張?jiān)片?姜 葛

(北京市昌平區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校)

微元累積法是物理學(xué)中一種重要的思想方法,是微積分思想在解決物理問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用和體現(xiàn).微元累積法包含微元和累積兩個(gè)過(guò)程,微元過(guò)程的思想是:對(duì)于較復(fù)雜的物理變化或過(guò)程,通常先把整個(gè)過(guò)程分割成若干個(gè)小區(qū)間,認(rèn)為每一小區(qū)間內(nèi)研究的量不變,這樣就可以把變化的、物理規(guī)律不適用的過(guò)程轉(zhuǎn)化為不變的、物理規(guī)律適用的微元過(guò)程.將所有的小區(qū)間內(nèi)的問(wèn)題都解決后,再把全部結(jié)果累積疊加,這個(gè)過(guò)程就是累積過(guò)程.

由于累積過(guò)程會(huì)用到積分知識(shí),所以中學(xué)階段往往把它轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)圖像所圍圖形的“面積”,此時(shí)“面積”起到了數(shù)學(xué)和物理間的橋梁作用.

1 物理量對(duì)時(shí)間的累積

1.1 速度對(duì)時(shí)間的累積

我們知道,做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體的v-t圖像是平行于t軸的一條直線,在Δt時(shí)間內(nèi)物體的位移為Δx＝vΔt,在量值上等于陰影標(biāo)記矩形的面積,如圖1所示.

圖1

當(dāng)物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),其v-t圖像為一條傾斜的直線,如圖2-甲所示.這時(shí)物體在Δt時(shí)間內(nèi)的位移還能否用“面積”表示呢?

如果我們像圖2-乙那樣,把物體的運(yùn)動(dòng)分成6小段,每小段起始時(shí)刻物體的瞬時(shí)速度由相應(yīng)的縱坐標(biāo)表示,在每一小段內(nèi),可粗略認(rèn)為物體以這個(gè)速度做勻速直線運(yùn)動(dòng).因此,我們以每小段起始時(shí)刻的速度乘以時(shí)間,近似地當(dāng)作各小段內(nèi)物體的位移.在v-t圖像中,各段位移可以用一個(gè)又窄又高的小矩形的面積表示.6個(gè)小矩形的面積之和近似地代表物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位移.

當(dāng)然,如果以這6個(gè)小矩形的面積之和代表物體在整個(gè)過(guò)程中的位移,顯然比真實(shí)值要少.為了精確一些,可以把運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分為更多的小段,如圖2-丙所示.用所有這些小段的位移之和代表物體在整個(gè)過(guò)程中的位移就精確得多.小矩形越窄,所有小矩形的面積之和就越接近物體的位移.

可以想象,如果把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分割得非常非常細(xì),很多很多小矩形的面積之和就能非常精確地代表物體的位移了.這時(shí),很多很多小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來(lái)了,這些小矩形合在一起成了一個(gè)梯形,如圖2-丁所示.這個(gè)梯形的面積就代表做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在Δt時(shí)間內(nèi)的位移大小.

圖2

上面這種分析問(wèn)題的方法具有一般意義,原則上對(duì)于任意形狀的v-t圖像都適用.如圖3所示的運(yùn)動(dòng)物體的位移大小,仍然可用處理勻變速直線運(yùn)動(dòng)的方法——“先微元再累積”,位移的大小仍可用v-t圖像與橫軸所圍圖形的面積來(lái)表示.

圖3

1.2 加速度對(duì)時(shí)間的累積

物體的加速度也可以隨時(shí)間連續(xù)變化,那么加速度對(duì)時(shí)間的累積又代表哪個(gè)物理量呢?

我們知道,物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),加速度不變,a-t圖像是一條平行于t軸的直線.由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式可知Δv＝aΔt,即加速度對(duì)時(shí)間的累積為速度的變化量,累積結(jié)果可用a-t圖像的面積表示,如圖4所示.

圖4

對(duì)于做變加速直線運(yùn)動(dòng)的物體,其a-t圖像的面積是否還表示速度的變化量呢?類(lèi)比v-t圖像求位移的方法可知,做變加速直線運(yùn)動(dòng)的物體,其a-t圖像的面積仍然表示物體速度的變化量.

例1(2012年北京卷,有改編)某摩天大樓中有一部直通高層的客運(yùn)電梯,已知電梯在t＝0 時(shí)由靜止開(kāi)始上升,電梯運(yùn)行時(shí)的加速度a隨時(shí)間t變化的a-t圖像如圖5所示.求:

(1)0～2s內(nèi)電梯的速度的變化量;

(2)該電梯上升過(guò)程中的最大速度.

解析(1)電梯在0～2s內(nèi)做變加速直線運(yùn)動(dòng),由前面的學(xué)習(xí)我們知道,做變加速直線運(yùn)動(dòng)的物體,其a-t圖像的面積表示速度的變化量.由此得,電梯在0～2s內(nèi)速度的變化量為a-t圖像第1個(gè)三角形的面積,即有

(2)t＝0時(shí),電梯的速度為0;在0～12s內(nèi),電梯的加速度均為正值,即電梯的速度在增加,所以t＝12s時(shí),電梯的速度最大.電梯的最大速度即為第1個(gè)梯形的面積,有

1.3 力對(duì)時(shí)間的累積

沖量是描述力對(duì)時(shí)間累積效應(yīng)的物理量,其定義式I＝Ft適用于求恒力的沖量.如果在時(shí)間t內(nèi),作用在物體上的力是變化的,就要把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成很多很短的時(shí)間間隔Δt,以至在Δt時(shí)間內(nèi),可以認(rèn)為力是不變的,用這段時(shí)間內(nèi)的作用力乘以這段時(shí)間,則力的沖量為FiΔt,t時(shí)間內(nèi)的沖量等于所有小段力的沖量的矢量和,即I＝∑FiΔt.如果物體做直線運(yùn)動(dòng),求和的結(jié)果可用F-t圖像與橫軸所圍圖形的面積表示.

例2質(zhì)量為2kg的物體,受到如圖6所示的變力F的作用,從靜止開(kāi)始沿光滑水平面做直線運(yùn)動(dòng).求5s末物體的速度大小.

圖6

解析物體在變力F的作用下將做變加速直線運(yùn)動(dòng),在5s內(nèi)力F的沖量在量值上等于三角形的面積,即.對(duì)物體應(yīng)用動(dòng)量定理有I＝mv－0,故

1.4 電流對(duì)時(shí)間的累積

我們知道,電流定義為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量,即.當(dāng)Δt→0時(shí),q-t圖像上某一點(diǎn)的斜率即為電流i.如果知道電流隨時(shí)間的變化規(guī)律,能否反過(guò)來(lái)求得通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量呢?

根據(jù)Δq＝iΔt可知,電流對(duì)時(shí)間的累積表示通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量.如果電流是變化的,根據(jù)微元累積思想可知,任意i-t圖像與橫軸所圍圖形的面積都表示通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量.

例3在觀察電容器的充、放電實(shí)驗(yàn)中,電路如圖7-甲所示.先使開(kāi)關(guān)S與1端相連,電源向電容器充電;充電完成后把開(kāi)關(guān)S擲向2端,電容器通過(guò)電阻R放電,電流傳感器將電流信息傳入計(jì)算機(jī),屏幕上顯示出電流隨時(shí)間變化的I-t圖像如圖7-乙所示.

圖7

(1)圖7-乙中豎立的狹長(zhǎng)矩形(在圖的最左邊),它的面積的物理意義是什么?

(2)怎樣根據(jù)I-t圖像估算電容器在整個(gè)放電過(guò)程中釋放的電荷量?

解析(1)根據(jù)前面的分析我們知道,電流對(duì)時(shí)間的累積表示通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量,量值上等于I-t圖像與t軸所圍圖形的面積.最左邊的狹長(zhǎng)矩形的面積可近似表示在0～0.1s時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R的電荷量,實(shí)際通過(guò)電阻R的電荷量要比這個(gè)狹長(zhǎng)矩形面積略大.

(2)整個(gè)過(guò)程中面積的計(jì)算可借鑒測(cè)定分子直徑實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn),已知每一小方格代表的電荷量為

然后再數(shù)一數(shù)圖線與橫軸所圍成的圖形中有多少個(gè)這樣的小方格,大于半個(gè)的算一個(gè),小于半個(gè)的不算,假設(shè)數(shù)后的結(jié)果為N,那么電容器在整個(gè)放電過(guò)程中釋放的電荷量為Q＝Nq1.

2 物理量對(duì)空間的累積

2.1 力對(duì)空間的累積

功是描述力對(duì)空間累積效應(yīng)的物理量,其定義式W＝Fx,適用于求恒力的功.如果在位移x內(nèi),作用在物體上的力是變化的,就要把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成很多很短的位移Δx,以至在Δx內(nèi),可以認(rèn)為力是不變的,用這段時(shí)間內(nèi)的作用力Fi乘以這段位移Δx,則力的功為Wi＝FiΔx,x位移內(nèi)的功就等于這些小段力的功的標(biāo)量和,即W ＝∑FiΔx.

如果知道了物體所受外力F隨位移x的變化關(guān)系,則以位移為橫軸,力為縱軸,作出F-x圖像,這樣F-x圖像與橫軸所包圍圖形的面積在量值上代表了力的功.因此,求功就變成了求F-x圖像的面積.

例4如圖8所示,某同學(xué)用一外力作用于勁度系數(shù)為k的輕彈簧上,使彈簧緩慢發(fā)生形變,形變量為Δx,彈簧始終在彈性限度內(nèi).求在這一過(guò)程中,該同學(xué)克服彈簧彈力所做的功W.

圖8

解析該過(guò)程中,彈簧的彈力為變力,如何將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功,以便用功的定義式求解呢? 前面我們講到,將該過(guò)程分割成若干個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間內(nèi)彈力可近似看作恒力,在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用功的定義求解,然后再把所有小區(qū)間累積起來(lái),得到整個(gè)過(guò)程彈力所做的總功.同樣,我們可以用“面積”表示累積的效果.

由胡克定律可知,彈簧彈力的大小與彈簧的形變量成正比,所以彈簧彈力F與形變量Δx的圖像如圖9所示.克服彈力做功W在數(shù)值上等于圖像中陰影部分圖形的面積,即

圖9

當(dāng)然,對(duì)于任意變力,F-x圖像所圍圖形的面積在數(shù)值上均等于力F所做的功.

2.2 電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)距離的累積

在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,電勢(shì)差U與電場(chǎng)強(qiáng)度E之間滿足U＝Ed的關(guān)系,即勻強(qiáng)電場(chǎng)中兩點(diǎn)間的電勢(shì)差等于電場(chǎng)強(qiáng)度與這兩點(diǎn)沿電場(chǎng)方向距離的乘積.在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度E隨沿電場(chǎng)方向的位置x變化的圖像為平行于x軸的直線,則其兩點(diǎn)間的電勢(shì)差即圖像與x軸所包圍圖形的面積,如圖10-甲所示.

對(duì)于非勻強(qiáng)電場(chǎng),我們可以將整段距離d分成無(wú)數(shù)個(gè)很短的距離Δd,在每一段Δd中,電場(chǎng)強(qiáng)度Ei可以認(rèn)為是恒定的,因此該段兩點(diǎn)間電勢(shì)差可以表示為ΔU＝EiΔd,即圖像中小矩形的面積.因此,整段距離d兩點(diǎn)間電勢(shì)差U為每一段電勢(shì)差ΔU的累積求和,即圖線與x軸所包圍圖形的面積,如圖10-乙所示.

圖10

例5(2013年上海卷)半徑為R、均勻帶正電荷的球體在空間產(chǎn)生球?qū)ΨQ(chēng)電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)大小沿半徑分布如圖11所示,圖中E0已知,Er曲線下O～R部分的面積等于R～2R部分的面積.

圖11

(1)寫(xiě)出E-r曲線下面積的單位;

(2)已知帶電球在r≥R處的場(chǎng)強(qiáng)式中k為靜電力常量,該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大?

(3)求球心與球表面間的電勢(shì)差ΔU.

(4)質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運(yùn)動(dòng)到2R處?

解析兩點(diǎn)間電勢(shì)差等于電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)空間距離的累積,因此E-r曲線下的面積即電勢(shì)差.

(1)根據(jù)分析可知電勢(shì)差單位為伏特(V).

(2)根據(jù)圖像可知,r＝R處場(chǎng)強(qiáng)因此

(3)E-r曲線下O～R部分的面積等于球心與球表面間的電勢(shì)差ΔU,因此

(4)E-r曲線下O～R部分的面積等于R～2R部分的面積,因此球面處與2R處之間的電勢(shì)差

負(fù)電荷剛好運(yùn)動(dòng)到2R處的過(guò)程中,根據(jù)動(dòng)能定理有

2.3 磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)面積的累積

為了形象地描述磁場(chǎng)的大小和方向,人們引入了磁感線.當(dāng)考查磁場(chǎng)中磁感線條數(shù)在某一曲面上的積累效果時(shí),引入磁通量的概念,定義通過(guò)某一曲面磁感線的條數(shù)為這一曲面的磁通量,簡(jiǎn)稱(chēng)磁通,用字母Φ表示.

如圖12-甲所示,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,有一面積為S的平面,其在垂直磁場(chǎng)方向的投影面積為S⊥.可以看出,通過(guò)平面S的磁感線條數(shù)與通過(guò)平面S⊥的磁感線條數(shù)相同,則磁通量

其中θ為平面法線與磁場(chǎng)方向的夾角.

如圖12-乙所示,磁場(chǎng)為非勻強(qiáng)磁場(chǎng),曲面也不是平面,而是一個(gè)任意大小的有限曲面,在計(jì)算通過(guò)整個(gè)曲面的磁通量時(shí),我們可以利用微元累積法,把整個(gè)曲面分成無(wú)限多個(gè)微小面元ΔS,每個(gè)ΔS可近似看成平面,且通過(guò)此面元的磁場(chǎng)可近似看成勻強(qiáng)磁場(chǎng),則磁通量表示為

圖12

由于曲面上每一個(gè)面元的法向事先規(guī)定,因此,磁通量可正可負(fù),它表示磁感線穿過(guò)曲面的方向.磁通量這一概念的提出,不僅為我們提供了從空間區(qū)域積累的角度認(rèn)識(shí)磁場(chǎng)的新視角,還為電磁感應(yīng)現(xiàn)象的研究與應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

請(qǐng)讀者思考:在電場(chǎng)中可否引入類(lèi)似于磁通量的“電通量”呢?

例6(2018 年北京卷)靜電場(chǎng)可以用電場(chǎng)線和等勢(shì)面形象描述.

(1)請(qǐng)根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義和庫(kù)侖定律推導(dǎo)出點(diǎn)電荷Q的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式;

(2)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線和等勢(shì)面分布如圖13所示,等勢(shì)面S1、S2到點(diǎn)電荷的距離分別為r1、r2.我們知道,電場(chǎng)線的疏密反映了空間區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.請(qǐng)計(jì)算S1、S2上單位面積通過(guò)的電場(chǎng)線條數(shù)之

圖13

解析(1)在距Q為r的位置放一電荷量為q的檢驗(yàn)電荷.由庫(kù)侖定律知檢驗(yàn)電荷受到的電場(chǎng)力.根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度定義

2.4 氣體的壓強(qiáng)對(duì)體積的累積

壓縮一定質(zhì)量的氣體,外界要克服氣體的壓強(qiáng)對(duì)氣體做功,根據(jù)功的定義W＝Fl知,W＝Fl＝pSl＝pV.由此可知,壓強(qiáng)p對(duì)體積V的累積效果表現(xiàn)為功.當(dāng)氣體體積減小時(shí),外界對(duì)氣體做功;當(dāng)氣體體積增大時(shí),氣體對(duì)外界做功.

例7一定量的理想氣體的p-V圖像如圖14所示,氣體狀態(tài)經(jīng)歷了A→B→C變化過(guò)程.則氣體在狀態(tài)C的內(nèi)能________氣體在狀態(tài)A的內(nèi)能(填“＞”“＜”或“＝”).在上述過(guò)程中,氣體需_________(填“吸熱”或“放熱”),它與外界交換的熱量的絕對(duì)值為_(kāi)_______J.

圖14

解析由p-V圖像可知,在A、C兩狀態(tài),氣體的pV值相等,由理想氣體狀態(tài)方程可知,A、C兩狀態(tài)的溫度相等,則氣體在兩狀態(tài)的內(nèi)能相等.A→B過(guò)程為等壓過(guò)程,氣體體積減小,外界對(duì)氣體做功W＝Fl＝pSl＝pV＝300J;B→C過(guò)程是等容變化,氣體不做功.在整個(gè)過(guò)程中,由熱力學(xué)第一定律U＝W＋Q,可知Q＝U－W＝0－300J＝－300J.由此可知,在整個(gè)過(guò)程中氣體對(duì)外放熱,放出的熱量為300J.

3 并非所有的累積都有意義

當(dāng)一個(gè)物理量對(duì)另一個(gè)物理量累積時(shí),其累積結(jié)果不一定都有物理意義.

在如圖15-甲所示的電路中,調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器的滑片P,通過(guò)定值電阻R上的電流I和其兩端的電壓U均在變化.由歐姆定律可知,U與I成正比,U-I圖像如圖15-乙所示.

圖15

由于P＝UI,由上面的“經(jīng)驗(yàn)”容易聯(lián)想到,在UI圖像中,圖線與I軸所圍成的圖形的面積為功率P.事實(shí)上并非如此.我們找到圖線中的一點(diǎn),該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)分別為I1、U1,此時(shí)R消耗的電功率為P1＝U1I1,對(duì)應(yīng)圖15-丙所示的矩形面積.究其原因是功率P不是電壓U對(duì)電流I累積的結(jié)果,它等于電流和電壓瞬時(shí)值的乘積.

(完)