張健 陳紹露 張紹華 郭濤 劉超波 肖琦

（1 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；2 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094）

0 引言

磁場(chǎng)模擬裝置在航天器磁性控制[1-4]、艦船消磁等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[5,6]。磁場(chǎng)線圈是磁場(chǎng)模擬裝置的主要組成部分，中心區(qū)域的磁場(chǎng)均勻度是關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)之一[7-9]，對(duì)其性能有直接影響。方形赫姆霍茲線圈是最簡(jiǎn)單的磁場(chǎng)線圈形式，加工制作方便，并且可以通過(guò)增加幾何尺寸來(lái)滿足均勻區(qū)指標(biāo)要求，但是其代價(jià)是線圈常數(shù)降低，電源功耗增加，尤其在線圈空間尺寸受到限制時(shí)，均勻性指標(biāo)很難滿足設(shè)計(jì)要求。所以，在磁場(chǎng)均勻性要求較高，工程安裝空間有限，勵(lì)磁電源功耗受限等情況下，可以采用共軸多組線圈組合的方式加以解決。

隨著線圈組數(shù)增多，各組線圈尺寸、安裝位置、線圈匝數(shù)、電纜截面、電感電阻等參數(shù)，存在眾多的組合形式，如果選擇不合理會(huì)使得磁場(chǎng)均勻性降低，工程代價(jià)增加，甚至不能滿足設(shè)計(jì)要求。所以，需要結(jié)合工程可行性約束條件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)與計(jì)算分析，使其綜合指標(biāo)性能達(dá)到最優(yōu)。

線圈參數(shù)的計(jì)算有多種方法，常用的有高階求導(dǎo)法[10,11]、智能優(yōu)化法[12-16]等。隨著線圈組數(shù)的增加，待優(yōu)化參數(shù)也相應(yīng)增加。張偉等利用磁位的拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系下的解，給出了典型的多段環(huán)形線圈的設(shè)計(jì)方法和過(guò)程[7]；對(duì)于高階求導(dǎo)法，4對(duì)線圈參數(shù)優(yōu)化需要8階求導(dǎo)[10]，9對(duì)參數(shù)優(yōu)化需要16階求導(dǎo)[11]，高階求導(dǎo)法十分復(fù)雜。呂志峰等針對(duì)多線圈均勻磁場(chǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的高階求導(dǎo)及優(yōu)化結(jié)果可信度評(píng)估問(wèn)題，提出一種基于粒子群優(yōu)化算法和有限元法相結(jié)合的多線圈均勻磁場(chǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[12]；王志峰等利用差分進(jìn)化算法對(duì)線圈的均勻磁場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[13]。

多組線圈參數(shù)的計(jì)算問(wèn)題可以歸結(jié)為求解由物理指標(biāo)（如磁場(chǎng)均勻度指標(biāo)等）和工程約束條件（如線圈安裝空間等）耦合的目標(biāo)函數(shù)。線圈優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)中包含非線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃問(wèn)題。非線性規(guī)劃目前還沒(méi)有適用于各種問(wèn)題的一般算法，已有的各種方法都有其特定的適用范圍。序列二次規(guī)劃（Sequence quadratic programming，SQP）算法是目前公認(rèn)的求解約束非線性優(yōu)化問(wèn)題最有效的方法之一[17-19]。與其他算法相比，序列二次規(guī)劃法的優(yōu)點(diǎn)是收斂性好、計(jì)算效率高、邊界搜索能力強(qiáng)，因此受到了廣泛的重視及應(yīng)用。本文使用序列二次規(guī)劃方法進(jìn)行共軸多組充退磁線圈系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)優(yōu)化線圈位置和驅(qū)動(dòng)電流等參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)所需的磁場(chǎng)均勻度指標(biāo)，并且給出了典型的多組矩形線圈在不同工程邊界約束條件下的線圈優(yōu)化參數(shù)、磁場(chǎng)均勻區(qū)及電參數(shù)的計(jì)算結(jié)果。

1 線圈參數(shù)及磁場(chǎng)計(jì)算

方形線圈和圓形線圈是工程中常用的兩種線圈形式。方形線圈具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，加工制作方便的優(yōu)點(diǎn)。不失一般性，本文以共軸正方形多組線圈為例，對(duì)磁場(chǎng)分布的均勻性指標(biāo)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化研究。

圖1 給出4個(gè)方形赫姆霍茲線圈系統(tǒng)及線圈離散單位電流元產(chǎn)生磁場(chǎng)示意圖，坐標(biāo)原點(diǎn)位于充退磁線圈系統(tǒng)的中心點(diǎn)。4個(gè)線圈大小相同，邊長(zhǎng)均為a。在實(shí)際應(yīng)用中為保證勵(lì)磁電流的同步性，4個(gè)線圈串聯(lián)，通過(guò)電流為I，并假定逆著x軸正方向看電流是逆時(shí)針?lè)较?。需要說(shuō)明的是，雖然每個(gè)矩形線圈的尺寸可以不同，但是考慮實(shí)際加工制作及工程應(yīng)用，通常設(shè)置為相同的大小尺寸。為了滿足軸向整體磁場(chǎng)的對(duì)稱性，線圈繞制匝數(shù)也成對(duì)相等。因此，內(nèi)側(cè)線圈距離d1，線圈匝數(shù)相同，均為N1匝；外側(cè)線圈距離d2，線圈匝數(shù)相同，均為N2匝。預(yù)先固定線圈邊長(zhǎng)a，需要優(yōu)化的線圈參數(shù)有三組，即d1，d2和內(nèi)外線圈電流比例（即，ck12=N1/N2）。隨著線圈匝數(shù)增多，相應(yīng)的待優(yōu)化參數(shù)增加。

圖1 4個(gè)方形赫姆霍茲線圈系統(tǒng)及線圈離散單位電流元產(chǎn)生磁場(chǎng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of 4 square Helmholtz coil systems and coil discrete unit current elements to generate magnetic field

優(yōu)化時(shí)需要計(jì)算線圈系統(tǒng)在優(yōu)化區(qū)域內(nèi)多個(gè)空間點(diǎn)的磁場(chǎng)。對(duì)于方形線圈的磁場(chǎng)計(jì)算有很多種方法。解析法在中軸線上的磁場(chǎng)計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但是偏離中軸線的磁場(chǎng)矢量解析公式非常復(fù)雜。有限元方法在計(jì)算大尺寸空心線圈的三維空間磁場(chǎng)時(shí)，對(duì)于細(xì)導(dǎo)線的網(wǎng)格劃分與空間點(diǎn)的網(wǎng)格劃分差別巨大，導(dǎo)致離散網(wǎng)格點(diǎn)過(guò)多、計(jì)算耗時(shí)甚至解不收斂。本文采用離散積分的方法來(lái)計(jì)算消磁線圈在空間點(diǎn)的磁場(chǎng)分布。把線圈電流等效為理想線電流模型，線圈離散成微小的電流矢量單元，根據(jù)畢奧薩伐爾公式，每個(gè)電流矢量單元在某個(gè)空間點(diǎn)P的磁場(chǎng)矢量計(jì)算公式如下：

2 優(yōu)化過(guò)程

共軸多組充退磁線圈均勻磁場(chǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程如下：1）確定線圈組數(shù)及待優(yōu)化參數(shù)；2）給出磁場(chǎng)均勻度的目標(biāo)函數(shù)，并結(jié)合工程實(shí)際給出物理參數(shù)邊界條件；3）采用序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代尋優(yōu)；4）線圈匝數(shù)取整化，再次尋優(yōu)計(jì)算；5）數(shù)值仿真驗(yàn)證指標(biāo)。

2.1 確定線圈組數(shù)及待優(yōu)化參數(shù)

優(yōu)化設(shè)計(jì)首先需要確定充退磁線圈所采用的線圈組數(shù)及對(duì)應(yīng)的待優(yōu)化參數(shù)，通常待優(yōu)化參數(shù)隨著線圈匝數(shù)增多而增多。例如：4線圈系統(tǒng)待優(yōu)化參數(shù)有3個(gè)，即內(nèi)線圈距離d1、外線圈距離d2及內(nèi)外線圈電流比例ck12；6線圈系統(tǒng)的優(yōu)化參數(shù)增加為5個(gè)，即內(nèi)中外三對(duì)線圈的距離d1、d2、d3，中線圈與最內(nèi)線圈電流比ck12，最外線圈與最內(nèi)線圈電流比ck13。

2.2 定義磁場(chǎng)均勻度指標(biāo)目標(biāo)函數(shù)

一般采用磁場(chǎng)偏差來(lái)衡量磁場(chǎng)均勻度指標(biāo)大小，磁場(chǎng)偏差值越小，表明磁場(chǎng)均勻度越好。在考察空間內(nèi)取m個(gè)計(jì)算點(diǎn)，以線圈系統(tǒng)中心的磁場(chǎng)強(qiáng)度B0為參考，第i個(gè)考察空間點(diǎn)的磁場(chǎng)偏差定義為：

本文采用磁場(chǎng)平均相對(duì)誤差作為磁場(chǎng)均勻度指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差定義為：

式（3）中，m為網(wǎng)格點(diǎn)總數(shù)。根據(jù)式（3），可以引入平均相對(duì)磁場(chǎng)均勻度指標(biāo)越大代表磁場(chǎng)均勻度越高。根據(jù)2.1知道，對(duì)于4線圈系統(tǒng)是關(guān)于參數(shù)(d1,d2,ck12)的函數(shù)，對(duì)于6線圈系統(tǒng)是關(guān)于參數(shù)(d1,d2,d3,ck12,ck13)的函數(shù)。實(shí)際工程對(duì)線圈距離有限制，體現(xiàn)為待優(yōu)化參數(shù)的邊界條件，一般要求d2>d1，d3>d2，d3

2.3 序列二次規(guī)劃算法迭代尋優(yōu)

線圈優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù) minf是非線性函數(shù)，并且通常包含多個(gè)約束條件，本文采用的序列二次規(guī)劃算法是公認(rèn)的求解約束非線性優(yōu)化問(wèn)題最有效的方法之一。序列二次規(guī)劃把問(wèn)題的求解主要分為兩個(gè)步驟：第一步為通過(guò)泰勒展開(kāi)，將原非線性優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的二次優(yōu)化問(wèn)題；第二步為對(duì)簡(jiǎn)單的二次優(yōu)化（QP）問(wèn)題進(jìn)行迭代搜索求解。在序列二次規(guī)劃（SQP）的迭代過(guò)程中，每一步都需要求解一個(gè)或多個(gè)二次規(guī)劃（QP）子問(wèn)題。序列二次規(guī)劃（SQP）算法流程見(jiàn)圖2，具體算法參考文獻(xiàn)[16-18]。

圖2 序列二次規(guī)劃（SQP）優(yōu)化算法流程圖Fig.2 Sequential Quadratic Programming (SQP) Optimization Algorithm Flowchart

2.4 線圈匝數(shù)整數(shù)化及二次尋優(yōu)

線圈匝數(shù)需要整數(shù)化處理。步驟2.3對(duì)于磁場(chǎng)均勻度目標(biāo)函數(shù) minf計(jì)算中以內(nèi)線圈電流I0=1A為基準(zhǔn)，利用2.3中優(yōu)化參數(shù)計(jì)算出線圈系統(tǒng)中心磁場(chǎng)強(qiáng)度B0。如果指標(biāo)要求的中心點(diǎn)最大磁場(chǎng)強(qiáng)度為Bmax，勵(lì)磁電源系統(tǒng)允許的最大電流為Imax，那么Bmax/B0就是線圈系統(tǒng)的安匝數(shù)，N1=Bmax/（B0*Imax）就是系統(tǒng)最內(nèi)線圈組單個(gè)線圈的匝數(shù)，N2=N1/ck12=Bmax/（B0*Imax*ck12）是第2個(gè)線圈組單個(gè)線圈的匝數(shù)，N3=N1/ck13=Bmax/（B0*Imax*ck13）是3個(gè)線圈組單個(gè)線圈的匝數(shù)。這里用迭代尋優(yōu)線圈電流比例系數(shù)計(jì)算得到的線圈匝數(shù)（N1、N2、N3）通常不是整數(shù)，而實(shí)際加工繞制都是以整數(shù)繞制的，所以需要對(duì)線圈匝數(shù)進(jìn)行整數(shù)化處理。為保證線圈中心最大磁場(chǎng)強(qiáng)度，一般需要對(duì)小數(shù)向上取整。線圈匝數(shù)整數(shù)化之后，其它線圈參數(shù)就不是最優(yōu)了，因此需要固定線圈匝數(shù)整數(shù)化后的電流比例，對(duì)其它的可變參數(shù)以步驟2.3的結(jié)果為初始值，并在較小區(qū)域范圍內(nèi)進(jìn)行二次尋優(yōu)計(jì)算，得到最終線圈系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)。

2.5 線圈系統(tǒng)均勻性指標(biāo)驗(yàn)證

通過(guò)以上過(guò)程計(jì)算得到線圈系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)后，需要進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，檢驗(yàn)在該參數(shù)條件下磁場(chǎng)的均勻性指標(biāo)是否滿足技術(shù)指標(biāo)要求。此外，需要綜合考慮其它工程約束條件是否滿足，如線圈系統(tǒng)電阻、電源最大功耗、電纜總重量等。如果不滿足，則需要調(diào)整線圈系統(tǒng)的約束條件，如線圈個(gè)數(shù)或者線圈組合形式等，重新進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。在線圈加工過(guò)程中受到加工精度、加工公差及線圈繞制精度的影響，實(shí)際的磁場(chǎng)均勻度指標(biāo)可能會(huì)與理論仿真計(jì)算結(jié)果有一定偏差，所以對(duì)于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化計(jì)算一般需要留有一定余量，例如，如果某區(qū)域的目標(biāo)函數(shù)是平均相對(duì)磁場(chǎng)均勻度 %100)1(min×-f不低于90%，也就是平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差 minf<10%，在理論計(jì)算中可設(shè)置稍微嚴(yán)苛一些，如要求目標(biāo)函數(shù) minf必須不大于8%，為工程加工留有2%的余量。

3 線圈設(shè)計(jì)實(shí)例

結(jié)合工程應(yīng)用，給出一個(gè)共軸6線圈充退磁系統(tǒng)的設(shè)計(jì)實(shí)例。為了給某系列包絡(luò)尺寸不大于2m的衛(wèi)星充退磁，要求設(shè)計(jì)一個(gè)空間尺寸長(zhǎng)寬高不大于3m的方形共軸赫姆霍茲充退磁線圈系統(tǒng)，最大線圈間距3m，中心待考察衛(wèi)星工作區(qū)域2m×2m×2m立方體均勻區(qū)的磁場(chǎng)均勻度不低于95%，中心點(diǎn)最大磁場(chǎng)強(qiáng)度不低于5mT，電源峰值電流不大于100A，充退磁勵(lì)磁電源最大功耗不大于40kW。

下面給出該設(shè)計(jì)實(shí)例的優(yōu)化計(jì)算過(guò)程及結(jié)果。根據(jù)普遍采用的方式，優(yōu)化前的線圈寬度a=3m，6個(gè)線圈等間距（線圈間距3/5m），電流相等。設(shè)計(jì)優(yōu)化計(jì)算中采用平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差函數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，以待考察中心區(qū)域的總體磁場(chǎng)偏差作為優(yōu)化目標(biāo)，而不是只考慮某一個(gè)點(diǎn)的磁場(chǎng)偏差。

表1給出了優(yōu)化前、初次優(yōu)化及線圈匝數(shù)取整二次優(yōu)化的參數(shù)結(jié)果。優(yōu)化前采用最常用的線圈參數(shù)，即6線圈等間距分布，匝數(shù)相等，d1=3/5m，d2=9/5m，d3=3m，ck12=1，ck13=1，中心待考察的2m×2m×2m立方體區(qū)域內(nèi)的平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差值為0.073428，最低均勻度為88.22%。初次優(yōu)化后得到的最優(yōu)線圈參數(shù)，d1=0.4426m，d2=1.3610m，d3=3m，ck12=0.8827，ck13=0.2630，中心待考察的2m×2m×2m立方體區(qū)域內(nèi)的平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差值為0.003259，最低均勻度為95.95%。優(yōu)化前與初次優(yōu)化對(duì)比，看出預(yù)定區(qū)域內(nèi)的平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差降低到了優(yōu)化前的1/23，表明區(qū)域內(nèi)的整體磁場(chǎng)均勻度都得到了很大提高。同時(shí)，預(yù)定區(qū)域內(nèi)的最低磁場(chǎng)均勻度也由88.22%提高到95.95%。

表1 參數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of parameter calculation results

3.1 線圈匝數(shù)整數(shù)化處理

要求的中心磁場(chǎng)強(qiáng)度為5mT（即5000000nT），優(yōu)化前單位電流（1A）得到的線圈常數(shù)為1536.58nT，最大允許電流為100A，則單個(gè)線圈匝數(shù)5000000/1536.58/100=32.53，取整為33匝，6個(gè)線圈共198匝；初次優(yōu)化，以最內(nèi)線圈通電1A為基準(zhǔn)，計(jì)算得到的線圈常數(shù)是2579.58，所以計(jì)算得到充退磁線圈系統(tǒng)最內(nèi)、中間、最外三組線圈的匝數(shù)分別為N1=5000000/2579.58/100=19.38，N2=N1/ck12=19.38/0.8827=21.95，N3=N1/ ck13= 19.38/0.2630=73.69。對(duì)稱線圈匝數(shù)向上取整數(shù)之后，N1=20匝，N2=22匝，N3=74匝，線圈系統(tǒng)的總匝數(shù)為2×(N1+N2+N3)=232匝。

線圈匝數(shù)整數(shù)化之后，對(duì)于線圈距離參數(shù)進(jìn)行二次尋優(yōu)，得到d1=0.4272m，d2=1.3753m，d3=3m，ck12=20/22=0.86956，ck13=20/74=0.27027，中心待考察的2m×2m×2m立方體區(qū)域內(nèi)的平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差值為0.004858，最低均勻度為96.26%。線圈匝數(shù)取整并二次優(yōu)化之后與初次優(yōu)化相比較，最內(nèi)與中間線圈組的間距d1與d2有稍微調(diào)整，平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差值從0.003259增加到0.004858，符合預(yù)期。

圖3是沿著線圈中心軸x=[-1m，1m]范圍內(nèi)，優(yōu)化前、初次優(yōu)化及線圈匝數(shù)取整二次優(yōu)化的磁場(chǎng)均勻度對(duì)比圖，虛線是優(yōu)化前線圈等間距、等電流（匝數(shù)）的計(jì)算結(jié)果，實(shí)線是初次優(yōu)化之后的結(jié)果，虛點(diǎn)線是匝數(shù)整數(shù)化之后二次優(yōu)化的結(jié)果。由圖2可知，優(yōu)化前線圈系統(tǒng)在中心軸的磁場(chǎng)均勻度分布極其不均勻，不能滿足技術(shù)指標(biāo)要求，只有在x=[-0.6m，0.6m]范圍內(nèi)大于95%。初次優(yōu)化后，在線圈中心軸x=[-1m，1m]區(qū)域范圍內(nèi)磁場(chǎng)均勻度整體提高到97.5%以上。在線圈匝數(shù)取整二次優(yōu)化之后，均勻度稍微降低，但整體均勻度變化不大，仍然在97.5%以上。

圖4中的子圖（a）（b）（c）分別是優(yōu)化前、初次優(yōu)化及線圈匝數(shù)取整二次優(yōu)化在中心區(qū)2m×2m×2m立方體表面的磁場(chǎng)均勻度分布圖。圖中的方框是6個(gè)方形線圈的位置，給出了中心區(qū)立方體6個(gè)表面的磁場(chǎng)均勻度等值面分布圖。由圖3（a）看出，待考察的立方體區(qū)域表面最低磁場(chǎng)均勻度88.22%，并且大部分表面磁場(chǎng)均勻度值低于90%，不滿足磁場(chǎng)均勻度95%的指標(biāo)要求。從圖4（b）、（c）看出，全部區(qū)域滿足磁場(chǎng)均勻度大于95%的指標(biāo)要求；磁場(chǎng)均勻度在立方體的8個(gè)角點(diǎn)附近相對(duì)略差，其值大約在96%附近，這也符合矩形線圈在角點(diǎn)附近的磁場(chǎng)均勻度偏差的普遍規(guī)律。在4個(gè)側(cè)面的大部分區(qū)域磁場(chǎng)均勻度在98.9%以上。所以，線圈系統(tǒng)優(yōu)化之后整體磁場(chǎng)均勻度分布有顯著提高，更能滿足充退磁線圈對(duì)于中心工作區(qū)域的均勻度指標(biāo)要求。

圖3 沿著線圈中心軸x=[-1m，1m]范圍內(nèi)，優(yōu)化前、初次優(yōu)化及線圈匝數(shù)取整二次優(yōu)化的磁場(chǎng)均勻度對(duì)比Fig.3 Along the coil central axis x=[-1m, 1m], the comparison of the magnetic field uniformity before optimization, the first optimization and the second optimization of the rounded number of coil turns

圖4 均勻區(qū)磁場(chǎng)均勻度分布圖，a）b）c）分別是優(yōu)化前、初次優(yōu)化及線圈匝數(shù)取整二次優(yōu)化的結(jié)果Fig.4: The distribution diagram of the uniformity of the magnetic field in the uniform area, a) b) c) are the results of the optimization before optimization, the first optimization and the second optimization of coil turns

3.2 線圈電參數(shù)計(jì)算

線圈尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)完成后，需要根據(jù)充退磁電源允許的峰值電流和最大功耗等參數(shù)，選取電纜的尺寸，估算線圈電纜總電阻、總重量、電源功耗等。本設(shè)計(jì)方案允許的最大電流為100A，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取直徑4mm的漆包銅線作為繞線電纜。銅線電阻率ρ通常取值1.75×10-8Ω/m，銅線電阻計(jì)算公式如下：

式（4）中a為方形線圈寬度，Nc為線圈系統(tǒng)總匝數(shù)，d為銅線直徑取值4×10-3m。

分別對(duì)優(yōu)化前及匝數(shù)取整二次優(yōu)化的線圈物理常量進(jìn)行計(jì)算，表2給出線圈物理常量的計(jì)算結(jié)果對(duì)比。得到優(yōu)化前（Nc=198匝）的充退磁線圈參數(shù)：長(zhǎng)度2376.00m，電阻3.31Ω，功耗33.09kW，重量265.73kg；線圈匝數(shù)取整二次優(yōu)化（Nc=232匝）的充退磁線圈參數(shù)：長(zhǎng)度2784.00m，電阻3.87Ω，功耗38.77kW，重量311.36kg。雖然優(yōu)化設(shè)計(jì)后的線圈系統(tǒng)匝數(shù)、功耗與重量增加約17.2%，但是在中心待考察衛(wèi)星工作區(qū)（2m×2m×2m立方體區(qū)域）的平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差降低到了優(yōu)化前的1/23，整體磁場(chǎng)均勻度得到了極大提升。

表2 線圈物理常量計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table2 Comparison of calculation results of coil physical constants

4 結(jié)論

本文基于序列二次規(guī)劃（SQP）方法，對(duì)共軸多組充退磁線圈進(jìn)行系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。用離散積分的方法計(jì)算消磁線圈在空間點(diǎn)的磁場(chǎng)，以待考察區(qū)域的平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并考慮工程約束條件，優(yōu)化計(jì)算出不同線圈位置和驅(qū)動(dòng)電流等參數(shù)。對(duì)線圈匝數(shù)整數(shù)化后進(jìn)行二次優(yōu)化，提高了均勻區(qū)的指標(biāo)。結(jié)合一個(gè)實(shí)際工程中的共軸6線圈系統(tǒng)設(shè)計(jì)案例，給出了詳細(xì)的優(yōu)化步驟及結(jié)果，對(duì)于線圈匝數(shù)取整及二次尋優(yōu)有詳細(xì)闡述。仿真計(jì)算結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)后的共軸充退磁線圈系統(tǒng)的磁場(chǎng)均勻度得到了極大提升，在中心待考察衛(wèi)星工作區(qū)的平均相對(duì)磁場(chǎng)偏差降低到了優(yōu)化前的1/23，其它電參數(shù)均能滿足技術(shù)指標(biāo)要求。