江蘇省白蒲高級中學(xué) 柳永紅

1 f(n)為一次函數(shù)型

當(dāng)遞推關(guān)系an+1+an=f(n)中f(n)為一次函數(shù)形式時(shí)，利用分組求通項(xiàng)公式再求和的方法求解.一般根據(jù)題目條件分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)分別求通項(xiàng)公式，再將其合并整理得對應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式.利用此方法求解通項(xiàng)公式的解題步驟為：①根據(jù)實(shí)際條件，確定所求數(shù)列的類型，并求其首項(xiàng)和公差(或公比)；②利用已知的首項(xiàng)，公差(或公比)的值，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)討論并求得對應(yīng)的通項(xiàng)公式；③將上述所得結(jié)果合并整理，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例1已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1+an=4n+3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：首先利用an+1+an=4n+3表示出an+1+an+2=4n+7，確定數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，再由此分析n分為奇偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，即an=2n和an=2n+1，最后整合得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：由題意可得

an+1+an=4n+3 ①

an+1+an+2=4n+7 ②

②-①,可得an+2-an=4.

所以，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，且a2=5.

變式1已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1+an=-4n+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式[1].

分析：該變式與例1略微不同，即f(n)=-4n+1，但解題思路仍與例1一致.

解：由題意可得

an+1+an=-4n+1 ③

an+1+an+2=-4n-3 ④

②-①,可得an+2-an=-4.

所以，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為-4的等差數(shù)列，且a2=-4.

2 f(n)為指數(shù)型

當(dāng)遞推關(guān)系an+1+an=f(n)中f(n)為指數(shù)型時(shí)，求其通項(xiàng)公式可以利用分解變量構(gòu)造等比數(shù)列，將已知的遞推關(guān)系an+1+an=f(n)分離變量，得到an+1-k·f(n+1)=-[an-k·f(n)](k為常數(shù))，再利用等比數(shù)列{an-k·f(n)}的通項(xiàng)公式求解.利用此方法求解通項(xiàng)公式，解題步驟為：①結(jié)合實(shí)際問題，將已知式子分離變量得到an+1-k·f(n+1)=-[an-k·f(n)]；②根據(jù)上述等式確定等比數(shù)列{an-k·f(n)}的通項(xiàng)公式；③利用等比數(shù)列{an-k·f(n)}的通項(xiàng)公式求解數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例2在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1+an=2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析：令an+1-k·2n+1=-(an-k·2n)，則整理為an+1+an=3k·2n.

3 f(n)為分式型

求解f(n)為分式型的遞推關(guān)系an+1+an=f(n)對應(yīng)的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)并構(gòu)造是解題的有效手段.裂項(xiàng)并構(gòu)造，指的是將遞推關(guān)系an+1+an=f(n)中的分式f(n)進(jìn)行裂項(xiàng)，并以此構(gòu)造數(shù)列求解.利用此方法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般的解題步驟為：①根據(jù)實(shí)際問題中的f(n)的特點(diǎn)進(jìn)行裂項(xiàng)，變?yōu)間(n)-h(n)的形式；②利用裂項(xiàng)所得的式子構(gòu)造新數(shù)列并求解[2].

解：設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和.由題意，得

當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí)，

Sn=a1+a2+……+an-1+an

=(a1+a2)+(a3+a4)+……+(an-1+an)

當(dāng)n=2k+1(k∈N*)時(shí)，

Sn=a1+a2+……+an-1+an

=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+……+(an-1+an)

所以，當(dāng)n=2k時(shí)，

當(dāng)n=2k+1時(shí)，

求解an+1+an=f(n)型的數(shù)列的通項(xiàng)公式，具體運(yùn)用哪種方法求解要根據(jù)f(n)的形式確定.總之，與an+1+an=f(n)有關(guān)的遞推關(guān)系中，f(n)涉及的類型主要為本文中所介紹的一次函數(shù)型、指數(shù)型和分式型，其中一次函數(shù)型和指數(shù)型都可以利用分組求通項(xiàng)然后合并的方式求解，視實(shí)際情況而定.解題時(shí)，不僅要掌握形如an+1+an=f(n)求通項(xiàng)公式這一類問題的答題思路，還要做到靈活變通，對不同的遞推公式采取不同的解題策略.