周貴勝

圖形的旋轉(zhuǎn)很好地把靜態(tài)的幾何動(dòng)起來(lái)，使考題也活起來(lái)，從而更好地考查同學(xué)們的幾何能力.本文就等腰三角形中的圖形旋轉(zhuǎn)舉例分析.

[例題引入]

例1 如圖1，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB = 105°，∠BOC等于α，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD.

（1）求證：△COD是等邊三角形．

（2）求∠OAD的度數(shù)．

思路分析：（1）因?yàn)椤鰽DC是由△BOC旋轉(zhuǎn)60°得到的，所以O(shè)C = DC，∠ACD = ∠BCO，所以∠OCD = 60°，從而△COD為等邊三角形.

（2）因?yàn)椤鰽DC是由△BOC旋轉(zhuǎn)60°得到的，所以∠ADC = ∠BOC = α，∠OBC = ∠DAC.在△AOD中，∠AOD = 360° - 105° - α - 60° = 195° - α，∠ADO = α - 60°，所以∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 180° - （195° - α） - （α - 60°） = 45°.

本題利用旋轉(zhuǎn)后的兩個(gè)三角形全等為解決問題提供角的關(guān)系.旋轉(zhuǎn)的圖形是運(yùn)動(dòng)變化的，但變化中有不變的角度關(guān)系和線段關(guān)系，這需要同學(xué)們認(rèn)識(shí)并掌握.

[模型總結(jié)]

1.一般情形：任意的等腰三角形

（1）如圖2，等腰三角形ABC中，AC = BC，∠ACB = α.點(diǎn)D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，CD，△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△ACE.這時(shí)△CDE為等腰三角形，且△CDE ∽ △CBA.

（2）如圖3，等腰三角形ABC中，AC = BC，∠ACB = α.點(diǎn)D為三角形外一點(diǎn)，連接BD，CD，△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△ACE.這時(shí)△CDE為等腰三角形，且△CDE ∽ △CBA.

2.兩種特殊情況：等邊三角形和等腰直角三角形

（1）如圖4，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，CD，△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACE，這時(shí)△CDE為等邊三角形.

（2）如圖5，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為三角形外一點(diǎn)，連接BD，CD，△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACE，這時(shí)△CDE為等邊三角形.

（3）如圖6，等腰直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，點(diǎn)D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，CD，△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE. 這時(shí)△CDE為等腰直角三角形.

（4）如圖7，等腰直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，點(diǎn)D為三角形外一點(diǎn)，連接BD，CD，△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE.這時(shí)△CDE為等腰直角三角形.

根據(jù)等腰三角形中的圖形旋轉(zhuǎn)變化可以解決一系列有關(guān)線段和角的幾何問題，下面舉例介紹.

[典例辨析]

例2 （2021·貴州·黔西南）如圖8，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，BD的延長(zhǎng)線與AC交于點(diǎn)G，與CE交于點(diǎn)F．

（1）求證：BD = CE.

（2）如圖9，連接FA，小穎對(duì)該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：∠BFC = ∠AFB = ∠AFE. 小穎的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

分析：利用旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等、旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形全等，為證明全等三角形提供條件.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠BAC = 60°，又因?yàn)椤螪AE = 60°，所以△ACE是由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的，從而可證明△ABD ≌ △ACE，結(jié)論BD = CE可證.

解：（1）∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，

∴AD = AE，∠DAE = 60°.

∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC = 60°，

∴∠BAC = ∠DAE，∴∠BAD = ∠CAE.

在△ABD和△ACE中，

[AB=AC，∠BAD=∠CAEAD=AE，]，

∴△ABD ≌ △ACE（SAS），∴BD = CE.

（2）方法1：由（1）可知△ABD ≌ △ACE，則∠ABD = ∠ACE.

又∵∠AGB = ∠CGF，∴∠BFC = ∠BAC = 60°，∴∠BFE = 120°.

如圖10，過A作BD，CF的垂線段，垂足分別為點(diǎn)M，N，

∵△ABD ≌ △ACE，BD = CE，∴S△ABD = [12BD×AM=12CE×AN] = S△ACE，

∴AM = AN，∴FA平分∠EFG，

∴∠BFC = ∠AFB = ∠AFE = 60°. 故小穎的結(jié)論正確.

方法2：∵△ABD ≌ △ACE，∴∠ABD = ∠ACF.

又∵∠AGB = ∠FGC，∴∠BFC = ∠BAG = 60°.

如圖11，在BF上截取BK = CF，連接AK.

∵△ABD ≌ △ACE，

∴∠ABK = ∠ACF.

在△ABK與△ACF中，[AB=AC，∠ABK=∠ACFBK=CF，]，

∴△ABK ≌ △ACF（SAS），

∴∠BAK = ∠CAF，AK = AF，

∴∠KAF = ∠CAF + ∠KAC = ∠BAK + ∠KAC = ∠BAC = 60°，

∴△KAF為等邊三角形，∴∠AFB = 60°，

∴∠AFE = 180° - ∠BFC - ∠AFB = 60° = ∠BFC = ∠AFB. 故小穎的結(jié)論正確.

方法3：∵△ABD ≌ △ACE，∴∠ABG = ∠FCG.

又∵∠AGB = ∠FGC，∴△ABG ∽ △FCG，

∴[AGGF=BGGC].

∵∠AGF = ∠BGC，∴△AGF ∽ △BGC，

∴∠AFG = ∠ACB = 60°，

∴∠BFC = ∠AFB = ∠AFE = 60°. 故小穎的結(jié)論正確.