孟麗霞，王莽寬，劉士明，楊謝柳

（沈陽建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

1 引言

為了解星體資源分布情況、星體土壤組成以及獲取星體演化過程等科學(xué)研究，均需對(duì)星壤的物理特征進(jìn)行研究，其關(guān)鍵是能將科學(xué)探測(cè)儀器送入淺層星壤的原位探測(cè)設(shè)備。原位探測(cè)設(shè)備中沖擊式貫入器憑借結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量小、探測(cè)成本低、貫入深度不受限等優(yōu)點(diǎn)成為研究的熱點(diǎn)［1］。德國(guó)宇航局DLR研制的PLUTO 沖擊式貫入器搭載在‘獵兔犬2 號(hào)’火星探測(cè)器上并于2003 年發(fā)射，PLUTO 貫入器雖然總長(zhǎng)度只有280mm，直徑在20mm 左右，卻可以實(shí)現(xiàn)1.5m 的鉆探深度，不過任務(wù)失敗未能成功在火星上實(shí)際運(yùn)用。之后DLR 根據(jù)PLUTO 又研制多款沖擊式貫入器，例如HP3 貫入器被NASA 的洞察號(hào)搭載已經(jīng)在2019年于火星上著陸［2］。

沖擊式貫入器一般由驅(qū)動(dòng)單元、沖擊錘、殼體、驅(qū)動(dòng)彈簧和緩沖彈簧五個(gè)部分組成，如圖1所示。其中，各部分的參數(shù)選擇決定貫入器是否能正常工作［3］。貫入器的殼體一般由圓柱形的柱體和一個(gè)頭錐組成，貫入器頭錐的外形形狀有很多種，MMUM使用紡錘形的頭錐，并且在頭錐上集成了微型采樣機(jī)構(gòu)，可以通過此機(jī)構(gòu)獲取少量樣本［4］，目前正在火星運(yùn)行的HP3貫入器也采用的是紡錘形的頭錐，但是無采樣功能［5］；相較于上述規(guī)則形狀的頭錐，KRET采用非線性變化的錐形頭部，其尖端呈45°錐形角，到后部過渡到30°錐形角［6］；文獻(xiàn)［7］對(duì)內(nèi)凹形的頭錐展開了相關(guān)的研究。

圖1 貫入原理示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Penetration Principle

沖擊式貫入器在貫入的過程中，頭錐起到擠入穿透土壤的作用，其所受的阻力除了摩擦力以外還有反擠入力等，而外殼其他的部分不參與擠入過程，只受一定的滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)相關(guān)研究，殼體所受的阻力有90%集中于頭錐部位［8］。因此，頭錐的外形設(shè)計(jì)決定著貫入器所受阻力的大小，阻力越小單次沖擊下的貫入距離越深，進(jìn)而影響貫入器的整體貫入性能?，F(xiàn)有文獻(xiàn)主要對(duì)錐形、紡錘形、內(nèi)凹形頭錐進(jìn)行了相關(guān)的研究，研究頭錐曲線在各個(gè)位置的曲率變化和錐角改變對(duì)貫入所受阻力的影響［9］。但是否還存在其他形狀且阻力更小的頭錐，還未見相關(guān)的研究文獻(xiàn)。

因此，這里提出利用三次樣條插值建立以坐標(biāo)為變量的任意形狀頭錐的曲線方程，在傳統(tǒng)的土壤穿透模型的基礎(chǔ)上［10］，建立任意曲線頭錐所受阻力的微分方程。采用遺傳算法獲得具有最小受力的頭錐曲線，并借助離散元軟件進(jìn)行仿真，驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果。

2 貫入器工作原理與頭錐建模

2.1 工作原理

貫入器整體為一個(gè)圓柱體，驅(qū)動(dòng)單元為整機(jī)的動(dòng)力來源，其內(nèi)部的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)提升沖擊錘進(jìn)而壓縮驅(qū)動(dòng)彈簧，如圖1所示。在提升到一定高度后，驅(qū)動(dòng)單元的釋放機(jī)構(gòu)將沖擊錘釋放，并在彈性勢(shì)能的作用下與殼體發(fā)生碰撞。與此同時(shí)，驅(qū)動(dòng)彈簧的反向作用也會(huì)促使驅(qū)動(dòng)單元產(chǎn)生反貫入方向的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而壓縮緩沖彈簧，驅(qū)動(dòng)彈簧的反向作用轉(zhuǎn)化為驅(qū)動(dòng)單元的動(dòng)能和緩沖彈簧的勢(shì)能，若參數(shù)設(shè)置得當(dāng)，則貫入器所受到的正向作用力始終大于反向作用力，促使貫入器向下貫入。單次沖擊作用距離比較小，因此貫入器的工作過程是一個(gè)周期反復(fù)沖擊的過程。由圖1可以看出，貫入器內(nèi)部的作用力最終完全作用在殼體上，與外界環(huán)境進(jìn)行交互作用的也只有殼體，殼體的尖狀頭錐將土壤向兩側(cè)擠壓，從而使貫入器向下貫入，若在內(nèi)部參數(shù)不變的情況下提高貫入器的貫入深度與貫入效率，頭錐外形的設(shè)計(jì)極為重要。

2.2 頭錐外形建模

根據(jù)前文所述，貫入器的頭錐需要在貫入過程中起到一個(gè)擠入的作用，根據(jù)土力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，為保證足夠的穿入力，不論任何一種形狀，最終都會(huì)在末端形成尖端以增大穿入壓強(qiáng)。合理的錐形設(shè)計(jì)，可以極大地提高貫入效率。常見的幾種形狀的頭錐，其中貫入器的直徑2R和長(zhǎng)度L為頭錐的基本尺寸，如圖2所示。直徑2R大小要充分考慮內(nèi)部元件的安裝和保證足夠的強(qiáng)度，因此，2R的大小取決于內(nèi)部設(shè)計(jì)，是在頭錐進(jìn)行設(shè)計(jì)之前就已經(jīng)確定完畢的，在頭錐的設(shè)計(jì)與優(yōu)化過程中可以認(rèn)為是一個(gè)定值。L為頭錐的長(zhǎng)度，與貫入器內(nèi)部元件的設(shè)計(jì)無關(guān)，其大小也決定著頭錐的外部形狀，是優(yōu)化設(shè)計(jì)的變量之一。由圖2可知幾種不同形狀的頭錐，其中紡錘形和內(nèi)凹形都可以分為定曲率和變曲率兩種，其曲率也是影響因素之一。為了進(jìn)行通用性研究，這里提出了圖2中的任意形頭錐，任意形的意思是可以代表任意的連續(xù)光滑外形曲線。

圖2 幾種不同形狀的頭錐Fig.2 Different Shapes of Head Cone

貫入器頭錐可以認(rèn)為是一條曲線繞其中心軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，要研究頭錐所受的阻力，可先研究這一條曲線所受的阻力，之后利用積分的方式獲取整個(gè)頭錐所受到的阻力大小。因此，首先需要建立任意形狀頭錐的曲線。建立的坐標(biāo)系，為方便描述將曲線置于坐標(biāo)系的第一象限，以保證點(diǎn)的坐標(biāo)值均為正值，如圖3所示。使用任意n個(gè)形值點(diǎn)將曲線分割，點(diǎn)與點(diǎn)之間通過三次樣條曲線進(jìn)行連接。n的大小可以根據(jù)情況適當(dāng)增加或減少，增加可以提高曲線擬合的精確度，過多則會(huì)引起計(jì)算復(fù)雜。

圖3 任意形狀頭錐的曲線表述Fig.3 Curve Representation of Arbitrary Shape Head Cone

采用三次樣條插值對(duì)任意n個(gè)形值點(diǎn)進(jìn)行擬合，形成一條以形值點(diǎn)坐標(biāo)為變量的分段三次樣條曲線，任意一段三次樣條曲線的描述如下：

其中，i=1，2，3…n-1，要求xi＜xi+1，步長(zhǎng)hi=xi+1-xi，符號(hào)ai，bi，ci，di的表達(dá)式為：

圖3中曲線從y軸起始，在起始點(diǎn)處，為了保證曲線光滑，起始點(diǎn)處的曲線需要與外殼相切，則起始點(diǎn)處的斜率需要被指定為一個(gè)定值。

末端點(diǎn)的斜率無特殊要求，因此為自由斜率，則：

為了保證曲線的光滑性以及連續(xù)性，需要保證：

根據(jù)式（4）的條件，對(duì)mi進(jìn)行求解，求解矩陣如下。

對(duì)式（5）進(jìn)行求解，將所得mi值帶入式（1）中，即可求得各段曲線的方程。

3 曲線與土壤作用建模

沖擊式貫入器利用內(nèi)部產(chǎn)生的沖擊，使得貫入器對(duì)土壤產(chǎn)生擠壓作用超過土層的剪切強(qiáng)度后，貫入器的尖端頭錐將土壤向兩側(cè)擠壓，使兩側(cè)土體產(chǎn)生破壞。文獻(xiàn)［11］根據(jù)土壤動(dòng)力學(xué)提出貫入器頭錐與土壤穿入過程中的力學(xué)模型。其假設(shè)土層為一個(gè)半無限的土體，將土壤的極限平衡區(qū)分為三個(gè)區(qū)域，Ⅰ區(qū)稱為彈性壓密區(qū)，Ⅰ區(qū)的土壤與貫入器的頭錐產(chǎn)生直接接觸，貫入器向下移動(dòng)的過程中，將此區(qū)域的土壤向兩側(cè)擠入；Ⅱ區(qū)稱為過渡區(qū)，Ⅲ區(qū)為朗肯被動(dòng)區(qū)，貫入器向下貫入的過程中，將力通過Ⅰ、Ⅱ區(qū)傳遞給Ⅲ區(qū)達(dá)到失效狀態(tài)。在不斷的貫入沖擊作用下，土壤顆粒由兩側(cè)向下移動(dòng)，從而使貫入器向下貫入。

以任意形狀的頭錐為例，繪制星壤極限平衡區(qū)的分析示意圖，如圖4所示。圖中假設(shè)土壤為無限土體，H'為貫入器頭錐末端到地面的距離，H為貫入器頭錐尖端貫入的距離。

圖4 星壤極限平衡區(qū)分析Fig.4 Analysis of Equilibrium Limit Region of Soil

為了求得由樣條曲線組成的任意構(gòu)型頭錐所受的阻力，需要對(duì)圖4中所述的土壤體進(jìn)行力學(xué)分析，如圖5所示。

圖5 Ⅱ，Ⅲ區(qū)土壤平衡受力Fig.5 Ⅱ，ⅢArea Soil Balance Force

在滑裂的月壤區(qū)Ⅱ、Ⅲ內(nèi)取月壤體BEFK進(jìn)行受力分析，文獻(xiàn)［11］根據(jù)其力學(xué)平衡原理，求得在BE面上的法向應(yīng)力，其中推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)所述，這里不再贅述，直接給出BE面上的應(yīng)力大?。?/p>

式中：Nq、Nc—月壤顆粒的承載力系數(shù)，與月壤的內(nèi)摩擦角有關(guān)。

根據(jù)式（6）可以求得Ⅰ區(qū)BE面上所受到的正壓力，取出I區(qū)的土壤體剖面ABE并對(duì)其進(jìn)行受力分析，如圖6 所示。土壤體ABE的BE面受Ⅱ區(qū)土壤的正壓力PF'與相對(duì)滑動(dòng)作用產(chǎn)生的剪切力，AE面受力作用與BE面相似，AB面與貫入器的頭錐直接接觸。貫入器頭錐受到其它面?zhèn)鬟f給AB面的正壓力PA'，任意點(diǎn)的正壓力的方向垂直于該點(diǎn)處的切線，同時(shí)正壓力也會(huì)對(duì)貫入器頭錐產(chǎn)生摩擦力fA'，任意點(diǎn)上的摩擦力的方向與該點(diǎn)的切線運(yùn)動(dòng)速度方向相反。根據(jù)力的相互性，土壤體ABE上也會(huì)產(chǎn)生與貫入器頭錐受力大小相同的反作用力，由上述假設(shè)可知，土壤體ABE屬于臨界平衡狀態(tài)，求得PA'即可求得貫入器頭錐所受的阻力。求AB面上所受的應(yīng)力在x軸的分量Qx與在y軸的分量Qy，采用微分的方式建立其作用方程，之后利用積分直接求得AB面上的應(yīng)力大小，微元區(qū)域受力，如圖7所示。

圖6 頭錐總體受力分析圖Fig.6 Overall Force Analysis Diagram of Head Cone

圖7 頭錐微分區(qū)域受力分析圖Fig.7 Head Cone Differential Zone Force Analysis Diagram

將所受到的正壓力與摩擦力進(jìn)行分解，則每個(gè)微元曲線上的應(yīng)力大小為：

其中，i=1，2，3…，n-1，則每段曲線上所受的應(yīng)力為：

對(duì)每段曲線上的值進(jìn)行累加可得x方向與y方向的所有應(yīng)力值的大小為：

依據(jù)力的平衡條件，列出土壤體的平衡方程為：

根據(jù)庫(kù)倫公式，上式中所有的剪切力的計(jì)算公式均為：

將上述各個(gè)等式聯(lián)立，即可求得貫入器頭錐所受的應(yīng)力大小PA的值，前述分析過程均建立在一個(gè)剖面上，對(duì)一條線上所受的應(yīng)力大小進(jìn)行分析，為了求得貫入器總的阻力大小，需要對(duì)曲面進(jìn)行分段積分。鉆頭總體受力，如圖8所示。首先需要求微元的面積為：

由于貫入器頭錐是由一個(gè)曲面沿著軸線旋轉(zhuǎn)所得，在假設(shè)土壤為均勻土壤的條件下，土壤微元面上所受的沿著y軸方向的作用力均指向軸線，如圖8中頭錐的某一切面所示，因此y軸所受到的力抵消，所以最終貫入器頭錐所受的貫入阻力方向沿x軸，與貫入器運(yùn)動(dòng)方向相反。任意形狀下的貫入器頭錐是由多段光滑曲線光滑連接而成，任意一段曲線微元所受的阻力為：

圖8 鉆頭總體受力圖Fig.8 Total Force on Bit

將每段曲線所受的阻力進(jìn)行累加，則整段曲線所受到的阻力以及貫入器頭錐所受到的阻力為：

根據(jù)式（14）即可獲得任意形狀頭錐與土壤作用阻力大小的方程，方程中含有的未知量為曲線的坐標(biāo)。

4 貫入器頭錐形狀的最優(yōu)化求解與仿真驗(yàn)證

為了獲得貫入器頭錐所受阻力最小的曲線，以上述所得的方程為目標(biāo)，通過適合的優(yōu)化算法獲得使阻力最小的坐標(biāo)點(diǎn)，最終通過坐標(biāo)點(diǎn)得到貫入器頭錐外形的最優(yōu)解。由于點(diǎn)的數(shù)目較多，搜尋的范圍大，方程復(fù)雜，傳統(tǒng)的尋優(yōu)算法過多的依賴目標(biāo)函數(shù)本身的性質(zhì)如斜率等，組成頭錐形狀的曲線是分段式方程描述，無法求解方程整體的斜率，因此傳統(tǒng)的算法不適用。遺傳算法主要依賴目標(biāo)函數(shù)的值作為適應(yīng)度函數(shù)，不依賴函數(shù)自身的屬性。這里將頭錐的阻力方程封裝為一個(gè)函數(shù)，以點(diǎn)的坐標(biāo)為變量，使用遺傳算法搜尋使頭錐受力最小的一組坐標(biāo)解，遺傳算法的框圖，如圖9所示。

圖9 遺傳算法框圖Fig.9 Block Diagram of Genetic Algorithm

所受的阻力方程（14）含有一定的未知數(shù)，難以求解具體的解析解，根據(jù)遺傳算法的特征，優(yōu)化過程中每一種群的個(gè)體都是一個(gè)確定的數(shù)值集，可以利用Matlab直接求解阻力方程的數(shù)值解進(jìn)行比較。如圖3所示，為了進(jìn)行一般性的探究，將坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化，橫坐標(biāo)為L(zhǎng)/R，縱坐標(biāo)范圍為（0～1），為簡(jiǎn)化變量的數(shù)目，每個(gè)點(diǎn)之間的間距相同，點(diǎn)的數(shù)目多少?zèng)Q定生成曲線的準(zhǔn)確度，由于貫入器的頭錐尺寸不大，在保證精度的前提下盡量減少計(jì)算量，最終選擇組成樣條曲線的點(diǎn)數(shù)目共有11個(gè)，搜尋的變量為各個(gè)點(diǎn)的y軸坐標(biāo)與L的大小。

遺傳算法的參數(shù)設(shè)置會(huì)對(duì)遺傳算法的搜尋結(jié)果造成較大的影響，遺傳算法基本參數(shù)設(shè)置，如表1所示。設(shè)置完畢以后搜尋所得的點(diǎn)坐標(biāo)，如表2所示。

表1 遺傳算法的參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter Setting of Genetic Algorithm

表2 優(yōu)化所得坐標(biāo)點(diǎn)Tab.2 Optimize the Resulting Coordinate Points

根據(jù)表2所得的數(shù)據(jù)，繪制受力最小的頭錐，如圖10所示。為了驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性，根據(jù)上述所得的最優(yōu)化構(gòu)型繪制鉆頭的三維圖帶入離散元軟件，與圖2中基本尺寸相同的紡錘形、內(nèi)凹形、錐形構(gòu)型進(jìn)行仿真對(duì)比。離散元仿真的示意圖，如圖11所示。貫入器三維模型以一定的速度插入模擬土壤顆粒中，利用離散元軟件的后處理功能求解在勻速運(yùn)動(dòng)過程中隨時(shí)間變化的平均阻力。

圖10 優(yōu)化后所得的頭錐外形Fig.10 Optimized Head Cone Profile

圖11 離散元仿真圖Fig.11 Discrete Element Simulation Diagram

由于上文中僅對(duì)貫入器頭錐所受的阻力進(jìn)行分析，因此仿真在頭錐完全浸沒為止即停止仿真，所得的仿真曲線對(duì)比，如圖12所示。圖中所得最優(yōu)構(gòu)型在鉆頭浸入土壤的過程中相對(duì)于其他形狀來說所受到的平均阻力較小，因此求得最優(yōu)構(gòu)型結(jié)果正確。

圖12 仿真對(duì)比Fig.12 The Simulation Comparison

5 結(jié)論

（1）在對(duì)頭錐的研究中提出任意形狀的頭錐曲線，利用三次樣條插值以各點(diǎn)的坐標(biāo)值為變量，建立起任意形狀頭錐的曲線方程。（2）根據(jù)所得曲線方程，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)與土壤力學(xué)，得到任意形狀的頭錐與土壤作用的微分方程。（3）確定影響貫入器頭錐形狀的坐標(biāo)變量以及變量的個(gè)數(shù)，將頭錐與土壤的作用方程帶入遺傳算法，以獲得最小的阻力值為遺傳算法的優(yōu)化目標(biāo)，獲得最優(yōu)解。（4）利用所得坐標(biāo)的最優(yōu)解建立貫入器頭錐的三維模型，帶入離散元軟件，與其他基本尺寸相同的頭錐進(jìn)行仿真對(duì)比以驗(yàn)證最優(yōu)解的正確性。這里提出的具有不同于傳統(tǒng)形狀的頭錐擁有較小的潛入阻力，因此理論分析和仿真分析能為以后沖擊式貫入器頭錐的研制提供理論依據(jù)和支撐，可以在不更改內(nèi)部參數(shù)的情況下提高貫入器的穿入能力。