王 莉, 朱翼雋

(1.宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800; 2.江蘇大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

隨著排隊(duì)論理論的逐步發(fā)展和完善,學(xué)者們根據(jù)在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的各類情況,分別對(duì)各種排隊(duì)模型進(jìn)行研究,對(duì)休假排隊(duì)系統(tǒng)的研究[1-3]也逐漸增多,其中具有代表性的M/G/1型休假排隊(duì)系統(tǒng)是典型的一類,學(xué)者們?cè)诖嘶A(chǔ)上紛紛構(gòu)造了不同的模型[4-9]并給出了一系列有價(jià)值的觀點(diǎn)和研究理論.比如在M/G/1型休假排隊(duì)模型中考慮閑期、啟動(dòng)期、不耐煩策略、負(fù)顧客、單重休假、多重休假等各種因素,如朱翼雋,徐劍研究的多重休假的M/M/c排隊(duì)系統(tǒng)[2].這些模型是在經(jīng)典M/G/1排隊(duì)的各種邊界狀態(tài)變體基礎(chǔ)上加入了一些條件進(jìn)行研究的.

本文在前人研究的休假模型基礎(chǔ)上,建立了一個(gè)到達(dá)率不同并且是批量到達(dá)的M/G/1多重休假排隊(duì)模型,并在模型中考慮了服務(wù)臺(tái)工作前有啟動(dòng)期的情況.

1 模型描述

一個(gè)V內(nèi)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)為零的概率是

設(shè)Ln為接受完服務(wù)的第n個(gè)顧客離開(kāi)后系統(tǒng)中的顧客數(shù),n=0,1,…,則{Ln,n≥1}是隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程的嵌入Markov鏈,從而有如下關(guān)系

(1)

其中An+1為服務(wù)第n+1個(gè)顧客時(shí)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù),且A1,A2,…,An,…獨(dú)立同分布;批量到達(dá)的顧客數(shù)服從復(fù)合泊松分布.一個(gè)服務(wù)期內(nèi)到達(dá)的批量數(shù)Ag和顧客數(shù)A滿足如下關(guān)系

A=G(1)+…+G(Ag)，

其中{G(n),n=1,2,…,Ag}與G獨(dú)立同分布;得A的母函數(shù)為

(2)

先求如下分布

其中Qb為轉(zhuǎn)入忙期時(shí)系統(tǒng)中過(guò)的顧客數(shù),且

ξi=P{進(jìn)入i個(gè)顧客|一次假期內(nèi)有顧客進(jìn)入系統(tǒng)}=

從而可以求出Qb的母函數(shù)

(3)

由上式可知

2 穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間的隨機(jī)分解

當(dāng)ρ=λ3gμ-1<1時(shí),系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài).記

定理1 設(shè)ρ<1時(shí),分解式L=L0+Ld成立,其中L0,Ld相互獨(dú)立,則L0的母函數(shù)[3]

附加隊(duì)長(zhǎng)Ld的母函數(shù)為

(4)

證明在第n個(gè)顧客離去時(shí)有無(wú)顧客的條件下,根據(jù)式(1),兩邊取母函數(shù),得

E(zLn+1)=E(zLn+An+1-1|Ln>0)P(Ln>0)+E(zQb+An+1-1|Ln=0)P(Ln=0)=

因?yàn)閧Ln,n≥0}獨(dú)立同分布,將式(2)和式(3)代入上式,整理得

{1-[1-v*(λ1p)]-1U*[λ2(1-G(z))][v*(λ1p(1-G(z)))-v*(λ1p)]}

(5)

使用正規(guī)化條件L(1)=1及L’Hospital法則得到π0=(1-ρ)β-1.將其代入式(5),得到

(6)

由上式可得到式(4).

由定理1，容易給出下列均值公式，

定理2 若ρ<1,則穩(wěn)態(tài)等待時(shí)間W可分解成兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和W=W0+Wd,其中W0的LST[3]

附加延遲Wd的LST

(7)

(8)

根據(jù)式(6),服務(wù)完一個(gè)大顧客后系統(tǒng)中大顧客數(shù)的概率母函數(shù)為

(9)

其中β1=β,Gg(z)=z.

當(dāng)λ1≠λ2≠λ3時(shí),利用同樣方法化簡(jiǎn)，可得

(10)

如果在大顧客中排在一個(gè)目標(biāo)顧客之前的逗留顧客數(shù)為G-,利用更新過(guò)程[10],兩個(gè)連續(xù)更新點(diǎn)間隔為批量長(zhǎng)G,而G-概率分布和母函數(shù)分別為

(11)

從而可以得到批量等待時(shí)間Ws的LST

(12)

再根據(jù)式(10)和式(12)，有

(13)

從而得出式(7),證畢.

由式(7)和式(13)，容易給出下列均值公式

從定理1和定理2不難看出當(dāng)λ1=λ2=λ時(shí),E(Ld)=λE(Wd)滿足Little公式.

3 忙期和忙循環(huán)

從而得出平均忙期

特殊地,當(dāng)λ1=λ2=λ3=λ時(shí),一個(gè)忙循環(huán)的平均長(zhǎng)度是

記PB,PV,PU為穩(wěn)態(tài)下服務(wù)、休假及啟動(dòng)在任一時(shí)間點(diǎn)的概率,由更新報(bào)酬定理可得

4 在線期分析

在線期是指一個(gè)休假結(jié)束直到下次休假開(kāi)始的這段時(shí)間.忙期和啟動(dòng)期均屬在線期.記Ts代表在線期的長(zhǎng)度,易得在線期的均值為

5 應(yīng)用案例

例1 帶啟動(dòng)時(shí)間及不耐煩等待的多重休假M(fèi)/G/1排隊(duì).

例2 帶啟動(dòng)時(shí)間的多重休假M(fèi)/G/1排隊(duì).

與馬占友[8-9]的研究結(jié)果完全吻合.

例3 帶啟動(dòng)時(shí)間及不耐煩等待得多重休假M(fèi)X/G/1排隊(duì).

與于艷輝等[6]的研究結(jié)果吻合.

以上特例具體指標(biāo)的結(jié)果，可以再次驗(yàn)證本模型的可行性和正確性.

6 結(jié)論

模型中考慮到多重工作休假系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的復(fù)雜多變的情形,將簡(jiǎn)單的休假模型復(fù)雜化,添加了批量到達(dá)、啟動(dòng)和不耐煩策略這些實(shí)際中的控制因素,建立了一個(gè)多重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)的新模型,通過(guò)運(yùn)用基本的排隊(duì)理論和方法得出了新模型的一系列重要的性能指標(biāo),通過(guò)幾個(gè)特殊模型的驗(yàn)證也得出了該模型更具一般性,為實(shí)際運(yùn)用提供了理論依據(jù),同時(shí)為工作休假進(jìn)一步深入的研究也提供了參考.