索若淇，李 輝，2

（1.呂梁學(xué)院礦業(yè)工程系，山西 呂梁 033001；2.中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051）

1 引言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)因其承載力大、速度快、慣量小、相比六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)行業(yè)領(lǐng)域［1-5］。

3-RSS/S機(jī)構(gòu)是一種常見(jiàn)的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的研究，證明該機(jī)構(gòu)適合用于康復(fù)訓(xùn)練［6-8］。但目前還沒(méi)有文獻(xiàn)對(duì)3-RSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能進(jìn)行研究，無(wú)法評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)在工作時(shí)的性能表現(xiàn)，無(wú)法評(píng)估其工作效率，也有礙于之后對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度優(yōu)化工作，因此有必要對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行性能研究。

在進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能研究時(shí)，通常使用雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)局部條件數(shù)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能［9-11］。但該方法由于雅克比矩陣元素量綱的不一致，會(huì)導(dǎo)致局部條件數(shù)指標(biāo)具有不一致性［12］。

此外，文獻(xiàn)［13］基于旋量理論，通過(guò)瞬時(shí)功率的概念提出的運(yùn)動(dòng)/力性能分析方法，該方法定義了局部傳遞指標(biāo)和優(yōu)質(zhì)傳遞工作空間用于評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)性能。文獻(xiàn)［14］采用能效系數(shù)法定義和求解機(jī)構(gòu)傳遞性能相關(guān)的評(píng)價(jià)指標(biāo)。文獻(xiàn)［15-16］對(duì)用于外科手術(shù)領(lǐng)域的2PURR-PUR機(jī)構(gòu)和包含4R平行四邊形閉環(huán)支鏈遠(yuǎn)中心運(yùn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了性能分析，通過(guò)定義局部傳遞指標(biāo)和全局傳遞指標(biāo)表明機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)傳遞性能良好，能夠滿(mǎn)足外科手術(shù)的任務(wù)要求。

采用運(yùn)動(dòng)/力性能傳遞指標(biāo)研究3-RSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能表現(xiàn)，使用旋量理論建立其數(shù)學(xué)模型，通過(guò)閉環(huán)矢量法得出其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方程，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力輸入、輸出傳遞性能指標(biāo)和局部傳遞指標(biāo)，并給出兩組數(shù)值算例從機(jī)構(gòu)性能方面證明了3-RSS/S適用于康復(fù)訓(xùn)練，為之后進(jìn)行尺度優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

2 機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

3-RSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的初始位姿，如圖1所示。圖中：Ai（i=1，2，3）、Bi、Ci—第i條支鏈的R、S和S副；C4—約束支鏈約束動(dòng)平臺(tái)的S副；li1—第i條支鏈的桿AiBi的長(zhǎng)度；li2—第i條支鏈的桿BiCi的長(zhǎng)度；l4—約束支鏈OC4的長(zhǎng)度；e1、e2—定、動(dòng)平臺(tái)外接圓的半徑；Ai—定平臺(tái)外接圓上（A1、A2和A3軸線(xiàn)的夾角分別為120°）；Ci—?jiǎng)悠脚_(tái)外接圓上；θi—第i條支鏈R副的轉(zhuǎn)角；O-XYZ—固定在定平臺(tái)外接圓圓心的定坐標(biāo)系；o-xyz—固定在動(dòng)平臺(tái)外接圓圓心的動(dòng)坐標(biāo)系，在初始位姿下，定、動(dòng)坐標(biāo)系的軸線(xiàn)方向相同。

圖1 3-RSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 3-RSS/S Parallel Mechanism

根據(jù)圖1所示，建立3-RSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的旋量模型。支鏈1的許動(dòng)運(yùn)動(dòng)旋量系在坐標(biāo)系O-XYZ中表示為：

式中：xB1，yB1，zB1—B1的x，y，z坐標(biāo)；xC1，yC1，zC1—C1的x，y，z坐標(biāo)；其值不影響反旋量的求解。

支鏈具有7個(gè)許動(dòng)運(yùn)動(dòng)旋量，但只有6個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)旋量，是一個(gè)具有6自由度的支鏈，其中與這6個(gè)旋量線(xiàn)性相關(guān)的旋量表示桿B1C1繞兩S副軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)的局部自由度，不影響機(jī)構(gòu)整體的性能。故支鏈1的許動(dòng)運(yùn)動(dòng)旋量不存在反旋量，即不存在約束力旋量。

支鏈2的許動(dòng)運(yùn)動(dòng)旋量系為：

式中：xA2，yA2，zA2—A2的x，y，z坐標(biāo)；xB2，yB2，zB2—B2的x，y，z坐標(biāo)；xC2，yC2，zC2—C2的x，y，z坐標(biāo)；其值不影響反旋量的求解。

同樣，支鏈2是一個(gè)具有6自由度的支鏈，無(wú)約束力旋量。將R副作為驅(qū)動(dòng)，則支鏈2的輸入運(yùn)動(dòng)旋量為：

同理可得，支鏈3的許動(dòng)運(yùn)動(dòng)旋量系為：

式中：xA3，yA3，zA3—A3的x，y，z坐標(biāo)；xB3，yB3，zB3—B3的x，y，z坐標(biāo)；xC3，yC3，zC3—C3的x，y，z坐標(biāo)；其值不影響反旋量的求解。

約束支鏈OC4的許動(dòng)運(yùn)動(dòng)旋量系為：

約束支鏈的約束力旋量系為：

3 3-RSS/S機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

通過(guò)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解能夠得到動(dòng)平臺(tái)在各個(gè)位姿下各支鏈的輸入角，從而能夠得到機(jī)構(gòu)各個(gè)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)，這是求解機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能指標(biāo)的基礎(chǔ)。

使用閉環(huán)矢量法求解3-RSS/S的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。如圖1所示，定義支鏈的R副Ai在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為列向量Ai，由幾何關(guān)系可得Ai為：

各支鏈與動(dòng)平臺(tái)相連的S副在定平臺(tái)中的坐標(biāo)為列向量Ci，由于動(dòng)平臺(tái)只能繞o點(diǎn)沿x、y、z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角分別定義為α、β、γ，由幾何關(guān)系可得Ci為：

式中：R（α，β，γ）—?jiǎng)悠脚_(tái)的旋轉(zhuǎn)矩陣，表示為：

式中：c—cos的縮寫(xiě)；

s—sin的縮寫(xiě)。

各支鏈中，兩連桿相連的S副在定平臺(tái)中的坐標(biāo)為列向量Bi，由幾何關(guān)系可得Bi為：

由于桿li2的長(zhǎng)度不變，可得：

當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)位姿（給定轉(zhuǎn)角α，β，γ的值），式（16）為一個(gè)三元方程組，共有三個(gè)方程，且每個(gè)方程中只有一個(gè)未知量θi，因此式（16）是可解的，即各支鏈的輸入角θ1，θ2，θ3可解，并且可單獨(dú)求解某一輸入角θi。

通過(guò)式（16）得到各支鏈的輸入角，即得到機(jī)構(gòu)各個(gè)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)。求解機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解時(shí)，結(jié)果通常不唯一，動(dòng)平臺(tái)在某一位姿下存在多組解，即機(jī)構(gòu)存在多種構(gòu)型。在離散的多個(gè)位姿下，如何確定每個(gè)位姿下每組解屬于何種構(gòu)型，還需確定機(jī)構(gòu)構(gòu)型的判別方法。采用MATLAB的fsolve函數(shù)求解機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，設(shè)定一組機(jī)構(gòu)輸入角的初值，使函數(shù)從這組初值附近迭代，通過(guò)數(shù)值算法確定該種構(gòu)型下的唯一的逆解。

4 局部傳遞指標(biāo)的求解

運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能可從輸出和輸出兩個(gè)方面進(jìn)行研究，即輸入傳遞指標(biāo)和輸出傳遞指標(biāo)。

輸入傳遞指標(biāo)表示傳遞力對(duì)輸入關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的傳遞效率，基于能效系數(shù)法將其定義為：

輸出傳遞指標(biāo)表示傳遞力對(duì)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動(dòng)作功的功率，基于能效系數(shù)法將其定義為：

取輸入傳遞指標(biāo)和輸出傳遞指標(biāo)的最小值作為機(jī)構(gòu)的局部傳遞指標(biāo)，定義為：

當(dāng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)在某一可達(dá)區(qū)域內(nèi)的ρ＞0.7時(shí)，認(rèn)為該區(qū)域?yàn)闄C(jī)構(gòu)的優(yōu)質(zhì)工作空間。

4.1 機(jī)構(gòu)的輸入傳遞指標(biāo)

以支鏈1為例研究RSS支鏈的運(yùn)動(dòng)/力輸入傳遞指標(biāo)，如圖2所示。圖中：f1—沿桿B1C1的一個(gè)單位力向量；v1—B1點(diǎn)S副中心的單位速度向量；φ1—f1與v1的夾角；ω1—R副轉(zhuǎn)動(dòng)的單位角速度。

圖2 支鏈1的旋量分析Fig.2 Analysis of the Screw of Limb 1

式中：OB1—B1點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

將式（20）和式（21）帶入式（17），則支鏈1 的輸入傳遞指標(biāo)λ1為：

故，式（18）可化簡(jiǎn)為：

由式（24）可得，RSS 支鏈的輸入傳遞指標(biāo)只與支鏈的傳遞力向量和Bi點(diǎn)S副中心速度向量的夾角φ1有關(guān)，即支鏈的逆壓力角。同理可得支鏈2和支鏈3的輸入傳遞指標(biāo)λ2和λ3為：

式中：φ2—支鏈2傳遞力旋量與B2點(diǎn)S副中心速度向量的夾角；

φ3—支鏈3傳遞力旋量與B3點(diǎn)S副中心速度向量的夾角。

4.2 機(jī)構(gòu)的輸出傳遞指標(biāo)

圖3 與的位置Fig.3 The Position of and

同理可得，支鏈2和支鏈3的輸出傳遞指標(biāo)η2和η3為：

5 數(shù)值算例

以文獻(xiàn)［7］提出的平衡康復(fù)訓(xùn)練為背景，設(shè)定期望的優(yōu)質(zhì)工作空間范圍：動(dòng)平臺(tái)的三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍均不小于30°。

5.1 算例1

定義機(jī)構(gòu)的一組設(shè)計(jì)參數(shù)，如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Design Parameters

定義機(jī)構(gòu)的一組運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如表2所示。

表2 運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.2 Movement Parameters

在給定的在機(jī)構(gòu)參數(shù)下，求解動(dòng)平臺(tái)處于不同γ轉(zhuǎn)角的位姿時(shí)機(jī)構(gòu)的LTI，如圖4所示。

圖4 機(jī)構(gòu)的性能圖譜Fig.4 Performance Atlas of the Mechanism

由圖4可知，當(dāng)γ=20°，30°，40°，50°時(shí)，在給定的一組機(jī)構(gòu)參數(shù)下，3-RSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)質(zhì)工作空間范圍較大，但并不符合康復(fù)訓(xùn)練所需的運(yùn)動(dòng)空間。

5.2 算例2

只改變機(jī)構(gòu)l4的長(zhǎng)度，定義另一組設(shè)計(jì)參數(shù)，如表3所示。

表3 設(shè)計(jì)參數(shù)（2）Tab.3 Design Parameters（2）

定義另一組運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如表4所示。

表4 運(yùn)動(dòng)參數(shù)（2）Tab.4 Movement Parameters（2）

則在不同γ轉(zhuǎn)角位姿時(shí)求解機(jī)構(gòu)的LTI，如圖5所示。

圖5 機(jī)構(gòu)的性能圖譜（2）Fig.5 Performance Atlas of the Mechanism（2）

相比于圖4可知，l4長(zhǎng)度的改變，顯著改善了3-RSS/S機(jī)構(gòu)的局部傳遞指標(biāo)，機(jī)構(gòu)的優(yōu)質(zhì)工作空間明顯得到擴(kuò)大，符合期望的工作空間。本組機(jī)構(gòu)參數(shù)是否為平衡康復(fù)訓(xùn)練背景下3-RSS/S機(jī)構(gòu)的最優(yōu)尺寸還需后續(xù)研究，但為以3-RSS/S機(jī)構(gòu)傳遞性能為目標(biāo)函數(shù)的尺度優(yōu)化工作奠定基礎(chǔ)。

6 結(jié)論

對(duì)3-RSS/S 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力性能傳遞指標(biāo)進(jìn)行研究，使用閉環(huán)矢量法求解的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，基于能效系數(shù)法定義并求解機(jī)構(gòu)的局部傳遞指標(biāo)。得到以下主要結(jié)論：（1）采用閉環(huán)矢量法求解3-RSS/S的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，并通過(guò)數(shù)值算法能夠判定動(dòng)平臺(tái)某位姿下多組解屬于何種構(gòu)型。（2）基于旋量理論，使用能效系數(shù)法推導(dǎo)得到3-RSS/S機(jī)構(gòu)的性能傳遞指標(biāo)，其運(yùn)動(dòng)/力輸入傳遞指標(biāo)只與支鏈的逆壓力角有關(guān)。（3）機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)l4的改變能夠顯著影響機(jī)構(gòu)的局部傳遞指標(biāo)，改善機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能。為之后對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。