200233 上海市世界外國語中學 朱靈芝
麥克勞林級數(shù)是泰勒級數(shù)在x=0處的一種特殊形式,它是牛頓的學生麥克勞林在1742年給出的,其用途十分廣泛,主要應用于求極限、近似值計算以及證明不等式等方面.多項式函數(shù)是學生最熟悉的函數(shù)之一,其性質(zhì)比較簡單,因此,對于一些比較復雜的非多項式函數(shù),通常用多項式函數(shù)去逼近它,從而研究其性質(zhì).鑒于此,DP(Diploma Programme)12年級的數(shù)學教學中詳細介紹了麥克勞林級數(shù)(Maclaurin series).因為麥克勞林級數(shù)理論性強又比較抽象,學生學習這部分內(nèi)容比較困難,很多學生一看到公式就產(chǎn)生畏難情緒,想要放棄,因而在實際教學過程中,學生很難感受到麥克勞林級數(shù)化繁為簡的重要作用.
受章建躍博士《如何實現(xiàn)思維的教學》[1]一文的啟發(fā),筆者發(fā)現(xiàn)從簡單到復雜、從直觀到抽象是學生學習的基本認知規(guī)律.為了讓學生對麥克勞林級數(shù)的展開有一個直觀、清晰、透徹的認識,筆者在麥克勞林級數(shù)的課堂教學中發(fā)揮了TI-nspire計算器的作用,利用計算器的slider功能,對逼近的過程進行了動畫演示.以數(shù)形結(jié)合的方式讓學生親眼目睹數(shù)學知識產(chǎn)生過程,幫助學生理解,力求教學符合學生的認知規(guī)律,充分發(fā)揮學生的主體意識,加強“數(shù)學思維”教學,從課堂實際教學來看,效果不錯.
在課堂實際教學中取得了突破后,筆者分析了學生對麥克勞林級數(shù)的畏難情緒,其源頭主要是公式太長,學生看到公式后產(chǎn)生畏難情緒,所以如何讓麥克勞林級數(shù)的求法具有多樣性,并能變得“友善”、簡單起來,成為下一個突破口.為了使學生不再畏難,使其更好地掌握麥克勞林級數(shù)的展開,并能熟練應用,筆者從學生的角度出發(fā),和學生一起通過例題總結(jié)麥克勞林級數(shù)展開的若干方法.
根據(jù)比式判別法可以求出其收斂區(qū)間為(-1, 1).(過程略)
定義法是揭示麥克勞林級數(shù)概念內(nèi)涵和本質(zhì)的邏輯方法,是對數(shù)學實體的高度抽象.定義法具有普適性,其優(yōu)越性是所有函數(shù)都適用的,但有些函數(shù)的求導非常復雜,這也是學生對定義法比較排斥的原因.因此,有必要引導學生思考有沒有可代替的方法.在用定義法求出麥克勞林級數(shù)后,引導學生逆向思考,定義法求出的麥克勞林級數(shù)恰好是學生所熟悉的無窮等比遞縮數(shù)列,于是產(chǎn)生了方法2.
相對于方法2,方法3適用的范圍大大拓展,但仍局限于有理函數(shù)的范疇,學生對形如 (a+bx)n,n∈Q的形式產(chǎn)生了疑問.學生在DP 10學習了冪為自然數(shù)的二項式定理,筆者借此機會與學生探討了冪為有理數(shù)的二項式展開,即牛頓二項式定理.1665年,牛頓將二項式定理推廣到有理指數(shù)的情形,于是有了方法4.
方法4適用于所有冪為有理數(shù)的二項式.在和學生共同探討了四種方法后,學生的積極性大增,想要探索出更多的可能性.筆者引導學生思考麥克勞林級數(shù)的實質(zhì)是用多項式去逼近,因此,目標是找到一個多項式,如果假設這個多項式存在,需要確定的就是多項式的系數(shù),由此想法產(chǎn)生了方法5.
利用等式兩側(cè)的同次項系數(shù)都要相等,可以得到
a0=1
a1-a0=0
a2-a1=0
?
an-an-1=0
?
∴a0=a1=a2=…=1,
面對同一道例題的五種不同方法,學生有了更多的選擇,逐步消除對麥克勞林級數(shù)的畏懼心理.以這五種方法得到的結(jié)論為基礎,筆者引導學生思考,衍生出更多的麥克勞林級數(shù),于是有了方法6.
方法6(變量代換法):變量代換的思想是一種重要的數(shù)學思維方法,可以化繁為簡,變未知為已知,大大拓寬了學生的思路,提高了學生學習的積極性.
在使用變量代換法的時候,學生容易犯一個錯誤,下面舉例說明.
方法6可用于所有已知麥克勞林級數(shù)的推廣,將已知麥克勞林級數(shù)中的變量進行代換,就可以得到新的麥克勞林級數(shù).同時,方法6也適用于復合函數(shù)求麥克勞林級數(shù).筆者抓住時機引導學生觀察未知與已知之間的區(qū)別及聯(lián)系,通過觀察分析得到了方法7和方法8.
方法7適用于所求函數(shù)正好是已知麥克勞林級數(shù)的導數(shù).例如,對sinx的麥克勞林級數(shù)求導可以得到cosx的麥克勞林級數(shù).
微積分是DP 12數(shù)學教學的重點,學生很容易類比逐項求導法聯(lián)想到是不是也有逐項積分法.
例5求f(x)=ln(1-x)的麥克勞林級數(shù).
方法8適用于所求函數(shù)是已知麥克勞林級數(shù)的積分.
在與學生探討了單個函數(shù)的麥克勞林級數(shù)后,很自然地過渡到兩個及以上函數(shù)的加、減、乘、除的麥克勞林級數(shù),從而產(chǎn)生了方法9.
例6求f(x)=exsinx的麥克勞林級數(shù).
方法9(四則運算法):利用已知級數(shù)的加、減、乘、除可以得到新的麥克勞林級數(shù).
方法9適用于已知麥克勞林級數(shù)之間的加、減、乘、除.
在DP 11的數(shù)學教學中,復數(shù)的地位相當重要,復數(shù)的概念以及分類等內(nèi)容能提升學生數(shù)學抽象以及邏輯推理的核心素養(yǎng),利用兩個復數(shù)相等的條件以及棣莫弗公式可以求某些函數(shù)的麥克勞林級數(shù),方法很簡捷.筆者引導學生思考如何用復數(shù)的方法推導出三角函數(shù)的二倍角公式,采用類比的方法遷移到例6中,于是有了方法10.
方法10(復數(shù)法):例6還可以通過復數(shù)法解答,利用兩個復數(shù)相等,實部要和實部相等,虛部要和虛部相等.
學生常對復數(shù)法的絕妙拍案叫絕.DP的復數(shù)教學相對于國家課程要求更高,例如對于有限項級數(shù)的和acosx+a2cos2x+a3cos3x+…+ancos(nx),要求學生能構造出acisx+a2cis2x+a3cis3x+…+ancis(nx),逆向運用棣莫弗公式將其轉(zhuǎn)化為acisx+(acisx)2+(acisx)3+…+(acisx)n,然后利用等比數(shù)列的求和公式和復數(shù)的共軛將其化簡,最后利用實部與實部相等得到有限項級數(shù)的和.整個過程需要學生在已有的基礎知識上,有意識地建立起新舊知識間的聯(lián)系,通過演繹推理得到新舊知識間的邏輯關系.
方法10非常巧妙,可以一舉兩得,讓學生體會到數(shù)學的和諧簡單之美.復數(shù)與三角函數(shù)以及向量的聯(lián)系十分緊密,復數(shù)法主要適用于求解三角函數(shù)的麥克勞林級數(shù),也適用于求解三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)共同構成函數(shù)的麥克勞林級數(shù).
積分的章節(jié)介紹了對有理函數(shù)進行裂項后再積分,筆者引導學生思考有理函數(shù)的麥克勞林級數(shù)是否也可以采用裂項法,下面介紹方法11.
方法11適用于所有可裂項的有理函數(shù).裂項后通常還要用到變量代換法,即方法11通常要和方法6聯(lián)合起來使用.
在對數(shù)函數(shù)的求導教學中,總結(jié)出的準則是先利用性質(zhì)化簡,然后結(jié)合導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)求導法則進行求導.筆者引導學生思考對數(shù)函數(shù)的麥克勞林級數(shù)是否也遵循先化簡的原則,由此想法引出方法12.
然后利用變量代換法就可以求出麥克勞林級數(shù),這里不再展開.
由此可見,根據(jù)函數(shù)的特點以及性質(zhì)進行變形,選擇恰當?shù)男问?,靈活選取公式可以大大簡化計算過程.方法12主要適用于求解對數(shù)函數(shù)的麥克勞林級數(shù),以及求解三角函數(shù)中能利用三角恒等式轉(zhuǎn)化為已知麥克勞林級數(shù)的類型.
在介紹分部積分時,有一類函數(shù)(例如exsinx)在多次分部積分后具有規(guī)律性,積分之后產(chǎn)生的一部分和原式一樣,筆者引導學生思考求導之后的函數(shù)是否也有循環(huán),于是產(chǎn)生了方法13.
例9求f(x)=esinx的麥克勞林級數(shù).
方法13(鏈式法則):利用鏈式法則對f(x)=esinx兩邊關于x求導可以得到f′(x)=esinx·cosx=f(x)·cosx.對上式兩邊關于x求導可以得到f″(x)=f′(x)·cosx+f(x)(-sinx)=f′(x)·cosx-f(x)·sinx,對上式兩邊關于x求導可以得到f?(x)=f″(x)·cosx-f′(x)·sinx-[f′(x)·sinx+f(x)·cosx],化簡得f?(x)=f″(x)·cosx-2f′(x)·sinx-f(x)·cosx.對上式兩邊關于x求導可以得到f(4)(x)=f?(x)·cosx-f″(x)·sinx-2[f″(x)·sinx+f′(x)·cosx]-[f′(x)·cosx-f(x)·sinx].
化簡得f(4)(x)=f?(x)·cosx-3f″(x)·sinx-3f′(x)·cosx+f(x)·sinx,
…
如此一直下去,可以得到
f(0)=1,f′(0)=1,f″(0)=1,f?(0)=0,f(4)(0)=-3,…
方法13適用于求導后具有規(guī)律性的函數(shù),求導之后產(chǎn)生的一部分和原式一樣,這樣可以用原式替代這一部分,然后在替代后的微分方程兩邊求導,如此一直下去,最后結(jié)合定義法就能得到麥克勞林級數(shù).
為了讓學生能更加深刻地理解麥克勞林級數(shù),消除畏懼心理,切實體會到麥克勞林級數(shù)的美,筆者在麥克勞林級數(shù)的教學中以數(shù)學概念的抽象過程為載體,借助數(shù)形結(jié)合讓學生親身經(jīng)歷研究一個數(shù)學對象的基本過程,使學生在探究問題的過程中從有限中認識無限,從近似中認識精確,從量變中認識質(zhì)變,親身體驗數(shù)學概念形成的過程.同時,總結(jié)出的13種方法之間充滿關聯(lián),前后呼應.整個過程中,學生在教師的指導下積極思維,貫通思路,加強理解,最終達到運用自如的目的.