鄭毓信 (南京大學哲學系 210093)

3 聚焦“數(shù)學學習”(1)：加強思考

如果你將來不想成為數(shù)學家，甚至也不想從事任何與數(shù)學密切相關的工作，那么數(shù)學學習的主要意義又是什么？畢竟我們自入學以來已經、并可能仍將在數(shù)學學習上花費大量的時間和精力，自然就應認真地思考如何才能通過數(shù)學學習得到真正的收獲，后者當然不應局限于一般所謂的“日常數(shù)學”，即日常生活中要用到的基本數(shù)學知識與技能．

在筆者看來，著名數(shù)學家、數(shù)學教育家波利亞的以下論述已為上述問題提供了明確解答：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學生——未來用數(shù)學和不用數(shù)學的人，那么他在教解題時應當教三分之一的數(shù)學和三分之二的常識．對學生灌注有益的思維習慣和常識也許不是一件太容易的事，一個數(shù)學教師假如他在這方面取得了成績，那么他就真正為他的學生們(無論他們以后是做什么工作的)做了好事．能為那些70%的在以后生活中不用科技數(shù)學的學生做好事當然是一件最有意義的事情．”[8]

具體地說，由于數(shù)學可以被看成“思維的科學”，因此，數(shù)學學習的主要作用就是有助于學生思維的發(fā)展，對此我們應超出數(shù)學、從更一般的角度進行理解，這也正是波利亞何以特別強調“思維習慣和常識”的主要原因．簡言之，我們應當致力于通過數(shù)學學習逐步學會更清晰、更全面、更合理、更深入地進行思考，或者說，應努力提升自已的思維品質．因此，就如何學好數(shù)學而言，這就是最重要的一點，即加強思考．

在筆者看來，從同一角度我們可以更清楚地認識現(xiàn)行的數(shù)學教學存在的問題，特別是“題海戰(zhàn)術”所造成的嚴重后果．因為，所謂的“大運動量”事實上就是機械學習，希望學生單憑機械記憶和簡單模仿(包括“解題活動的程序化和算法化”)，就能在數(shù)學考試中取得較好成績．但是，即使上述做法確實對提升考試成績起到一定作用，但考慮到我們?yōu)榇烁冻龅木薮笈?，而這些除考試外又無任何真正的用處，那么，這顯然就是一種得不償失的行為．

另外，如果著力于解決問題能力的提升，而不只是如何能在各種常規(guī)考試中取得較好成績，那么上述做法的效能也就大可質疑．因為真正的“問題解決”，無論這是指數(shù)學內部或是數(shù)學以外，都應視為一種創(chuàng)造性的工作，從而就不可能單純依靠現(xiàn)成的知識與技能(包括“解題策略”)的簡單應用就能實現(xiàn)．恰恰相反，由于問題的多樣性和復雜性，更由于相應思維活動的非邏輯性，即不僅可能表現(xiàn)為純粹的靈感或頓悟，更必然有一定的或然性與個體性，因此，盡管我們應當充分肯定“題型分析”的重要性，努力提升學生的辨識能力，也應高度重視“解題策略”的學習，從而在遇到困難時就可獲得一定啟示，但是單靠這些顯然還不足以保證解題活動的成功，恰恰相反，我們應由具體的數(shù)學思想方法和解題策略轉向一般性的思維策略與思維品質的提升．

特殊地，從上述角度我們也可以清楚地認識并努力糾正這樣一種傾向，即對于“快”的片面追求．以下就是這方面的兩個實例：

其一，著名數(shù)學家姜伯駒先生在接受采訪時明確提及數(shù)學帶給他的最大收益是學會了長時間的思考，而不是匆忙地處理問題．

其二，我國最年輕的數(shù)學院士孫斌勇(2019年)在被問及如何學好數(shù)學時給出的回答：“我從不要求快的，能用筆算的不口算．我和女兒也這么說，穩(wěn)是最重要的．”

養(yǎng)成“長時間思考”的習慣和能力有重要的普遍意義：“快思”占據主導的地位是人類思維的一個重要特點，雖然這對于人們的工作和生活具有十分重要的作用，但也有明顯的局限性，特別是，經常會導致各種規(guī)律性的錯誤．因此，作為自覺的努力，我們應十分重視如何能夠逐步學會“長時間思考”，從而切實提高自身的思維與認識能力，包括有效克服與糾正“快思”可能導致的各種錯誤，這就是數(shù)學學習所應發(fā)揮的一個重要作用(詳見文[9])．

以下就對數(shù)學學習中應當如何進行思考做出具體分析，即我們應當圍繞哪些問題進行思考．

第一，“為什么？”這是指，學習中我們必須明確反對機械記憶與簡單模仿，而應切實做好理解的工作．

這事實上也正是孫斌勇院士在接受采訪時提到的主要經驗：“我小時候看書特別仔細，我想這是唯一的不同．”“細到每一句話都能理解它什么意思．數(shù)學里每一個定理，比如不等式，我都能自己證明．”“我就是想搞明白，想學得清楚，不稀里糊涂地學習．很多人越學越糊涂，尤其是數(shù)學．”[1]

當然，這并非一個全新的主張，因為數(shù)學學習從來強調理解，我們更應將此很好地落實于數(shù)學學習的各個方面，如為什么要對概念做出相應的定義，其合理性究竟何在？相關結論是否真的可靠，或者說我們究竟為什么可以將此看成完全可靠的？在解決問題的過程中為什么要采取相應的方法，你又是如何想到的？等等．

應當提及的是，認知科學的現(xiàn)代研究已為上述做法提供了直接的論據．具體地說，這也是一篇綜合性的文章的直接主題[10]：“我們試圖定義一個研究支持下的建議子集……該子集……對課堂教學有清晰而直接的啟示．”這就是文中提到的第一條建議：“解釋性提問．”“精心訊問，簡單說來就是問‘為什么’……包括‘為什么這是真的？’‘為什么……是合理的’……”這就是相關作者何以將此稱為“解釋性提問”的主要原因：“學習者可以通過向自己解釋來理解新知識.”“使用解釋性提問不僅促使學生回憶信息，而且促使他們綜合、闡述、生成、假設和解釋信息．從理論上來說……這種提問方式是讓學生主動參與學習過程的一種方法．”(1)文中所提到的另外兩個建議分別是“范例的使用”和“元認知策略的訓練”

應當強調的是，除去數(shù)學學習本身以外，上述方向的思考還具有更普遍的意義：這十分有益于我們學會理性思維，包括理性精神的養(yǎng)成，后者可以看成未來社會特別需要的一種品質，即有助于我們糾正行事過于倉促、過于任性這一常見的弊病，包括對于時髦潮流的盲目追隨．

第二，“如何發(fā)展和優(yōu)化？”這是指，除去單純的“為什么”，我們還應十分重視更高層次的思考，即如何能對已獲得的結果作出推廣和發(fā)展？如何能夠通過新的抽象獲得更深刻的認識？我們又如何能對已有的方法作出改進？等等．另外，我們又如何能由已有工作得到更大的收獲？

具體地說，這正是“數(shù)學傳統(tǒng)”的一項基本涵義，即數(shù)學家們通常并不滿足于簡單的“問題解決”，而是力圖通過提出新的問題和進一步的研究不斷取得新的進步，如我們能否對已獲得的結果作出推廣？在各種看上去并無聯(lián)系的事實背后是否隱藏著某種普遍性的理論？他們也總是希望達到更大的簡單性和精致性，如能否找到更簡單的證明？又能否對于相應的表述方式(包括符號等)作出改進？等等．

再者，這可以看成數(shù)學學習的本質所在：這主要地不是指知識和技能的單純積累，也不是指不斷的糾錯，而是一個不斷優(yōu)化的過程，包括認識的深化與方法的改進等．

鑒于我們的立場，筆者特別強調“入”和“出”這樣兩個關鍵詞，我們不僅應當十分重視“理解”的工作，如通過自己的思考使得相應的過程和方法真正成為“可以理解的和可以學到手的”，而且也應高度重視如何能夠對此作出推廣，包括超出數(shù)學發(fā)揮更大的作用．例如，從上述角度我們可以更好地理解以下主張的合理性，即就日常的解題活動而言，我們不應滿足于順利地解決問題，而應由單純的“就題論題”上升到“就題論法”和“就題論道”(王華語)．

更一般地說，這就是筆者何以特別強調以下幾點的主要原因，即我們在數(shù)學學習中應當特別重視這樣一些思想的學習和應用：“序”的思想與思維的清晰性，“聯(lián)系的觀點”與思維的深刻性，“變化的思想”與思維的靈活性，“總結、反思和再認識”與思維的自覺性．(詳見文[11])

最后，正如前面已提及的，我們也應十分重視個體的特殊性：“適合自己的才是最好的．”當然，我們不應將此理解成學習上的固步自封，恰恰相反，我們應當努力做好“創(chuàng)造的自由性和指導的約束性”之間的適當平衡．

第三，強調思考并不意味著對其他各種學習形式的絕對排斥，恰恰相反，這正是所謂的“多元表征理論”(可參見文[12])給予我們的一個重要啟示，即人們的思維活動往往與其他一些活動密切相關，后者對此具有重要的促進作用．

例如，就數(shù)學學習而言，所謂的“動手實踐”就是特別重要的一個方面，特別是，鑒于學生的認知特點，這甚至可以看成不可或缺．當然，就這方面的具體工作而言，我們應堅持這樣一個原則：不應為動手而動手，而應更加注重“以動促思”，即以動手促進自己的思考．

在此筆者特別強調“畫圖”的重要性．從理論的角度看，這也同樣涉及到了“內”與“外”之間的關系，只是其重點并非“活動的內化”，而是思維的“顯性化”或“可視化”．由以下論述我們可以很好地認識“思維外化”(具象化)的重要性，盡管其直接論及的只是“編程思維”：“通過把原本抽象的程序具象化，我們可以對其進行全局審視和局部聚焦，不斷地進行修改和完善……如果一個想法只是裝在我們的腦子里，我們往往會認為自己對它足夠熟悉，而很少會對它進行不同角度的審視和思考，也就很難發(fā)現(xiàn)其中的問題和缺陷．可是一旦把它寫出來(畫出來——注)，我們就能梳理清楚它的結構脈絡，仔細斟酌并完善其中的每個細節(jié)．在這個過程中，我們還可以讓更多的人加入進來，利用集體的智慧來避免個人認知和視角的局限．”[13]

顯然，由以上論述我們也能引出這樣一個結論：相對于“直觀性”而言，我們應當更加重視圖形對于思維的輔助和促進作用，這也是指，相對于一般所謂的“直觀圖”或“幾何圖形”而言，我們應當更加重視“流程圖”和“概念圖”的學習和應用．由此我們可以更好地認識數(shù)學學習的普遍意義，因為，數(shù)學學習顯然十分有益于我們很好地掌握所說的方法，后者可以、并且事實上已在各個領域中得到了廣泛應用．

總之，我們既應高度重視各種學習方式的綜合應用，又應很好地落實這樣一個要求，即應以各種方式促進思維，而不應喧賓奪主．

最后，為了避免錯誤的解讀，筆者特別強調這樣兩點：

其一，我們是否可以完全不去考慮考試成績的提高？恰恰相反，上述建議事實上也可以看成為我們如何能夠提升自己解決問題的能力，從而也就能在各種考試中取得較好成績提供了一條“正道”，這也是指，與機械記憶和簡單模仿相對照，我們應當更加重視思維策略的學習和應用，特別是自身思維品質的提升．

例如，類比聯(lián)想顯然有助于解題途徑的發(fā)現(xiàn)，包括通過將事物聯(lián)系起來加以考察我們即可獲得更深入的認識；通過適當?shù)淖兓覀兛梢愿玫貙崿F(xiàn)“化未知為已知、化繁為簡、化復雜為簡單”，包括逐步學會從不同的角度分析問題和解決問題；再者，借助“總結、反思與再認識”我們可以實現(xiàn)更大的自覺性，特別是，使相應的思維過程對于自身而言真正成為“可以理解的，可以學到手和可以推廣應用的”．

其二，如果自已在數(shù)學學習中感到十分輕松，如對教師課堂上的講授一聽就懂，做作業(yè)時也沒有任何特別的困難，上面所講的對我而言是否就不具有任何意義？事實上，這也正是筆者的一個親身體驗：盡管在校學習期間自己的成績一直不錯，卻只是在走上工作崗位的多年以后才認識到了未能盡早思考更重要的一些問題所造成的嚴重后果，甚至更可說因此而浪費了大量的時間和精力．還應強調的是，就如何更好地進行學習而言，上面的論述也有重要的啟示意義．相信讀者由下一節(jié)的論述可以更好地體會到這樣一點，因為，這些方面在現(xiàn)實中常常未能獲得人們的足夠重視，但它們對于數(shù)學學習事實上也非常重要．

4 聚焦“數(shù)學學習”(2)：其他一些重要的方面

第一，總結、反思與再認識．

不同于一般所謂的反思，即我們如何能夠清楚地認識與有效糾正自己的缺點與錯誤，數(shù)學中所說的反思具有更廣泛的涵義，并與再認識有著直接的關系，這也是指，我們如何能夠通過進一步的分析思考，包括更高層次的抽象等，實現(xiàn)認識的不斷深化．

這事實上也可以看成數(shù)學發(fā)展的基本形式：除去“由少到多、由簡單到復雜”這一明顯的趨勢以外，存在相反方向上的發(fā)展，即我們如何能夠通過深入研究很好地實現(xiàn)“化多為少、化復雜為簡單”．例如，我們應從這一角度更好地理解數(shù)學的高度抽象性，包括人們?yōu)槭裁磿⒋朔Q為“自反抽象”，并因此而認定數(shù)學發(fā)展主要歸結為“縱向的發(fā)展”，而不只是同一層次上的擴展．

又如華羅庚先生的以下論述所清楚表明的，上述的辯證運動也可以看成我們如何能夠真正做好學習的關鍵，盡管他使用的語言并不完全相同：“由薄到厚是學習、接受的過程，由厚到薄是消化、提煉的過程.”“經過‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過程，對所學的東西做到懂，徹底懂，經過消化的懂，我們的基礎就算是真正打好了．”[14]不難想到，這里所說的“總結、反思與再認識”事實上也可以看成我們很好地實現(xiàn)“消化”與“提煉”的基本途徑．

當然，我們不應將所說的“縱向發(fā)展”與“橫向發(fā)展”簡單對立起來，而應清楚地認識兩者之間的辯證關系，特別是，相對于單純的積累而言(無論就數(shù)學基礎知識和基本技能，或是“活動經驗”而言)，我們更加重視如何能夠通過“總結、反思與再認識”很好實現(xiàn)由“局部性認識”向“整體性把握”的過渡，包括逐步建立結構性的認識，真正做好“突出重點，以主帶次”．

還應強調的是，即使就日常的學習活動而言，后一方面的思考也有十分重要的意義．例如，如果我們在解題過程中遇到了很大困難，這時就不應始終局限于單一方向上的思考，乃至唯一集中于如何能夠盡快地解決問題，而應跳出這一框架從更大的范圍進行分析思考，如什么是近期學習的主要內容？什么是要解決的主要問題？主要的難點是什么？什么又可以看成突破難點的主要手段或方法？等等——盡管這些思考似乎已在一定程度上偏離了當前的任務，但又正如“居高臨下”這一成語所清楚表明的，相關思考往往會對我們順利地解決所面對的問題有很大的幫助．

最后，上述分析更清楚地表明了學會“長時間思考”的重要性，因為深入的分析思考、特別是“總結、反思與再認識”都不可能單純依靠“快思”得到完成，這更可以看成真正的數(shù)學工作(乃至一般性創(chuàng)造性工作)的一個重要特征．

第二，努力提升自身提出問題的能力．

這事實上可以看成中國數(shù)學教學十分重要的一個特征，即教師特別善于通過適當提問引導學生積極進行思考，從而在充分發(fā)揮引領作用的同時，也能很好地落實學生在學習活動中的主體地位．顯然，依據這一分析我們可以清楚認識“學會提問”對于學生學會學習的特殊重要性：屆時我們就可由主要是在教師引領下進行學習轉變?yōu)橥ㄟ^適當提問實現(xiàn)學習上的自我引領，也即真正成為學習的主人．

由“元認知”在解題活動中作用的分析相信讀者對此有更好的認識．具體地說，所謂“元認知”，是指解題者對于自身正在從事的解題活動(包括解題策略的選擇、整個過程的組織、目前所從事的工作在整個解題過程中作用等)能夠始終保持清醒的自我意識，并能通過自我分析和評估及時作出必要調整．顯然，元認知水平的提升十分有助于我們有效地防止與糾正“盲目干”這樣一個現(xiàn)象，后者既包括解題者不加思考地就投入到某一方向之中，也是指其始終未能作出及時的評估與調整，而是“一股勁地走到頭”，但卻未能取得任何的進展，或是盡管取得了某些結果但卻對于最終解決問題毫無作用．進而，這又可以看成我們如何能夠有效提升自身元認知水平最重要的一個途徑，即在平時的解題活動中應當經常問自己這樣三個問題：我正在做什么？為什么要這樣做？這樣做了究竟產生了怎樣的效果？

另外，依據先前的分析可以發(fā)現(xiàn)：適當?shù)奶釂栆彩俏覀冋嬲龊谩翱偨Y、反思與再認識”的關鍵．又因為無論是后者或是“元認知”都清楚地表明了主體是否在學習活動中表現(xiàn)出了較大自覺性，由此我們可以更清楚地認識“學會提問”對于學會學習的特殊重要性．

最后，我們也應超出學習、并從更一般的角度認識學會提問的重要性，特別是這直接關系到了創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，因為提出問題的能力應當說比解決問題的能力更加重要．再者，這當然也是我們應當特別重視的一個事實，即中國學生往往不善于提出問題，從而就應切實地加強．

例如，從教學的角度看，我們應當十分重視保護學生的提問積極性，而不要因為一些不恰當?shù)淖龇ㄊ顾麄冎鸩阶兊貌桓覇?、不愛問、不善問．當然，作為問題的另一方面，我們也應清楚地認識到這樣一點：正如解決問題能力的培養(yǎng)，提出問題能力的提升同樣主要依賴于后天的學習．因此，片面強調“學生所提的問題都是合理的”只會起到誤導的作用，恰恰相反，無論是教師或學生都應在這方面作出更大的努力，包括將這一思想很好地滲透于日常的數(shù)學教學活動之中．例如，這事實上也正是數(shù)學發(fā)展的又一重要特征，即每個數(shù)學分支都有自己的基本問題，相關理論就是圍繞這些問題逐步得到建立的．因此，我們應將問題的清楚界定與適當表征看成數(shù)學學習的一項重要內容，并通過這一途徑逐步提升自身提出問題的能力．

第三，學會合作．

由以下論述我們可以清楚地認識到學會合作的重要性：“到了21世紀，我們大部分人將與他人一同協(xié)作，相互提供服務……我們必須意識到，工作的固有尊嚴來自人與人的關系，而非人與物的關系．我們必須意識到，好的工作就是與他人溝通交流，理解他們的期許與需求……”[3]

當然，相對于這種一般性的論述，我們應深入地思考“學會合作”對于學好數(shù)學、特別是促進自身思維發(fā)展的特殊重要性，包括我們如何才能很好地實現(xiàn)這樣一個目標．

例如，相對于“大聲地說，清楚地表達”這種一般性要求而言，我們應當更加重視“想清楚了再講”，即應當在表達前先對自己頭腦中的想法作出認真的自我梳理、審視與必要的調整；再例如，相對于“仔細地聽”這一要求，我們應更加重視比較與分析的工作，因為其他人的看法或做法為我們進行深入思考提供了重要背景，我們應當通過不同想法或主張(包括主體原有想法)的比較分析實現(xiàn)認識的不斷優(yōu)化．

當然，作為必要的平衡，我們也應“學會獨處”，而這不僅可以看成是由數(shù)學學習本身的性質所直接決定的(這主要依賴于主體的獨立思考)，也可以看成這樣一個主張的必然要求，即我們應當努力養(yǎng)成“長時間思考”的習慣和能力，特別是具有較強的反省意識，包括超出數(shù)學、并從更一般的角度進行分析思考．

例如，著名學者周國平先生就曾指出：“怎樣才能使靈魂豐富呢？欣賞藝術，欣賞大自然，情感的經歷和體驗，這些都很重要．除此以外……要養(yǎng)成過內心生活的習慣．人應該留一點時間給自己，和自己的靈魂在一起，靜下來，想一想人生的問題，想一想自己的生活狀況……我承認交往是一種能力，但獨處是一種更重要的能力，缺乏這種能力是更大的缺陷．”[15]更一般地說，這也正是現(xiàn)代人必須具備的又一基本素養(yǎng)：“世界變化得越快……對我們生活方方面面改變得越多，每個人就越需要放慢速度……當你按下一臺機器的暫停鍵時，它就停止運轉了．但是，當一個人給自己暫停一下的時候，他就重新開始了．你開始反思，你開始重新思考你的假設前提，你開始以一種新的角度重新設想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你內心開始與你內心深處最堅定的信仰重新建立聯(lián)系……”[3]

最后，筆者愿意再次強調“學會自律、自立”的重要性，這不僅是因為這兩者應被看成“做好合作”的必要前提，更重要的是，上述各項要求就總體而言為我們如何能夠學好數(shù)學指明了努力方向，但是，假如我們不能在這些方面做出切實努力，特別是通過自律、自立不斷取得新的進步，那么所說的一切顯然就都只是純粹的空談．

另外，上面的論述當然也不應看成已經窮盡了所有重要的方面，恰恰相反，我們應通過積極實踐和深入思考作出進一步的分析思考．這事實上也應看成一個十分重要的方面，即辯證思維的指導，特別是，我們應處理好這樣一些辯證關系：“學生取得自己的樂趣與滿足教師的要求”“創(chuàng)造的自由性和指導的約束性”“內在的思維活動與外部的活動或表現(xiàn)”“合作與獨處”，等等．

當然，對于后者我們也應聯(lián)系自己的學習作出進一步的分析總結．例如，我們應當如何處理“快與慢”之間的關系，特別是，我們不應單純從時間的維度上去進行理解，而應更加注重相應的實質性問題，在學習中應“當快則快，當慢則慢”，特別是，既不應在形式等方面花費過多時間，又應舍得花時間進行深層次思考，特別是做好總結、反思與再認識的工作．再者，這也是我們應當特別重視的一點，就是既要十分重視方法的學習和應用，又要始終保持頭腦的開放性和批判性，特別是，要清楚認識各種方法都有一定的適用范圍或局限性，并努力做到“以正合，以奇勝．”

5 結語

盡管以上論述主要針對學生而言，但對教師如何做好數(shù)學教學顯然也有重要的啟示意義．建議相關讀者還可聯(lián)系以下兩個問題與相關的解答對此作出進一步的思考：

第一，“‘你為什么要當教師？’才當教師的時候，我可能只是想以此謀生．隨著時間的推移，現(xiàn)在的我愿意這樣回答：‘我當老師，是想讓一些人有所改變．’”[16]

第二，“從過程看，文化的實質就是找到美好的、值得追求的東西，然后用這樣的東西去影響人、改變人，使人變得美好．”[17]

簡言之，作為一名教師，作為一名文化繼承者，我們應經常地捫心自問：自己是否真的為學生提供了最好的東西？