利亞所倡導(dǎo)的“解題策略”(數(shù)學(xué)啟發(fā)法)中十分重要的一條．

丘成桐先生在這方面還有這樣一個(gè)重要的建議：廣泛的交流往往可以幫助我們找到大展手腳的地方，特別是，發(fā)現(xiàn)自己熟悉的方法可以在其他領(lǐng)域得到重要的應(yīng)用.

“愚意以為，隨意的交談或許有意想不到的重要作用．姑勿論在講課、講座或下午茶的場(chǎng)合，有時(shí)你只需記得別人說(shuō)過(guò)的片言只字．這次，隨口的一句，竟印記在腦海，最后幫我完成的人生第一個(gè)有意義的證明．”“高研院(指普林斯頓高等研究院——注)是個(gè)很棒的地方，差不多每晚大家都要在一起吃飯，所以時(shí)常能碰上有趣的人物，聊聊 數(shù)學(xué)或其他大家關(guān)注的話題……大部分來(lái)高研院的人都和我一樣懷著相同的目的，就是為了和別人做思想的交流，并探究自己感到有興趣的想法．”“從聽(tīng)課和與師友的交流中，可以發(fā)現(xiàn)哪些研究方向最為合適，找到理想的方向后，就需要勇往直前．”[4]67,86,318

由以下論述讀者可以更好地理解“思維開(kāi)放性”的重要：“所有新的方法，尤其是和已知迥異的，在成為潮流前莫不如此”，后者是指新方法的應(yīng)用往往會(huì)遭到持保守觀點(diǎn)人士的強(qiáng)烈反對(duì)，后者并常常占據(jù)了主導(dǎo)的地位．[4]113

我們還應(yīng)看到觀念或思維方法在這一方面的重要作用，應(yīng)當(dāng)善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物和現(xiàn)象．例如，正如前面所提及的，丘成桐先生關(guān)于“幾何分析”的研究就是這方面的一個(gè)實(shí)例：“做研究生時(shí)，我有一個(gè)想法，微分幾何畢竟是涉及分析和幾何的一門(mén)學(xué)問(wèn)，幾何學(xué)家應(yīng)該從分析著手研究幾何．況且微分方程的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，這個(gè)研究方向大有可為．雖然一般幾何學(xué)家視微分方程為畏途，我決定要將這兩個(gè)重要理論結(jié)合，讓幾何和分析都表現(xiàn)出它們內(nèi)在的美．”[4]313

進(jìn)一步說(shuō)，這還涉及到了更深層次的一些理念，包括數(shù)學(xué)的整體性、宏觀與微觀之間的辯證關(guān)系、世界的統(tǒng)一性等：

“我腦海中隱隱浮現(xiàn)一個(gè)念頭，就是以偏微分方程為經(jīng)緯，把幾何和拓?fù)渎?lián)系起來(lái)．幾何和拓?fù)渫ǔ１豢闯蓛蓚€(gè)不同的科目，但我總覺(jué)得這種區(qū)分只是表象．幾何能給出的，是局部的特寫(xiě)，就如用放大鏡檢視地球的表面；而拓?fù)鋮s能提供宏觀的圖象，就如從外層空間看地球一般．可是說(shuō)到底，兩者觀察的都是同一個(gè)行星，不同的觀點(diǎn)互為補(bǔ)益而非相沖……我視所有不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域?yàn)橥豢椢锏母鞑糠?，不?huì)為外人附加于科目的界限所拘束……對(duì)各部件的理解愈多，便知它們是糅合在一起的．”[4]58

“幾何分析的新意，在于把非線性偏微分方程用于微分幾何……在幾何中，我們利用這些方程來(lái)量度曲率，并考究曲率在空間各點(diǎn)的變化，當(dāng)空間的曲率‘局部’地(即每一小片)確定后，我們便能對(duì)空間的‘整體’有所認(rèn)識(shí)．一邊是曲率，即局部的幾何或空間中精準(zhǔn)的形狀；另一邊是拓?fù)?，即同一空間的概括形狀——兩者之間的聯(lián)系使我 著迷，構(gòu)成我過(guò)去四十多年工作的重心……當(dāng)時(shí)，人們主要用分析的角度看這問(wèn)題(指極小曲面的研究——注)，而幾何學(xué)者則聚焦于問(wèn)題的幾何性質(zhì)，兩者就如站在大山的對(duì)面，看到全然不同的 景象．我想把兩者融匯起來(lái)，雖然前人早就有了少量偶然的嘗試，我卻想從事大規(guī)劃而有系統(tǒng)的探究．”[4]59,91

“我視數(shù)學(xué)非自成一國(guó)的學(xué)問(wèn)，而是和大自然息息相關(guān)的知識(shí)．從幾何中呈現(xiàn)的完美結(jié)構(gòu)，更能看到數(shù)學(xué)和自然的融合．在某些情況中，這些結(jié)構(gòu)甚至能繪畫(huà)出來(lái)，這令它更容易為人理解．”[4]57

顯然，從后一立場(chǎng)出發(fā)，不同學(xué)科的交叉與滲透也就十分自然了，這是丘成桐先生研究工作又一十分重要的特色：“與物理學(xué)家合作是愉快的經(jīng)驗(yàn)，可以有跳躍性的進(jìn)展，而又不停地去反思，希望能夠從數(shù)學(xué)上解釋這些現(xiàn)象，在這個(gè)過(guò)程中往往擴(kuò)展了數(shù)學(xué)的前沿．”[2]321

在其他一些著名數(shù)學(xué)家的研究工作中我們當(dāng)然也可看到類(lèi)似的傾向．例如，華羅庚先生也曾明確強(qiáng)調(diào)了拓寬視野的重要性，包括“廣度”與“深度”之間的辯證關(guān)系：“鑒別一個(gè)學(xué)問(wèn)家或個(gè)人，一定要同廣、同深聯(lián)系起來(lái)看．單是深，固然能成為一個(gè)不壞的專(zhuān)家，但對(duì)推動(dòng)整個(gè)科學(xué)的發(fā)展所起的作用，是微不足道的．單是廣，這兒懂一點(diǎn)，那兒懂一點(diǎn)，這只能欺欺外行，表現(xiàn)他自己博學(xué)多才，而對(duì)人民不可能做出實(shí)質(zhì)性的成果來(lái)．”“數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間實(shí)際上沒(méi)有不可逾越的鴻溝，以往我們看到過(guò)細(xì)分割、各搞一行的現(xiàn)象，結(jié)果呢？哪行也沒(méi)搞好．所以在鉆研一科的同時(shí)，把與自己學(xué)科或分支相近的書(shū)和文獻(xiàn)瀏覽瀏覽，也是有好處的．”[2]245

另外，由陳省身先生的以下論述我們也可以在這一方面獲得直接的啟示：

“黎曼……把幾何局部化，可以說(shuō)是幾何學(xué)的第四個(gè)發(fā)展．這是笛卡兒坐標(biāo)幾何的自然推廣……黎曼不但用坐標(biāo)，他還用坐標(biāo)的微分，于是便把笛卡兒幾何局部化，因此，黎曼幾何可說(shuō)是一個(gè)局部化的幾何……黎曼幾何最初在二維的情形是高斯發(fā)展的……因?yàn)楫?dāng)時(shí)的德國(guó)政府要他主持一個(gè)測(cè)量工作，為了給這個(gè)測(cè)量工作一個(gè)理論基礎(chǔ)，于是高斯寫(xiě)下了這篇在微分幾何上最要緊的論文．微分幾何自此誕生……在黎曼幾何的情形下，我們只需要空間的一部分……不需要知道全部的空間，也就是說(shuō)，在這樣的一個(gè)小塊里，便可發(fā)展全部的幾何性質(zhì)，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個(gè)和物理上的場(chǎng)論是完全符合的．

“真正使黎曼幾何受到重視的是愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論．大致說(shuō)起來(lái)，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論是要把物理幾何化，就是說(shuō)把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)，因此黎曼幾何就成物理學(xué)家一定要念的一門(mén)數(shù)學(xué)．到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因?yàn)槔杪臻g是高維的，所以它的曲率概念就變得相當(dāng)復(fù)雜．在愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的基本公式里，大致說(shuō)起來(lái)，物理的力是一個(gè)曲率；數(shù)學(xué)家講曲率和物理學(xué)家講力其實(shí)是同一個(gè)觀念．”[3]248-250

第三，樹(shù)立遠(yuǎn)大目標(biāo)．

如眾所知，這常常是數(shù)學(xué)上作出重要貢獻(xiàn)的一個(gè)重要標(biāo)志．從這一角度我們可以很好理解丘成桐先生的這樣一個(gè)評(píng)論：“今日有些名教授，著作等身，汗牛充棟，然而內(nèi)容往往脫離現(xiàn)實(shí)，一生所作，不見(jiàn)得能比得上一些內(nèi)容與實(shí)際有關(guān)的小品文，數(shù)十載后讀之，猶可回味．”[4]315

當(dāng)然，大問(wèn)題≠重要問(wèn)題，因?yàn)?，“?shù)學(xué)上最大的進(jìn)步，并不在于解決難題，因?yàn)檫@樣只會(huì)使某些研究領(lǐng)域完結(jié)，而在于開(kāi)辟了全新的、各式各樣的問(wèn)題以供探索．”[4]289

例如，丘成桐先生的又一重要貢獻(xiàn)是“卡拉比猜想”的證明，由此我們可以在如何樹(shù)立遠(yuǎn)大目標(biāo)這一方面獲得重要的啟示：

“打從一開(kāi)始，我便知道卡拉比猜想不一樣，因?yàn)樗B通著幾何學(xué)的某一領(lǐng)域，深入而又寬廣．這個(gè)猜想的破解打開(kāi)了一個(gè)缺口．帶我們走進(jìn)了亟待開(kāi)拓的數(shù)學(xué)領(lǐng)域．”“我的經(jīng)驗(yàn)是，解決數(shù)學(xué)難題需要艱辛的努力，沒(méi)有捷徑可走，除非問(wèn)題本身其實(shí)頗易．”

事實(shí)上，丘成桐先生在幾何分析這一方面的工作也可以看成是這樣的范例：“我和眾多朋友開(kāi)拓的幾何分析，也差不多花了十年才成功奠基，雖不敢說(shuō)是‘以血書(shū)成’，但每一次的研究都很花費(fèi)工夫，甚至廢寢忘食，失敗再嘗試，嘗試再失敗，經(jīng)過(guò)不斷的失敗，最后才成就一幅美麗的圖畫(huà)．”[4]129,43,314

我們應(yīng)清楚認(rèn)識(shí)充分準(zhǔn)備、長(zhǎng)期規(guī)劃的重要性：“我深知登山的第一步已不容易，首先要花些時(shí)間確定一條可行的路線，然后找工具在石頭表面刻上記號(hào)……我需要時(shí)間、毅力和大量的運(yùn)氣，直至準(zhǔn)備工作通通完成前，我都不會(huì)貿(mào)然攻頂．然而，我不會(huì)忘記這個(gè)山峰，它時(shí)時(shí)刻刻在腦海中 浮現(xiàn)，從未遠(yuǎn)離．”“要找到一個(gè)制高點(diǎn)，對(duì)整個(gè)問(wèn)題有了通透的理解；然后不眠不休、廢寢忘餐地 工作；最后靈光一閃，突然看到了完成證明的途徑．”[4]86,124

頗有興味的是，丘成桐先生是通過(guò)閱讀文學(xué)著作和歷史學(xué)習(xí)在這一方面獲得了重要的啟示：

“少年時(shí)最喜愛(ài)的小說(shuō)是《紅樓夢(mèng)》……我從十歲開(kāi)始閱讀這部小說(shuō)，被書(shū)中對(duì)18世紀(jì)中國(guó)人生活和社會(huì)的描繪所深深吸引……當(dāng)時(shí)意想不到的是，卻是這小說(shuō)的結(jié)構(gòu)，后來(lái)竟然影響了我對(duì)數(shù)學(xué)的看法．書(shū)中情節(jié)千絲萬(wàn)縷，角色層出不窮，要花時(shí)間和眼力，始能把情節(jié)和人物聯(lián)系起來(lái)，形成紛沓而又渾成的整體．

“我看待數(shù)學(xué)，尤其是幾何分析便類(lèi)比．到了1977年，我已證明了好幾條定理，往后更多了幾條．大部分定理看來(lái)彼此之間并無(wú)關(guān)聯(lián)，然而漸漸可以看出，幾何分析中有某種結(jié)構(gòu)，能夠把這些不相干的定理聯(lián)系起來(lái)．其實(shí)，整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域亦復(fù)如此．?dāng)?shù)學(xué)有很多不同的分支，乍一看毫無(wú)關(guān)系，但當(dāng)你站得足夠遠(yuǎn)再看，就會(huì)知道它們都是一棵大樹(shù)的各部分，就如《紅樓夢(mèng)》中賈府各人的宗譜關(guān)系一樣．我努力思考，希望對(duì)整棵數(shù)學(xué)大樹(shù)有整體的認(rèn)識(shí)，同時(shí)亦專(zhuān)注于幾何分析這剛發(fā)芽的新枝，它正從微分幾何這更粗更長(zhǎng)的老枝中冒出來(lái)．”[4]133-134

“除了看《紅樓夢(mèng)》，我也看《史記》《漢書(shū)》……歷史的事實(shí)教導(dǎo)我們?cè)谥匾臅r(shí)刻如何做決斷．做學(xué)問(wèn)的道路往往是五花八門(mén)的，走什么方向會(huì)影響學(xué)者的一生．復(fù)雜而現(xiàn)實(shí)的歷史和做學(xué)問(wèn)有很多類(lèi)似的地方，歷史人物做的正確決斷，往往能夠?yàn)閷W(xué)者選擇問(wèn)題提供一個(gè)良好的指南針．” “做好的工作，總要放棄一些次要的工作，如何登高望遠(yuǎn)，做出這些決斷，大致基于學(xué)者的經(jīng)驗(yàn)和師友的交流．然而對(duì)我而言，歷史的教訓(xùn)是很有幫助的．”[4]316

顯然，這也更清楚地表明了拓寬視野的重要性．另外，這也是丘成桐先生特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)：“感情的培養(yǎng)是做大學(xué)問(wèn)最重要的一部分……立志要做大學(xué)問(wèn)，只不過(guò)是一剎那間的事，往往感情澎湃，不能自己，就能夠?qū)W(xué)者帶進(jìn)新的境界．”后者主要地是指由數(shù)學(xué)研究、包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得的快樂(lè)和精神滿足．因此，丘先生提到的以下一些弊病就應(yīng)引起我們的高度重視：“一些中國(guó)學(xué)生讀研究生時(shí)，都沒(méi)有花工夫做學(xué)問(wèn)，掙錢(qián)乃是念書(shū)的主要目的，而研習(xí)某科某目則為其次．?dāng)?shù)學(xué)上，他們只關(guān)注細(xì)小的問(wèn)題，得到一丁點(diǎn)兒結(jié)果便急急發(fā)表，以此作為升職升等從而加薪的憑借．”當(dāng)然，在這一方面我們也可清楚地看到教育制度、特別是“應(yīng)試教育”的消極影響，包括這樣一點(diǎn)：“或者這是中國(guó)教育系統(tǒng)始料不及的后果，過(guò)分重視把課程背得滾瓜爛熟，卻把做學(xué)問(wèn)的精義丟失了．”[4]129,312,157,184進(jìn)一步說(shuō)，這也奪走了年青學(xué)子對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣、乃至深入從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究所必須的自信．

愿有志于數(shù)學(xué)研究的年青人從一開(kāi)始就能樹(shù)立遠(yuǎn)大理想，并能為之終身努力，百戰(zhàn)不殆，勇往直前！

(續(xù)完)