武前煒

(安徽省合肥一六八陶沖湖中學(xué) 230601)

作為學(xué)科知識的重要載體，教材的重要作用和基礎(chǔ)地位不容置疑.在教學(xué)過程中，教師要正確使用教材，更要創(chuàng)造性地使用教材，在課本的基礎(chǔ)上適時、適當(dāng)、適度地進(jìn)行延伸與發(fā)散，重視課本的本源性.中考試卷中一些關(guān)鍵位置的題目具有較強(qiáng)的思維發(fā)散性，決定著整張試卷的區(qū)分度，但是發(fā)散的“源頭”往往來自課本，課本習(xí)題承擔(dān)著幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)基本技能的重要功能，特別是一些經(jīng)典例題、習(xí)題是十分有價值的教學(xué)資源，也是很多中考題源的根.重視經(jīng)典習(xí)題的探究學(xué)習(xí)、改編，能很好地幫助學(xué)生整合知識、探索規(guī)律、形成方法、獲得經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展思維，提升素養(yǎng)，達(dá)到“做一題、會一類、通一片”的高效追求.

1 題目呈現(xiàn)

圖1

本題為2021年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)第21題.

2 追根溯源

本題以滬科版數(shù)學(xué)九年級下冊第24章《圓》第69頁第14題題干為基礎(chǔ)，挖掘幾何關(guān)系，可謂“根”在課本.

圖2

(課本原題)已知：如圖2，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為D.求證：AC平分∠DAB.

題目蘊(yùn)含豐富的幾何關(guān)系，比如圓周角定理、切線性質(zhì)、垂徑定理、角平分線性質(zhì)、弦切角定理、三角形相似、圓內(nèi)接四邊形等，這些內(nèi)容對鍛煉學(xué)生的識圖能力、辨析能力、推理能力以及轉(zhuǎn)化意識都有重要的作用.正如葉圣陶所說：“教材只是個例子.”作為教師在教學(xué)中要依托課本習(xí)題，從不同的角度、不同的層面、不同的條件進(jìn)行拓展研究，挖掘問題本質(zhì)，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，強(qiáng)化知識理解與應(yīng)用，發(fā)揮習(xí)題最大功效，從而幫助學(xué)生跳出“題海”.

3 解法探究

圖3

圖4

如圖4，延長AB,EC交于點(diǎn)H.因?yàn)椤螦DC=∠ADB+∠BDC=90°+∠BDC,∠ACH=∠OCH+∠ACO=90°+∠ACO,而∠ACO=∠OAC=∠BDC,于是∠ADC=∠ACH,所以△ADC∽△ACH，則AC2=AD·AH，解得AH=6.

4 解后反思

設(shè)EC=a,ED=b，則a2=b·(b+1).

這里在由比值推導(dǎo)三角函數(shù)值時，過程是可逆的，于是題目也可以改編為逆向考查：給出

圖5

(2021年四川自貢卷)如圖5，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，過D作⊙O的切線交AB延長線于點(diǎn)C，AE⊥CD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)AD,FD．

(1)求證：∠DAE=∠DAC；

(2)求證：DF·AC=AD·DC；

圖6

具體解法留給讀者探索，這里從略.

5 教學(xué)啟示

雙減背景下，切實(shí)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)要從教師“增壓”開始，教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的“根”，教材中的習(xí)題是編寫者精心設(shè)計的，值得教師深入研讀、研究.我們注意到，很多中考題都是課本經(jīng)典習(xí)題的改編和重組，也就是從課本的“根”生長出來的.用好教材、挖掘教材是教師專業(yè)基本功的重要體現(xiàn)，依托課本素材進(jìn)行深入研究、變化，通過問題不同角度思考及變式訓(xùn)練培育學(xué)生核心素養(yǎng).因此，要注重典型例題和習(xí)題延拓與發(fā)散，發(fā)展學(xué)生的思維、落實(shí)核心素養(yǎng)，積累活動經(jīng)驗(yàn)，從而提高教學(xué)效率！