陳曉玉 彭秀英 王成瑞 崔 莉

(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 秦皇島 066004)

(河北省信息傳輸與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 秦皇島 066004)

1 引言

傳統(tǒng)互補(bǔ)序列集又稱(chēng)完備互補(bǔ)序列集(Perfect Complementary Sequence Set, PCSS)，是由多個(gè)完備互補(bǔ)序列組成，每個(gè)完備互補(bǔ)序列異相自相關(guān)函數(shù)值的和與互相關(guān)函數(shù)值的和為0[1,2]。由于其完備互補(bǔ)序列集具有理想的相關(guān)特性，因此可以有效消除通信系統(tǒng)中的多址干擾(Multi-Access Interference, MAI)和多徑干擾(Multi-Path Interference,MPI)[3]。通常，一個(gè)完備互補(bǔ)序列用一個(gè)2維矩陣表示，完備互補(bǔ)序列的子序列組成矩陣的行。在實(shí)際應(yīng)用中，首先給每個(gè)用戶(hù)分配一條互補(bǔ)序列，然后子序列發(fā)送到子載波信道上進(jìn)行擴(kuò)頻，最后多個(gè)載波信號(hào)疊加同時(shí)發(fā)送出去[4]。因此，互補(bǔ)序列的數(shù)量決定了系統(tǒng)所能支持的用戶(hù)數(shù)[5]。然而，根據(jù)已有理論界可知，傳統(tǒng)互補(bǔ)序列集的序列數(shù)量不能超過(guò)子序列數(shù)量，從而使系統(tǒng)所能支持的用戶(hù)數(shù)受到了限制。

為了克服傳統(tǒng)互補(bǔ)序列的缺陷以達(dá)到支持海量用戶(hù)同時(shí)接入的目的，零相關(guān)區(qū)互補(bǔ)序列集[6–9]、低相關(guān)區(qū)互補(bǔ)序列集[10]和準(zhǔn)互補(bǔ)序列集[11–14]的構(gòu)造方法被提出。低相關(guān)區(qū)互補(bǔ)序列集(Low Correlation Zone Complementary Sequence Set, LCZCSS)是指在零點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)異相相關(guān)函數(shù)值的和是一個(gè)很小的值，這個(gè)區(qū)域稱(chēng)為低相關(guān)區(qū)。當(dāng)異相相關(guān)函數(shù)值為0時(shí)，被稱(chēng)為零相關(guān)區(qū)互補(bǔ)序列集(Zero Correlation Zone Complementary Sequence Set, ZCZ-CSS)。準(zhǔn)互補(bǔ)序列集(Quasi-Complementary Sequence Set, QCSS)是在整個(gè)周期內(nèi)異相自相關(guān)函數(shù)值的和與互相關(guān)函數(shù)值的和為一個(gè)很小的值δ(δ?=0 ) 。值得注意的是，當(dāng)δ=0時(shí)，序列集為完備互補(bǔ)序列集。LCZ-CSSs和ZCZ-CSSs的研究成果較為豐富，QCSSs的研究成果還相對(duì)較少。Liu等人[11]基于Singer差集構(gòu)造了一類(lèi)最優(yōu)和一類(lèi)幾乎最優(yōu)周期QCSSs。文獻(xiàn)[12]改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]的構(gòu)造方法，基于差集和幾乎差集提出了幾類(lèi)最優(yōu)和幾乎最優(yōu)周期QCSSs的構(gòu)造方法。文獻(xiàn)[13]利用有限域上的加法和乘法特性提出了一種周期QCSS的構(gòu)造框架，并基于這個(gè)框架給出了5種周期QCSSs的構(gòu)造方法。文獻(xiàn)[14]基于分圓類(lèi)提出了一類(lèi)漸近最優(yōu)周期QCSSs的構(gòu)造方法。

本文首先基于2元序列支撐集和低相關(guān)序列集提出了一種新的周期QCSS的構(gòu)造框架。此框架構(gòu)造的關(guān)鍵是找到一組合適的2元序列和低相關(guān)序列集，使2元序列長(zhǎng)度L與低相關(guān)序列集長(zhǎng)度N滿(mǎn)足條件L|N。只要給定一組滿(mǎn)足條件的序列集即可得到一類(lèi)周期QCSS。其次，基于提出的框架結(jié)構(gòu)，給出了3組滿(mǎn)足條件的序列集，即2元m序列支撐集分別結(jié)合最優(yōu)4元序列族A和族D；2元Sidelnikov序列支撐集結(jié)合Luke序列集，從而完成了3類(lèi)周期QCSSs的構(gòu)造。

2 基本概念

3 新的周期準(zhǔn)互補(bǔ)序列集構(gòu)造框架

分以下兩種情況討論序列間相關(guān)性。

情況1當(dāng)0≤m1?=m2≤M ?1且τ=0時(shí)

綜上兩種情況可知，序列集C的最大相關(guān)函數(shù)幅值δmax=max{R1,R2}。 證畢

本節(jié)提出一種周期QCSS的構(gòu)造框架，構(gòu)造的目標(biāo)序列集C的參數(shù)由2元序列a的支撐集和低相關(guān)序列集Q共同決定。構(gòu)造的關(guān)鍵在于當(dāng)給定一個(gè)具體的2元序列時(shí)，需要找到滿(mǎn)足條件的低相關(guān)序列集Q，選取的序列不同，則構(gòu)造的QCSSs的參數(shù)也不同。

4 周期準(zhǔn)互補(bǔ)序列集的構(gòu)造

4.1 基于2元m序列構(gòu)造周期QCSS

本節(jié)在上述框架的基礎(chǔ)上利用2元m序列支撐集分別結(jié)合最優(yōu)4元序列族A和族D構(gòu)造了兩類(lèi)漸近幾乎最優(yōu)周期QCSSs。

引理1[11]族A={v0,v1,...,v2n}是 包含2n+1個(gè)序列的集合。每個(gè)序列的長(zhǎng)度為 2n ?1，特別注意，序列v0是一個(gè)2元m序列且異相自相關(guān)函數(shù)值為?1。族A的最大相關(guān)函數(shù)幅值為

V={v1,v2,...,v2n}是族A的子集，且具有如式(13)的性質(zhì)

其中，1≤k1,k2≤2n。

引理2[11]族D={v0,v1,...,v2n?1}是 包含 2n個(gè)序列的集合，每個(gè)序列的長(zhǎng)度為2 (2n ?1)。族D的最大相關(guān)函數(shù)幅值為

且族D具有如式(15)的性質(zhì)

其中，0≤k1?=k2≤2n?1,τ=0 或 者τ=2n ?1。

引理3[13]設(shè)一個(gè)正整數(shù)n， 令q=2n,u=(u0,u1,...,uL?1) 是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)=q ?1的2元m序列，對(duì)于任意的lmolL?=0，則有

引理4[13]設(shè)序列a=(a0,a1,...,aL?1)是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的2元序列，其中ai=(ui·vi)mod2， 序列u和序列v是長(zhǎng)度為L(zhǎng)的2 元m 序列。D={d0,d1,...,dK?1}為 序 列a的 支 撐 集，序 列a的 漢 明 重 量wt(a)=(1,1)=(L+1)/4 ， 則K=(L+1)/4，對(duì)于所有的lmolL?=0有

方法1

步驟1 取一個(gè)正整數(shù)n，令L=2n ?1，u和v是兩個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的2元m序列。構(gòu)造一個(gè)2元m序列a=(a0,a1,...,aL?1)，其中

方法2

步驟1,2 同方法1。

步驟3 取最優(yōu)4元序列族D作為框架步驟2中低相關(guān)性序列集，根據(jù)式(8)構(gòu)造周期QCSS。

4.2 基于2元Sidelnikov序列構(gòu)造QCSS

表1 方法1周期準(zhǔn)互補(bǔ)序列集參數(shù)

表2 方法2周期準(zhǔn)互補(bǔ)序列集參數(shù)

5 構(gòu)造方法比較

表4對(duì)現(xiàn)有QCSSs的構(gòu)造方法和本文的構(gòu)造方法進(jìn)行了比較。文獻(xiàn)[11]利用Singer差集和序列的線性相位變化提出了一種周期QCSS的構(gòu)造框架，本文方法1基于2元m序列支撐集分別結(jié)合最優(yōu)4元序列族A和族D構(gòu)造了兩類(lèi)漸近幾乎最優(yōu)的QCSSs。對(duì)比文獻(xiàn)[11]，當(dāng)QCSSs的子序列數(shù)目N相同時(shí)，本文方法1和方法2構(gòu)造的序列數(shù)目M是文獻(xiàn)[11]的2倍。在多載波擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，本文構(gòu)造方法可以支持更多的用戶(hù)。

表4 準(zhǔn)互補(bǔ)序列集參數(shù)比

文獻(xiàn)[12]拓展了文獻(xiàn)[11]構(gòu)造方法的思路，利用差集和序列的線性相位變換構(gòu)造了兩類(lèi)漸近最優(yōu)周期QCSSs；對(duì)比文獻(xiàn)[12]，本文構(gòu)造方法得到的序列數(shù)目呈指數(shù)形式增長(zhǎng)，構(gòu)造的序列數(shù)目更多，在多載波通信系統(tǒng)中，可以支持更多的用戶(hù)。除此之外，文獻(xiàn)[12]中參數(shù)p取不小于5的奇素?cái)?shù)，而本文方法3中p的取值可以為任意的奇素?cái)?shù)，參數(shù)選擇范圍更加的廣泛，方法較文獻(xiàn)[12]更加靈活。

文獻(xiàn)[13]基于有限域上的加法和乘法特性提出了一種周期QCSS的構(gòu)造框架，并在此框架下構(gòu)造了5種具體的周期QCSSs。本文基于低相關(guān)序列集和2元序列支撐集提出了一種周期QCSS的構(gòu)造框架。對(duì)比文獻(xiàn)[13]，若本文構(gòu)造框架中的低相關(guān)序列集取序列族S[15]，即可以得到文獻(xiàn)[13]所提出的構(gòu)造框架，可見(jiàn)文獻(xiàn)[13]的構(gòu)造框架是本文的一個(gè)特例。當(dāng)其他滿(mǎn)足條件的低相關(guān)序列集，如序列族A、族D和Luke序列集應(yīng)用到本文框架中時(shí)，則可以得到更多具有不同參數(shù)形式的QCSSs，從而滿(mǎn)足不同通信系統(tǒng)的要求。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種新的周期QCSS的構(gòu)造框架，在這個(gè)框架的基礎(chǔ)上，基于2元m序列和2元Sidelnikov序列分別結(jié)合最優(yōu)4元序列族A，族D和Luke序列集構(gòu)造了3類(lèi)周期QCSSs，序列集的參數(shù)由2元序列和低相關(guān)序列集共同決定。除此之外，本文所提QCSS構(gòu)造框架包含了現(xiàn)有QCSS的構(gòu)造框架，且構(gòu)造的序列數(shù)目更多，在多載波擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中可以支持更多的用戶(hù)。

表3 方法3周期準(zhǔn)互補(bǔ)序列集參數(shù)