何毓銘，徐雅潔，朱江，李述林

1.航空工業(yè)南京機(jī)電液壓工程研究中心，江蘇 南京 211100

2.中國空軍試飛局，陜西 西安 710000

力學(xué)在航空領(lǐng)域已取得巨大成就，隨著科技的發(fā)展，人們研究的對(duì)象逐漸向微納米尺度發(fā)展。在航空領(lǐng)域中出現(xiàn)越來越多的微尺度結(jié)構(gòu)器件，如常見的微機(jī)電系統(tǒng)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)一般在微米甚至納米量級(jí)，是一個(gè)獨(dú)立的智能系統(tǒng)，具有體積小、耗能低、重量（質(zhì)量）輕、響應(yīng)時(shí)間短等優(yōu)點(diǎn)。

美國空軍早在20 世紀(jì)末就開展了微機(jī)電系統(tǒng)傳感器在飛機(jī)上應(yīng)用的可行性研究，進(jìn)行了大量的地面和空中試驗(yàn)。2004年，北大西洋公約組織就針對(duì)微機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)在航空領(lǐng)域應(yīng)用中開展了一系列的研究。隨著現(xiàn)代微機(jī)電系統(tǒng)的飛速發(fā)展[1-3]，近年來微機(jī)電陀螺儀研制工作進(jìn)展很快，目前美國已經(jīng)開始批量生產(chǎn)由硅微陀螺和硅加速度計(jì)構(gòu)成的微型慣性測量裝置。其低成本、低能耗及體積小、重量輕的特點(diǎn)很適于戰(zhàn)術(shù)應(yīng)用，在航空領(lǐng)域最先應(yīng)用于導(dǎo)彈和無人機(jī)。

美國洛克希德-馬丁公司在20世紀(jì)末就著手研究微機(jī)電系統(tǒng)在軍用飛機(jī)上應(yīng)用的可行性。同時(shí)應(yīng)用于現(xiàn)役的F-16戰(zhàn)斗機(jī)。據(jù)悉，微機(jī)電系統(tǒng)傳感器內(nèi)嵌于戰(zhàn)斗機(jī)的輪胎，可以對(duì)輪胎的膨脹壓力和溫度進(jìn)行感應(yīng)和傳輸，并跟蹤輪胎系列號(hào)，幫助監(jiān)控輪胎狀態(tài)從而延長其使用壽命，如美國海軍的H46直升機(jī)在輪胎內(nèi)部嵌入微機(jī)電傳感器，使維修停飛期縮短了一半，減少故障30%，每年節(jié)約維修費(fèi)用約6000 萬美元。

微尺度梁作為傳感器乃至微機(jī)電系統(tǒng)中最為重要的核心部件之一，對(duì)其力學(xué)性能的分析具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值，但是傳統(tǒng)的經(jīng)典彈性理論并不適用于微小尺度。這個(gè)結(jié)論來源于幾個(gè)早期的試驗(yàn)，N.Fleck[4]等對(duì)退火后的不同尺寸銅絲做了拉伸和扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)，Nix和Gao研究了單晶銀薄膜的硬度與壓痕深度的關(guān)系。試驗(yàn)均表明，當(dāng)尺寸為微尺度時(shí)，材料的參數(shù)就會(huì)發(fā)生顯著變化，這種現(xiàn)象我們稱它為尺度效應(yīng)。最早對(duì)微觀尺度力學(xué)性能做出解釋的是Voigt，他于1887年提出了偶應(yīng)力理論，他認(rèn)為材料內(nèi)部存在力偶作用。Cosserat 在偶應(yīng)力理論基礎(chǔ)上發(fā)展了很多高階連續(xù)理論。20 世紀(jì)60 年代，由R.A.Toupin[5]、R.Mindlin[6]等逐漸完善了偶應(yīng)力理論，應(yīng)變能只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)向量的梯度，因此只需要兩個(gè)材料特征尺寸參數(shù)，才讓這個(gè)理論在學(xué)術(shù)界有了一個(gè)科學(xué)的影響力。之后。Fleck 和Hutchinson 等提出了一種應(yīng)變梯度理論，它考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)變梯度影響作用，之后F.Yang[7]在這個(gè)理論基礎(chǔ)上提出了修正偶應(yīng)力理論，這個(gè)理論有三個(gè)材料特征尺寸參數(shù)。Duhem 于1893 年提出了非局部理論，作為最早提出非局部理論的人，他認(rèn)為一點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)該和整個(gè)區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的應(yīng)變都有關(guān)系。直到1971年A.Eringen[8-10]和Edelen 等才系統(tǒng)建立非局部理論，這個(gè)理論闡述了一個(gè)連續(xù)體的某個(gè)參照點(diǎn)的應(yīng)力和整個(gè)區(qū)域內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的應(yīng)變都有關(guān)系，此理論也成功解釋了之前經(jīng)典力學(xué)理論無法解決的微觀尺度問題。最開始的非局部理論是積分形式，后來Eringen[8-10]考慮了一個(gè)特定核函數(shù)將其化為微分形式，微分形式由于形式簡單，至此以后被廣泛應(yīng)用到微納米結(jié)構(gòu)中的力學(xué)分析[11-15]中。

在研究這些微尺度結(jié)構(gòu)時(shí)，傳統(tǒng)經(jīng)典彈性理論已經(jīng)不再適用。此時(shí)我們必須考慮材料的內(nèi)部特征[16-18]。在研究尺度效應(yīng)[19-22]中，Eringen非局部模型在微觀領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，它是一種應(yīng)變驅(qū)動(dòng)本構(gòu)方程，即某點(diǎn)的應(yīng)力與整個(gè)區(qū)域的應(yīng)變分布有關(guān)，結(jié)果體現(xiàn)了尺度效應(yīng)中的弱化效應(yīng)，然而在有些情況下卻存在不一致的結(jié)果，如懸臂梁受集中力作用沒有體現(xiàn)出尺度效應(yīng)。本文則是基于應(yīng)力驅(qū)動(dòng)的非局部積分模型，即某點(diǎn)的應(yīng)變與整個(gè)區(qū)域的應(yīng)力分布有關(guān)，對(duì)微尺度結(jié)構(gòu)中的微梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，從而研究尺度效應(yīng)[23-25]。

1 應(yīng)力驅(qū)動(dòng)的非局部理論積分模型

在微觀結(jié)構(gòu)中，當(dāng)傳統(tǒng)彈性理論變得不足時(shí)，非局部效應(yīng)會(huì)更加明顯，這有助于研究非局部理論。Eringen 非局部線性彈性理論是文獻(xiàn)中使用最廣泛的方法之一。參考點(diǎn)的非局部應(yīng)力不僅取決于該點(diǎn)的應(yīng)變，還取決于該區(qū)域中所有其他點(diǎn)的應(yīng)變。在非局部理論中，經(jīng)典彈性理論被替換。該理論的本構(gòu)關(guān)系解釋了原子與內(nèi)部長度尺度之間的作用力，并已應(yīng)用于許多問題，包括波傳播、斷裂力學(xué)等。Eringen非局部理論積分模型是應(yīng)變驅(qū)動(dòng)本構(gòu)方程，本文則是基于應(yīng)力驅(qū)動(dòng)本構(gòu)方程，即某點(diǎn)的應(yīng)變和整個(gè)區(qū)域的應(yīng)力分布有關(guān)。

式中，tij(x)是應(yīng)變；σij(xˉ)是應(yīng)力；κ是一個(gè)關(guān)于內(nèi)部長度尺度的非局部參數(shù)。

如果引入局部效應(yīng)的影響，此時(shí)該模型可以轉(zhuǎn)換為如下形式

式中，ζ可以看作兩相局部參數(shù)材料的一個(gè)參數(shù)，在此研究中，還可以將內(nèi)核函數(shù)表述為以下形式

于是我們可以得到兩相非局部參數(shù)積分模型的最終表達(dá)式

2 歐拉梁

對(duì)于歐拉梁，將基于應(yīng)力驅(qū)動(dòng)本構(gòu)關(guān)系利用兩相非局部理論積分模型，通過化簡將Fredholm 型積分方程化為Volterra 型積分方程，并使用拉普拉斯變換求解微分方程。此處將采用解析求解并代入數(shù)值得到最后的數(shù)值解。根據(jù)不同邊界情況，具體求解出不同邊界情況下不同結(jié)果數(shù)據(jù)。在此先對(duì)一個(gè)通式進(jìn)行拉普拉斯變換得到一個(gè)相關(guān)的結(jié)論，之后的內(nèi)容將直接使用這個(gè)結(jié)論。

其中

再對(duì)上述等式兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，可以化簡為

所以對(duì)滿足方程（5）的等式兩端均進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到方程（7）這種結(jié)果。

2.1 歐拉梁的靜態(tài)彎曲

如圖1 所示建立模型，梁的長度為L，寬度為b，高度為h。由于此類問題和寬度b無關(guān)，因此可以將寬度設(shè)為1。

圖1 歐拉梁模型Fig.1 Euler-bernoulli beam model

假定位移場為

式中，w(x,t)為橫向位移。

應(yīng)變能為

假定歐拉梁受到橫向的均勻分布載荷，大小為q，則外力功為

根據(jù)哈密頓變分原理同理可得控制方程為

和邊界條件為

其中

應(yīng)力驅(qū)動(dòng)本構(gòu)方程為

根據(jù)方程（14），可化為

其中

對(duì)方程（11）等號(hào)兩邊都進(jìn)行拉普拉斯變換，得到

將方程（16）等號(hào)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得到

其中

將方程（18）和方程（19）聯(lián)立為一個(gè)方程組，可以求解出L(M)和L(ω)，再進(jìn)行拉普拉斯逆變換便得到M和ω的解析解。其中解析式中未知常量可以根據(jù)式（12）、式（13）、式（20）和拉普拉斯變換的微分性質(zhì)求出。

以兩端固支，受到橫向均勻分布載荷的邊界條件為例，邊界條件為

只觀察撓度最大的點(diǎn)即x=L/2處的撓度，得到的無量綱化（本文無量綱化均為除以經(jīng)典彈性理論下的數(shù)值）的撓度表達(dá)式

撓度曲線如圖2 所示?？梢钥闯鰮隙入S著κ和ξ的增大而減小。

圖2 兩端固支受均勻載荷時(shí)撓度變化曲線Fig.2 The deflection curve of the fixed support at both ends under uniform load

同理可得其他邊界條件無量綱化撓度變化曲線，如圖3～圖7所示。也可以看出撓度隨著兩個(gè)非局部參數(shù)的增大而減小，可以獲得一致性的強(qiáng)化效應(yīng)。

圖3 左端固支右端簡支受均勻載荷時(shí)撓度變化曲線Fig.3 The deflection curve of the left end fixed support and the right end simply supported under uniform load

圖7 左端簡支右端導(dǎo)支,右端受到集中荷載時(shí)的撓度變化曲線Fig.7 The deflection curve when the left end is simply supported and the right end guide is subjecte to concentrated load

2.2 歐拉梁的屈曲

假定在歐拉梁的端部受到一個(gè)縱向的集中載荷，大小為Nt，那么外力功為

其中，Nt還可以表示為

其中，p為壓力。

根據(jù)哈密頓變分原理，同理可得控制方程

圖4 左端固支右端導(dǎo)支受均勻載荷時(shí)撓度變化曲線Fig.4 The deflection curve of the left-end fixed support and the right-end guide support under uniform load

圖5 左端固支右端自由,右端受到集中荷載時(shí)的撓度變化曲線Fig.5 The deflection curve when the left end is fixed and the right end is free,and the right end is subjected to concentrated load

其中M和上述情況一樣均表示為

圖6 左端固支右端導(dǎo)支,右端受到集中載荷時(shí)的撓度變化曲線Fig.6 The deflection curve of the left end fixed support and the right end guide support when the right end is subjected to a concentrated load

根據(jù)式（20）、式（26）、式（27）求出未知常量。對(duì)于不同的邊界條件，都可以得出5個(gè)未知常量中有兩個(gè)等于零，其余三個(gè)未知常量所在的剩余三個(gè)方程剛好聯(lián)立組成一個(gè)線性齊次方程組。對(duì)于線性齊次方程組，若存在非零解，則它的系數(shù)矩陣行列式等于零，以兩端固支的邊界條件為例，可以先得到邊界條件為

可以求解出C5=0 和C6=0，剩下的三個(gè)未知常量C2、C3、C4所在的剩余三個(gè)方程的系數(shù)矩陣行列式必須等于零，通過求解行列式等于零的方程，將得到的結(jié)果p進(jìn)行無量綱化，得到歐拉梁兩端固支時(shí)的無量綱化的屈曲載荷變化曲線，如圖8所示?？梢钥闯鰵W拉梁兩端固支時(shí)的無量綱化的屈曲載荷隨著兩個(gè)非局部參數(shù)κ和ξ的增大而增大。

圖8 兩端固支時(shí)的屈曲載荷變化曲線Fig.8 Dimensionless buckling load variation curve when both ends are clamped

同理可得，其他邊界條件也依次如圖9～圖13所示。均可以看出無量綱化的屈曲載荷隨著兩個(gè)非局部參數(shù)κ和ξ的增大而增大，可以獲得一致性的強(qiáng)化效應(yīng)。

圖9 左端固支右端簡支時(shí)的屈曲載荷變化曲線Fig.9 Dimensionless buckling load variation curve when both ends are clamped

圖13 左端簡支右端導(dǎo)支時(shí)的屈曲載荷變化曲線Fig.13 Dimensionless buckling load variation curve when the left end is simply supported and the right end guide is supported

2.3 歐拉梁的自由振動(dòng)

對(duì)于歐拉梁的自由振動(dòng)，動(dòng)能為

式中，ρ為密度。根據(jù)哈密頓變分原理，同理可得控制方程為

和邊界條件為

其中

其中，M和w可以表示為時(shí)間的諧波函數(shù)，即

代入控制方程可得

圖10 左端固支右端自由時(shí)的屈曲載荷變化曲線Fig.10 Dimensionless buckling load curve when the left end is fixed and the right end is free

圖11 左端固支右端導(dǎo)支時(shí)的屈曲載荷變化曲線Fig.11 Dimensionless buckling load curve of the left-end fixed support and the right-end guide support

圖12 兩端簡支時(shí)的屈曲載荷變化曲線Fig.12 Dimensionless buckling load variation curve when both ends are simply supported

同理可得

此類問題和上述屈曲一樣，也是一個(gè)求解線性齊次方程組的問題，以兩端固支邊界條件為例，得到的歐拉梁兩端固支時(shí)的無量綱化的振動(dòng)頻率變化，如圖14所示?？梢钥闯鰺o量綱化振動(dòng)頻率隨著兩個(gè)非局部參數(shù)κ和ξ的增大而增大。同理可得，其他邊界條件情況如圖15～圖19 所示。也都反映出無量綱化振動(dòng)頻率隨著兩個(gè)非局部參數(shù)κ和ξ的增大而增大，可以獲得一致性的強(qiáng)化效應(yīng)。

圖14 兩端固支時(shí)的振動(dòng)頻率變化曲線Fig.14 Dimensionless vibration frequency change curve when both ends are clamped

圖15 左端固支右端簡支時(shí)的振動(dòng)頻率變化曲線Fig.15 Dimensionless vibration frequency curve when the left end is fixed and the right end is simply supported

圖19 左端簡支右端導(dǎo)支時(shí)的振動(dòng)頻率變化曲線Fig.19 Dimensionless vibration frequency change curve when the left end is simply supported and the right end guide is supported

3 結(jié)論

本文基于應(yīng)力驅(qū)動(dòng)的非局部積分模型，從理論上研究了非局部效應(yīng)對(duì)歐拉-伯努利梁力學(xué)特性的影響。本構(gòu)關(guān)系是第一類Fredholm型積分方程，通過簡單調(diào)整積分極限，轉(zhuǎn)化為第一類Volterra 積分方程。通過拉普拉斯變換和積分本構(gòu)關(guān)系相關(guān)的邊界條件和額外約束方程確定最終解，對(duì)于屈曲和自由振動(dòng)，為了獲得唯一的解，通過求線性齊次方程組的非零解，得到屈曲載荷和自由振動(dòng)頻率，并將其無量綱化。在各種邊界條件下，可以觀察到與尺寸相關(guān)且一致的增韌效應(yīng)，即不同邊界條件下，隨著非局部參數(shù)的增大，撓度減小，而屈曲載荷和振動(dòng)頻率增大。得到微尺度歐拉梁的彎曲、屈曲、自由振動(dòng)的變化規(guī)律將有利于MEMS航空壓力傳感器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化，提高測量精度，還可以運(yùn)用于各個(gè)微系統(tǒng)領(lǐng)域，支持微尺度梁的結(jié)構(gòu)力學(xué)特性研究。

圖16 左端固支右端自由時(shí)的振動(dòng)頻率變化曲線Fig.16 Dimensionless vibration frequency curve when the left end is fixed and the right end is free

圖17 左端固支右端導(dǎo)支時(shí)的振動(dòng)頻率變化曲線Fig.17 Dimensionless vibration frequency curve of the left end fixed support and the right end guided support

圖18 兩端簡支時(shí)的振動(dòng)頻率變化曲線Fig.18 Dimensionless vibration frequency variation curve when both ends are simply supported