謝柯強，李閣強，2，彭建軍，李東林

（1.河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.河南科技大學(xué)機械裝備先進制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 洛陽 471003）

1 引言

齒輪泵作為一種結(jié)構(gòu)簡單，環(huán)境適應(yīng)性強的液壓泵，在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。在設(shè)計高速齒輪泵的過程中，有必要對泵進行動力學(xué)分析，而模態(tài)分析是一切復(fù)雜動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，因此必須綜合考慮外界因素的影響，才能準確進行動力學(xué)分析，進而獲得轉(zhuǎn)子真實工況下的模態(tài)分布。

近年來，隨著計算機技術(shù)與有限元理論的發(fā)展，模態(tài)分析技術(shù)也取得了較快發(fā)展，國內(nèi)外學(xué)者運用模態(tài)分析方法來研究流體機械。文獻［1］對熱水循環(huán)泵進行模態(tài)分析，驗證了材料性質(zhì)與泵機械結(jié)構(gòu)是影響各階固有頻率的主要因素。文獻［2］對風(fēng)機葉輪振動模態(tài)的計算方法進行研究，分析了影響固有頻率的因素。文獻［3］使用ANSYS有限元軟件對混流泵的轉(zhuǎn)動部件在不受預(yù)應(yīng)力與受離心力、流固耦合力等預(yù)應(yīng)力的情況進行模態(tài)分析并做了對比。文獻［4］在分析了葉片泵的模態(tài)之后，還對其進行了優(yōu)化設(shè)計。文獻［5］對離心泵進行了模態(tài)分析，研究了轉(zhuǎn)子與外殼的固有頻率與振型。文獻［6］考慮到流體附加質(zhì)量與作用力的影響，用Workbench計算了轉(zhuǎn)子在預(yù)應(yīng)力作用下的濕模態(tài)結(jié)果，并研究流體及預(yù)應(yīng)力對模態(tài)的影響。雖然眾多學(xué)者對不同類型流體機械進行了模態(tài)分析的研究，并取得了相應(yīng)的成果，但基本集中在單個轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析，而像雙圓弧斜齒齒輪泵這種考慮兩個轉(zhuǎn)子嚙合后模態(tài)分析卻鮮有涉及。

以雙圓弧斜齒齒輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，使用Solidworks對雙圓弧斜齒齒輪泵轉(zhuǎn)動副進行三維實體建模，并導(dǎo)入ANSYS Workbench中進行無預(yù)應(yīng)力與有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析，得到固有頻率，臨界轉(zhuǎn)速與振型，其結(jié)果為轉(zhuǎn)動副的動態(tài)設(shè)計提供參考，對提升轉(zhuǎn)動副的動態(tài)特性具有重要意義。

2 雙圓弧斜齒齒輪泵

雙圓弧斜齒齒輪泵的轉(zhuǎn)子采用雙圓弧齒輪作為一對運動副，與傳統(tǒng)的漸開線齒輪相比，雙圓弧齒輪傳動具有接觸強度高，彎曲強度高，使用壽命長等優(yōu)點。雙圓弧斜齒輪嚙合為一點連續(xù)接觸，而不是線接觸，端面重合度小于1，軸向重合度大于1，所以作為齒輪泵時不會像漸開線齒輪泵那樣產(chǎn)生困油現(xiàn)象。一對雙圓弧斜齒輪在嚙合過程中，齒頂與齒根也參與嚙合，連續(xù)的齒面接觸降低了工作噪聲，無困油現(xiàn)象也可以降低噪聲，同時理論上這種泵流量連續(xù)性好，脈動小，進一步降低了噪聲，可以稱為“超靜音”齒輪泵［7］。雙圓弧斜齒齒輪泵組成與結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 雙圓弧斜齒齒輪泵三維模型爆炸圖Fig.1 Exploded View of 3D Model of Double Circular Arc Helical Gear Pump

3 雙圓弧斜齒齒輪副模態(tài)仿真

模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的一種線性分析，亦是研究其他動力學(xué)分析（如譜分析，瞬態(tài)動力學(xué)分析以及諧響應(yīng)分析等）的基礎(chǔ)［8］。模態(tài)是機械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)都有固定的振動頻率與振型。在進行轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)分析時要考慮其所受的預(yù)應(yīng)力，因為結(jié)構(gòu)所受的預(yù)應(yīng)力會對固有頻率產(chǎn)生影響［9］。

3.1 模態(tài)分析基本理論

由經(jīng)典力學(xué)理論可知，有限元求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的通用方程為：

在無阻尼模態(tài)分析中，結(jié)構(gòu)做無外載荷的自由振動，式（1）可被簡化為：

由于彈性體的自由振動本質(zhì)上為簡諧振動的疊加，因此可用正弦函數(shù)表示位移后可得：

3.2 有限元模型建立與網(wǎng)格劃分

以兩平行軸與一對雙圓弧斜齒齒輪副嚙合所形成的轉(zhuǎn)動副為研究對象，雙圓弧斜齒齒輪模型參數(shù)［10］，如表1所示。

表1 齒輪泵主要設(shè)計參數(shù)Tab.1 Main Design Parameters of Gear Pump

采用solidworks按照實體比例畫出轉(zhuǎn)動副模型，為提高網(wǎng)格質(zhì)量，忽略圓角特征，并導(dǎo)入ANSYS Workbench 中，設(shè)置材料為40Cr，彈性模量為（2.11×1011）N/m2，泊松比為0.277，質(zhì)量密度7870kg/m3，忽略其他次要因素的影響，網(wǎng)格劃分方法為自動網(wǎng)格。

為確保網(wǎng)格數(shù)量以及尺度不會對數(shù)值計算結(jié)果產(chǎn)生影響，進行網(wǎng)格無關(guān)性驗證。取不同網(wǎng)格單元大小下的固有頻率值，并進行比較結(jié)果，如表2所示。這里取前6階模態(tài)值作為參考?？梢钥闯觯S著網(wǎng)格單元減小，固有頻率不再有明顯波動。綜合計算耗時與計算精度，取網(wǎng)格單元大小為2mm進行后續(xù)計算。此時共有84342節(jié)點和47718個單元。

表2 不同網(wǎng)格單元大小下前六階固有頻率Tab.2 First Six Order Natural Frequencies at Different Grid Cell Sizes

圖2 轉(zhuǎn)動副有限元網(wǎng)格模型Fig.2 Finite Element Mesh Model of Rotating Joint

3.3 約束與載荷設(shè)置

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率與模態(tài)振型會因為邊界條件的不同而不同，邊界的條件包含約束與載荷，兩者通過節(jié)點與單元進行傳遞［11］。

根據(jù)轉(zhuǎn)動副的工作情況添加以下約束邊界條件：在轉(zhuǎn)軸與滑動軸承接觸處施加圓柱支撐（Cylindrical Support）約束其徑向位移，軸向、切向自由，約束如圖3中藍色部分所示。

然后根據(jù)轉(zhuǎn)動副所受的載荷來添加預(yù)應(yīng)力，作用在轉(zhuǎn)動副的載荷主要包括表面壓力與慣性力［12］。表面壓力載荷指液壓油作用在齒輪表面的流場壓力；慣性力通過對重力加速度、旋轉(zhuǎn)速度以及材料密度的定義來施加。重力加速度選擇ANSYS Work-Bench 中默認的加速度9.8m2/s，主動軸與電機聯(lián)軸器接觸處施加扭矩，并限制x、y、z三個平移方向的自由度與繞x、y方向的轉(zhuǎn)動自由度；在雙圓弧斜齒齒輪齒面處施加所受到的液壓力，按進油口低壓區(qū)0.1MPa，出油口高壓區(qū)25MPa。齒輪輪齒與泵體內(nèi)壁構(gòu)成若干個封閉的腔室且腔室中壓力為定值，各齒面所受壓力由低壓區(qū)到高壓區(qū)為等差分布［13］，齒面所受載荷如圖3中紅色部分所示。

在混合機中進行水分調(diào)控目的是：①當(dāng)混合粉料水分含量低于13.0%時將水分含量增加至正常水分含量，以便滿足調(diào)質(zhì)制粒工藝要求；②將液體防霉劑用水稀釋后添加到飼料中，既可將水分提高到正常制粒要求，又可起到防霉的作用；③將防霉劑、乳化劑、水分活度調(diào)節(jié)劑與水按比例混合后加到飼料中，達到有利于飼料對水分吸收、高效制粒、保持低水分活度、防止飼料霉變和保持產(chǎn)品品質(zhì)的要求。

在分析設(shè)置（Analysis Setting）的轉(zhuǎn)子動力學(xué)控制（Rotordynamics Control）中，將陀螺效應(yīng)（Corolis Effect）選項設(shè)置為on。以上約束與載荷的施加保證了仿真計算與轉(zhuǎn)動副實際運行工況相符合，確保求解結(jié)果的真實性與準確性。轉(zhuǎn)動副所受約束與載荷，如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)動副邊界條件Fig.3 Boundary Condition of Rotation

3.4 仿真結(jié)果分析

轉(zhuǎn)動副系統(tǒng)的振動可以看作各階振型的線性疊加，而轉(zhuǎn)動副系統(tǒng)的動態(tài)特性主要由低階振型所決定。因此在分析轉(zhuǎn)動副的振動特性時，通常提取低階模態(tài)振型與固有頻率進行分析。

轉(zhuǎn)動副在僅受約束，不受載荷，即無預(yù)應(yīng)力下的前8階模態(tài)振型，如圖4（Ⅰ）所示。轉(zhuǎn)動副在受約束與載荷，即有預(yù)應(yīng)力狀態(tài)下的前8階模態(tài)振型云圖，如圖4（Ⅱ）所示。

圖4 轉(zhuǎn)動副無預(yù)應(yīng)力與有預(yù)應(yīng)力前8階模態(tài)的振型云圖Fig.4 The Vibration Cloud Diagram of the Unprestressing and Pre-Prestressing 8 th Order Modes of the Rotating Pair

從圖4可以看出，添加預(yù)應(yīng)力之后，各階的扭轉(zhuǎn)與拉伸趨勢沒有發(fā)生變化，只是振幅發(fā)生了改變。一階振型為主動軸與從動軸沿Z軸軸向扭轉(zhuǎn)，最大變形發(fā)生在齒輪齒頂處；二階振型從動軸沿主動軸軸向平移，最大變形發(fā)生在從動軸處；三階振型時從動軸沿自身轉(zhuǎn)軸軸向扭轉(zhuǎn)，主動軸沿軸向伸縮振動，最大變形發(fā)生在主動軸短軸端；四階振型時從動軸沿自身轉(zhuǎn)軸軸向扭轉(zhuǎn)，主動軸沿軸向伸縮振動。

最大變形發(fā)生在主動軸長軸端；五階振型時主動軸長軸端與電機連接處上下振動，最大變形發(fā)生在主動軸長軸端與電機連接處中部；六階振型時主動軸長軸端與電機連接處左右振動，最大變形發(fā)生在主動軸長軸端與電機連接處中部；七階振型時主動軸沿軸向伸縮運動，最大變形發(fā)生在主動軸直徑變化處與短端末尾處；八階振型為主動軸與從動軸齒輪的上下擺動，最大變形發(fā)生在齒輪齒頂處。轉(zhuǎn)動副的頻率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系可以表示為：λ=60f，λ為轉(zhuǎn)速（r/min），f為頻率（Hz），有無預(yù)應(yīng)力下前8 階模態(tài)固有頻率，轉(zhuǎn)速與振幅的對比，如表3 所示。fa、fp分別為轉(zhuǎn)動副無預(yù)應(yīng)力、有預(yù)應(yīng)力對應(yīng)的頻率；na、np分別轉(zhuǎn)動副為無預(yù)應(yīng)力、有預(yù)應(yīng)力對應(yīng)的轉(zhuǎn)速；Aa、Ap為轉(zhuǎn)動副無預(yù)應(yīng)力、有預(yù)應(yīng)力對應(yīng)的振幅。

表3 有無預(yù)應(yīng)力情況下固有頻率，轉(zhuǎn)速與振幅Tab.3 The Natural Frequency，Speed and Amplitude with PRestress and Without Prestress

從表3可以看出：隨著階次的增加，轉(zhuǎn)動副的固有頻率逐漸增大。添加預(yù)應(yīng)力之后，各階固有頻率的分布、變化規(guī)律與無預(yù)應(yīng)力的情況基本一致，二階、三階、八階的固有頻率相較無預(yù)應(yīng)力的固有頻率降低，一階、四階、五階、七階的固有頻率相比無預(yù)應(yīng)力的固有頻率有所提升，六階頻率沒有變化。一階，二階，五階的固有頻率變化較大，其余各階變化較小，在0.1%之內(nèi)。在施加預(yù)應(yīng)力之后，一階、三階、五階、七階的振幅減??；二階、四階、六階、八階的振幅增大。

3.5 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)優(yōu)化

高速泵一般用于航空航天，要求極限重量。出于減材，輕量化，高功重比的考慮，以輕量化為優(yōu)化目標，對雙圓弧斜齒齒輪泵轉(zhuǎn)子進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，優(yōu)化后的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)滿足等效應(yīng)力應(yīng)小于材料的屈服極限785MPa，最大變形小于1mm，一階固有頻率大于最高轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的固有頻率。

依次將轉(zhuǎn)軸的直徑改為原設(shè)計的0.9倍、0.8倍、0.7倍與0.6倍，施加與之前有預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析時相同的約束與載荷，進行靜力學(xué)與模態(tài)分析。當(dāng)轉(zhuǎn)軸直徑為原設(shè)計的0.9倍與0.8倍時，仍有較大裕量；為0.7倍時，略大于臨界值；為0.6倍時將產(chǎn)生共振。且取0.7倍軸徑時，等效應(yīng)力為225.82MPa，最大變形0.9188mm，滿足設(shè)計要求。因此取原軸徑的0.7倍，前8階模態(tài)的振型云圖，如圖5所示。

圖5 優(yōu)化后轉(zhuǎn)動副有預(yù)應(yīng)力的前8階模態(tài)振型云圖Fig.5 Vibration Cloud Diagram of the First Eight Modes with Prestress of the Rotating Pair After Optimization

由振型云圖可以看出，優(yōu)化后振型與優(yōu)化前一致。由表4可知，由于減小軸徑，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度降低，所以前8階固有頻率均減小。1階固有頻率變化較大，僅為優(yōu)化前的48%，后7階固有頻率減小幅度相對較小。優(yōu)化后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率對應(yīng)的轉(zhuǎn)速高于額定轉(zhuǎn)速，不會發(fā)生共振。

表4 轉(zhuǎn)軸優(yōu)化后固有頻率與振幅Tab.4 Natural Frequency after Shaft Optimization

4 雙圓弧斜齒齒輪泵臨界轉(zhuǎn)速分析

臨界轉(zhuǎn)速分為橫向臨界轉(zhuǎn)速和扭轉(zhuǎn)臨界轉(zhuǎn)速。由于加工誤差、裝配誤差、以及轉(zhuǎn)軸自身質(zhì)量分布不均勻，轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時質(zhì)心偏離軸線產(chǎn)生離心力并隨軸的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生周期性變化，在某一轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)軸彎曲自振頻率與離心力變化頻率一致時，轉(zhuǎn)軸振動顯著增強，產(chǎn)生共振，對應(yīng)的轉(zhuǎn)速為橫向臨界轉(zhuǎn)速。當(dāng)轉(zhuǎn)軸所傳遞功率發(fā)生周期性變化時，轉(zhuǎn)軸會因該周期性力矩產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，當(dāng)扭轉(zhuǎn)自振頻率與力矩頻率一致時，產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)共振現(xiàn)象，對應(yīng)的轉(zhuǎn)速為扭轉(zhuǎn)共振轉(zhuǎn)速。上述兩種臨界轉(zhuǎn)速會對齒輪泵機械結(jié)構(gòu)造成嚴重破壞，因此齒輪泵工作的額定轉(zhuǎn)速要避開臨界轉(zhuǎn)速范圍［14］

轉(zhuǎn)軸激振頻率由自身旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的軸頻與液壓油激振引起的頻率組成。齒輪泵額定轉(zhuǎn)速10000r/min，軸頻fr=10000/60=166.667Hz，齒輪轉(zhuǎn)子齒數(shù)為7，在齒輪泵工作過程中，出油口會因齒輪嚙合存在壓力脈動，使轉(zhuǎn)軸受到脈動的徑向力。因此，雙圓弧斜齒齒輪泵轉(zhuǎn)子嚙合產(chǎn)生周期性變化的徑向力是轉(zhuǎn)動副振動的來源之一。該徑向力的主頻ft=fr×7=1166.669Hz，主要引起轉(zhuǎn)軸的彎曲振動。

依據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)要求［15］：

（1）轉(zhuǎn)子第一臨界轉(zhuǎn)速要比額定轉(zhuǎn)速高20%，且額定轉(zhuǎn)速必須偏離所有可預(yù)見的激振頻率；

（2）第一臨界扭振轉(zhuǎn)速要偏離額定轉(zhuǎn)速下的第一激振頻率10%。對于彎曲振動，第一臨界轉(zhuǎn)速24846.6r/min遠大于額定轉(zhuǎn)速10000r/min，液壓油激振頻率1166.669Hz 處于二階固有頻率515.38Hz與三階固有頻率4459.1Hz之間，且均在共振頻率值的10%范圍以外；對于扭轉(zhuǎn)振動，激振頻率為電機的轉(zhuǎn)動頻率166.667Hz，遠離一階固有頻率414.11Hz。

泵體作為齒輪泵中體積最大的元件，參照對轉(zhuǎn)動副進行模態(tài)分析的步驟，對泵體劃分網(wǎng)格，施加預(yù)應(yīng)力，求出前八階固有頻率，并與轉(zhuǎn)動副有預(yù)應(yīng)力的前八階固有頻率進行對比，如圖6所示。泵體與轉(zhuǎn)動副頻率曲線在10000Hz處相交，此處對應(yīng)轉(zhuǎn)速為600000r/min，遠高于額定轉(zhuǎn)速10000r/min。因此泵體與轉(zhuǎn)動副不會發(fā)生共振。

圖6 泵體與轉(zhuǎn)動副有預(yù)應(yīng)力的前八階固有頻率Fig.6 The First Eighth Order Natural Frequencies of the Pump Body and the Rotating Pair Are Prestressed

5 結(jié)論

（1）高壓液體在泵內(nèi)的流動使轉(zhuǎn)動副受力，導(dǎo)致泵共振特性發(fā)生改變。添加預(yù)應(yīng)力之后，轉(zhuǎn)動副各階模態(tài)的固有頻率與振幅均發(fā)生相應(yīng)變化，但變化幅度較小。說明預(yù)應(yīng)力對轉(zhuǎn)動副固有頻率的影響很小。

（2）泵軸直徑是影響齒輪泵模態(tài)特性的主要因素，泵軸直徑減小，系統(tǒng)剛度變小，從而造成固有頻率降低。設(shè)計時要在輕量化與模態(tài)特性之間進行折中。

（3）齒輪泵實現(xiàn)高速高壓化需進行轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性設(shè)計，設(shè)計時必須參照轉(zhuǎn)子動力學(xué)標準對泵進行臨界轉(zhuǎn)速分析，使一階臨界轉(zhuǎn)速遠高于泵的額定轉(zhuǎn)速。同時，設(shè)計時需使泵體與轉(zhuǎn)動副的共振轉(zhuǎn)速遠高于泵的額定轉(zhuǎn)速。

（4）雙圓弧斜齒齒輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振型云圖，為后續(xù)實驗過程中傳感器的布置位置提供依據(jù)。