劉 偉， 沈 超， 于 越， 李遇春

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 上海 200092)

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，高強(qiáng)度材料和大長細(xì)比構(gòu)件越來越多地應(yīng)用于框架結(jié)構(gòu)中。這些結(jié)構(gòu)經(jīng)常受到周期性荷載的作用，如水工建筑物表面的水流脈動壓力、橋梁上行駛車輛的周期性荷載以及橋墩周圍的周期性水流渦激力，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中這些必須考慮周期性荷載的動力效應(yīng)。如果外力的激勵頻率接近結(jié)構(gòu)的固有頻率，結(jié)構(gòu)會發(fā)生普通共振，工程師和研究人員已對這類普通共振問題有了充足的了解和研究。如果外荷載激勵頻率大約等于結(jié)構(gòu)或子結(jié)構(gòu)固有頻率的兩倍，框架結(jié)構(gòu)可能會經(jīng)歷所謂的參數(shù)共振或自參數(shù)共振。參數(shù)共振對結(jié)構(gòu)具有極大的危害性，但其潛在風(fēng)險很容易被結(jié)構(gòu)工程師忽視。因此，有必要確定框架結(jié)構(gòu)在周期性荷載作用下的參數(shù)共振穩(wěn)定邊界，以避免潛在的參數(shù)共振動力失穩(wěn)風(fēng)險。

Bolotin等[1-8]對不同約束條件下單跨梁的參數(shù)共振動力失穩(wěn)問題進(jìn)行了深入的研究。

劉金建等[9]研究了軸向運動黏彈性二維納米板結(jié)構(gòu)的非局部橫向參數(shù)振動及其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；楊宏康等[10]考慮靜動液壓引起的殼體應(yīng)力剛化(軟化)效應(yīng)分析了基底隔震儲液罐的參數(shù)動力穩(wěn)定性；張登博等[11]研究了計及非齊次邊界條件的面內(nèi)變速運動黏彈性板的主參數(shù)振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；陳舟等[12]對行人引起人行橋參數(shù)振動作用下的大幅振動進(jìn)行了理論和數(shù)值分析；李云東等[13]采用數(shù)值方法研究了參數(shù)激勵作用下非線性彈性地基上懸臂輸流管道的參數(shù)動力穩(wěn)定性；陳丕華等[14]采用理論和試驗相結(jié)合的方法研究了斜拉索在弦向位移激勵下的參數(shù)振動穩(wěn)定性。上述結(jié)構(gòu)動力穩(wěn)定性問題的運動方程均可表示為齊次Mathieu-Hill方程，齊次Mathieu-Hill方程的不穩(wěn)定解可用Bolotin方法或攝動法[15-16]求解。

框架結(jié)構(gòu)可以由兩個子結(jié)構(gòu)組成，這兩個子結(jié)構(gòu)通過鉸鏈連接，一個子結(jié)構(gòu)是主系統(tǒng)，另一個是次系統(tǒng)。承受周期性外荷載的主系統(tǒng)會引發(fā)次系統(tǒng)的自參數(shù)共振，這種由主系統(tǒng)激發(fā)次系統(tǒng)的參數(shù)共振稱為自參數(shù)共振。Tondl等[17]詳細(xì)給出了機(jī)械系統(tǒng)自參數(shù)共振的具體定義；Náprstek等[18]研究了暴露于強(qiáng)垂直分量的易變形高層結(jié)構(gòu)的自參數(shù)共振問題；Xia等[19]通過使用Lyaponov指數(shù)研究了斜拉梁結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵下的自參數(shù)共振穩(wěn)定性。這些自參數(shù)共振問題的運動方程表示為非齊次Mathieu-Hill方程，因此不能直接通過Bolotin方法或攝動法求解。非齊次Mathieu-Hill方程的動力穩(wěn)定性分析的一般方法是基于運動方程的時程解，Lyapunov指數(shù)已廣泛運用于工程結(jié)構(gòu)的參數(shù)共振動力失穩(wěn)分析[20]。最近，Li等[21-23]提出了能量增長指數(shù)/系數(shù)(energy growth exponential/coefficient，EGE/EGC)來確定參數(shù)激勵系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界。EGE/EGC所得到的穩(wěn)定性邊界與傳統(tǒng)方法和試驗所得的結(jié)果一致。

現(xiàn)有的參數(shù)振動研究表明，主參數(shù)共振(1/2次諧波)是最容易誘發(fā)和最危險的參數(shù)共振模式。其他參數(shù)共振模式，例如諧波參數(shù)共振和超諧波參數(shù)共振，在現(xiàn)實世界中很難發(fā)生，因此本文只研究了框架結(jié)構(gòu)的主參數(shù)共振問題。

本文提出了一般框架結(jié)構(gòu)空間自參數(shù)共振的數(shù)值預(yù)測方法，為了驗證數(shù)值方法的正確性，進(jìn)行了空間自參數(shù)內(nèi)共振和非內(nèi)共振試驗。根據(jù)試驗與數(shù)值預(yù)測結(jié)果確定和比較了框架結(jié)構(gòu)的自參數(shù)內(nèi)共振和非內(nèi)共振的穩(wěn)定邊界，強(qiáng)調(diào)了空間自參數(shù)內(nèi)共振的特殊性和危險性。

1 理論公式

1.1 考慮內(nèi)軸力效應(yīng)的梁單元空間運動方程

框架結(jié)構(gòu)一般由幾個均勻的梁單元組成，考慮圖1所示局部坐標(biāo)系oxyz中的均勻梁單元，其中：梁的初始長度為l，橫截面積為A，質(zhì)量密度為ρ，楊氏模量為E，剪切模量為G，極坐標(biāo)繞x軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，繞y和z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為Iy和Iz。對于節(jié)點i和j，局部坐標(biāo)分別為(xi,yi,zi)和(xj,yj,zj)，節(jié)點位移分別為{μxi,μyi,μzi,θxi,θyi,θzi}T和{μxj,μyj,μzj,θxj,θyj,θzj}T,節(jié)點力分別為{Fxi,Fyi,Fzi,Mxi,Myi,Mzi}T和{Fxj,Fyj,Fzj,Mxj,Myj,Mzj}T。

(a) 節(jié)點位移

(b) 節(jié)點力圖1 均勻梁單元的節(jié)點位移和力Fig.1 Nodal displacements and forces of a uniform beam element

基于哈密頓原理和Bernoulli-Euler梁的基本理論(忽略該梁的轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形)，在局部坐標(biāo)系下考慮內(nèi)軸力作用的梁單元運動方程可推導(dǎo)為[24-26]

(1)

其中

(2)

式(1)可以改寫為

(3)

其中

(4)

1.2 框架結(jié)構(gòu)總體運動方程

將框架結(jié)構(gòu)在局部坐標(biāo)系中的所有單元運動方程(式(3)，e=1,2,3,…，N)都轉(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)系下，然后將總體坐標(biāo)系下的單元運動方程進(jìn)行組裝整合可以得到以下結(jié)構(gòu)總體運動方程

(5)

(6)

C+βk·K

(7)

當(dāng)具體研究結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)的參數(shù)共振時，系數(shù)βk由下式計算。

(8)

式中，ωj和ξj分別為框架結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)的自振頻率和阻尼比。

1.3 時程解和穩(wěn)定性分析

(9)

將式(9)代入式(5)可得到如下增量方程

(10)

其中

(11)

需要注意的是，在上述推導(dǎo)中已經(jīng)進(jìn)行了近似KG(t0+Δt)≈KG(t0)。因此，結(jié)構(gòu)的動態(tài)時程響應(yīng)是通過求解式(10)獲得的。

框架結(jié)構(gòu)的機(jī)械能可以寫作

[K-KG(t)]·a(t)

(12)

如果框架結(jié)構(gòu)受到初始小擾動，則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的初始能量可表示為E(t)|t=0=E0。框架結(jié)構(gòu)的EGE可以定義為

(13)

式中，[t1,t2]為能量函數(shù)ln[E(t)]的主干曲線斜率線性增加的開始時間間隔，框架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性可以通過以下標(biāo)準(zhǔn)判斷

(14)

框架結(jié)構(gòu)參數(shù)共振的穩(wěn)定邊界可由λ=0確定。

2 框架結(jié)構(gòu)空間參數(shù)共振試驗研究

2.1 試驗?zāi)Ｐ秃驮囼炑b置

如圖2和圖3所示，Γ形試驗框架由水平梁(梁1)和豎直梁(梁2)組成，框架的幾何尺寸如圖4所示。通過自由振動試驗測得了梁1和梁2的彈性模量E1=2.487×1011N/m2和E2=1.637×1011N/m2。梁1和梁2由鋼鐵制成，質(zhì)量密度均為ρ=7 850 kg/m3。梁1和梁2橫截面互相垂直并用鉸鏈連接，即兩根梁的連接端只釋放了梁2的z方向轉(zhuǎn)動自由度(見圖4)。梁2的另一端夾在底板上，梁1的另一端鉸接在支架上。兩個集中質(zhì)量塊被選擇性地連接在A點(梁1)和B點(梁2)，以調(diào)節(jié)梁1和梁2的基頻。

圖2 試驗示意圖Fig.2 Experimental schematic diagram

圖3 試驗裝置照片F(xiàn)ig.3 Photo of experimental facilities

圖4 試驗?zāi)Ｐ蛶缀纬叽?(mm)Fig.4 Geometric diagram of test model (mm)

如圖2和圖3所示，周期性力信號由信號發(fā)生器(EM32000A/B)產(chǎn)生，由功率放大器(GF100)放大，最后傳輸?shù)椒墙佑|式電磁激振器(DJ-20)。該激振器在梁2的B點上提供周期性的電磁荷載，用激光位移傳感器(SUNX-ANR1215)測量B點的位移，這可以看作是梁1的位移激勵，另一個激光位移傳感器用于測量梁1中點A的位移響應(yīng)。兩組位移響應(yīng)信號由數(shù)據(jù)采集儀(INV306U-A)同時采集，信號分析儀(INV306U)分析后由計算機(jī)記錄。

在試驗?zāi)Ｐ椭校?和梁1可以分別視為主系統(tǒng)和次系統(tǒng)。電磁激振器激發(fā)梁2振動后，通過鉸鏈將周期性軸向力從梁2傳遞到梁1，從而引起梁1的空間自參數(shù)共振。

2.2 空間自參數(shù)內(nèi)共振試驗(工況1：fe≈f02≈2f01)

在該工況下，A點和B點處的附加質(zhì)量分別為8.5 g和36 g。符號fe、f01和f02分別為電磁激振器的激勵頻率、梁1的基頻和梁2的基頻。梁1和梁2的頻率關(guān)系設(shè)計為f02≈2f01。用自由振動法可以得到梁1和梁2的實測自振頻率和阻尼比，數(shù)值自振頻率可用有限元方法計算，試驗?zāi)Ｐ偷哪B(tài)參數(shù)如表1所示。

表1 試驗?zāi)Ｐ偷淖哉耦l率和阻尼比(工況1：內(nèi)共振)Tab.1 The natural frequency and damping ratio of the test model (case 1: internal resonance)

在該工況下fe≈f02≈2f01，使用電磁激振器在梁2的B點施加周期性載荷，并使用激光位移傳感器同時測量A點和B點的位移時程響應(yīng)。在本試驗中不能直接測量激振力(磁力難以測量)，但根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)的知識，可以通過測量梁2上B點的位移響應(yīng)來間接獲得激勵力。

圖5顯示了試驗?zāi)Ｐ偷牡湫涂臻g自參數(shù)內(nèi)共振響應(yīng)，其中激勵頻率設(shè)置為fe=8.18 Hz≈f02≈2f01。圖5(a)表明了梁2(主系統(tǒng))的x方向(面內(nèi))位移響應(yīng)幅值在初始階段線性增加，然后由于結(jié)構(gòu)阻尼效應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定值，梁2的響應(yīng)頻率近似等于激勵頻率。結(jié)果表明，梁2發(fā)生了典型的普通共振。從圖5(b)可以看出，梁1的不穩(wěn)定運動是由梁2的普通共振激發(fā)的，梁1(次系統(tǒng))的面外(z方向)位移振幅呈指數(shù)增大，梁1的響應(yīng)頻率為4.14 Hz，約為激勵頻率的一半，這表明梁1發(fā)生了典型的(1/2次諧波)自參數(shù)共振。這種由主系統(tǒng)(梁2)的普通共振激發(fā)的次系統(tǒng)(梁1)的參數(shù)共振動力失穩(wěn)稱為自參數(shù)內(nèi)共振。由于幾何非線性效應(yīng)，梁1最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)振動，這被稱為參數(shù)共振的“極限環(huán)振蕩”。工況1的內(nèi)共振試驗視頻可以通過以下鏈接進(jìn)行觀察：https:∥www.bilibili.com/video/BV1M54y1a7eQ/.

(a) 梁2的面內(nèi)(x方向)位移響應(yīng)(作為梁1的位移激勵)

(b) 梁1的面外(z方向)位移響應(yīng)圖5 自參數(shù)內(nèi)共振試驗典型數(shù)據(jù)(工況1：fe≈f02≈2f01)：Fig.5 A typical measured displacement response of autoparametric internal resonance (case 1:fe≈f02≈2f01)

在試驗中，首先固定了電磁激振器的激勵振幅，梁2(主系統(tǒng))的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)振幅被視為激勵振幅(見圖5(a))。然后不斷增大(或減小)激勵頻率(頻率階躍=0.01 Hz)，直到梁1(次系統(tǒng))的不穩(wěn)定響應(yīng)開始出現(xiàn)或消失。當(dāng)梁1的位移響應(yīng)從保持微幅振動到突然非線性增長時，即說明梁1發(fā)生開始發(fā)生參數(shù)振動動力失穩(wěn)。同理當(dāng)梁1從大振幅參數(shù)振動(極限環(huán)振蕩)到位移響應(yīng)迅速較小然后保持穩(wěn)定，說明梁1結(jié)束參數(shù)共振動力失穩(wěn)。將梁1開始失穩(wěn)和結(jié)束失穩(wěn)的兩個頻率分別視為下臨界頻率邊界點和上臨界頻率邊界點，最終通過確定不同激勵幅值下的臨界頻率邊界點可得到梁1空間自參數(shù)內(nèi)共振的實測不穩(wěn)定邊界。

2.3 空間自參數(shù)非內(nèi)共振試驗(工況2：f02≠2f01, fe≈2f01)

在此試驗工況下，A點和B點的附加質(zhì)量分別為8.5 g和18 g，頻率關(guān)系設(shè)計為f02≠2f01，試驗?zāi)Ｐ偷哪B(tài)參數(shù)，如表2所示。

表2 試驗?zāi)Ｐ偷淖哉耦l率和阻尼比(工況2：非內(nèi)共振)Tab.2 The natural frequency and damping ratio of the test model (case 2: noninternal resonance)

當(dāng)外荷載激勵頻率為fe≈2f01(f02≠2f01)時，典型的試驗位移激勵和參數(shù)共振響應(yīng)，如圖6所示。在周期性外載荷作用下，梁2發(fā)生了有界強(qiáng)迫振動(見圖6(a))，這導(dǎo)致了梁1的參數(shù)共振(見圖6(b))。梁1的位移響應(yīng)幅值呈指數(shù)增長，響應(yīng)頻率為4.09 Hz，約為激勵頻率的一半。這種由梁2的強(qiáng)迫振動激發(fā)的梁1的參數(shù)共振動力失穩(wěn)稱為自參數(shù)非內(nèi)共振。工況2的空間自參數(shù)非內(nèi)共振視頻可通過以下鏈接觀察：https:∥www.bilibili.com/video/BV1ri4y1 N7ZT/.

(a) 梁2的面內(nèi)(x方向)位移響應(yīng)

(b) 梁1的面外(z方向)位移響應(yīng)圖6 自參數(shù)非內(nèi)共振試驗典型數(shù)據(jù)(工況2：f02≠f01,fe≈2f01)Fig.6 A typical measured displacement response of autoparametric noninternal resonance (case 2:f02≠f01,fe≈2f01)

3 數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果的比較

3.1 力激勵與位移激勵的理論轉(zhuǎn)換關(guān)系

如圖4所示，對試驗框架結(jié)構(gòu)在B點施加x方向的周期力F=F0cos(2πfet)，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)整體有限元方程(式(5))可以根據(jù)工況1和工況2的模態(tài)參數(shù)建立。我們可以通過求解運動方程(式(5))來獲得B點的位移響應(yīng)，其中位移響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)振幅由D0表示。

在本試驗中，由于使用非接觸式電磁激振器，激勵力(磁力)不能直接測量，因此梁2的位移響應(yīng)(B點)D0被用作外部位移激勵。然而在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中，我們習(xí)慣于使用力激勵作為外部激勵。因此，為了便于激勵力和位移響應(yīng)的換算，有必要給出激勵力和位移響應(yīng)之間的理論關(guān)系。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)中力和位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如圖7(a)和圖7(b)所示的點線圖，可以分別獲得工況1和工況2的幅值比R0=D0/F0隨激勵頻率fe的變化曲線。通過圖7所給出的轉(zhuǎn)換曲線，我們可以將試驗測得的位移激勵不穩(wěn)定邊界點轉(zhuǎn)化為力激勵不穩(wěn)定邊界點。

(a) 工況1

(b) 工況2圖7 B點位移激勵與力激勵的幅值比Fig.7 The amplitude ratio of displacement excitation and force excitation at point B

3.2 數(shù)值穩(wěn)定邊界與試驗結(jié)果的比較

3.2.1 空間自參數(shù)內(nèi)共振的數(shù)值穩(wěn)定邊界(工況1)

在工況1中，首先在梁1的A點上施加z方向初始靜力P=0.005 N，得到框架的初始靜位移響應(yīng)作為初始擾動。然后，對梁2的B點施加x方向周期力F=F0cos(2πfet)，相應(yīng)的位移響應(yīng)可通過式(5)求解。圖8是一個典型的例子，其激振力的幅值和頻率分別為F0=0.13 N和fe=2×f01=2×4.11=8.22 Hz。圖8(a)顯示了梁2上B點的位移響應(yīng)，這也被視為梁1的位移激勵。梁2的理論位移響應(yīng)與試驗結(jié)果相似(見圖5(a))，是一種典型的普通共振響應(yīng)。圖8(b)顯示了梁1的理論自參數(shù)內(nèi)共振響應(yīng)，這與圖5(b)中的實測失穩(wěn)過程也是一致的。

(a) 梁2

(b) 梁1圖8 自參數(shù)內(nèi)共振的數(shù)值位移響應(yīng)(工況1)Fig.8 The numerical displacement responses of autoparametric internal resonance (case 1)

這里需要注意的是，式(5)是一個線性化的有限元方程，僅用于模擬結(jié)構(gòu)的初始失穩(wěn)過程(處于小變形狀態(tài))。當(dāng)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)增大時，非線性項(在式(5)中忽略)將抑制結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值的無限增加，位移振幅將在有限范圍內(nèi)有界(見圖5(b))。梁1和梁2之間的非線性相互作用反過來影響梁2的位移響應(yīng)，這種非線性相互作用效應(yīng)可以從圖5(a)中15～25 s的位移響應(yīng)中看出，這是不能用式(5)模擬的。結(jié)構(gòu)振動的非線性仿真是一個非常復(fù)雜的問題，需要進(jìn)一步研究。

對于確定的力激勵幅值F0，可以通過改變激勵頻率fe來確定與EGE為零時相對應(yīng)的頻率點。該坐標(biāo)(fe,F0)就是結(jié)構(gòu)理論不穩(wěn)定邊界上的一點。試驗框架參數(shù)共振的理論不穩(wěn)定邊界(參數(shù)共振動力失穩(wěn)區(qū)域)如圖9所示。當(dāng)以位移作為激勵時，將位移響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)振幅D0(圖8(a))作為激勵振幅(位移激勵)?？梢缘玫皆诮Y(jié)構(gòu)不穩(wěn)定邊界上的激勵點(fe,D0)。梁1在位移激勵下的理論不穩(wěn)定邊界(參數(shù)共振動力失穩(wěn)區(qū)域)如圖10所示，其中空心圓表示實測值，可以發(fā)現(xiàn)理論邊界與試驗邊界吻合較好。

圖9 梁1自參數(shù)內(nèi)共振的數(shù)值穩(wěn)定邊界(工況1：力激勵)Fig.9 Numerical autoparametric internal resonance stability boundary of beam-1 (case 1: force excitation)

圖10 梁1自參數(shù)內(nèi)共振的數(shù)值穩(wěn)定邊界(工況1：位移激勵)Fig.10 Numerical autoparametric internal resonance stability boundary of beam-1 (case 1: displacement excitation)

3.2.2 空間自參數(shù)非內(nèi)共振的數(shù)值穩(wěn)定邊界(工況2)

對于工況2，圖11顯示了試驗框架典型的自參數(shù)非內(nèi)共振的數(shù)值位移響應(yīng)，其中激勵力的幅值和頻率分別為F0=0.2 N和fe=2×f01=2×4.11=8.22 Hz。圖11(a)顯示了梁2上B點發(fā)生了典型的強(qiáng)迫振動位移響應(yīng)，梁2的理論位移響應(yīng)類似于圖6(a)中的實測位移響應(yīng)。圖11(b)顯示了梁1發(fā)生了自參數(shù)非內(nèi)共振響應(yīng)，與圖6(b)中的實測不穩(wěn)定過程基本一致。梁1的理論不穩(wěn)定邊界計算過程與工況1相同，工況2在力激勵和位移激勵下的參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域，分別如圖12和圖13所示。圖13表明，結(jié)構(gòu)自參數(shù)非內(nèi)共振不穩(wěn)定邊界與實測不穩(wěn)定邊界吻合較好。

(a) 梁2

(b) 梁1圖11 非內(nèi)共振數(shù)值位移響應(yīng)(工況2)Fig.11 The numerical displacement responses of noninternal resonance (case 2)

圖12 梁1自參數(shù)非內(nèi)共振的數(shù)值穩(wěn)定邊界(工況2：力激勵)Fig.12 Numericalautoparametric noninternal resonance stability boundary of beam-1 (case 2: force excitation)

圖13 梁1自參數(shù)非內(nèi)共振的穩(wěn)定邊界(工況2：位移激勵)Fig.13 Numerical autoparametric noninternal resonance stability boundary of beam-1 (case 2: displacement excitation)

3.2.3 空間自參數(shù)內(nèi)共振與非內(nèi)共振不穩(wěn)定邊界的對比

根據(jù)3.1節(jié)中激勵力與激勵位移的理論關(guān)系，我們可以將圖9和圖12中的試驗位移激勵轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的力激勵，并重新繪制成圖14中的不穩(wěn)定邊界，從中可以發(fā)現(xiàn)自參數(shù)內(nèi)共振的不穩(wěn)定區(qū)域比自參數(shù)非內(nèi)共振的不穩(wěn)定區(qū)域大得多。對于前者，由于梁2的普通共振的放大效應(yīng)，較小的激勵可以激發(fā)梁1的大振幅自參數(shù)共振，因此自參數(shù)內(nèi)共振比非內(nèi)共振破壞性大得多，在工程設(shè)計中應(yīng)注意避免該工況。

圖14 空間內(nèi)共振與非內(nèi)共振穩(wěn)定邊界的比較(工況1和 工況2：力激勵)Fig.14 Comparison of stability boundaries between spatial internal resonance and noninternal resonance (cases 1 and 2: force excitation)

4 結(jié) 論

本文基于哈密頓原理和Bernoulli-Euler梁的基本理論給出了框架結(jié)構(gòu)空間動力失穩(wěn)的理論公式，提出了一種結(jié)構(gòu)空間動力穩(wěn)定性分析的數(shù)值方法。為了驗證數(shù)值預(yù)測，進(jìn)行了空間自參數(shù)內(nèi)共振和非內(nèi)共振試驗。根據(jù)試驗與數(shù)值計算結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：

(1) 當(dāng)周期荷載的激勵頻率約為框架結(jié)構(gòu)空間固有頻率的兩倍時，框架結(jié)構(gòu)可能由于自參數(shù)共振而發(fā)生空間動力失穩(wěn)。

(2) 框架結(jié)構(gòu)體系可以由兩個子結(jié)構(gòu)組成。一個子結(jié)構(gòu)是主系統(tǒng)，另一個是次系統(tǒng)。當(dāng)主系統(tǒng)的固有頻率接近次系統(tǒng)的兩倍時，主系統(tǒng)的普通共振會引發(fā)次系統(tǒng)的自參數(shù)內(nèi)共振。由于普通共振的放大效應(yīng)，相對較小的激勵就可以激發(fā)子結(jié)構(gòu)的大振幅自參數(shù)內(nèi)共振，且內(nèi)共振的不穩(wěn)定區(qū)域比非內(nèi)共振(正常工況)的不穩(wěn)定區(qū)域大得多。

(3) 數(shù)值預(yù)測與試驗結(jié)果吻合較好，說明本文提出的數(shù)值方法對框架結(jié)構(gòu)的空間自參數(shù)共振研究是有效的。