董艇艦，張 吉，王亞楠，桑 超

（1.中國(guó)民航大學(xué)考管中心，天津 300300；2.中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

1 引言

眾所周知，航空發(fā)動(dòng)機(jī)屬于航空飛行器中重要的部件之一，其常被人稱為飛機(jī)的心臟［1］。而對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)，其最重要的零件當(dāng)屬葉片。無(wú)論航空發(fā)動(dòng)機(jī)中哪一部分的葉片存在瑕疵都直接影響到發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)。葉片屬于薄壁復(fù)雜自由曲面零件，葉身扭轉(zhuǎn)且截面多變化，因此對(duì)葉片表面加工處理難度較大［2］。

目前葉片在數(shù)控銑削等自動(dòng)化加工方面技術(shù)相對(duì)成熟，但在精加工階段葉片表面的打磨拋光大多仍依靠傳統(tǒng)人工操作［3］。對(duì)某葉片加工生產(chǎn)廠實(shí)地參觀調(diào)研，發(fā)現(xiàn)工人在打磨葉片過(guò)程中工序繁瑣且葉片表面質(zhì)量受工人熟練度影響，不能保證型面精度符合標(biāo)準(zhǔn)，如圖1所示。同時(shí)，打磨拋光葉片產(chǎn)生大量的粉塵和噪音同樣對(duì)工人健康造成很大影響。目前，實(shí)現(xiàn)葉片高精度的打磨拋光在國(guó)內(nèi)外都沒有很好的解決方法。盡管在相對(duì)發(fā)達(dá)的西方國(guó)家，依舊沒能擺脫人工手磨拋光。因此開發(fā)設(shè)計(jì)一套自動(dòng)化葉片打磨拋光裝置并且真正意義上代替手工打磨拋光顯得尤為重要。

圖1 人工打磨拋光葉片F(xiàn)ig.1 Manually Polished Blades

綜上所述，針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)壓氣機(jī)葉片設(shè)計(jì)一款混聯(lián)式打磨裝置。工作空間作為混聯(lián)打磨裝置的重要指標(biāo)之一，通過(guò)研究混聯(lián)打磨裝置中并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正反解并結(jié)合蒙特卡洛法與極限邊界數(shù)值搜索法得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)與混聯(lián)打磨裝置的工作空間，證明其滿足實(shí)際打磨時(shí)所需要的空間要求。為混聯(lián)打磨裝置樣機(jī)的搭建提供理論依據(jù)和參考。

2 混聯(lián)打磨裝置的設(shè)計(jì)

混聯(lián)打磨裝置主要由三大部分組成：砂帶磨削裝置、3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)、十字滑動(dòng)絲杠。其中串聯(lián)部分由十字滑動(dòng)絲杠構(gòu)成，其具有X和Y兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向。X方向的運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)葉片葉長(zhǎng)方向的打磨，Y方向的運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)葉片葉寬方向的打磨。并聯(lián)部分為3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)有三個(gè)自由度，動(dòng)平臺(tái)通過(guò)Z軸方向的上下平移實(shí)現(xiàn)葉片表面深度的磨削，動(dòng)平臺(tái)繞X和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)完成位姿調(diào)整實(shí)現(xiàn)葉片與砂帶打磨頭充分接觸?；炻?lián)打磨裝置三維結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。

圖2 混聯(lián)打磨裝置三維結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Three-Dimensional Structure Diagram of Hybrid Grinding Device

混聯(lián)打磨裝置中，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)和十字滑動(dòng)絲杠的設(shè)計(jì)和應(yīng)用如今已相對(duì)成熟和廣泛。因此，這里主要對(duì)砂帶磨削裝置的設(shè)計(jì)進(jìn)行闡述。

砂帶磨削裝置的設(shè)計(jì)分為三部分：驅(qū)動(dòng)傳動(dòng)裝置，張緊裝置和砂帶打磨裝置［4］。張緊裝置位于整體鈑金外殼頂部，驅(qū)動(dòng)和傳動(dòng)裝置與電機(jī)相連位于打磨裝置靠近右側(cè)鈑金外殼處，打磨頭位于整體打磨裝置左下角，如圖3所示。砂帶磨削裝置中最重要的部分當(dāng)屬砂帶打磨頭。打磨頭主要由接觸輪，六維力傳感器，伺服電動(dòng)缸以及伺服電機(jī)組成，如圖4所示。六維力傳感器安裝在接觸輪的主軸上，測(cè)葉片磨削力的大小，起反饋調(diào)節(jié)的作用。伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)伺服電動(dòng)缸做伸縮運(yùn)動(dòng)，對(duì)葉片的打磨起到浮動(dòng)帶補(bǔ)償?shù)淖饔?。打磨頭由四個(gè)直徑大小不同的接觸輪組成，根據(jù)葉片橫截面曲率不同選擇合適的接觸輪，提高打磨效率同時(shí)避免干涉。

圖3 砂帶磨削裝置Fig.3 Belt Grinding Device

圖4 浮動(dòng)帶補(bǔ)償砂帶打磨頭Fig.4 Compensation Sand Belt Grinding Head

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正反解分析仿真

混聯(lián)磨削裝置設(shè)計(jì)完成后，利用歐拉角法和數(shù)值法分別對(duì)其并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正反解求解，并利用ADAMS軟件對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真。得到的位置正反解模型以及仿真結(jié)果為求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)和混聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間提供理論基礎(chǔ)。

3.1 求解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解

依據(jù)動(dòng)平臺(tái)的工作位置與位姿求驅(qū)動(dòng)支桿的桿長(zhǎng)是求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解的關(guān)鍵。首先建立3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系，如圖5所示。假設(shè)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系到定平臺(tái)坐標(biāo)系的位姿矩陣為，旋轉(zhuǎn)矩陣為。動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O1在定平臺(tái)直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（Xa，Ya，Za）。通過(guò)歐拉角Z-Y-X（α-β-γ）詳細(xì)描述機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿的變換。

圖5 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.5 Structure of 3-RPS Parallel Mechanism

動(dòng)平臺(tái)上的三個(gè)球鉸接點(diǎn)A1，A2，A3通過(guò)位姿變換轉(zhuǎn)為固定坐標(biāo)系下坐標(biāo)：

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)平臺(tái)沿特定軌跡翻轉(zhuǎn)或平移受獨(dú)立運(yùn)動(dòng)變量的控制和影響。3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)有六個(gè)位姿參數(shù)。受并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副空間限制，動(dòng)平臺(tái)各鉸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)也受到相應(yīng)約束，動(dòng)平臺(tái)鉸點(diǎn)A1，A2，A3具體的運(yùn)動(dòng)范圍：

利用獨(dú)立變量z，γ，β表示非獨(dú)立變量x，y，α為：

通過(guò)位姿變換矩陣動(dòng)平臺(tái)上各球鉸點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到固定坐標(biāo)系下，驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)等于動(dòng)平臺(tái)球鉸中心和定平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸套中心點(diǎn)間的距離，其公式為：

3.2 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解求解

采用數(shù)值算法中的牛頓迭代法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解求解［5］。依據(jù)位置反解求得的反解模型對(duì)公式兩側(cè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：

上式可以簡(jiǎn)記為：{L'}=[J]·{Ak}，式中[J]—機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣；{Ak}=(z'，γ'，β')T—?jiǎng)悠脚_(tái)位姿獨(dú)立變量一階導(dǎo)數(shù)。

對(duì)等式兩邊同時(shí)乘dt得：

通過(guò)詳細(xì)的流程圖對(duì)牛頓迭代法求解過(guò)程進(jìn)行闡述：

3.3 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正反解仿真

由圖5結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)、定平臺(tái)，3個(gè)球鉸鏈，3根驅(qū)動(dòng)支桿和3組軸、軸套、孔組成的轉(zhuǎn)動(dòng)鉸鏈構(gòu)成。并聯(lián)機(jī)構(gòu)有3個(gè)自由度，能實(shí)現(xiàn)Z軸方向的移動(dòng)和繞X，Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。利用ADAMS軟件對(duì)所搭建虛擬樣機(jī)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正反解仿真。

應(yīng)用ADAMS進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的具體步驟如下［6］：

（1）首先通過(guò)SolidWorks軟件完成機(jī)構(gòu)各零部件的裝配，將三維模型保存成ADAMS兼容的“.x_t”格式；

（2）對(duì)導(dǎo)入ADAMS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各零部件施加材料屬性，通過(guò)布爾操作簡(jiǎn)化模型結(jié)構(gòu)，添加合適的約束（包括運(yùn)動(dòng)副）和驅(qū)動(dòng)后完成虛擬樣機(jī)搭建。

（3）在驅(qū)動(dòng)中設(shè)置合適的激勵(lì)函數(shù)，完成虛擬樣機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)位置逆向仿真，求得反解。

（4）利用上述反解得的仿真數(shù)據(jù)應(yīng)用到求解運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解中，得正解。搭建得到的虛擬樣機(jī)，如圖6所示。

圖6 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)搭建Fig.6 Virtual Prototype of 3-RPS Parallel Mechanism

定平臺(tái)與大地固連，選擇動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O作為被驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，添加成為一般點(diǎn)驅(qū)動(dòng)。在Motion模塊中分別對(duì)并聯(lián)平臺(tái)中三個(gè)自由度方向添加時(shí)間位移函數(shù)，函數(shù)作為機(jī)構(gòu)的約束控制各運(yùn)動(dòng)副的工作狀況，進(jìn)而控制動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O在X，Y，Z方向所定義的運(yùn)行時(shí)間函數(shù)分別為：

Z向平移：disp（time）=2*time

繞X軸旋轉(zhuǎn)：disp（time）=pi/24*cos（time）

繞Y軸旋轉(zhuǎn)：disp（time）=pi/24*cos（time）

設(shè)置終止時(shí)間為4.8s，步長(zhǎng)為0.01。觀察3-RPS平臺(tái)各個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律，如圖7所示。

圖7 驅(qū)動(dòng)桿x-t變化曲線Fig.7 x-t Curve of Driving Rod

根據(jù)驅(qū)動(dòng)桿x-t變化曲線，將三條連續(xù)的曲線離散成若干點(diǎn)，導(dǎo)出數(shù)據(jù)點(diǎn)保存為.txt 文件格式，共481 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。按照仿真時(shí)間為4.8s，時(shí)間間隔為0.01s 計(jì)算。并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解得到的三條樣條曲線作為驅(qū)動(dòng)函數(shù)導(dǎo)入ADAMS 中。三條樣條曲線命名為spline1，spline2，spline3。分別為三個(gè)驅(qū)動(dòng)桿添加不同的驅(qū)動(dòng)。

驅(qū)動(dòng)函數(shù)分別為：

圖8 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心O沿Z軸x-t曲線Fig.8 Moving Platform Centroid O along the Z-axis x-t Curve

通過(guò)ADAMS 軟件將復(fù)雜的并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正逆求解利用仿真直觀且快速求。簡(jiǎn)化了并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解計(jì)算的同時(shí)也驗(yàn)證了位置正反解公式正確性。3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正反解的分析與仿真驗(yàn)證為后續(xù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)以及混聯(lián)打磨裝置的工作空間計(jì)算提供了理論依據(jù)。

4 并聯(lián)和混聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間求解

求取并聯(lián)機(jī)構(gòu)和混聯(lián)打磨裝置的工作空間是測(cè)驗(yàn)裝置是否滿足葉片打磨空間需求以及評(píng)價(jià)其工作性能的重要指標(biāo)之一。并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間受運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)影響，由機(jī)構(gòu)中各運(yùn)動(dòng)副相互配合后運(yùn)動(dòng)副自身所能達(dá)到的最大工作范圍相互制約形成。這里利用數(shù)值法中的蒙特卡洛法和極限邊界搜索法相結(jié)合共同求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。

蒙特卡洛法是利用數(shù)學(xué)中概率的思想以概率統(tǒng)計(jì)為理論指導(dǎo)的方法，通過(guò)隨機(jī)采樣（或通過(guò)模擬隨機(jī)變量）解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法［7］。但利用隨機(jī)采樣不能完全符合該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間求解模型，因此在隨機(jī)采樣基礎(chǔ)上稍做改變構(gòu)造隨機(jī)概率模型以適應(yīng)該算法。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可表示為c=c（d）。式中c=（cx，cy，cz），代表慣性坐標(biāo)系中的位置向量；d=（d1，d2，…，dn）代表并聯(lián)機(jī)構(gòu)中各運(yùn)動(dòng)副的關(guān)節(jié)點(diǎn)向量。各個(gè)運(yùn)動(dòng)副都有其運(yùn)動(dòng)范圍限制，即：dimin≤di≤dimax，（i=1，2，…，n）。原理可表示為：W=

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間算法為：

（1）分析并聯(lián)平臺(tái)中每個(gè)運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)范圍并在該范圍內(nèi)得到N個(gè)由運(yùn)動(dòng)副組成的關(guān)節(jié)空間向量。

（2）通過(guò)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解方程求得N個(gè)由運(yùn)動(dòng)副組成的關(guān)節(jié)空間向量對(duì)應(yīng)的N個(gè)空間隨機(jī)分布點(diǎn)集合。

（3）在MATLAB 中通過(guò)編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)工作時(shí)所能到達(dá)最大位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)分散圖像。

（4）搜索空間中符合條件的邊界點(diǎn)構(gòu)成完整的點(diǎn)云圖。

打磨拋光壓氣機(jī)葉片過(guò)程中，并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)節(jié)動(dòng)平臺(tái)的位姿使砂輪與葉片包絡(luò)曲面相互接觸。此時(shí)，球面副與轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角范圍受葉片截面曲線彎曲程度影響，運(yùn)動(dòng)范圍受到限制。葉片磨削深度的變化是通過(guò)改變驅(qū)動(dòng)支桿桿長(zhǎng)完成，因此桿長(zhǎng)的變化直接影響到機(jī)構(gòu)縱向工作空間大小。

轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角θi的約束條件為：θmin≤θi≤θmax；

球面副轉(zhuǎn)角Ψi的約束條件為：ψmin≤ψi≤ψmax；

桿長(zhǎng)約束條件為：lmin≤li≤lmax

這里研究的混聯(lián)打磨裝置，上平臺(tái)球鉸接的分布呈120°，各驅(qū)動(dòng)桿之間由于自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)不發(fā)生干涉。球鉸接到動(dòng)平臺(tái)的距離為50mm，轉(zhuǎn)動(dòng)副到定平臺(tái)的距離為75mm，驅(qū)動(dòng)支桿原長(zhǎng)為202mm，伸縮范圍（±40）mm，球鉸接擺角范圍是60°，轉(zhuǎn)動(dòng)副擺角范圍是（5～65）°。設(shè)置2000 個(gè)原始隨機(jī)點(diǎn)，在MATLAB 中得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心點(diǎn)的分布情況，如圖9 所示。為更直觀的觀察點(diǎn)云分布，對(duì)隨機(jī)點(diǎn)所構(gòu)成的工作空間圖像分層分割并將每層能到達(dá)最大位置的點(diǎn)相連成包絡(luò)線。包絡(luò)線的形成以運(yùn)動(dòng)學(xué)位置反解為基礎(chǔ)，利用極限邊界數(shù)值搜索法判斷每個(gè)隨機(jī)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)和轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角是否滿足其限制條件［8］。Z軸方向包絡(luò)線間隔2mm，如圖10所示。

圖9 3-RPS并聯(lián)平臺(tái)空間點(diǎn)云圖Fig.9 Point Cloud Diagram of 3-RPS Parallel Platform Space

圖10 3-RPS并聯(lián)平臺(tái)工作空間Fig.10 3-RPS Parallel Platform Workspace

得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間后，研究混聯(lián)打磨裝置的工作空間。混聯(lián)裝置的工作空間為并聯(lián)與串聯(lián)機(jī)構(gòu)分別在有限的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)相互疊加形成，其疊加屬于三維空間求和運(yùn)算。已知十字滑動(dòng)絲杠在X、Y方向的運(yùn)動(dòng)范圍是（-150mm，150mm），因此混聯(lián)打磨裝置在二維平面內(nèi)的工作空間范圍確定。垂直方向的工作空間由并聯(lián)機(jī)構(gòu)確定。工作空間，如圖11所示。

圖11 混聯(lián)打磨裝置工作空間Fig.11 Working Space of Hybrid Grinding Device

5 結(jié)論

（1）以運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正反解為基礎(chǔ)，將蒙特卡洛法和極限邊界搜索法相結(jié)合對(duì)混聯(lián)打磨裝置的工作空間求解。結(jié)果表明混聯(lián)打磨裝置的設(shè)計(jì)滿足葉片在磨削過(guò)程的打磨空間要求。

（2）蒙特卡洛法與極限邊界搜索法相結(jié)合的方法大大提高了求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的準(zhǔn)確性和直觀性。