摘 要】 以高中數(shù)學教材中跨學科素材為載體，以跨學科思維打破高中數(shù)學與各學科的學科壁壘，進行情境化、用數(shù)學、項目化等方式的教學組織，讓數(shù)學教學真正實現(xiàn)學科交融和跨界，讓跨學科教學真正利于發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，提升學生數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生綜合實踐能力.

【關鍵詞】 教材；跨學科融合；數(shù)學教學

數(shù)學課程改革的重要目標是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng).數(shù)學核心素養(yǎng)具有整合性、綜合性和交融性，這就需要在數(shù)學課程設計和教學組織中克服封閉性、碎片化的傾向，適時地進行跨學科教學. 數(shù)學具有方法的普適性、文化的豐富性、應用的廣泛性及理性思維的獨特性，使得任何學科領域都與數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系. 因此，數(shù)學與其他學科的教學融合既是新時代賦予的，也是由數(shù)學的本質決定的.

研究發(fā)現(xiàn)，2019年各版高中數(shù)學教材中存在大量的跨學科素材，它們分布在章引言、節(jié)首的問題情境、章（節(jié)）末的閱讀材料以及例題、習題等欄目中. 整體而言，這些跨學科素材可分為兩大類：一類是以其他學科知識為載體創(chuàng)設科學情境，為數(shù)學概念的建構提供認知背景；另一類是以數(shù)學知識為主導，運用數(shù)學知識和方法解決其他學科的問題，或運用數(shù)學眼光和思維去理解其他學科的奧秘. 這便為用教材進行跨學科的教學組織提供了可實施的嘗試，下文具體談談.

1 “情境化”跨學科教學組織，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學學科核心素養(yǎng)在學生與情境、問題的有效互動中得到提升. 情境和問題是多樣化的，包括現(xiàn)實的、數(shù)學的、科學的. 教學組織時，可結合教學任務及蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)創(chuàng)設跨學科情境，引導學生對情境中的現(xiàn)象或結論進行數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學建模，讓學生經歷科學研究的完整過程，同時引導學生進行猜想、歸納、概括、演算、推理、論證等思維活動，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

案例1 平面向量教學中運用物理情境進行整體的數(shù)學抽象.

蘇教版教材將“斜面上的木塊”這一物理模型作為貫穿整個向量單元的大情境，充分體現(xiàn)了“向量來源力學”的歷史事實，在“向量的概念”“向量運算”“向量基本定理及坐標表示”等課時的教學組織時可以以“木塊”作為統(tǒng)一的教學情境. 這樣處理的目的是選擇學生已學的典型模型，讓他們在一以貫之的科學情境中經歷不同對象（運算）的抽象過程，這是連貫的、統(tǒng)一的、完整的抽象活動，能幫助學生在概念建構中學會數(shù)學抽象，進而理解和掌握數(shù)學抽象的“基本套路”.

案例2 “對數(shù)的概念”教學中創(chuàng)設跨學科情境，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng).

人教B版必修第二冊第4.2節(jié)的節(jié)首情境：

地震的里氏震級是根據(jù)最大振幅計算出來的. 2008年5月12日，我國四川汶川發(fā)生了地震，速報震級為里氏7.8級，修訂后的震級為里氏8.0級. 震級相差0.2，最大振幅之間具有什么關系？

化學學科中，我們用pH表示溶液的酸堿性，pH是由c（H）（即溶液中H）決定的. pH=7和pH=8的兩種溶液，它們的c（H）有什么關系？

以地理中的地震震級、化學中pH值計算作為問題情境，旨在引導學生思考這些跨學科問題背后的數(shù)學本質. 在進行教學組織時，可以選其一作為問題情境，也可以兩者同時呈現(xiàn). 比如，以地震震級創(chuàng)設情境，首先，適當介紹地震學家里克特的研究經歷及里氏震級，再呈現(xiàn)地震釋放出來的能量與地震里氏震級關系的表格，讓學生對表格中的數(shù)據(jù)進行分析、歸納與猜想，并借助信息技術對這些數(shù)據(jù)進行擬合，作出散點圖，讓學生在直觀想象中“確認”自己的猜想，完成數(shù)學模型的建立，理性建構對數(shù)的概念. 在這樣的教學組織中，經歷了以跨學科素材為導向的數(shù)學建模過程，同時還發(fā)展了學生的直觀想象、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，更重要的是學生經歷了科學研究的一般過程（現(xiàn)象—問題—猜想—驗證—推理—應用）. 當然，在情境化跨學科教學組織時，我們可以靈活處理教材中的跨學科素材，例如：

案例3 在“基本不等式”教學時，可將人教A版必修第一冊習題2.2的第7題作為問題情境，引導學生經歷科學研究的完整過程.

一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客. 你認為顧客購得的黃金是小于10g，等于10g，還是大于10g？為什么？

該情境貼近生活又富有趣味，從學習心理上容易激發(fā)學生學習的興趣和探究的熱情. 要解決這一問題，需要運用物理中的杠桿原理找到學習對象（設兩次稱得的黃金質量分別為ag，bg，由杠桿原理可得ab=25，問題實質是在此條件下比較a+b與10的大?。? 接下來，可先借助信息技術手段進行數(shù)值的驗證，為學生創(chuàng)建猜想的機會，然后再引導他們進行嚴謹?shù)倪壿嬚撟C. 這樣的認知過程體現(xiàn)了知識生成與發(fā)展的完整過程，也是科學研究的一般過程，利于學生科學素養(yǎng)的養(yǎng)成.

2 “用數(shù)學”跨學科教學組織，提升學生數(shù)學應用意識新課標明確指出：“引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界（簡稱“三會”）”. “三會”集中凝練了數(shù)學學科育人的三個重要特征：數(shù)學眼光、數(shù)學思維和數(shù)學表達，這些行為表現(xiàn)的本質是數(shù)學的抽象、推理、建模、運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等思維品質和關鍵能力的體現(xiàn).

2.1 用數(shù)學的眼光觀察其他學科現(xiàn)象

胡晉賓認為數(shù)學的眼光是在現(xiàn)實與數(shù)學之間進行的思維切換，就是立足知識儲備，關涉活動經驗，借助數(shù)學抽象和直觀想象，從現(xiàn)實案例“看到”數(shù)學內涵，從數(shù)學內涵“想到”現(xiàn)實案例. 由此可見，用數(shù)學的眼光觀察并欣賞其他學科知識，不僅可以讓學生體會到數(shù)學應用的廣泛性，還著重提升了學生的理性思維水平.

案例4 用數(shù)學的眼光欣賞音樂的奧秘.

2.3 用數(shù)學的語言表達其他學科概念

數(shù)學語言分為文字語言、符號語言和圖形語言，數(shù)學語言具有科學性、簡潔性和通用性等特點，教學組織時可以運用適當?shù)臄?shù)學語言來表征其他學科中難以理解的概念或對象.

案例6 一道課本題中地理概念的數(shù)學理解.

（人教A版必修第一冊復習參考題5第27題）在地球公轉過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復始不斷變化. 如圖3，設地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射點的緯度，φ為當?shù)氐木暥戎?，那么這三個量滿足θ=90°－|φ－δ|. 某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統(tǒng)計了連續(xù)400天太陽直射點的緯度平均值（太陽直射北半球時取正值，太陽直射南半球時取負值）. 下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45天測得的當?shù)靥柛叨冉菙?shù)據(jù)：

請根據(jù)數(shù)據(jù)完成上面的表格（計算結果精確到0.000 1）；

（1）設第x天時太陽直射點的緯度平均值為y．該科技小組通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，推斷y與x近似滿足函數(shù)y=Asinωx，其中A為北回歸線的緯度值，約為23.439 2911，試利用表中的數(shù)據(jù)，估計ω的值（精確到10）；

（2）定義從某年春分到次年春分所經歷的時間為一個回歸年，求一個回歸年對應的天數(shù)（精確到0.000 1）；

（3）利用（2）的結果，估計每400年中，應設定多少個閏年，可使這400年與400個回歸年所含的天數(shù)最為接近（精確到1）.

這段文字中涉及了緯度、正午太陽高度角等多個地理名詞，這些概念本身就是地理學科中難以理解的概念，可以借助數(shù)學語言進行表征.地理中的“緯度”可以用幾何圖形（如圖4）來理解，由圖可知赤道上每點的緯度為0°，極點緯度則為90°；還可以用集合的語言來表征“緯線”，緯線是指緯度相同的點的集合，從形上看即同一緯度的點落在同一大圓上.

關于“正午太陽角”，同樣可以采用幾何圖形加以理解. 借助圖形（如圖5）理解某地正午太陽高度角為θ=90°－|φ－δ|，φ表示該地的緯度，δ表示太陽直射點的緯度. 從數(shù)學運算上理解，當緯度差|φ－δ|越小，該地的正午太陽高度角越大，反之越??；從函數(shù)的視角上理解，當固定太陽直射點時，該表達式是θ關于φ的函數(shù)，它可以反映正午太陽高度的緯度分布規(guī)律；當固定某地時，則該表達式是θ關于δ的函數(shù)，它可以反映正午太陽高度的季節(jié)分布規(guī)律. 可見，運用數(shù)學語言輔助理解更容易促進學生對概念的理解與掌握.

3 “項目化”跨學科教學組織，培養(yǎng)學生綜合實踐能力

面向未來的學習應該是突出綜合性、實踐性和混合型的學習，學習的視角應該多元化、綜合化. 因此，組織學生進行跨學科內容的項目化活動是培養(yǎng)學生綜合實踐能力的必要之舉. 我們可以將教材中的素材設計成項目化活動，引導學生運用各學科知識、各種工具、資源，以小組合作探究的方式進行研究性學習.

案例7 測量建筑物高度的項目化活動.

（人教A版必修第二冊54頁第23題）根據(jù)實際需要，利用本節(jié)所學的知識完成一次有關測量的實習作業(yè)，并寫實習報告（包括測量問題、測量工具、測得數(shù)據(jù)和計算過程及結論）.

為了活動的有序開展，指導建議學生按下面流程進行：

●成立項目小組，確定工作目標，準備測量工具；

●小組成員查詢資料，進行討論交流，尋求科學有效的測量方法，設計測量方案；

●分工合作，明確責任，比如，測量、記錄數(shù)據(jù)、計算求解、撰寫報告的分工等；

●撰寫報告，討論交流，展示成果.

在這一項目化活動中，所有學生充分發(fā)揮了自己的聰明才智. 如在測量工具的設計上，學生設計如圖6所示的“瓶筷器”（一個盛有水的礦泉水瓶+一根筷子），其中礦泉水瓶起水平尺的作用，筷子起鉛垂線的作用，這是物理學科測量方法的實際應用. 學生的測量方案也在不斷地調整，如一開始的測量方案1：A同學將“瓶筷器”與眼睛處于同一水平線上，B同學幫助觀察水瓶中的液面是否與瓶底平行以確定整個裝置是否水平，C同學測量眼睛到裝置末端的距離，記錄下數(shù)據(jù)，并向前走2米（用卷尺測量），再次進行上述操作（如圖7）.

而實際數(shù)據(jù)是每樓層高度2.9×6+車庫高度2.47+頂部裝飾物高度0.8≈20.6米.

由于誤差較大，將測量方案調整成方案2：如圖8，A同學蹲在地上，B同學站立前方并將一根長棒豎立在地面上，調整棒的高度直至與A同學眼中棒的手握處（視為M點）與房頂（視為N點）重合，C同學測量A同學眼睛到地面距離、A和B兩位同學間的距離及手握處距離地面的高度，再測量B同學到樓底的距離（通過兩者之間磚頭的塊數(shù)和每塊磚的長度來估算）.

學生還要進行研究反思：第一次測量時由于裝置簡陋及場地地面不平，計算出來的結果誤差較大；第二次幾乎沒有太大誤差（在0.1米—0.2米內），但測量者到樓底的距離的操作性不強，若所測物與測量者之間有障礙物（如河流等）則難以完成.測量的過程還是略顯艱辛，由于之前沒有動手實踐過，在使用卷尺時不易很好地固定卷尺的長度.發(fā)現(xiàn)問題后還可以改進裝置，如圖9、10所示.

很明顯，在項目化活動中學生獲得了更加真實的知識體驗，不但有團隊合作的探討交流，還有面對困難時的共同應對，更有對測量數(shù)據(jù)的誤差分析，以及綜合運用各學科知識（數(shù)學、物理、勞技等）進行動手操作、分工協(xié)作、評估數(shù)據(jù)等，在項目化任務驅動中獲得了高階認知思維，這些都能促進他們對知識形成真實、立體、深刻的理解，培養(yǎng)了綜合實踐的能力.

最后，值得說明的是，由于各版教材中的跨學科素材還存在層次不明、深度不夠等問題，加之一線教師對其他學科的知識理解亦不深刻，在教學組織時只停留在簡單借用其他學科知識作為情境引入，甚至直接忽略跨學科素材，使得跨學科的教學組織只是流于形式．因此，數(shù)學教師在處理教材中那些不熟悉的跨學科素材時，應主動與其他學科的教師交流，探討不同學科的區(qū)別與聯(lián)系，以促進不同學科的深度融合.另外，跨學科教學組織不能太功利化，應擺脫“為高考教、為高考學”的觀念，有計劃、有組織地為學生提供跨學科學習的機會，組織學生以各種形式開展不同的跨學科學習活動，讓學生經歷合作交流、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題等過程，提升數(shù)學核心素養(yǎng)，促進學生深度學習．

參考文獻

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作者簡介 丁益民（1981—），男，江蘇姜堰人，中學高級教師;主要研究中學數(shù)學教材教法;江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對象，江蘇省教科研先進個人，曾兩次獲江蘇省基礎教育教學成果獎一等獎.