吳曉明

合肥市第一中學(xué)，合肥 230601

在高中物理學(xué)習(xí)中，我們不僅借助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中嚴(yán)密的邏輯思維能力，還需要運(yùn)用各類數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析、討論、推理、演算，從而最終得出結(jié)果。如果在物理學(xué)習(xí)中，依據(jù)物理原理建立起若干方程，卻不會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，依然功敗垂成。因此，在高考考場(chǎng)上，凡是中學(xué)階段學(xué)到的數(shù)學(xué)，如代數(shù)、三角、幾何、解析幾何等，都可以成為求解高考物理試題的數(shù)學(xué)工具。物理極值問(wèn)題是物理與數(shù)學(xué)融合的典范，它既要求學(xué)生能正確分析物理情境、建立合理的物理模型，又要求學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)解題技巧[1]。通過(guò)大量的教學(xué)實(shí)踐總結(jié)，高中物理中研究極值問(wèn)題一般有以下幾種方法。

1 運(yùn)用一元二次方程的判別式求解極值問(wèn)題

如果方程ax2+bx+c=0有實(shí)根，那么它的判別式一定滿足條件Δ=b2-4ac≥0，利用這一性質(zhì)，我們可以將待求物理量與自變量之間建立起一元二次函數(shù)關(guān)系，通過(guò)解不等式Δ=b2-4ac≥0，找出函數(shù)的極值。

例1如圖1所示，用細(xì)線豎直懸掛一個(gè)質(zhì)量為M的圓環(huán)，在環(huán)上套有兩個(gè)相同的、質(zhì)量均為m的光滑小球，現(xiàn)設(shè)法使兩球從圓環(huán)最高點(diǎn)沿兩側(cè)由靜止滑下，若下滑至某處懸繩的拉力恰好等于零，則m至少多大？

圖1 例1圖示

解析設(shè)圓環(huán)半徑為R，取其中一個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，如圖2所示，某時(shí)刻小球下滑到A點(diǎn)，此時(shí)小球與圓環(huán)圓心連線和豎直方向成θ角。

圖2 例1解析圖示

根據(jù)牛頓第二定律可知

整個(gè)下滑過(guò)程中，由機(jī)械能守恒可知

聯(lián)立（1）（2）兩式得

以圓環(huán)為研究對(duì)象，由平衡條件可知

將（3）式代入（4）式，得

2 運(yùn)用三角函數(shù)求解極值問(wèn)題

根據(jù)高中數(shù)學(xué)知識(shí)可知，函數(shù)y=acosθ+bsinθ，我們可以變化為：

例2如圖3所示，質(zhì)量為m的滑塊以初速度v0從斜面底端沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，滑塊和斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，重力加速度為g。若斜面傾斜角度可以調(diào)節(jié)，求：當(dāng)斜面傾角為多大時(shí)，滑塊滑行的最大距離最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

圖3 例2圖示

解：當(dāng)θ變化時(shí)，設(shè)沿斜面向上為正方向，滑塊的加速度為a，則：

滑塊的滑行距離x滿足：

3 運(yùn)用物理圖像求解極值問(wèn)題

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常借助圖像來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)，如何將函數(shù)圖像的幾何特征與代數(shù)特征進(jìn)行緊密結(jié)合，往往也是求解問(wèn)題的關(guān)鍵所在。在高中物理定量分析問(wèn)題中，除了通過(guò)物理規(guī)律建立起各種物理量的函數(shù)關(guān)系、進(jìn)行代數(shù)聯(lián)立求解以外，圖像這種語(yǔ)言在傳遞信息的同時(shí)，也可以在特定情境下幫助我們簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算、尋找出問(wèn)題的答案。

例3如圖4所示，在光滑的水平面上靜置一質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的木塊，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射向木塊，若v0大小可隨意調(diào)整，請(qǐng)問(wèn)v0滿足什么條件時(shí)，在整個(gè)子彈打擊木塊的過(guò)程中，木塊獲得的動(dòng)能最大？不考慮子彈豎直方向的下落運(yùn)動(dòng)，假設(shè)子彈打入木塊時(shí)二者之間相互作用力f大小保持不變，重力加速度為g。

圖4 例3圖示

解析如果子彈初速度太小，打擊過(guò)程中，木塊獲得的動(dòng)能肯定較少；子彈初速度不斷增大時(shí)，木塊動(dòng)能是否持續(xù)增加呢？這顯然需要定量的分析，如果以子彈初速度v0為自變量，木塊動(dòng)能為因變量，建立起函數(shù)關(guān)系尋找極值，代數(shù)運(yùn)算會(huì)比較繁瑣，我們不妨用v-t圖像來(lái)展現(xiàn)這個(gè)過(guò)程，尋找答案。

如圖5所示，v-t圖像中陰影部分面積為子彈擊穿木塊的過(guò)程中二者的相對(duì)位移，即等于木塊長(zhǎng)度L。對(duì)比圖6可知減小子彈初速度v0，由于子彈擊穿木塊的過(guò)程二者的相對(duì)位移保持不變，故而木塊在此過(guò)程中獲得的速度更大。由此分析可知，當(dāng)滿足子彈剛好擊穿木塊二者共速時(shí)，木塊獲得的動(dòng)能最大。

圖 5 v-t圖

圖 6 v-t圖

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律可知

由能量守恒可知

4 運(yùn)用矢量三角形求解極值問(wèn)題

由幾何知識(shí)可知，從一點(diǎn)到某一直線垂線段最短。這一幾何特征運(yùn)用于高中物理求解問(wèn)題時(shí)，往往被構(gòu)建在矢量三角形中，利用矢量三角形分析求解動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題就是最好的例子（受篇幅限制，本文不再探討該問(wèn)題）。但是受這個(gè)知識(shí)點(diǎn)影響，在思維方式中，學(xué)生常常固化地認(rèn)為矢量三角形只能求解動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題，其實(shí)矢量三角形也可以在分析其他矢量運(yùn)算時(shí)助力極值問(wèn)題求解。

例4某同學(xué)在距離地面高度h處以一定大小的速度v0斜拋一小球，當(dāng)其速度與水平方向夾角不同時(shí)，落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)的水平距離即射程大小也不同，不計(jì)空氣阻力，則最大射程是多少？

解析設(shè)小球初速度方向與水平面夾角為α，空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，落地速度大小為v，與水平方向夾角為β，由機(jī)械能守恒可知：

圖7 例4解析圖示

該三角形面積為

故當(dāng) α+β=90°時(shí)，S面積取極大值。

代入（1）（4）（5）式解得

5 運(yùn)用費(fèi)馬原理求解運(yùn)動(dòng)中的極值問(wèn)題

1662年法國(guó)科學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出：過(guò)空間中兩定點(diǎn)的光，實(shí)際路徑總是光程（或者時(shí)間）最短。這是幾何光學(xué)中一個(gè)最普通的基本原理，稱為費(fèi)馬原理。用微分或變分法可以從費(fèi)馬原理導(dǎo)出以下三條幾何光學(xué)定律：光在均勻介質(zhì)（或者真空）中沿直線傳播、光的反射定律、光的折射定律。折射定律涉及的介質(zhì)折射率定義為，其中v是光在介質(zhì)中的傳播速度，c是光在真空中的傳播速度，而光在兩種不同介質(zhì)面上折射時(shí)，有[2]。這一規(guī)律可以被用于運(yùn)動(dòng)學(xué)中當(dāng)物體在兩個(gè)不同的速度區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)與時(shí)間相關(guān)的問(wèn)題，即類折射問(wèn)題。

例5如圖8所示，MN為沿著湖岸的一條筆直馬路，路人甲行走到A點(diǎn)位置時(shí)，忽然聽(tīng)見(jiàn)湖中C點(diǎn)傳來(lái)路人乙落水的求救聲，落水點(diǎn)到馬路的垂線段長(zhǎng)，路人甲急忙奔跑至C點(diǎn)救人。已知xAB=30 m，路人甲在馬路上奔跑速度v1=7 m/s，在水中游泳速度v2=1 m/s，請(qǐng)問(wèn)路人甲奔跑至哪個(gè)位置入水游泳到C點(diǎn)位置所需時(shí)間最短？最短時(shí)間是多少？[3]

圖8 例5圖示

解析把路人甲視為光子，馬路相當(dāng)于“光疏介質(zhì)”，湖水相當(dāng)于“光密介質(zhì)”。

如圖9所示，路人甲沿著馬路運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)跳入湖中，沿DC方向游向C點(diǎn)，類比折射定律可知

圖9 例5解析圖示

6 運(yùn)用不等式求解極值問(wèn)題

當(dāng)我們根據(jù)物理?xiàng)l件列出不等式求解問(wèn)題時(shí)，對(duì)計(jì)算式中“≤”“≥”符號(hào)的解讀非常重要，其等號(hào)一般包含了極值條件。高中物理學(xué)習(xí)階段，應(yīng)用到的主要不等式為均值等式，即：

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時(shí)等號(hào)成立。

例6如圖10所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端懸于O點(diǎn)，另一端連接一質(zhì)量為m的小球（小球可視為質(zhì)點(diǎn)），現(xiàn)將輕繩拉直至水平方向，此時(shí)小球處于與O點(diǎn)同一水平高度的M點(diǎn)，由靜止釋放，在小球下擺至最低點(diǎn)N的過(guò)程中，請(qǐng)問(wèn)小球所受重力的最大瞬時(shí)功率是多少？

圖10 例6圖示

解析1如圖11所示，設(shè)某時(shí)刻小球擺到A點(diǎn)，輕繩與水平方向的夾角為θ，小球速度為v。

圖11 例6解析1圖示

小球從M點(diǎn)擺到A點(diǎn)的過(guò)程中由機(jī)械能守恒可知：

聯(lián)立（1）（2）式解得：

本題除了運(yùn)用不等式求解問(wèn)題，也可以應(yīng)用物理原理分析問(wèn)題找到答案。

解析2如圖12所示，以釋放點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。

圖12 例6解析2圖示

7 總結(jié)

在高中物理學(xué)習(xí)中，選擇合理的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法是高效求解物理問(wèn)題的關(guān)鍵。同時(shí)，我們也要結(jié)合高中物理教學(xué)要求與高中生的實(shí)際數(shù)學(xué)能力，不能一味地把所有物理問(wèn)題數(shù)學(xué)化，譬如例6向我們展示了只有抽象的物理分析與合理的數(shù)學(xué)工具相結(jié)合，才能事半功倍。