張澤清， 姜偉偉， 賀壁， 扈宏毅， 劉磊

(1.中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所， 成都 610209； 2.中國科學(xué)院光束控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610209； 3.中國科學(xué)院大學(xué)光電學(xué)院， 北京 100049)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，光電設(shè)備由地基式發(fā)展到車載、艦載、機(jī)載及星載等機(jī)動平臺承載式。在機(jī)動平臺上，由于工作環(huán)境存在著高帶寬大幅值的隨機(jī)振動，載體的振動會通過平臺傳遞到光學(xué)系統(tǒng)上，造成光學(xué)系統(tǒng)振動，這些振動的存在會影響成像系統(tǒng)的成像質(zhì)量。那么對光電設(shè)備進(jìn)行振動隔離十分必要，被動減振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，可靠性高，經(jīng)濟(jì)性好，成為光電設(shè)備主要的減振方式[1-2]。

振動可以分為線振動與角振動，國內(nèi)外很多學(xué)者已經(jīng)對振動對成像質(zhì)量的影響作了大量分析。趙鵬等[3]、耿文豹等[4]、李玉龍等[5]研究指出角振動對光電系統(tǒng)的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于線振動的影響。為了降低角振動響應(yīng)，通常在對光電設(shè)備進(jìn)行減振設(shè)計(jì)時綜合考慮質(zhì)量和慣量，減振器的安裝位置及剛度、阻尼參數(shù)，以設(shè)計(jì)解耦度高的系統(tǒng)。理想情況下，單層隔振系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)完全解耦，要求各彈性主軸與各慣性主軸完全重合。但是在實(shí)際工程中，光電設(shè)備的質(zhì)量分布不均且外形不規(guī)則，這樣光電設(shè)備減振系統(tǒng)不僅存在彈性耦合還存在慣性耦合。李曉波等[6]通過正弦掃頻實(shí)驗(yàn)對比了捷聯(lián)慣導(dǎo)減振系統(tǒng)有無偏心情況下的響應(yīng)，指出偏心引起了系統(tǒng)振動的耦合，得到減振器需要對稱安裝避免偏心的結(jié)論；劉勇等[7]通過模態(tài)分析、諧響應(yīng)分析和隨機(jī)響應(yīng)分析研究了偏心減振系統(tǒng)的動力學(xué)特性、頻響特性和隨機(jī)響應(yīng)特性；付繼波等[8]從理論和數(shù)值仿真兩方面證明了系統(tǒng)偏心造成了線振動和角振動的耦合，并進(jìn)一步證明了偏心量的增大造成角振動頻率降低，線振動頻率增加；孫玉華等[9]分析了質(zhì)心偏移對減振系統(tǒng)固有頻率和解耦率的影響，指出減振器安裝跨距最短的方向系統(tǒng)頻率和解耦率受質(zhì)心偏移影響最為明顯；Okwudire等[10]建立了二自由度減振系統(tǒng)，理論上證明了質(zhì)心偏移造成了線振動和角振動耦合，導(dǎo)致系統(tǒng)的一階頻率降低，二階頻率增加。

上述研究均假設(shè)質(zhì)量矩陣為對角矩陣，未考慮設(shè)備慣性積不為零對減振系統(tǒng)動力學(xué)特性和幅頻響應(yīng)特性的影響。針對慣性積導(dǎo)致光電設(shè)備減振系統(tǒng)角振動耦合的問題，建立減振系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，分析了慣性積造成的不同耦合形式，并推導(dǎo)了固有頻率的無量綱化公式，利用數(shù)值計(jì)算方法，研究慣性積對系統(tǒng)動力學(xué)特性以及幅頻響應(yīng)的影響，為光電設(shè)備質(zhì)量分布的優(yōu)化工作提供理論依據(jù)。

1 減振模型與動力學(xué)微分方程

光電設(shè)備通過被動減振器與載體柔性連接，由于光電設(shè)備的一階頻率一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于減振器的固有頻率，可將光電設(shè)備作為剛體處理。一般而言，被動減振的動力學(xué)是非線性的[11-12]。但是對于微小位移的振動，近似為線性模型能夠滿足工程需要[11]。那么，光電設(shè)備減振系統(tǒng)動力學(xué)模型可以近似為圖1所示的六自由度等效模型。

圖1 減振系統(tǒng)六自由度模型Fig.1 6-DOF model of the vibration isolation system

為了方便推導(dǎo)動力學(xué)方程及分析動力學(xué)特性，首先明確彈性中心這個概念。減振器可以看為有兩固連端的三維彈性支承，如果沿著某軸線的載荷作用在彈性支撐上，使得彈性支承兩端的移動方向和力方向保持一致，并且兩端之間只有線位移沒有角位移，那么這個軸線稱為彈性支承的彈性主軸[13]。當(dāng)一個彈性支承和剛體組成系統(tǒng)，彈性支承的三個彈性主軸的交點(diǎn)為彈性中心；當(dāng)多個彈性支承和剛體組成系統(tǒng)時，多個彈性支承的三個方向的彈性主軸交于一點(diǎn)時，該點(diǎn)為彈性中心[14]。

定義彈性坐標(biāo)系、慣性坐標(biāo)系和求解坐標(biāo)系。彈性坐標(biāo)系原點(diǎn)位于減振系統(tǒng)彈性中心，各坐標(biāo)軸與彈性主軸重合，與圖1中所示坐標(biāo)系各軸一致；慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)位于設(shè)備質(zhì)心，各坐標(biāo)軸分別對應(yīng)設(shè)備的各個中心慣性主軸。求解坐標(biāo)系原點(diǎn)為光電設(shè)備質(zhì)心，三個坐標(biāo)軸與彈性坐標(biāo)系各軸一致。

在小位移假設(shè)的條件下，阻尼對于系統(tǒng)固有頻率的影響很小可以忽略不計(jì)，推導(dǎo)出減振系統(tǒng)的六自由度無阻尼自由振動動力學(xué)方程，寫為

(1)

式(1)可以簡寫為

(2)

式(2)中:矩陣M、K分別稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，可代入系統(tǒng)的特征方程，即

|K-w2M|=0

(3)

式(3)中：w表示系統(tǒng)的固有頻率，計(jì)算得到系統(tǒng)的六階固有頻率[15]。

假設(shè)光電設(shè)備為質(zhì)量分布均勻的長方體，當(dāng)減振器安裝面通過質(zhì)心并關(guān)于質(zhì)心對稱分布時，減振系統(tǒng)的彈性中心與質(zhì)心重合，即求解坐標(biāo)系與彈性坐標(biāo)系一致。此時有kxβ=kβx=kxγ=kγx=kyγ=kγy=0；kαβ=kβα=kαγ=kγα=kβγ=kγβ=0。

在此前提下，可以分為3種情況分別談?wù)摗?/p>

(2) 彈性坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系Z軸重合，其他兩軸不重合的情況下(其他情況類似)，此時有Ixz=Izx=Iyz=Izy=0；Ixy=Iyx≠0。

系統(tǒng)α與β方向通過慣性積Ixy耦合，其余方向獨(dú)立。由于本文目的研究慣性積參數(shù)對耦合減振系統(tǒng)的影響，只討論耦合的兩個角方向，方程可以簡化為

(4)

(3) 彈性坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系的各個坐標(biāo)軸都不平行，此時有Ixz=Izx=Iyz=Izy=0；Ixy=Iyx≠0，Ixz=Izx≠0，Iyz=Izy≠0。

系統(tǒng)α、β和γ三個角方向相互耦合，其余方向獨(dú)立，耦合的三個角方向的方程為

(5)

2 慣性積對固有頻率的影響

對上述第2種情況進(jìn)行深入分析，對式(2)求解，得到系統(tǒng)的無阻尼固有頻率并進(jìn)行無量綱化處理[10]，即

(6)

當(dāng)ε取不同值時，分別畫出無量綱固有頻率關(guān)于無量綱慣性積的曲線，如圖2所示。下面分ε≠1和ε=1兩種情況進(jìn)行討論。

圖2 無量綱慣性積對無量綱固有頻率的影響Fig.2 Influence of dimensionless inertia product on dimensionless natural frequency

3 算例分析

某光電設(shè)備減振系統(tǒng)關(guān)于XOY平面對稱，分別對圖3所示三種系統(tǒng)進(jìn)行討論。

圖3 減振系統(tǒng)平面示意圖Fig.3 Simplified plane diagram of vibration isolation system

三種系統(tǒng)保持質(zhì)量相同，質(zhì)心一致，其慣性參數(shù)以及計(jì)算的無量綱慣性積列于表1。

表1 各系統(tǒng)的慣性參數(shù)Table 1 Inertial parameters of each system

減振器安裝方式及位置如圖1所示，關(guān)于質(zhì)心對稱安裝，減振器另一端與工裝件相連；四個減振器參數(shù)相同，三向等剛度，設(shè)置剛度k=1 250 N/m，設(shè)置阻尼比為0.12，減振器安裝位置參數(shù)表2所示。

表2 減振器安裝坐標(biāo)Table 2 Inertia coordinate of each isolators

根據(jù)式(2)計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率，為方便分析，將3種系統(tǒng)計(jì)算得到的模態(tài)頻率以及各自的無量綱慣性積列于表3，并計(jì)算兩階頻率的差值。

表3 系統(tǒng)固有頻率分布Table 3 Distribution of system natural frequency

減振系統(tǒng)的性能常用傳遞率來表示。對于耦合系統(tǒng)，定義角位移激勵下的位移傳遞率，表達(dá)式為

(7)

式(7)中：x為在α或者β方向產(chǎn)生的響應(yīng)；y為激勵在α或者β方向產(chǎn)生的靜態(tài)響應(yīng)。

對工裝件分別施加兩個角方向的位移正弦激勵，幅值為1，頻率范圍為0～100 Hz。利用數(shù)值計(jì)算方法，得到的系統(tǒng)的傳遞率如圖4所示。

圖4 各系統(tǒng)兩個角方向的位移傳遞率Fig.4 Displacement transmissibility in the two angular directions of each system

與無耦合系統(tǒng)相比，耦合系統(tǒng)在兩個轉(zhuǎn)動方向均出現(xiàn)峰值，因?yàn)閼T性積的存在，任一方向的激勵均會在兩個方向上產(chǎn)生響應(yīng)。耦合系統(tǒng)有兩個共振峰，一個反共振峰，這是區(qū)別無耦合系統(tǒng)的重要特征。

4 結(jié)論

本文建立了慣性積不為零的光電設(shè)備減振系統(tǒng)動力學(xué)模型，對僅存在慣性耦合的減振系統(tǒng)進(jìn)行了理論及數(shù)值分析，推導(dǎo)了系統(tǒng)固有頻率與慣性積參數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)公式，研究了系統(tǒng)動力學(xué)特性和幅頻響應(yīng)特性。在某型直升機(jī)載光電跟蹤吊艙設(shè)備中，根據(jù)直升機(jī)實(shí)際測量的激勵幅值，依據(jù)上述理論設(shè)計(jì)合適的設(shè)備慣性積分布，得到跟蹤精度0.5 mrad(均方根)的結(jié)果，圓滿完成了試驗(yàn)任務(wù)，得到如下結(jié)論。

(1) 慣性積的存在改變了系統(tǒng)動力學(xué)特性，引起對應(yīng)兩個角方向的耦合，降低了低階固有頻率，增大了高階固有頻率。

(2) 隨慣性積的增加，系統(tǒng)對應(yīng)的兩階固有頻率差值增大。減振系統(tǒng)耦合的兩個方向的固有頻率一定不相等。

(3) 針對光電設(shè)備視軸穩(wěn)定，在設(shè)備存在角振動激勵時，為光電設(shè)備減振系統(tǒng)各階的模態(tài)頻率的設(shè)計(jì)以及優(yōu)化設(shè)備慣性積分布提供了理論依據(jù)。

(4) 當(dāng)對兩個角方向同時激勵時，相較于無耦合系統(tǒng)，慣性耦合系統(tǒng)在低階模態(tài)方向的減振區(qū)傳遞率小于無耦合系統(tǒng)。