任韻君，張建剛

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

旋轉(zhuǎn)機械是大型機械設(shè)備中最常見的設(shè)備，這些機械設(shè)備的關(guān)鍵部分都是滾動軸承，其包括轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、軸承系統(tǒng)等，由軸承故障引起的嚴(yán)重事故不在少數(shù)，帶來的損失巨大，因此對于軸承的故障檢測尤為重要.隨著信號理論的發(fā)展，用于檢測初期軸承故障的方法主要有小波變換（Wavelet Transform，WT）[1]、經(jīng)典模態(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）[2]、集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）[3]，以及隨機共振（Stochastic Resonance，SR）等，其中基于SR的故障診斷是利用噪聲對故障產(chǎn)生的微弱信號進(jìn)行增強，這促使人們對噪聲的作用及影響進(jìn)行重新認(rèn)識和研究.

SR 最早是在研究古氣象學(xué)周期性遞歸的過程中發(fā)現(xiàn)和提出的[4-5].研究發(fā)現(xiàn)噪聲不僅不會破壞原有的系統(tǒng)，反而可以加強系統(tǒng)的響應(yīng).在發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象后人們廣泛地將SR 應(yīng)用到故障診斷中.首先根據(jù)勢函數(shù)的不同產(chǎn)生SR 效應(yīng)的強度也不同，已有經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)勢（Conventional Potential Stochastic Resonance，CBSR）[6]、單穩(wěn)態(tài)勢（Gaussian Potential Stochastic Resonance，GP）[7]、Woods-Saxon（Woods-Saxon Potential Stochastic Resonance，WS）勢[8]、周期勢[9]、三穩(wěn)態(tài)勢[10]、時延勢（Time-delayed Feedback Stochastic Resonance，TFSR）[11]等；其次優(yōu)先考慮了過阻尼系統(tǒng)；之后多項研究[12-13]表明，欠阻尼系統(tǒng)的阻尼因子也會影響粒子躍遷的效率[14]，最終影響SR 性能，據(jù)此進(jìn)一步研究了欠阻尼系統(tǒng).

1964年，F(xiàn)itzHugh 和Nagumo 將H-H神經(jīng)元模型[15]簡化為了二維非線性模型FitzHugh-Nagumo，稱為FHN 模型[16]，F(xiàn)HN 模型以更簡潔的方式描述神經(jīng)元釋放到細(xì)胞膜中的節(jié)律.研究結(jié)果表明大多數(shù)生物神經(jīng)系統(tǒng)具有敏感的弱信號感知能力，并且欠阻尼系統(tǒng)具有二次濾波功能，故本文將研究欠阻尼FHN 系統(tǒng)與其系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系，并將結(jié)論用于弱信號檢測中.本文提出了一種基于FitzHugh-Nagumo 勢的自適應(yīng)雙穩(wěn)態(tài)SR 的故障診斷方法（AUFHNSR），該方法可以通過選擇合適的參數(shù)起到增強弱信號的功能，進(jìn)而將弱信號提取出來，得到最優(yōu)輸出.

1 欠阻尼FitzHugh-Nagumo 隨機共振系統(tǒng)

1.1 數(shù)學(xué)模型為了得到更佳的微弱故障的檢測效果，本文提出了一種基于FHN 勢的欠阻尼方法.該方法的二階系統(tǒng)的 L angevin方程[17]可以描述為：

式中，x(t)表示系統(tǒng)的輸出信號，在實際應(yīng)用中對應(yīng)于經(jīng)過隨機共振方法診斷后的輸出信號；s(t)=Acos(2πft+φ)是周期信號即模擬軸承周期性地滾過故障產(chǎn)生的信號，A代表幅值，f為驅(qū)動頻率，φ為相位，令ω=2πft；(t)模擬的是覆蓋故障信號的強噪聲，滿足〈N(t)〉=0,〈N(t)N(t′)〉=2Dδ(t-t′)的性質(zhì)，D表示噪聲強度，ξ(t)為高斯白噪聲[17]；U(x)是非線性雙穩(wěn)態(tài)勢，配合周期信號s(t)和噪聲N(t)產(chǎn)生隨機共振現(xiàn)象.一般工程信號對應(yīng)的參數(shù)較大，本節(jié)只針對小參數(shù)進(jìn)行理論討論.雙勢阱U(x)的表達(dá)式表達(dá)如下：

將(2)式代入(1)式中得到:

式(5)對應(yīng)的系統(tǒng)模型如圖1 所示.

圖1 基于FitzHugh-Nagumo 勢的自適應(yīng)雙穩(wěn)態(tài)SR方法的系統(tǒng)模型Fig.1 System model for adaptive bistable SR method based on FitzHugh-Nagumo potential

粒子運動的概率密度p(x,y,t)通過FPK 方程來推導(dǎo)[17]，表達(dá)式如下：

根據(jù)雙穩(wěn)態(tài)理論[20]和兩態(tài)模型[21]理論，布朗粒子在勢阱之間的躍遷速率可表示為：

在絕熱近似[17]條件下，忽略A的二次項，得到系統(tǒng)的輸出信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）為：

由以上的推導(dǎo)可以看出輸出信噪比與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，圖2（a）～（c）為（11）式表示的信噪比分別與阻尼因子 γ、參數(shù)a、參數(shù)b的關(guān)系圖，其中噪聲強度D從0 增加到2，對應(yīng)的參數(shù)為a=2.01，b=0.25，γ=0.8.可以看出，信噪比隨系統(tǒng)參數(shù)表現(xiàn)出了顯著的非單調(diào)特性.從另一個方面也可以說，通過選擇合適的參數(shù)，AUFHNSR 系統(tǒng)的輸出信噪比可以優(yōu)化.

圖2 信噪比與參數(shù)的關(guān)系圖Fig.2 Plot of signal-to-noise ratio versus parameters

2 數(shù)值模擬與軸承故障診斷

2.1 基于FHN 系統(tǒng)的工程信號處理上節(jié)理論分析了AUFHNSR 系統(tǒng)，但所有推導(dǎo)都局限于小參數(shù)限制，而實際的工程信號不滿足小參數(shù)限制，在這種情況下無法得到解析的隨機共振解，且在離散時間系統(tǒng)中處理數(shù)字信號有更多的優(yōu)勢.因此本文采用四階Runge-Kutta 數(shù)值模擬的方法確定欠阻尼系統(tǒng)的數(shù)值模擬解，進(jìn)而進(jìn)行故障診斷.

從表1可以看出，廣西金融術(shù)語的翻譯過于放在字面的翻譯，而忽略了實際的意義體現(xiàn)。但是，縱觀后期的金融翻譯，廣西金融翻譯也出現(xiàn)了采用香港金融翻譯的現(xiàn)象。[4]

通過傅里葉變換計算x[n]的功率譜，即可得到系統(tǒng)對應(yīng)的輸出信噪比[21]表達(dá)式為：

式中，Es(f)和En(f)分 別表示特征頻率f處的功率和信號特征頻率f周圍噪聲的平均功率，其中表示信號的長度.輸出信噪比越大，表明對信號特征的提取效能越好.結(jié)合1.2節(jié)輸出信噪比與系統(tǒng)參數(shù)和阻尼因子的關(guān)系，此處引入量子粒子群優(yōu)化算法(Quantum Particle Swarm Optimization，QPSO)[22]對系統(tǒng)參數(shù)等進(jìn)行優(yōu)化.QPSO 算法是建立在粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)算法的基礎(chǔ)上，以粒子群的位置即需要優(yōu)化的參數(shù)作為決策變量，搜索最好的適應(yīng)值即以(12)式定義的離散系統(tǒng)的輸出信噪比為尋優(yōu)指標(biāo).當(dāng)粒子處于某一位置時，輸出此位置對應(yīng)的系統(tǒng)進(jìn)行隨機共振處理后的序列，進(jìn)一步根據(jù)(12)式計算其對應(yīng)的適應(yīng)值.最終輸出當(dāng)適應(yīng)值最大時對應(yīng)的粒子群的位置，則該位置即為本文系統(tǒng)對信號特征提取效能最好時對應(yīng)的最優(yōu)參數(shù).綜上，AUFHNSR 方法的流程描述如下：

步驟1信號預(yù)處理.運用包絡(luò)提取即用希爾伯特變換解調(diào)得到包絡(luò)信號為信號的預(yù)處理.

步驟2參數(shù)初始化.設(shè)置參數(shù)a，b，γ的取值范圍即尋優(yōu)范圍及迭代次數(shù).

步驟3參數(shù)優(yōu)化.使用QPSO 算法[22]對系統(tǒng)中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，取h=0.000 1，將式(12)得到的信噪比作為QPSO 算法的尋優(yōu)指標(biāo)，尋找最大輸出信噪比時對應(yīng)的匹配參數(shù).

步驟4應(yīng)用到弱信號檢測.將最優(yōu)參數(shù)代入原系統(tǒng)，再將第(1)步得到的預(yù)處理信號作為新系統(tǒng)的輸入信號，然后采集最優(yōu)輸出波形作為檢測信號，計算出相應(yīng)的功率譜用于目標(biāo)信號識別.

2.2 模擬信號的故障診斷根據(jù)1.1 節(jié)中(1)式對軸承故障信號s(t)的 定義，且s(t)會隨著運行條件的不穩(wěn)定導(dǎo)致不均勻的脈沖，故我們選擇單邊衰減脈沖函數(shù)作為模擬故障信號，即：

式中，A為信號的幅值，f為載波頻率，d反映了衰減速率，n(t)=[t/Td]控 制脈沖的周期，Td=1/fd是脈沖區(qū)間（fd是驅(qū)動頻率）.此處相應(yīng)的參數(shù)取值分別為：f=2 000 Hz，A=1，fd=100，d=30 000.加 高斯白噪聲N(t)為 噪聲強度D=0.5的噪聲信號，產(chǎn)生于軸承運行過程中其余部件之間的摩擦等.對于欠阻尼FHN 系統(tǒng)，使用QPSO 算法求得的最優(yōu)參數(shù)為a=2.493 7，b=0.112 7，γ=0.107 6.

圖3(a)所示為單邊衰減脈沖函數(shù)s(t)的時域和頻譜.圖3(b)為將噪聲信號N(t)加 到s(t)后的時域波形和功率譜，可以看出圖3(b)中所待測的分量被噪聲完全掩蓋，不能識別.圖3(c)為將含噪信號經(jīng)過Hilbert 變換得到的包絡(luò)信號，由圖可知經(jīng)過包絡(luò)解調(diào)后，可以指出故障的特征頻率，但同時也會存在不可忽略的干擾成分導(dǎo)致檢測錯誤.圖3(d)為將通過包絡(luò)解調(diào)后的信號作為欠阻尼FHN 系統(tǒng)的輸入進(jìn)行故障診斷即AUFHNSR 方法時，得到的輸出信號的時域波形和頻譜圖，由圖3(d)可以看出原本的噪聲干擾基本消除，從功率譜來看，待測頻率在100 Hz 處得到了顯著的提高，待測分量得到顯著提升.

圖3 采用不同方法分析單邊衰減脈沖的結(jié)果Fig.3 The results of unilateral decaying pulses analyzed using different methods

2.3 實驗驗證為了檢驗AUFHNSR 在實際應(yīng)用中的價值和有效性，本節(jié)對來自兩個不同實驗室的故障軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行了測試.

2.3.1 數(shù)據(jù)1 首先使用的信號取自Case Western Reserve University (CWRU)的電氣工程實驗室缺陷軸承數(shù)據(jù)中心的實驗裝置.該實驗裝置的驅(qū)動端軸承的采樣頻率為1 2 000 Hz，軸承型號為6205-2RS軸承，其滾子數(shù)量為9個，軸承中徑為 39.04 mm，滾子直徑為 7.94 mm，接觸角為 0°.根據(jù)軸承類型和轉(zhuǎn)速以及公式(14)和(15)，可以求得內(nèi)外圈故障的特征頻率[23]相關(guān)參數(shù)分別為：內(nèi)圈故障頻率fBPFI155 Hz，外圈故障頻率fBPFO105 Hz.

內(nèi)圈故障特征頻率[24]：

外圈故障特征頻率[25]：

式中，fr表示電機頻率，Nball表示滾子數(shù)量，B、P、α分別表示滾子直徑、軸承中徑和接觸角.

首先對內(nèi)圈故障信號進(jìn)行分析.采集信號的時域和頻譜如圖4(a)所示，從波形中幾乎找不到內(nèi)圈故障脈沖，反而存在很多比故障特征更高的尖峰，使得診斷結(jié)果存在錯誤，無法進(jìn)行故障分析與判斷.圖4(b)為原信號經(jīng)過包絡(luò)分析后的結(jié)果，從圖中可以看出，功率譜中可以找出fBPFI，但是在fBPFI附近仍然存在一些噪聲分量且計算對應(yīng)的信噪比為28.235.采用傳統(tǒng)SCSR[25]方法輸出結(jié)果如圖4(c)所示.采用本文提出的AUFHNSR 方法結(jié)果如圖4(d)所示.輸出波形中故障觸發(fā)的脈沖可以清晰地識別出來，且大多數(shù)噪聲成分被抑制.

圖4 不同方法分析內(nèi)圈故障信號的結(jié)果Fig.4 Results of analyzing the inner ring fault signal with different methods

其次，為了進(jìn)一步驗證所提方法的有效性，對外圈缺陷信號進(jìn)行如下處理：圖5(a)～(d)依次為原始信號、包絡(luò)信號、使用傳統(tǒng)SCSR 的輸出以及本文提出AUFHNSR 的輸出對應(yīng)的時域圖和頻域圖.可以看到從原始信號中不能檢測出故障，包絡(luò)解調(diào)后可以在功率譜中指出外滾道的故障特征頻率fBPFO，同時噪聲干擾也很明顯.最后，使用本文提出的AUFHNSR 方法可以很明顯地從功率譜中看出高頻和低頻噪聲都得到了抑制，且低頻信號抑制效果更為明顯，即可以清晰地在功率譜中指出外滾道故障的頻率fBPFO，同時fBPFO占主導(dǎo)地位，且效果略優(yōu)于傳統(tǒng)SCSR 方法.

圖5 不同方法分析外圈故障信號的結(jié)果Fig.5 The results of analyzing the outer ring fault signal with different methods

2.3.2 數(shù)據(jù)2 我們選用的第二組數(shù)據(jù)來自于美國-機械故障預(yù)防技術(shù)協(xié)會(MFPT)[26]軸承故障診斷合集.此處實驗用的是NICE 軸承，軸承直徑為0.235，節(jié)圓直徑為1.245，滾動體數(shù)量為8個，接觸角為0°，驅(qū)動端軸承的采樣頻率為48 828 Hz，這里只分析內(nèi)圈故障，輸入軸轉(zhuǎn)速為25 r/s，由公式(14)可以計算得到內(nèi)圈故障的特征頻率為118 Hz.

圖6 為對MFPT 的采樣數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后的時域和頻域圖.圖6（a）為采集到的原始信號的信息，軸承故障產(chǎn)生的信號被噪聲完全淹沒故無法進(jìn)行識別；圖6（b）為包絡(luò)信號，同樣的，包絡(luò)信號雖然可以指出故障特征頻率，但是存在的干擾信號還是很多；圖6（c）為使用傳統(tǒng)SCSR 方法進(jìn)行處理后得到的診斷結(jié)果；圖6（d）為用本文提出的AUFHNSR 進(jìn)行診斷的結(jié)果.可以看出傳統(tǒng)SCSR與AUFHNSR 都可以進(jìn)行故障診斷，計算對應(yīng)的信噪比分別為45.287 1 和47.075 4，即AUFHNSR 優(yōu)于傳統(tǒng)SCSR.

圖6 不同方法分析MFPT 內(nèi)圈故障信號的結(jié)果Fig.6 The results of analyzing the fault signal of the inner ring of the MFPT by different methods

2.4 實驗結(jié)果總結(jié)與討論為了定量分析，表1列出用不同故障診斷方法的輸出信噪比.對比結(jié)果表明，使用AUFHNSR 方法處理的故障信號輸出信噪比略高于使用SCSR 方法和包絡(luò)方法進(jìn)行故障診斷的結(jié)果.結(jié)合2.3 節(jié)中的濾波效果對比可以得出結(jié)論，即該方法在實際的故障檢測中存在一定的優(yōu)勢.

表1 采用不同方法處理軸承故障信號的輸出信噪比Tab.1 The output signal-to-noise ratio of using different methods to deal with bearing fault signals

3 結(jié)論

本文首先根據(jù)小參數(shù)擴展以及雙穩(wěn)態(tài)理論推導(dǎo)了基于欠阻尼FitzHugh-Nagumo 勢的輸出信噪比的形式，其次根據(jù)兩態(tài)模型理論推導(dǎo)出了信噪比的解析式，根據(jù)解析式進(jìn)一步的驗證了信噪比會隨參數(shù)及欠阻尼阻尼因子的變化而改變的結(jié)論.之后將該結(jié)論應(yīng)用到故障診斷中，即提出了一種基于欠阻尼FitzHugh-Nagumo 勢的自適應(yīng)雙穩(wěn)態(tài)SR 方法（AUFHNSR），該方法是通過量子粒子群優(yōu)化（QPSO）算法選擇較優(yōu)的系統(tǒng)參數(shù)和欠阻尼阻尼因子得到最優(yōu)系統(tǒng)進(jìn)而對故障信號進(jìn)行檢測.通過仿真和對兩組實際的數(shù)據(jù)進(jìn)行故障診斷及分析，對新提出方法的可行性和優(yōu)越性進(jìn)行了證明.未來將會使用更優(yōu)越的優(yōu)化算法去匹配本文系統(tǒng)的參數(shù)以達(dá)到更好的共振效果，同時也要考慮時滯等因素，從更實際的場景和角度出發(fā)以完善本文提出的方法.