黨子涵 鄭純 張煥好? 陳志華

1)(南京理工大學(xué),瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210094)

2)(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,南京 210094)

基于可壓縮多組分Navier-Stokes 方程,結(jié)合5 階WENO(weighted essentially non-oscillatory)格式以及結(jié)構(gòu)化自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù),數(shù)值研究了匯聚激波沖擊不同初始擾動(dòng)幅值和氣層厚度的雙層SF6 重氣柱界面不穩(wěn)定性演化過程,揭示了界面與激波結(jié)構(gòu)相互作用及演變機(jī)理,定量分析了環(huán)量、混合率及湍動(dòng)能的變化規(guī)律,并對(duì)渦量進(jìn)行動(dòng)模態(tài)分解.結(jié)果表明: 初始擾動(dòng)幅值較大的條件下,氣層內(nèi)界面內(nèi)外均形成馬赫反射結(jié)構(gòu)并在中心發(fā)生多次激波聚焦,激波穿透外界面后環(huán)量增速更大,內(nèi)界面“尖釘”“氣泡”更早發(fā)展,內(nèi)外界面幅值與混合率增速更大.氣層厚度較大時(shí),透射激波在重氣柱內(nèi)移動(dòng)時(shí)相位發(fā)生改變,使得內(nèi)界面波峰向外發(fā)展而波谷向內(nèi)發(fā)展.氣層厚度較小時(shí),內(nèi)界面生成“尖釘”“氣泡”較晚且不明顯.通過動(dòng)模態(tài)分解可以發(fā)現(xiàn):耦合效應(yīng)弱時(shí),低頻弱增長的動(dòng)模態(tài)決定了主干結(jié)構(gòu),低頻弱增長的動(dòng)模態(tài)決定了主干結(jié)構(gòu)上正負(fù)渦量的交換,而高頻弱增長的動(dòng)模態(tài)決定了界面上正負(fù)渦量的快速交換.

1 引言

匯聚激波與界面相互作用過程包含界面演化、激波與渦相互作用以及湍流混合等物理現(xiàn)象,其中還包含Richtmyer-Meshkov(RM)不穩(wěn)定性、Kelvin-Helmholtz(KH)不穩(wěn)定性和Rayleigh-Taylor(RT)不穩(wěn)定性.而RM 不穩(wěn)定現(xiàn)象廣泛存在于超音速燃燒[1]、水下爆炸[2]、慣性約束核聚變(inertial confinement fusion,ICF)[3]等領(lǐng)域中.因此,研究匯聚激波誘導(dǎo)界面不穩(wěn)定性中界面和激波結(jié)構(gòu)的演變、流動(dòng)轉(zhuǎn)捩和后期湍流混合的機(jī)理及其影響因素,可以進(jìn)一步促進(jìn)或抑制過程中的不穩(wěn)定性.平面激波誘導(dǎo)界面RM 不穩(wěn)定性的研究較為廣泛,理論方面主要研究界面擾動(dòng)的演化規(guī)律[4],表征不同階段的擾動(dòng)增長規(guī)律的模型[5].實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬方面則主要研究不同條件(如激波強(qiáng)度[6]、Atwood數(shù)[7]以及氣柱形狀[8,9]等)下激波沖擊氣泡或氣柱的界面演變過程和激波結(jié)構(gòu).

近幾年匯聚界面不穩(wěn)定性的研究受到廣泛關(guān)注.理論研究方面,Mikaelian[10]建立了球形的分層殼體的積分模型,并擴(kuò)展到N層不同的流體的積分模型,得到了匯聚RT 和RM 不穩(wěn)定性中湍流混合層的寬度,且模型成立條件為幅長比小于0.1.Lombardini 和Pullin[11]將Mikaelian 的理論推廣到三維情況,研究匯聚激波沖擊柱體模型的擾動(dòng)界面的擾動(dòng)振幅變化規(guī)律,并提出三維擾動(dòng)增長的線性模型.在實(shí)驗(yàn)方面,Si 等[12]對(duì)豎直同軸匯聚激波管進(jìn)行改進(jìn),研究了正多邊形SF6重氣柱界面在匯聚激波作用下的演化過程,發(fā)現(xiàn)在前期界面上斜壓渦量是界面演化的主要原因,其中正三角形氣柱渦量最高,且可壓縮性在整個(gè)作用過程都起到重要作用.Ding 等[13]實(shí)驗(yàn)研究了匯聚激波沖擊帶有正弦擾動(dòng)的單層SF6重氣柱界面,透射激波速度在離中心較遠(yuǎn)時(shí)維持在一個(gè)定值,說明在遠(yuǎn)離中心處收斂效應(yīng)可以忽略.近幾年匯聚激波研究著重于更復(fù)雜的雙層界面,其中不僅包含多次激波透射與反射,還需要考慮到內(nèi)外界面耦合效應(yīng).Ding 等[14]使用豎直同軸匯聚激波管研究了外界面帶有正弦初始擾動(dòng)界面重氣柱的匯聚RM 不穩(wěn)定性,實(shí)驗(yàn)還展示外界面擾動(dòng)幅值隨時(shí)間變化過程,同時(shí)引用Mikaelian[15]提出的耦合角來對(duì)界面耦合效應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行量化.Sun 等[16]采用內(nèi)界面有正弦初始擾動(dòng)的界面進(jìn)行實(shí)驗(yàn),還展示了內(nèi)界面擾動(dòng)幅值和氣泡尖釘結(jié)構(gòu)幅值隨時(shí)間變化過程,并根據(jù)擾動(dòng)幅值變化將整個(gè)過程分為三個(gè)階段.Li 等[17]則將重氣柱換成輕氣柱進(jìn)行研究,與重質(zhì)氣體相比,初始激波接觸外界面后產(chǎn)生透射激波和稀疏波,透射激波也產(chǎn)生了與外表面一致的擾動(dòng),但是擾動(dòng)在不斷衰減,到達(dá)內(nèi)表面時(shí)已經(jīng)十分微弱,因此對(duì)內(nèi)表面影響很小.而數(shù)值研究方面,計(jì)算方法上徐建于和黃生洪[18]則基于Harten Lax van Leer(HLL)黎曼求解器的SPH(smoothed particle hydrodynamics)算法對(duì)二維匯聚激波沖擊四邊形輕/重氣界面的RM 不穩(wěn)定性問題進(jìn)行數(shù)值模擬,與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比證明了該方法的可靠性.梁煜等[19]對(duì)比匯聚激波及平面激波沖擊下SF6球形氣泡演化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)匯聚激波條件產(chǎn)生的渦量幅度大于平面激波條件,界面混合也更快,當(dāng)反射激波再次作用于界面后產(chǎn)生了正負(fù)渦量.Zhou 等[20]研究了雙模界面的演化過程,發(fā)現(xiàn)由于耦合效應(yīng)的影響,第一模態(tài)的幅值增長取決第二模態(tài)與第一模態(tài)的波數(shù)比,為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)分別對(duì)擾動(dòng)增長產(chǎn)生抑制和促進(jìn)作用.而Tang 等[21]采用不同氣體組研究了Atwood 數(shù)對(duì)RM 不穩(wěn)定性的影響.何慧琴等[22]則研究偏心對(duì)匯聚激波沖擊不同形狀的二維氣柱界面RM 不穩(wěn)定性的影響,偏心導(dǎo)致界面環(huán)量分布不均,從而使得擾動(dòng)結(jié)構(gòu)發(fā)生扭曲,且尖釘兩側(cè)的環(huán)量相差較多,結(jié)構(gòu)扭曲更嚴(yán)重.Fu 等[23]數(shù)值模擬研究了三維圓柱和球體匯聚RM 不穩(wěn)定性過程中的能量傳輸過程,計(jì)算了兩種界面RM 不穩(wěn)定性湍動(dòng)能運(yùn)輸方程中各項(xiàng)(湍流擴(kuò)散項(xiàng)、黏性擴(kuò)散項(xiàng)、外力做功項(xiàng)、耗散項(xiàng)和可壓縮項(xiàng))沿徑向的分布.

先前匯聚激波的研究主要針對(duì)不同初始條件下的界面演變過程,而對(duì)于匯聚RM 不穩(wěn)定性的界面形態(tài)、尤其激波結(jié)構(gòu)的演化過程等細(xì)節(jié)仍然不明確.而且,目前對(duì)后期界面上由于RM 不穩(wěn)定性出現(xiàn)的渦量分布以及湍流混合的機(jī)理研究也較少.因此,本文主要研究匯聚激波沖擊具有正弦擾動(dòng)雙層SF6重氣柱界面過程,并改變初始擾動(dòng)幅值與氣層厚度,分析界面形態(tài)與激波結(jié)構(gòu)演化過程,并對(duì)界面擾動(dòng)幅值、混合率、環(huán)量及湍動(dòng)能進(jìn)行定量分析.此外,利用動(dòng)模態(tài)分解(dynamic mode decomposition,DMD)方法對(duì)渦量的演化過程進(jìn)行分析,以揭示渦量輸運(yùn)誘導(dǎo)的混合機(jī)理.

2 數(shù)值方法與驗(yàn)證

基于有限體積法和可壓縮多組分Navier-Stokes 方程[24],結(jié)合5 階WENO(weighted essentially non-oscillatory)格式[25]以及結(jié)構(gòu)化自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù),對(duì)匯聚激波沖擊雙層重氣柱界面過程進(jìn)行數(shù)值模擬,為確保對(duì)流場中復(fù)雜激波與渦結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確描述,時(shí)間項(xiàng)采用3 階精度的Runge-Kutta 法[26].為了減少計(jì)算域邊界反射波對(duì)流場的干擾,對(duì)計(jì)算域四周邊界均采用無反射邊界條件.

為驗(yàn)證本文數(shù)值方法的準(zhǔn)確性,圖1 是匯聚激波與雙層圓形界面作用過程計(jì)算結(jié)果與Ding 等[14]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比,計(jì)算與實(shí)驗(yàn)中的雙層圓形重氣柱模型具有相同的尺寸、氣體參數(shù)及邊界條件.由圖1可見,數(shù)值結(jié)果清晰描述了匯聚激波與雙層圓形界面作用過程中外界面(OI)、內(nèi)界面(II)與激波(shock)位置的演變過程,其中內(nèi)外界面在受到匯聚激波沖擊后開始向中心處移動(dòng),而透射激波在中心處的匯聚反射則使內(nèi)外界面減速甚至反向運(yùn)動(dòng),此過程中它們的運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合,雖然后期界面向外的移動(dòng)速度與實(shí)驗(yàn)值相比較小,但誤差仍可接受,這表明本文數(shù)值方法準(zhǔn)確可靠.

圖1 數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中外界面(OI)、內(nèi)界面(II)與激波(shock)位置的對(duì)比Fig.1.Comparison of variations of displacements of outer and inner interfaces(OI and II)and shock waves of experimental[14] and numerical results.

此外,為驗(yàn)證本數(shù)值模擬網(wǎng)格無關(guān)性,采取了1500×1500,2000×2000 和2500×2500 三種不同網(wǎng)格密度進(jìn)行模擬,圖2 為此三種網(wǎng)格密度下t=0.05 ms 時(shí)氣體密度與初始靜止空氣密度比ρ/ρa(bǔ)ir沿徑向分布情況,在保證準(zhǔn)確性的同時(shí)為減少計(jì)算時(shí)間,本文選用2000×2000 這一網(wǎng)格密度進(jìn)行數(shù)值模擬.

圖2 網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)Fig.2.Verification of the mesh resolution.

為研究外界面初始擾動(dòng)幅值與氣層厚度的影響,設(shè)置五種不同工況進(jìn)行模擬,幾何參數(shù)如表1所列,其中R0表示外界面平均半徑,r0為內(nèi)界面半徑,a0為初始擾動(dòng)幅值,n表示初始波數(shù),λ為初始擾動(dòng)波長.計(jì)算域邊長取L=80 mm.初始激波馬赫數(shù)為1.22.環(huán)形氣層內(nèi)為SF6,其余為空氣,比熱比γ、摩爾質(zhì)量M和密度ρ這三個(gè)氣體參數(shù)如表2 所列.氣柱內(nèi)外壓力均設(shè)為101.49 kPa,初始溫度均為288 K,初始時(shí)刻氣體均靜止.圖3 為計(jì)算模型示意圖,其中OI 為外界面,II 為內(nèi)界面,is 為初始匯聚激波,且外界面初始擾動(dòng)表示為R=R0+a0cos(nθ).

表2 氣體參數(shù)表Table 2. Parameters of gases.

圖3 計(jì)算模型示意圖(is,初始激波;R,外界面位置;R0,外界面平均半徑;r0,內(nèi)界面半徑;a0: 初始擾動(dòng)幅值)Fig.3.Illustration of computational model(is,initial shock;R,location of outer interface;R0,mean radius of outer interface;r0,initial radius of inner interface;a0,initial amplitude).

3 結(jié)果與討論

3.1 界面及激波結(jié)構(gòu)演變

圖4 為case 1 中界面與激波結(jié)構(gòu)的演變過程.初始匯聚激波is 穿過OI,產(chǎn)生向內(nèi)傳播的透射激波(transmitted shock,ts1)與向外傳播的反射激波(reflected shock,rs1).由于SF6氣體的聲阻抗大于空氣的聲阻抗,激波在SF6氣體中傳播速度比在空氣中慢,沖擊OI 波峰的激波比沖擊波谷的激波更早開始減速,導(dǎo)致OI 的正弦擾動(dòng)傳遞給ts1.OI 的擾動(dòng)幅值在波峰被is 沖擊后開始減小,當(dāng)is 完全穿透后,OI 波谷在is 的沖擊加速和斜壓渦量的作用下開始快速向中心收縮,導(dǎo)致擾動(dòng)幅值快速增加.t=0.06 ms 時(shí),ts1以近似OI 的正弦擾動(dòng)形態(tài)開始沖擊II,ts1的波谷首先與II 作用生成向外傳播的反射稀疏波(reflected rarefaction wave,rrw1)和向內(nèi)傳播的透射激波ts2.在ts1完全穿透II 后,生成向外傳播的反射激波rs2與透射激波ts3.ts2與ts3向內(nèi)傳播過程中相互作用形成由馬赫桿(Mach stem,m)和三波點(diǎn)(triple point,T)組成的馬赫反射結(jié)構(gòu)(t=0.073 ms).在向中心匯聚的過程中,ts2不斷縮短,m 長度幾乎不變,而ts3不斷增長且與相鄰ts3相交,同時(shí)向外移動(dòng)的相鄰rs2也相交并生成rs3,如t=0.08 ms 所示.之后m 和ts2向中心移動(dòng),在t=0.083 ms 時(shí)發(fā)生第一次激波聚焦(shock focusing,SF1),生成向外傳播的二次反射激波(second reflected shock,srs).反射激波rs3向外移動(dòng)的同時(shí)也向兩側(cè)傳播,相交產(chǎn)生rs4.當(dāng)t=0.096 ms 時(shí)srs 開始沖擊II,生成向外的二次透射激波(second transmitted shock,sts)和向中心移動(dòng)的反射激波rs5,rs5向內(nèi)匯聚發(fā)生二次聚焦SF2,并生成向外移動(dòng)的三次反射激波(third reflected shock,trs).II 受到srs 沖擊發(fā)展形成了“尖釘”(spike)與“氣泡”(bubble)結(jié)構(gòu),雖然trs 在“尖釘”處首先發(fā)生第三次透射產(chǎn)生三次透射激波(third transmitted shock,tts),但由于激波在SF6中傳播速度較慢,因此,trs 主要從“氣泡”處出現(xiàn)并向外傳播沖擊OI.之后sts 沖擊OI 波谷,產(chǎn)生向外的透射激波ts4和向內(nèi)的反射稀疏波rrw2.在t=0.152 ms 時(shí)sts 穿透OI 波峰,而tts則在向外傳播過程中逐漸減弱,并在與OI 上“氣泡”作用后轉(zhuǎn)變?yōu)槲⑷醯呐蛎洸?

圖4 case 1 的界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程示意圖(ts,透射激波;rs,反射激波;rrw,反射稀疏波;m,馬赫桿;T,三波點(diǎn);SF,激波聚焦;srs,二次反射激波;spike,“尖釘”結(jié)構(gòu);bubble,“氣泡”結(jié)構(gòu);sts,二次透射激波;trs,三次反射激波;tts,三次透射激波;下文符號(hào)含義相同)Fig.4.Evolution of the interface and shock wave structures of case 1(ts,transmitted shock;rs,reflected shock;rrw,reflected rarefaction wave;m,Mach stem;T,triple point;SF,shock focusing;srs,the second reflected shock;spike,“spike” structure;bubble;“bubble” structure;sts,the second transmitted shock;trs,the third reflected shock;tts,the third transmitted shock.The meaning of these abbreviations is similar hereinafter).

界面演變受渦量分布影響,圖5 選取五個(gè)時(shí)刻流場的渦量分布情況對(duì)界面發(fā)展機(jī)理進(jìn)行說明.II 在ts1穿透后形成類似正弦曲面,其渦量方向與OI 一致(t=0.066 ms),而rs2在II 上產(chǎn)生的渦量與OI 對(duì)應(yīng)位置渦量方向相反(t=0.07 ms),因此OI 波峰位置對(duì)應(yīng)的II 波峰反而開始向內(nèi)凹陷.之后rs3誘導(dǎo)的渦量與rs2生成的方向相反,II 上產(chǎn)生不穩(wěn)定性,但對(duì)II 發(fā)展影響較小.在srs 沖擊II 后,II 上不穩(wěn)定性增強(qiáng),波峰形成的凹陷向內(nèi)移動(dòng)形成了“尖釘”結(jié)構(gòu),波谷則向外移動(dòng)形成了“氣泡”結(jié)構(gòu),且由于“尖釘”處激波與界面夾角較大,累積了更多的同向渦量(t=0.103 ms),導(dǎo)致“尖釘”發(fā)展更快,向內(nèi)移動(dòng)帶動(dòng)界面向內(nèi)收縮,其頭部兩側(cè)形成對(duì)稱的渦結(jié)構(gòu),而“氣泡”形態(tài)變化不大.之后,“尖釘”頭部向內(nèi)的移動(dòng)速度逐漸降低,頭部兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)開始發(fā)展,相鄰兩個(gè)渦結(jié)構(gòu)開始互相影響,而“氣泡”在受到rrw2沖擊后產(chǎn)生同向渦量(t=0.155 ms),開始快速向外發(fā)展.OI 向內(nèi)收縮的同時(shí)幅值快速增大,受到sts 沖擊后生成反向渦量(t=0.135 ms),此時(shí)OI 波谷出現(xiàn)向外的“尖釘”,受到tts 沖擊后“尖釘”開始快速發(fā)展,OI 擾動(dòng)幅值減小最終反相.

圖5 case 1 中不同時(shí)刻流場渦量分布圖Fig.5.Distribution of vorticity at different times of case 1.

由于cases 2-5 在ts1沖擊II 前的界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程類似,這一階段示意圖省略.圖6表示case 2 界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程,由于OI 初始正弦擾動(dòng)幅值變小,ts1與II 作用后在II 上的渦量累積較少,II 波峰向內(nèi)凹陷不明顯,直至受到srs 沖擊后II 上“尖釘”和“氣泡”才開始緩慢發(fā)展.圖7 表示case 3 界面與激波結(jié)構(gòu)演化過程,由于初始擾動(dòng)幅值變大,ts1為具有明顯正弦擾動(dòng)的形態(tài),且在ts1的波峰位置形成由透射反射激波(transmitted reflected shock,TRS)、ts1、馬赫桿m、三波點(diǎn)T 組成的馬赫反射結(jié)構(gòu)(t=0.057 ms),其中TRS 的移動(dòng)方向垂直于激波移動(dòng)方向.此外,ts1與II 相互作用之后,II 上生成了明顯的“尖釘”“氣泡”結(jié)構(gòu),使得srs 沖擊“尖釘”與“氣泡”的時(shí)間間隔較大,產(chǎn)生了兩道相位相反的反射激波rs5和rs6.rs5和rs6向中心匯聚分別發(fā)生第二次與第三次激波聚焦,先后生成向外傳播的trs 和四次反射激波(forth reflected shock,frs),在穿透II 后分別形成tts 與四次透射激波(forth transmitted shock,fts),并在t=0.134 ms時(shí)沖擊OI 的波谷.界面形態(tài)與case 1 相比,ts1與II 夾角更大,累積更多的斜壓渦量,且反射激波產(chǎn)生的不穩(wěn)定性對(duì)界面影響較小,因此II 上“尖釘”更早出現(xiàn).之后srs 在“尖釘”產(chǎn)生更多的同向渦量,頭部兩側(cè)渦發(fā)展較快卷吸周圍空氣,在“氣泡”內(nèi)發(fā)展更充分.“氣泡”受到相鄰TRS 相交誘導(dǎo)其頭部處產(chǎn)生的高壓區(qū),使其頭部的增長受到抑制,而在接觸rrw2后開始快速發(fā)展.

圖6 case 2 的界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程Fig.6.Evolution of the interface and shock wave structures of case 2.

圖7 case 3 的界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程(frs.四次反射激波;fts,四次透射激波)Fig.7.Evolution of the interface and shock wave structures of case 3(frs,the forth reflected shock;fts,the forth transmitted shock).

從cases 1-3 可以看出,初始擾動(dòng)幅值較大容易使激波在重氣柱內(nèi)生成馬赫反射結(jié)構(gòu),激波與II 夾角更大并產(chǎn)生更多的渦量.多次反射激波產(chǎn)生的正負(fù)交替的渦影響越小,II 上更早地發(fā)展出“尖釘”,受到srs 沖擊后生成兩個(gè)向內(nèi)的反射激波,進(jìn)而生成tts 和fts.此外,幅值越大OI 波谷越靠近II,使“氣泡”更早受到rrw2沖擊并向外發(fā)展.

圖8 為case 4 界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程.由于II 半徑減小,ts1在重氣柱內(nèi)傳播時(shí)間增加,向內(nèi)傳播的過程中ts1波峰位置產(chǎn)生了由ts1,m 和TRS 組成的馬赫反射結(jié)構(gòu).當(dāng)t=0.087 ms 時(shí),ts1和m 一起沖擊II,生成由ts2組成的六邊形透射激波,此時(shí)II 也轉(zhuǎn)變?yōu)榱呅涡螤?同時(shí)ts2在II 波峰位置內(nèi)側(cè)也生成了馬赫反射結(jié)構(gòu).在t=0.096 ms 時(shí)發(fā)生激波聚焦生成srs,同時(shí)II 上相鄰TRS 相交改變了rs2的形狀.由于ts1在II 上產(chǎn)生的渦量與OI 對(duì)應(yīng)位置渦量方向相反,II 波谷中點(diǎn)向內(nèi)凹陷而波峰向外凸出,并在srs 沖擊后逐漸分別發(fā)展為“尖釘”和“氣泡”.“尖釘”兩側(cè)相鄰的渦結(jié)構(gòu)十分接近,受到空間限制無法向中心移動(dòng),因此渦結(jié)構(gòu)在“氣泡”中互相混合快速發(fā)展,而“氣泡”由于沒有OI 的限制,在sts 和tts 穿透后快速向外發(fā)展.從圖9 可以看出,case 5 的激波結(jié)構(gòu)演變與case 1 相似,而界面形態(tài)有明顯不同.II 受到?jīng)_擊后在多次反射激波作用下累積了正負(fù)交替的小渦,同時(shí)II 由于較強(qiáng)的耦合效應(yīng)隨OI 一起向內(nèi)收縮,因此波峰沒有向內(nèi)凹陷.當(dāng)tts 沖擊OI 后,OI 上逐漸生成“尖釘”,II 隨著向外發(fā)展形成“氣泡”,而“尖釘”逐漸生成但幾乎不向內(nèi)發(fā)展.

對(duì)比cases 1,4,5 可以看出,氣層厚度對(duì)整個(gè)過程的影響主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面.一是激波在重氣柱內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間隨著氣層厚度增大而增加,重氣柱內(nèi)馬赫反射結(jié)構(gòu)有更長的發(fā)展時(shí)間,使得II 受到?jīng)_擊后與case 1 相位相差π,從而對(duì)II“尖釘”的生成產(chǎn)生影響.二是氣層厚度減小使耦合效應(yīng)增強(qiáng),前期II 與OI 一同向內(nèi)快速收縮,后期II“氣泡”向外發(fā)展受到OI 限制.

3.2 徑向統(tǒng)計(jì)量分析

圖10 為case 1 條件下壓強(qiáng)沿徑向分布圖.在第一次激波聚焦前(t=0.08 ms)壓力峰值出現(xiàn)在透射激波處,第一次激波聚焦后(t=0.09 ms)中心區(qū)域壓力突增,峰值出現(xiàn)在srs 處.當(dāng)t=0.108 ms時(shí)發(fā)生第二次集激波聚焦,中心處壓力達(dá)到最大值.而tts 穿透II 后,II 內(nèi)的壓力都較高.當(dāng)t=0.2 ms時(shí)可以看到中心處壓強(qiáng)較之前有所降低,且沿徑向變化較小,說明流場后期壓力影響較低.

圖10 case 1 中不同時(shí)刻壓力沿徑向分布圖Fig.10.Variations of pressure along the radial of case 1.

為定量地描述內(nèi)外界面形態(tài)變化,將計(jì)算域轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo),以case 1 某時(shí)刻SF6組分分布為例,結(jié)果如圖11 所示.首先計(jì)算了不同情況下內(nèi)外界面幅值隨時(shí)間變化過程,內(nèi)外界面幅值分別定義為

圖11 直角坐標(biāo)下t=0.1 ms 時(shí)case 1 的組分分布圖Fig.11.Illustration of the fraction of SF6 for case 1 in Cartesian coordinate system at t=0.1 ms.

II 幅值隨時(shí)間的變化如圖12(a)所示.對(duì)比cases 1-3 可以看到,ai在ts1完全穿透II 后先減小再緩慢增大,而且初始幅值a0越大ai則減小越多.這是因?yàn)閠s1波谷比波峰更早沖擊II,因此II 上形成波谷并向內(nèi)移動(dòng),在ts1波峰沖擊II 前ai達(dá)到最小值.ts1穿透II 后,ai開始逐漸增大,II 凹陷形成后增長為正值,這一階段的擾動(dòng)也隨著a0的增大而更加明顯.在srs 沖擊II 后ai開始進(jìn)入到線性增長階段,且a0越大,這一階段ai的增長速度越大.在線性階段結(jié)束后,a0小的情況更早進(jìn)入非線性階段.在case 4 中,由于II 相位與之前相差π,ai在ts1穿過II 后為正,在srs 沖擊II 后開始快速增長.但由于“尖釘”距離中心更近,向內(nèi)發(fā)展受到限制,因此ai增長速度較低.對(duì)于case 5,由于ts1穿過II 后,波峰沒有向內(nèi)凹陷,而II 由于強(qiáng)耦合效應(yīng)和OI 波谷一起向中心移動(dòng),因此ai此時(shí)為負(fù)值.在OI“氣泡”生成后,II 開始發(fā)展,ai開始逐漸增加.

圖12 cases 1-5 中(a)內(nèi)界面與(b)外界面擾動(dòng)幅值演化過程Fig.12.Evolution of the amplitude of(a)inner interface and(b)outer interface of cases 1-5.

圖12(b)給出了OI 幅值隨時(shí)間的變化,is 沖擊OI 波峰后ao先快速減小,當(dāng)is 完全穿透OI 后ao再逐漸增大.初期階段ao在界面上斜壓渦量作用下線性增長,在向內(nèi)收縮的過程中增長速度緩慢增大,當(dāng)rrw1傳播到OI 后ao開始快速增大.但到達(dá)在峰值前由于RT 效應(yīng)有一個(gè)減速階段,在sts 沖擊OI 波谷后ao開始減小.當(dāng)tts 沖擊OI 波谷后,ao減小速度加快,并隨著波谷“尖釘”向外發(fā)展最終減小到負(fù)值,OI 上發(fā)生反相.在此過程中,當(dāng)sts 沖擊并穿透OI 波峰時(shí),幅值減小速度有所放緩.對(duì)比cases 1-3 可以看到,初始擾動(dòng)幅值較大的OI 在線性階段有更大的增長速度,能夠更快到達(dá)快速增長階段,且非線性階段增長幅度更大.而對(duì)比case 1,case 4 和case 5 可以看出,氣層厚度主要影響了ao從線性增長到非線性增長的時(shí)間,而對(duì)ao最大值影響較小.在case 5 中耦合效應(yīng)增強(qiáng),非線性階段ao快速增加.

激波與界面作用生成的渦強(qiáng)度可以通過界面上環(huán)量的變化來表征,而由于對(duì)稱性,界面總環(huán)量始終為零,因此定義環(huán)量絕對(duì)值如下:

其中區(qū)域D包含了所有含有SF6氣體的流體微元,即SF6質(zhì)量分?jǐn)?shù)f＞0,而ωi和Ai分別表示區(qū)域D中第i個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的渦量與面積,結(jié)果如圖13(a)所示,可以看到幾種情況下環(huán)量變化過程比較相似.在is 沖擊OI時(shí)|Γ|突增,在ts1向II 移動(dòng)的過程中加速增大,增速與初始擾動(dòng)幅值正相關(guān).在ts1沖擊II 時(shí),|Γ|會(huì)有一定降低.當(dāng)ts1完全穿透后|Γ|會(huì)小幅增大,且在rs2和rs4生成時(shí),|Γ|增速較大,這與反射激波與II 作用交替生成的同向與反向渦量有關(guān).而之后sts,tts 沖擊OI 時(shí),|Γ|均會(huì)突然減小再增加,而增速相較之前有所放緩,原因是激波強(qiáng)度較低且與“氣泡”夾角較小.而氣層厚度的影響不僅體現(xiàn)在ts1沖擊II前|Γ|增長的時(shí)間,而且還通過耦合效應(yīng)的強(qiáng)弱影響環(huán)量的增長.在case 4 中,|Γ|在ts1沖擊II 前增長時(shí)間較長且增速較快,且耦合效應(yīng)弱使得II 形態(tài)充分發(fā)展,激波沖擊在界面上產(chǎn)生的斜壓渦量更多.但由于rrw2在重氣柱內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長與“氣泡”作用時(shí)強(qiáng)度降低,后期流場渦量在黏性作用下逐漸耗散,渦量強(qiáng)度有明顯下降.而在case 5 中,sts 沖擊II 后耦合效應(yīng)使得II 形態(tài)變化小,導(dǎo)致界面上斜壓渦量少,環(huán)量增長緩慢,tts 沖擊OI 后逐漸振蕩減小.

圖13(b)表示不同情況混合率隨時(shí)間變化圖,混合率定義為

圖13 cases 1-5 中(a)環(huán)量絕對(duì)值 |Γ| 與(b)混合率隨時(shí)間變化情況Fig.13.Evolution of(a)absolute value of circulation |Γ| and(b)mixing rate of cases 1-5.

其中ξ表示空氣與界面內(nèi)SF6的混合程度;fi和ρi分別為區(qū)域D中第i個(gè)網(wǎng)格中SF6所占的質(zhì)量分?jǐn)?shù)和密度.最開始邊界擴(kuò)散使得混合率快速上升,其中氣層厚度薄、初始擾動(dòng)大的情況由于兩氣體接觸面積大而擴(kuò)散更快.之后從ts1生成到?jīng)_擊II 前和從ts2生成到srs 沖擊II 的過程中,混合率均呈現(xiàn)增長趨勢,且前者的增速略高.這一階段初始擾動(dòng)對(duì)混合率增長影響較小.在sts 沖擊OI 后混合率快速增大,之后增速慢慢減小,且初始擾動(dòng)幅值越大增速越大,越早開始減速.而case 4 中由于內(nèi)外界面距離較大,在tts 沖擊II 后,較長時(shí)間沒有激波與界面作用,因此混合率在sts 沖擊OI 前增速幾乎為零.

由渦動(dòng)力學(xué)方程可知二維條件下渦拉伸項(xiàng)為零,但為表示小尺度能量分布,定義湍動(dòng)能為[27]

由圖14(d)可知,case 4 中ts1完全穿透II 后,相鄰TRS 的相交使得激波結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜,II 上湍動(dòng)能比case 1 高出近50%.II 在srs 穿透后開始向中心收縮,“尖釘”頭部減速向中心移動(dòng),一段時(shí)間后開始向外移動(dòng)且在發(fā)展一段時(shí)間后分布變得平均.由于內(nèi)OI 間距增加,sts 與tts 沖擊OI 時(shí)間間隔較小,因此兩部分湍動(dòng)能較大的區(qū)域間隔時(shí)間更短.由圖14(e)發(fā)現(xiàn),case 5 中ts1更早地沖擊II,產(chǎn)生的湍動(dòng)能較低.界面之間耦合效應(yīng)使得后期OI 處湍動(dòng)能較低,僅在tts 沖擊OI 時(shí)出現(xiàn)峰值.

圖14 cases 1-5 中湍動(dòng)能隨時(shí)間分布圖(a)case 1;(b)case 2;(c)case 3;(d)case 4;(e)case 5Fig.14.Distributions of turbulent kinetic energy(TKE)of(a)case 1,(b)case 2,(c)case 3,(d)case 4 and(e)case 5.

3.3 DMD 分析

通過DMD 方法對(duì)不同時(shí)刻渦量場提取快照序列進(jìn)行分析可以得到界面上渦量相干結(jié)構(gòu)變化,并且取前4 個(gè)特征值進(jìn)行分析.圖15(a)-(e)為cases 1-5 情況下頻譜分布情況,其中實(shí)部ωr＞0時(shí)說明模態(tài)為增長模態(tài),ωr＜0 則為衰減模態(tài),而ωi的絕對(duì)值越大頻率越大.

圖15 cases 1-5 中DMD 頻譜分布圖(a)case 1;(b)case 2;(c)case 3;(d)case 4;(e)case 5Fig.15.Distributions of the frequency spectrum of the DMD modes of(a)case 1,(b)case 2,(c)case 3,(d)case 4,and(e)case 5.

圖16 展示了cases 1-5 情況下對(duì)渦量分布進(jìn)行DMD 分解所得模態(tài)中,選定的4 個(gè)動(dòng)模態(tài)實(shí)數(shù)部分,由于虛部相當(dāng)于將實(shí)部相位平移90°因此不做考慮,其中正值代表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)渦,負(fù)值則代表順時(shí)針旋轉(zhuǎn)渦.結(jié)合頻譜分布圖可以得知,cases 1-3 的第一動(dòng)模態(tài)DM1表示的流動(dòng)結(jié)構(gòu)振蕩頻率低且隨時(shí)間增長,代表了流場中的主要相干結(jié)構(gòu).在中心處有六個(gè)主干結(jié)構(gòu),且每個(gè)結(jié)構(gòu)均有反對(duì)稱的兩個(gè)分支,代表的是隨著時(shí)間逐漸增強(qiáng)的內(nèi)界面“尖釘”結(jié)構(gòu),反映了后期流動(dòng)的整體結(jié)構(gòu),而且初始擾動(dòng)越大,渦量越集中在“尖釘”的兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)上,解釋了“尖釘”和“氣泡”發(fā)展程度不同的原因.而DM2中,主干的每個(gè)分支上有兩個(gè)反向旋轉(zhuǎn)的渦量,反映“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)向外發(fā)展的過程.同時(shí)外界面渦量方向與DM1相反,反映的是sts 沖擊外界面后界面渦量反向增長的過程.而DM3和DM4表示的流動(dòng)結(jié)構(gòu)振蕩頻率較高增長較慢,分布在“尖釘”“氣泡”上的快速交替的正負(fù)渦量反映相鄰“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)相互混合及內(nèi)界面受到srs 沖擊時(shí)界面渦量反向增長的過程,且振蕩頻率越高,渦量交替越密集.在case 4 中,DM1表示的是振蕩頻率低且隨時(shí)間衰減的流動(dòng)結(jié)構(gòu),同樣有六個(gè)主干結(jié)構(gòu),且每個(gè)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)分支,代表的是隨著時(shí)間逐漸衰減的內(nèi)界面“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu).同時(shí)也有渦量分布在外界面上,反映了流場后期結(jié)構(gòu).DM2中每個(gè)分支上有三個(gè)部分,為正負(fù)交替的渦量,與DM1相比衰減程度更大,反映了流場后期內(nèi)界面上“尖釘”發(fā)展較慢.而DM3和DM4表示的流動(dòng)結(jié)構(gòu)振蕩頻率較高,反映的是內(nèi)界面相鄰“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)在“氣泡”中相互混合及外界面渦量反向增長的過程.而case 5 結(jié)構(gòu)與之前有所不同,DM1表示的流動(dòng)結(jié)構(gòu)振蕩頻率低且隨時(shí)間增長,渦量主要分布在外界面上,反映了流場后期渦量集中在外界面“尖釘”并隨時(shí)間逐漸增強(qiáng).而DM2-4則均表示內(nèi)外界面振蕩頻率低且隨時(shí)間衰減的流動(dòng)結(jié)構(gòu),主要反映了流場后期內(nèi)外界面之間密集的正負(fù)渦量交替.

圖16 (a)-(e)cases 1-5 中渦量的DMD 模態(tài)的實(shí)數(shù)部分(a1)-(e1)DM1;(a2)-(e2)DM2;(a3)-(e3)DM3;(a4)-(e4)DM4Fig.16.(a)-(e)Representation of DMD modes with their real parts using contours of vorticity of cases 1-5:(a1)-(e1)DM1;(a2)-(e2)DM2;(a3)-(e3)DM3;(a4)-(e4)DM4.

4 結(jié)論

本文基于有限體積法和可壓縮多組分Navier-Stokes 方程,并結(jié)合5 階WENO 格式以及結(jié)構(gòu)化自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù),數(shù)值研究了匯聚激波沖擊雙層重氣柱界面過程,并研究了初始擾動(dòng)幅值及氣層厚度對(duì)界面不穩(wěn)定性的影響.得到結(jié)論如下:

1)初始擾動(dòng)幅值越大,透射激波在重氣柱內(nèi)更容易生成馬赫反射結(jié)構(gòu),內(nèi)界面受到?jīng)_擊時(shí)與激波夾角更大,反射激波與界面作用產(chǎn)生的反向渦量使其向內(nèi)凹陷更加明顯,導(dǎo)致“尖釘”更早發(fā)展,二次反射激波先后沖擊“尖釘”“氣泡”產(chǎn)生兩道反射激波,從而在中心發(fā)生更多次激波聚焦.同時(shí)二次透射激波更早地沖擊外界面波谷,使得外界面“尖釘”更早形成,內(nèi)界面“氣泡”也因此更早向外快速發(fā)展.因此界面環(huán)量、混合率的增速更大,流場后期湍動(dòng)能也越高.

2)當(dāng)氣層厚度較大時(shí),透射激波在向內(nèi)傳播的過程中馬赫反射結(jié)構(gòu)發(fā)展時(shí)間更長,內(nèi)界面受其沖擊后與case 1 中相位相差π.生成的內(nèi)界面“尖釘”間距很小,中心的高壓與空間限制使“尖釘”頭部無法向內(nèi)發(fā)展,兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)只能在“氣泡”內(nèi)部向外發(fā)展.此時(shí)耦合效應(yīng)小,外界面對(duì)內(nèi)界面發(fā)展影響較小.而氣層厚度較小時(shí),激波結(jié)構(gòu)與之前沒有明顯區(qū)別,但由于耦合效應(yīng)較強(qiáng),內(nèi)界面隨外界面波谷一同向內(nèi)移動(dòng),直到外界面“尖釘”生成后,內(nèi)界面“尖釘”“氣泡”才開始發(fā)展.因此界面環(huán)量始終較少且增速小,湍動(dòng)能較低,而由于兩氣體接觸面積較大,混合率增長較大.

3)通過對(duì)渦量進(jìn)行DMD 分析,cases 1-4 流場后期流動(dòng)結(jié)構(gòu)主要有三個(gè)部分,首先是中心處有六個(gè)振蕩頻率低,且隨時(shí)間增長的主干結(jié)構(gòu)代表的是隨著時(shí)間逐漸增強(qiáng)的內(nèi)界面“尖釘”,第二個(gè)是分支上正負(fù)交替渦量,代表的內(nèi)界面相鄰“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)相互混合,第三個(gè)是界面上振蕩頻率較高增長較慢的流動(dòng)結(jié)構(gòu),反映了內(nèi)外界面受到向外激波沖擊后渦量反向增長的過程.而case 5 的結(jié)構(gòu)有所不同,一是外界面上有振蕩頻率低且隨時(shí)間增長的流動(dòng)結(jié)構(gòu),反映了流場后期渦量集中在外界面“尖釘”結(jié)構(gòu)并隨時(shí)間逐漸增強(qiáng),二是內(nèi)外界面振蕩頻率較高且隨時(shí)間衰減的正負(fù)交替渦量,反映的是內(nèi)外界面的相互影響與渦量交換.