彭見輝，李佳玉，陳軍杰，彭展恒

(東莞理工學(xué)院城市學(xué)院，東莞 523419)

0 引言

隨著我國凈增人口的快速減少，人口紅利優(yōu)勢正在消失，人力成本逐漸增大，制造業(yè)面臨著轉(zhuǎn)型升級的迫切壓力，在各領(lǐng)域推進(jìn)機(jī)器人換人顯得尤為必要[1]，工業(yè)機(jī)械臂在各行業(yè)的應(yīng)用已連續(xù)七年排在世界第一大產(chǎn)業(yè)[2]。電動機(jī)作為影響電機(jī)驅(qū)動型機(jī)器人生產(chǎn)成本、工作精度的主要因素之一[3]，其輸出力矩范圍直接決定了電機(jī)的價格，若電機(jī)力矩范圍選擇不當(dāng)會導(dǎo)致電機(jī)工作電流變化較大，引起機(jī)械臂產(chǎn)生振動、沖擊，影響其性能及工作精度，如何選擇力矩范圍合適的電機(jī)對保持機(jī)械臂的工作性能、降低采購成本及工作能耗至關(guān)重要。

龐哲楠等[4]采用多種控制器相結(jié)合的方式，有效抑制了漂浮空間中機(jī)器人的柔性振動；梁作昊[5]采用了模糊自適應(yīng)動態(tài)面的控制方法，以輔助信號限制實(shí)際扭矩受限對機(jī)械臂的影響；高興泉等[6]針對輸入受限倒立擺的控制問題，采用輸入約束下的T-S模糊模型，達(dá)到了其保代價的控制要求；錢美容等[7]提出了一種輸入力矩受限下機(jī)械臂的反演滑?？刂?，但僅限于2自由度機(jī)械臂的簡單軌跡控制；高欣等[8]采用粒子群算法，有效降低了空間機(jī)械臂運(yùn)動過程中的關(guān)節(jié)力矩均值，并獲得了其最小運(yùn)行軌跡。以上研究主要針對能源受限的空間機(jī)械臂或自由度較少的機(jī)械臂，針對生產(chǎn)中應(yīng)用的多自由度機(jī)械臂，如何在確保機(jī)械臂順利完成工作的同時，盡量限制各關(guān)節(jié)輸出力矩的范圍，抑制電機(jī)振動，對降低采購成本、減小工作能耗、延緩機(jī)構(gòu)磨損、提高工作壽命具有重要意義。

目前以直接配置結(jié)合非線性規(guī)劃的方法(DCNLP)用來解決機(jī)器人的相關(guān)問題還處于探索階段[9-10]，尤其在優(yōu)化機(jī)械臂關(guān)節(jié)電機(jī)輸出力矩范圍、減緩電機(jī)振動方面的探究仍處于空白。本文采用直接配置和非線性規(guī)劃方法[11-12]解決各關(guān)節(jié)不同力矩輸出范圍下，機(jī)械臂最優(yōu)控制下的兩端點(diǎn)邊界值問題(TPBVP)和最優(yōu)能耗問題，確定機(jī)械臂完成相同工作關(guān)節(jié)電機(jī)的臨界力矩值，并對各關(guān)節(jié)輸出力矩進(jìn)行頻譜分析，為機(jī)械臂選擇合適的力矩范圍，以最優(yōu)能耗平穩(wěn)的完成工作提供重要參考。

1 機(jī)械臂模型的建立

1.1 機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型

本文以5連桿機(jī)械臂為研究對象，其結(jié)構(gòu)簡化如圖1所示，其中基座定義為連桿0，不包含在本文所要研究的5個連桿之內(nèi)，連桿1的轉(zhuǎn)動軸垂直地面，其上坐標(biāo)系為基坐標(biāo)系，連桿2、4上的關(guān)節(jié)運(yùn)動形式為上下轉(zhuǎn)動，連桿3和連桿5上的關(guān)節(jié)運(yùn)動形式為左右轉(zhuǎn)動。

圖1 五連桿機(jī)械臂模型

以D-H矩陣表示兩個相鄰連桿坐標(biāo)系[13]、各連桿相對基坐標(biāo)系的相對位移。根據(jù)圖1定義iri為在連桿i上固定點(diǎn)，如式(1)所示，并以關(guān)于第i個連桿坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)表示，其中將第i個坐標(biāo)系與基坐標(biāo)系相關(guān)聯(lián)的坐標(biāo)變換矩陣0Ai定義如式(2)所示。

0ri=0Ai·iri

(1)

0Ai=0A11A2…i-1Ai

(2)

相鄰連桿的變換矩陣如式(3)～式(7)所示。

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 機(jī)械臂動力學(xué)方程

假設(shè)各連桿均為剛性且細(xì)長桿，同時定義各連桿質(zhì)量mi=1 kg、長度Li=1 m。以拉格朗日-歐拉方程[14]構(gòu)建5連桿機(jī)械臂的動力學(xué)方程式：

(8)

(9)

式中，g=[0 0 -9.81 0]為重力加速度的矢量表達(dá)式；mi、Li為機(jī)械臂第i連桿的質(zhì)量、長度；Ji為各桿轉(zhuǎn)動慣量矩陣，具體如式(10)所示。

(10)

Uij為自定義矩陣，其形式如式(11)所示：

(11)

當(dāng)機(jī)械臂連桿數(shù)n>3，上式(8)、式(9)的變換推導(dǎo)十分繁瑣[15]，本文以Mathematica的符號語言編程法(symbolic language)推導(dǎo)連桿數(shù)n=5時的式(8)并變換為式(12)：

(12)

將式(12)進(jìn)一步變換為：

(13)

式(13)是用10個狀態(tài)變量x(t)=[θ1(t),ω1(t),θ2(t),ω2(t)…θ5(t),ω5(t)]表述機(jī)械臂關(guān)節(jié)動力學(xué)的10個非線性一階微分方程，至此，再以符號語言編程法進(jìn)行式(13)的完整推導(dǎo)。

2 最優(yōu)控制理論及直接配置非線性規(guī)劃

2.1 最優(yōu)控制理論

(1)最優(yōu)控制理論。最優(yōu)控制采用的系統(tǒng)方式為：

(14)

式中，x(t)為狀態(tài)變量；u(t)為控制項(xiàng)，其部分的初值和終值已給定。

某些狀態(tài)變量在tf時，必須維持在一定的關(guān)系式下，據(jù)此上述給定的終值將被收錄在終端限制向量Ψ。為了找到最優(yōu)化控制u*(t)，以滿足初值及終值控制項(xiàng)Ψ，并且將成本函數(shù)J降到最小值，則將J值定義如下：

(15)

式中，φ為純量方程，只和x(tf)、tf有關(guān)。

(16)

為推導(dǎo)方便，再定義一個純量方程式H：

H=L+λT·f

(17)

同時令

Φ=φ+vT·ψ

(18)

式(18)聯(lián)結(jié)終值φ及最后限制ψ，vT聯(lián)結(jié)φ及ψ。

總之，美國政治家在面對具體問題時，總要把外交決策置于精明的利益計(jì)算之上，任何時候都決不會脫離利己為先的盤算，這是美國外交的“現(xiàn)實(shí)主義”一面;但是，美國外交同時也要處理好現(xiàn)實(shí)利益與自由主義價值認(rèn)同之間的關(guān)系，這是所謂“理想主義”一面。毫無疑問，現(xiàn)實(shí)主義國家利益觀與自由主義價值認(rèn)同感的有機(jī)結(jié)合，才是國際外交的“美國風(fēng)格”。忽視相對獨(dú)特的自由主義觀念對美國外交的影響，顯然是片面的。

(19)

(20)

(21)

xi(t0)、xj(tf)、λk(tf)

(22)

(23)

式(19)、式(20)的邊界值分別在起點(diǎn)、終點(diǎn)給定，甚至有時給定的并不全，式(22)各項(xiàng)值均已給定，最優(yōu)控制項(xiàng)u*(t)是最優(yōu)條件下x(t)、λ(t)的函數(shù)，至此機(jī)械臂的最優(yōu)控制演變成兩端點(diǎn)邊界值問題，此問題是非線性的，難以求解。

采用間接逼近方法[16]是對未給定的x(t)、λ(t)設(shè)下猜測值，并將猜測值代入式(19)和式(20)，再進(jìn)行積分，但積分的結(jié)果往往無法滿足式(22)和式(23)。多數(shù)研究致力于不斷改進(jìn)猜測方式，但不能保證迭代結(jié)果一定收斂。

2.2 直接配置與非線性規(guī)劃

本文不再使用間接逼近法，改用直接配置和非線性規(guī)劃的方法(DCNLP)以解決上述問題，并實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂工作過程中的最優(yōu)能耗控制。直接配置法通過使用非線性規(guī)劃技術(shù)將兩端點(diǎn)邊界值問題轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)優(yōu)化問題，打破了數(shù)值計(jì)算的僵局。DCNLP將連續(xù)的兩端點(diǎn)邊界值問題中的工作用時[t0,tf]分割為n段，則會出現(xiàn)n+1個時間分割點(diǎn)，分割后每小段時間長度為T=ti-ti-1，令S=(t-ti)/(ti-ti-1)，則S∈[0,1]，如圖2所示，在每個分割點(diǎn)上分配狀態(tài)變量的值為Xi，在兩個分割點(diǎn)間采用一個三次多項(xiàng)式如式(24)所示。

圖2 時間段分割方案圖3 Simpson在第i段中的系統(tǒng)限制方程

x=C0+C1S+C2S2+C3S3

(24)

將式(24)微分，以上4個式子代入，并在0和1之間計(jì)算出其值，得到：

(25)

對式(25)變形，利用其逆矩陣得到C1、C2、C3、C4的值：

(26)

在分割的每個小時間段的中點(diǎn)計(jì)算x及x′，其中在每個小時間段中點(diǎn)處S=0.5，推導(dǎo)出式(27)和式(28)。

(27)

(28)

(29)

式(13)中包含10個一次狀態(tài)差分方程，將機(jī)械臂工作用時分成128段，共存在1128個系統(tǒng)限制方程Δ，并在最終收斂時限制方程Δ均為0。

以直接配置結(jié)合非線性規(guī)劃的方法對x[k]在n+1個節(jié)點(diǎn)位置開始猜測，并以初始猜測、各小段時間中心點(diǎn)的τ[k]進(jìn)行迭代計(jì)算。在進(jìn)行迭代計(jì)算前，應(yīng)先提供一個與?Δ/?X的雅克比矩陣十分相似的帶狀矩陣，如表1所示。

表1 限制方程的JACOBIAN矩陣

2.3 能耗指標(biāo)函數(shù)J的設(shè)定

本文以機(jī)械臂完成動作的各關(guān)節(jié)最小力矩平方和之值作為最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)，設(shè)定其能耗指標(biāo)函數(shù)J的方程：

(30)

3 仿真及結(jié)果分析

3.1 初始條件設(shè)定

本文以五連桿機(jī)械臂工作過程進(jìn)行仿真，為便于對5個關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，將工作用時tf設(shè)定為1 s，并切割成128份等長的時間段，共129個切割點(diǎn)，其中第65點(diǎn)為目標(biāo)工件的預(yù)定點(diǎn)，將各關(guān)節(jié)在第1點(diǎn)的θ[1]、ω[1]，第65點(diǎn)的ω[65]，第129點(diǎn)的θ[129]、ω[129]分別設(shè)定如下，同時為提高機(jī)械臂在抓取目標(biāo)物前后的平穩(wěn)性，將第65點(diǎn)前后各6點(diǎn)的5個關(guān)節(jié)角速度ωi[k]限制在±0.1 rad/s以內(nèi)，另外工件坐標(biāo)設(shè)定在P2處，θ[1]、θ[129]處機(jī)械臂末端坐標(biāo)均為P1，將機(jī)械臂工作過程中的5個關(guān)節(jié)輸出力矩范圍Bm限制在[-Bm,Bm]內(nèi)，各初始參數(shù)設(shè)定具體如下：

θ[1]=[0°,0°,0°,0°,0°]T，ω[1]=[0,0,0,0,0]Tω[65]=[0,0,0,0,0]T，θ[129]=[0°,0°,0°,0°,0°]T，ω[129]=[0,0,0,0,0]TP1=(1,-4,0)，P2=(1.5,-0.5,0)

機(jī)械臂末端由點(diǎn)P1至P2抓取目標(biāo)后，再返回點(diǎn)P1，釋放工件，同時完成機(jī)械臂復(fù)位歸零動作，為進(jìn)行下一周期工作做好準(zhǔn)備。

3.2 不同力矩范圍與能耗指標(biāo)函數(shù)J間關(guān)系分析

將各關(guān)節(jié)輸出力矩范圍限制在Bm=∞，即不限制關(guān)節(jié)輸出力矩范圍，經(jīng)程序迭代計(jì)算，得到機(jī)械臂工作過程中能耗指標(biāo)函數(shù)值J=2 193.566 6。

以上述Bm=∞的計(jì)算結(jié)果導(dǎo)入MATLAB中進(jìn)行仿真，以分解圖形式展現(xiàn)機(jī)械臂的工作過程，如圖4所示，其中大小不同的珠形軌跡線為機(jī)械臂第5至第1關(guān)節(jié)的空間軌跡，最大的珠形軌跡即為由最優(yōu)化控制所得到的機(jī)械臂末端的工作路徑。

圖4 機(jī)械臂的工作仿真分解圖 圖5 不同力矩范圍Bm與能耗指標(biāo)J值關(guān)系

為分析不同輸出力矩范圍Bm下，機(jī)械臂完成同一工作時能耗指標(biāo)J值的變化情況，將輸出力矩范圍Bm分別設(shè)定在100、90、80、70、65、60、55、54、53、52 N·m，其他初始條件不變，多次進(jìn)行迭代計(jì)算，其結(jié)果如圖5所示。

為進(jìn)一步探究不同輸出力矩范圍Bm下，關(guān)節(jié)實(shí)際輸出力矩情況，選取第2、第3關(guān)節(jié)繪制關(guān)節(jié)實(shí)際的輸出力矩變化曲線如圖6和圖7所示。

圖6 不同力矩范圍Bm下關(guān)節(jié)2實(shí)際輸出力矩曲線 圖7 不同力矩范圍Bm下關(guān)節(jié)3實(shí)際輸出力矩曲線

由圖5～圖7可知，隨著輸出力矩范圍Bm的不斷減小，關(guān)節(jié)實(shí)際輸出力矩被明顯地限制在相應(yīng)范圍內(nèi)，且當(dāng)Bm減小至65 N·m而繼續(xù)減小時，能耗指標(biāo)函數(shù)J值急劇增加，故不能為降低制造成本而過分減小電機(jī)力矩范圍Bm，應(yīng)將Bm保持在65 N·m左右，既能有效限制力矩范圍，降低機(jī)械臂的制造成本，又可將能耗指標(biāo)函數(shù)J值降低在較小范圍內(nèi)，進(jìn)而降低其應(yīng)用成本。

3.3 不同力矩范圍下電機(jī)輸出力矩頻譜分析

為分析輸出力矩范圍Bm不斷減小下，各關(guān)節(jié)電機(jī)實(shí)際輸出力矩的頻譜變化情況，使用快速傅里葉分析(FFT)完成對不同力矩范圍下5個關(guān)節(jié)電機(jī)實(shí)際輸出力矩的頻譜分析，其分析結(jié)果如圖8～圖12所示。

圖8 關(guān)節(jié)1輸出力矩τ1頻譜 圖9 關(guān)節(jié)2輸出力矩τ2頻譜

由圖可知，隨著輸出力矩范圍Bm不斷減小，各關(guān)節(jié)電機(jī)實(shí)際輸出力矩的頻譜逐漸開始變化。以第3關(guān)節(jié)為例，如圖10所示，當(dāng)力矩范圍Bm在65 N·m以上時，電機(jī)實(shí)際輸出力矩的頻譜形狀基本保持不變，且此時主要集中在較低頻域，當(dāng)力矩范圍Bm降低到60、55、54、53、52時，電機(jī)實(shí)際輸出力矩的頻譜開始轉(zhuǎn)移到更高的頻域，此時機(jī)械臂工作易引起電機(jī)工作電流的大幅波動，進(jìn)而導(dǎo)致電機(jī)產(chǎn)生振動、沖擊，為保證機(jī)械臂工作的平穩(wěn)性，應(yīng)避免選擇力矩范圍在65 N·m以下的電機(jī)作為關(guān)節(jié)驅(qū)動器。

圖10 關(guān)節(jié)3輸出力矩τ3頻譜 圖11 關(guān)節(jié)4輸出力矩τ4頻譜

4 總結(jié)

針對電機(jī)輸出力矩范圍受限下機(jī)械臂的工作能耗問題進(jìn)行了分析仿真，結(jié)論如下：

(1)提出了一種以直接配置非線性規(guī)劃(DCNLP)處理非線性機(jī)械臂系統(tǒng)的方法，解決了電機(jī)輸出力矩受限下機(jī)械臂工作的最優(yōu)能耗控制問題。

(2)通過仿真得出：當(dāng)電機(jī)輸出力矩范圍Bm降低到一定值時，機(jī)械臂的能耗指標(biāo)函數(shù)J值急劇增加，確定了機(jī)械臂完成相同工作下關(guān)節(jié)電機(jī)的臨界力矩值，結(jié)合各關(guān)節(jié)輸出力矩的頻譜圖，明確了應(yīng)將電機(jī)的Bm保持在臨界力矩值附近，可有效降低機(jī)械臂的能耗指標(biāo)函數(shù)J值，減小電機(jī)輸出力矩范圍，抑制電機(jī)工作時電流的大幅波動導(dǎo)致的電機(jī)振動。