楊申申，白增亮

（1.山西師范大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，山西 太原 030031；2.山西財經(jīng)大學(xué) 信息學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

當(dāng)今時代是一個高度信息化的時代，信息安全的重要性隨之也愈發(fā)顯著。量子密鑰分發(fā)（Quantum Key Distribution）［1-2］的誕生能夠很好地滿足對信息加密的需求，它可以使合法通信雙方共享一組信息理論上無條件安全的密鑰。連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)（Continues-Variable QKD，CV-QKD）［3-5］作為 QKD 技術(shù)的一個重要分支，具有光源易于制備，探測效率高，中短距離上成碼率高，與現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)光通信組件兼容性好等優(yōu)點。自1999年被提出后［6］，取得了飛速的進(jìn)展，在實驗方面，系統(tǒng)的傳輸距離和密鑰率不斷增加，安全性逐步提高，點對點傳輸最遠(yuǎn)距離達(dá)到202.81 km［7］，利用信道復(fù)用技術(shù)密鑰率最高可以達(dá)到172.6 Mbit/s［8］，基于光纖測量設(shè)備無關(guān)的演示實驗也得以實現(xiàn)［9］，并逐漸走向集成化［10］、實用化［11］。

CV-QKD實驗技術(shù)的不斷突破對數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)的要求也愈來愈高。Leverrier等提出了適用于低信噪比（0.01～1）的多維協(xié)調(diào)方案［12］，能夠使得CV-QKD系統(tǒng)的傳輸距離更遠(yuǎn)。Jouguet等將多邊類型低密度奇偶校驗（Multi-Edge Type Low-Density Parity-Check，MET-LDPC）碼應(yīng)用到多維協(xié)調(diào)當(dāng)中［13］，當(dāng)碼率為0.02，信噪比為0.029時，協(xié)調(diào)效率為96.9%。Jouguet等利用多維協(xié)調(diào)結(jié)合MET-LDPC碼的方案，成功將CVQKD的傳輸距離擴(kuò)展到80 km［14］，由此獲得了研究人員的廣泛關(guān)注。Wang等實現(xiàn)了0.02，0.05和0.1三個碼率下的多維協(xié)調(diào)，信噪比分別為 0.029，0.075，0.16，效率分別為 96.99%，95.84%，93.40%，并利用GPU的并行計算能力提高了計算速度［15］；同年，Milicevic等將碼率為0.02時的協(xié)調(diào)效率提高到99%［16］。Li等利用GPU進(jìn)一步提高了計算速度［17］。Mani等構(gòu)造了譯碼性能更好的MET-LDPC碼［18］，并對碼率0.02進(jìn)行了分析，協(xié)調(diào)效率可以達(dá)到98.8%。

上述研究工作主要針對碼率0.02展開研究，該碼率的糾錯碼可以支持CV-QKD進(jìn)行百公里以上的密鑰分發(fā)。當(dāng)CV-QKD系統(tǒng)工作在中短距離時，有必要對碼率0.1展開進(jìn)一步的研究，且現(xiàn)有研究成果中構(gòu)造的校驗矩陣碼長過長，導(dǎo)致計算量過大，計算耗時較長，嚴(yán)重制約了多維協(xié)調(diào)在實際場景中的應(yīng)用。本文改進(jìn)了校驗矩陣構(gòu)造方法，結(jié)合隨機構(gòu)造算法和準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展算法構(gòu)造了一組碼率為0.1的MET-LDPC碼，基矩陣碼長分別為1×103，1×104，2×104，分別擴(kuò)展到1×105，2×105，5×105，1×106，探究了不同的基矩陣大小和準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展因子對多維協(xié)調(diào)性能的影響。仿真結(jié)果表明，選擇碼長103的基矩陣并擴(kuò)展500倍構(gòu)造出來的校驗矩陣糾錯性能最佳，當(dāng)信噪比為0.16時，協(xié)調(diào)效率為93.4%，幀錯誤率低至6.8%，譯碼平均迭代次數(shù)為49.99，這幾項參數(shù)表明我們的方案可以滿足系統(tǒng)在中短距離下對數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)的需求。

1 MET-LDPC碼及其構(gòu)造

Richardson和Urbanke提出了MET-LDPC碼［19］。通過在碼的設(shè)計中引入新的約束條件，使得該碼兼具以下優(yōu)點：（1）在高斯噪聲信道上表現(xiàn)出更好的糾錯性能；（2）低碼率下糾錯性能相比于其他糾錯碼更接近香農(nóng)極限，在非常低的信噪比下可以降低錯誤平層；（3）高碼率下同樣具有非常好的糾錯性能。

度分布是分析LDPC碼漸進(jìn)性能的有力工具，MET-LDPC碼從節(jié)點的角度來定義度分布。矢量d代表邊類型的度數(shù)；矢量b表示接收信號的信道的參數(shù)，該矢量中僅一個變量為1，其余均為0；矢量r表示接收信道的數(shù)量。根據(jù)這些參數(shù)，可以用兩個多項式來表征METLDPC碼的度分布，分別對應(yīng)變量節(jié)點和校驗節(jié)點的約束條件，即

式中系數(shù) νb，d和 μd表示每種節(jié)點的比例，均為非負(fù)實數(shù)。一個度分布對應(yīng)的碼率為

2011年，Jougue等利用密度進(jìn)化算法尋找出了一組碼率為0.02的度分布［13］；2017年，Wang等進(jìn)一步利用密度進(jìn)化尋找了碼率為0.05和 0.10時的度分布［20］；2021年，Mani等則利用廣義外部消息傳遞圖方法尋找了碼率分別為 0.01，0.02，0.05，0.10時的最佳度分布［18］，其譯碼閾值均優(yōu)于之前的度分布，其中碼率0.10的度分布表達(dá)式為

圖1所示為該度分布表達(dá)式對應(yīng)的Tanner圖。

圖1 碼率為0.1的MET-LDPC碼Tanner圖Notes：N represents the code length，the circles represent a type of variable nodes，the squares represent a type of check nodes，and the lines between the two types of nodes represent edges.The code include three types of edges，and the numbers represent the number of edgesFig.1 Tanner graph of MET-LDPC codes with code rate 0.1

利用度分布構(gòu)造校驗矩陣的方法可以分為兩大類，分別為隨機構(gòu)造和結(jié)構(gòu)化構(gòu)造。一般來說，隨機構(gòu)造所構(gòu)造的校驗矩陣糾錯性能較好，但是當(dāng)構(gòu)造尺寸非常大的校驗矩陣時，所需時間較長。而且由于MET-LDPC碼通常應(yīng)用在極低信噪比的信道中，校驗矩陣的尺寸較大，迭代次數(shù)較多，因此譯碼的延遲時間通常較高，往往需要通過硬件加速的方式來提高計算速度，達(dá)到降低延遲時間的目的，準(zhǔn)循環(huán)結(jié)構(gòu)有利于在硬件中實現(xiàn)并行處理。本文將兩種方法結(jié)合起來，首先用隨機構(gòu)造算法構(gòu)造出基矩陣，然后利用準(zhǔn)循環(huán)算法對基矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，實現(xiàn)糾錯性能和時間復(fù)雜度的權(quán)衡。

2 多維協(xié)調(diào)基本原理

CV-QKD系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柡土孔有诺乐械脑肼暰母咚狗植?。?dāng)系統(tǒng)的信噪比極低時，發(fā)送者Alice的高斯變量方差極小，這就導(dǎo)致大量的信號將集中分布在平均值的附近，疊加一個功率遠(yuǎn)高于信號的噪聲后，接收者Bob接收到的信號將難以進(jìn)行區(qū)分。為了增大高斯信號之間的辨識度，在多維協(xié)調(diào)方案中對信號進(jìn)行了多維空間旋轉(zhuǎn)操作，從而將高斯信道傳輸?shù)母咚剐盘栟D(zhuǎn)化為虛擬二進(jìn)制高斯信道中傳輸?shù)亩M(jìn)制信號，有效地增大了信號辨識度。

多維協(xié)調(diào)方案的具體實現(xiàn)過程如圖2所示。對量子態(tài)進(jìn)行測量之后，Alice和Bob共享一組關(guān)聯(lián)的高斯序列X和Y。雙方將此高斯序列中每d個元素組成一個向量，標(biāo)記為X'和Y'，然后對每一個d維矢量進(jìn)行歸一化

圖2 基于MET-LDPC碼的多維協(xié)調(diào)示意圖。接收者Bob利用真隨機數(shù)發(fā)生器（True Random Number Generator，TRNG）產(chǎn)生一個比特串，并進(jìn)行編碼，發(fā)送者Alice進(jìn)行譯碼計算出與Bob一致的比特串Fig.2 Schematic of multidimensional reconciliation based on MET-LDPC codes.The receiver Bob uses the true random number generator（TRNG）to generate a bit string and then encoding.The sender Alice decodes to calculate a bit string that consistent with Bob

式中|X'|和|Y'|表示對向量取模。歸一化之后，隨機向量被轉(zhuǎn)化為單位球面上的信號點，高斯變量轉(zhuǎn)化為x和y。然后，由接收端利用真隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一組長度與高斯變量相同而且服從均勻分布的隨機比特串u，將此隨機比特串轉(zhuǎn)換成d維球面矢量

接收端進(jìn)行d維空間旋轉(zhuǎn)操作，計算出函數(shù)M(y'，u')，使其滿足

并對u進(jìn)行編碼，生成校驗子s，然后將M(y'，u')和 s發(fā)送給 Alice，Alice 利用接收到的該 函 數(shù) 信 息 計 算 M'(y'，u')x'=v'，最 后 Alice 將計算所得的v作為邊信息，通過譯碼恢復(fù)出與Bob完全相同的u。

多維協(xié)調(diào)的效率可以表示為β=R/C，式中R表示糾錯碼的碼率，C表示信道容量。系統(tǒng)的密鑰率K可以表示為

式中RFE表示數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)的幀錯誤率，IAB表示通信雙方的互信息量，χBE表示逆向協(xié)調(diào)中可能泄漏給竊聽者的信息量。此式表明，幀錯誤率和協(xié)調(diào)效率均對系統(tǒng)的密鑰率有較大的影響，因此，優(yōu)化和提升這兩項參數(shù)是非常必要的。

3 仿真測試結(jié)果

相同的度分布下，不同的構(gòu)造方法、碼長等因素均會影響譯碼性能。為了測試不同校驗矩陣的性能，我們首先用隨機構(gòu)造算法構(gòu)造了碼長分別為1×103，1×104，2×104的三種基矩陣，再進(jìn)行準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展，分別將碼長擴(kuò)展到1×105，2×105，5×105，1×106。對 12 個校驗矩陣進(jìn)行仿真測試后，結(jié)果顯示譯碼性能最好的校驗矩陣是碼長1×103的基矩陣擴(kuò)展到碼長5×105。進(jìn)一步對該矩陣的性能進(jìn)行測試，在信噪比為0.155至0.165范圍內(nèi)每間隔0.001測試一組，每組樣本總量為100幀，測試所得的譯碼性能如圖3所示。當(dāng)信噪比小于0.165時，協(xié)調(diào)效率均能夠達(dá)到90%以上。

圖3 不同信噪比下的譯碼性能。盡管協(xié)調(diào)效率隨著信噪比的增大而逐漸減小，但幀錯誤率和平均迭代次數(shù)也有所下降Fig.3 Decoding performance under different signal-noise ratios（SNRs）.Although the reconciliation efficiency decreases as SNR increases，the frame error rate and the average number of iterations also decrease

為了與前期的兩個工作進(jìn)行對比，對0.160和0.161兩個信噪比做了進(jìn)一步仿真測試，將樣本總量擴(kuò)大到500幀，所得各項參數(shù)如表1所示。經(jīng)過對比可知，本工作的最大優(yōu)勢在于有效地縮短了碼長，由于LDPC碼的節(jié)點數(shù)量與碼長呈線性關(guān)系，縮短碼長可以起到降低計算量的作用。由此可知，可以將計算量減少一半。與Wang等工作相比，碼長減少了一半，幀錯誤率相近，由于Wang等沒有提供平均迭代次數(shù)，所以未能進(jìn)行對比。與Li等工作相比，平均迭代次數(shù)相近，碼長和幀錯誤率均得到顯著降低。另外，本文采用隨機構(gòu)造算法來構(gòu)造校驗矩陣，而前期的兩個工作均采用漸進(jìn)邊增加（Progressive Edge-Growth，PEG）算法，兩者相比，隨機構(gòu)造算法具有原理簡單，碼長較長時譯碼性能較好等優(yōu)點。

表1 與前期他人工作的對比Table 1 Comparison with previous works of others

4 結(jié)論與展望

本文構(gòu)造了碼率為0.1的MET-LDPC碼，應(yīng)用到多維協(xié)調(diào)中表現(xiàn)出良好的性能，當(dāng)信噪比為0.16時，協(xié)調(diào)效率為93.4%，幀錯誤率低至6.8%，譯碼平均迭代次數(shù)為49.99，可以初步滿足系統(tǒng)的需求。同時，探究了不同信噪比下，碼長、準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展因子等因素對性能的影響，結(jié)果表明，構(gòu)造校驗矩陣時基矩陣碼長選擇1×103且準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展因子選擇500時譯碼性能最佳，該矩陣具有計算量少，能夠進(jìn)行并行計算等優(yōu)點。下一步，可以利用硬件進(jìn)行加速，提高協(xié)調(diào)速度，促進(jìn)CV-QKD系統(tǒng)在中短距離下走向?qū)嵱谩?/p>