衛(wèi)安妮， 趙寧， 張志堅(jiān)

昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，昆明 650500

排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型在流水生產(chǎn)線、 交通運(yùn)輸、 計(jì)算機(jī)通信等領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注． 串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)是排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu)[1]，顧客在一個(gè)站接受服務(wù)后按照一定的規(guī)則接受下一個(gè)站的服務(wù)，研究該系統(tǒng)對(duì)深入分析復(fù)雜的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)具有重要意義．

串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的研究最早可追溯到20世紀(jì)50年代，文獻(xiàn)[2-5]研究了具有馬爾可夫性的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間等性能指標(biāo)． 隨后，關(guān)于滿足馬爾可夫性的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)得到了廣泛研究． 然而，實(shí)際生活中排隊(duì)系統(tǒng)一般不滿足馬爾可夫性，這導(dǎo)致串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的性能很難用解析的方法來求解，通常使用近似方法進(jìn)行分析． 文獻(xiàn)[6]提出了排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)分析方法(queueing network analysis，QNA)研究不滿足馬爾可夫性的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)． 文獻(xiàn)[7]利用到達(dá)過程和服務(wù)時(shí)間的一階矩和二階矩的近似提出了排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)方法(queueing network，QNET)估計(jì)顧客的平均逗留時(shí)間． 文獻(xiàn)[8]基于分解的方法使用聯(lián)合矩對(duì)MAP/MAP/1排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了分析． 文獻(xiàn)[9]同樣基于分解算法提出魯棒排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)分析器算法(robust queueing network analyzer，RQNA)近似開排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)性能． 文獻(xiàn)[10]使用固有比的方法近似串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均排隊(duì)時(shí)間． 文獻(xiàn)[11]采用指標(biāo)比研究M/G/1-G/1串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間． 文獻(xiàn)[12]提出三階近似的方法分析GI/G/1-G/1串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間． 文獻(xiàn)[13]基于泛函重對(duì)數(shù)律和重對(duì)數(shù)律極限的方法，分析GI/G/1-G/1串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)的波動(dòng)程度．

近年來，基于機(jī)器學(xué)習(xí)分析排隊(duì)系統(tǒng)引起一些學(xué)者的關(guān)注． 文獻(xiàn)[14]利用支持向量機(jī)(support vector machine，SVM)對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)中到達(dá)和服務(wù)時(shí)間的概率密度函數(shù)進(jìn)行分類和識(shí)別，并通過支持向量回歸(support vector regression，SVR)解決概率密度函數(shù)回歸的問題． 文獻(xiàn)[15]使用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法對(duì)患者的治療數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)預(yù)測(cè)的治療時(shí)間推斷其等待時(shí)間，結(jié)果表明隨機(jī)森林模型為每日治療時(shí)間提供了最佳的預(yù)測(cè)． 文獻(xiàn)[16]使用分位數(shù)、 普通最小二乘(ordinary least square，OLS)回歸以及機(jī)器學(xué)習(xí)算法對(duì)某醫(yī)院患者的平均等待時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明套索回歸(lasso regression，Lasso)和分位數(shù)回歸方法的準(zhǔn)確率更高． 文獻(xiàn)[17]使用交通模擬器對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，得到一個(gè)自適應(yīng)交通系統(tǒng)． 文獻(xiàn)[18]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)銀行排隊(duì)的等待時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)，證明機(jī)器學(xué)習(xí)是預(yù)測(cè)排隊(duì)等待時(shí)間的一種可行方法． 文獻(xiàn)[19-20]使用高斯過程回歸預(yù)測(cè)單服務(wù)器和多服務(wù)器排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的平均逗留時(shí)間．

在日常生活中，串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)廣泛存在于生產(chǎn)系統(tǒng)等領(lǐng)域． 串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)中站與站之間存在關(guān)聯(lián)性，上游站的輸出過程是下游站的輸入過程，對(duì)于不滿足馬爾可夫性的排隊(duì)系統(tǒng)，下游站的到達(dá)過程很難用解析的方法分析． 本文考慮具有兩個(gè)站的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)，其到達(dá)過程和服務(wù)時(shí)間均服從一般分布，通過模擬串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間生成訓(xùn)練集，使用機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)一般串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間，并與近似方法進(jìn)行比較．

本文結(jié)構(gòu)如下： 第1節(jié)描述了兩個(gè)站的串聯(lián)排隊(duì)模型；第2節(jié)介紹了常見的線性和非線性機(jī)器學(xué)習(xí)回歸算法；第3節(jié)利用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法預(yù)測(cè)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間；第4節(jié)將機(jī)器學(xué)習(xí)中的XGBoost算法與其他近似方法進(jìn)行比較；第5節(jié)為結(jié)論．

1 模型描述

本文研究圖1所示的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)，該系統(tǒng)由兩個(gè)站串聯(lián)而成，每個(gè)站有一個(gè)服務(wù)器，并且服務(wù)器前的緩沖區(qū)無限大． 顧客的到達(dá)過程為更新過程，顧客到達(dá)系統(tǒng)后依次在每個(gè)站接受服務(wù)，服務(wù)完成后離開系統(tǒng)． 系統(tǒng)的服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)(first come first served，F(xiàn)CFS)，每個(gè)服務(wù)器的服務(wù)時(shí)間服從一般分布．

圖1 兩個(gè)站的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)

其中E(X)和D(X)分別表示到達(dá)時(shí)間間隔的期望和方差，E(Si)和D(Si)，i=1，2分別表示第1個(gè)站和第2個(gè)站的服務(wù)器的服務(wù)時(shí)間的期望和方差． 串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)中第1個(gè)站和第2個(gè)站的服務(wù)強(qiáng)度分別記為ρ1和ρ2，且

ρ1=λaE(S1)

ρ2=λaE(S2)

令ρ=max{ρ1，ρ2}． 串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)中第1個(gè)站和第2個(gè)站的平均排隊(duì)時(shí)間分別記為W1和W2．

2 機(jī)器學(xué)習(xí)回歸算法

近年來，機(jī)器學(xué)習(xí)快速發(fā)展，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、 人工智能、 醫(yī)療保健、 排隊(duì)等領(lǐng)域． 與傳統(tǒng)回歸方法相比，機(jī)器學(xué)習(xí)能夠分析和挖掘數(shù)據(jù)中的規(guī)律，并對(duì)新的樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，適合處理復(fù)雜的回歸問題． 下面介紹機(jī)器學(xué)習(xí)中常見的回歸算法．

2.1 線性回歸模型

機(jī)器學(xué)習(xí)中常見的線性回歸模型為多元線性回歸(multiple linear regression，MLR)、 嶺回歸(ridge regression，Ridge)以及套索回歸(lasso regression，Lasso)． 線性回歸模型屬于一種監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，研究兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系． 該模型可表示為

Y=Xβ+ε

其中：X表示線性回歸模型的自變量集合，Y表示線性回歸模型的因變量，β表示偏回歸系數(shù)，ε表示模型擬合后每一個(gè)樣本的誤差項(xiàng)．

為了求解線性回歸模型的參數(shù)，將該模型的目標(biāo)函數(shù)表示為[16]

2.2 非線性回歸模型

對(duì)于比較復(fù)雜的非線性回歸模型，需要在因變量和多個(gè)自變量之間構(gòu)建復(fù)雜的非線性關(guān)系． 機(jī)器學(xué)習(xí)的非線性回歸算法主要包括K近鄰(k-nearest neighbor，KNN)、 支持向量機(jī)(support vector machine，SVM)、 決策樹(decision tree，DT)、 隨機(jī)森林(random forest，RF)、 梯度提升樹(gradient boosting decision tree，GBDT)以及極端梯度提升(extreme gradient boosting，XGBoost)算法． 本文將以上非線性回歸算法分為3類： 遞歸劃分方法、 黑箱方法和集成學(xué)習(xí)方法[22]．

遞歸劃分方法主要包括決策樹(DT)算法． 該算法按照一定的規(guī)則持續(xù)拆分?jǐn)?shù)據(jù)，每次將數(shù)據(jù)劃分為兩個(gè)相對(duì)一致的子集，直到達(dá)到目標(biāo)，從而形成樹狀結(jié)構(gòu)，直觀反映變量的重要性，但該算法結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，容易產(chǎn)生過擬合的現(xiàn)象．

黑箱方法包括K近鄰算法(KNN)以及支持向量機(jī)(SVM)算法． 這類算法的輸入到輸出過程是通過一個(gè)模糊的“箱子”進(jìn)行處理． KNN通過比較已知樣本和預(yù)測(cè)樣本的相似度，尋找最相似的k個(gè)樣本作為未知樣本的預(yù)測(cè)． 采用多重交叉驗(yàn)證法選取最佳k值． SVM利用某些支持向量構(gòu)成的“超平面”，將不同類別的樣本點(diǎn)進(jìn)行劃分，SVM算法與其他單一的算法相比，能夠?qū)⒌途S不可分的空間轉(zhuǎn)化為高維的線性可分空間，具有較高的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，但其最大的缺點(diǎn)是容易受共線性影響，運(yùn)算成本高． 這類方法對(duì)數(shù)據(jù)缺失較敏感，處理大規(guī)模數(shù)據(jù)的效率較低．

集成學(xué)習(xí)方法通過選擇某種結(jié)合策略將若干弱學(xué)習(xí)器集合起來，以得到一個(gè)預(yù)測(cè)效果較好的強(qiáng)學(xué)習(xí)器． 隨機(jī)森林(RF)、 梯度提升樹(GBDT)以及極端梯度提升(XGBoost)算法是一類以決策樹(DT)為基學(xué)習(xí)器的集成學(xué)習(xí)算法． RF采用多棵決策樹的投票機(jī)制，即將多棵樹的回歸結(jié)果進(jìn)行平均，最終得到樣本的預(yù)測(cè)值． 類似的，GBDT也是通過對(duì)多棵樹的結(jié)果進(jìn)行綜合，不同的是每棵樹是從之前所有樹的殘差中學(xué)習(xí)的，并以新樹每個(gè)葉子的信息增益來進(jìn)行最后的全局預(yù)測(cè)． XGBoost采用了隨機(jī)森林的思想，作為升級(jí)版的GBDT算法，XGBoost使用損失函數(shù)的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)作為殘差的近似值，而GBDT僅利用損失函數(shù)的一階導(dǎo)作為殘差的近似值． 集成學(xué)習(xí)方法通常優(yōu)于單一的回歸方法，但預(yù)測(cè)速度明顯下降，隨著學(xué)習(xí)器數(shù)目的增加，所需的存儲(chǔ)空間也急劇增加[23]．

通常采用線性回歸模型以及非線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要將不同模型的運(yùn)行時(shí)間成本和準(zhǔn)確率進(jìn)行對(duì)比分析，從中選擇合理的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)． 本文將準(zhǔn)確率作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，選擇較優(yōu)的模型對(duì)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)．

3 基于機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)平均等待時(shí)間

3.1 訓(xùn)練集數(shù)據(jù)

為了生成機(jī)器學(xué)習(xí)所需的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，首先對(duì)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬，得到不同參數(shù)下串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間．

表1 訓(xùn)練集的參數(shù)

對(duì)于每個(gè)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)，模擬運(yùn)行30個(gè)樣本，每個(gè)樣本取第400 001個(gè)顧客到600 000個(gè)顧客在第1個(gè)站和第2個(gè)站的等待時(shí)間的平均值分別作為第1個(gè)站和第2個(gè)站的平均等待時(shí)間，其中平均等待時(shí)間的置信水平大于95%，保證了模擬數(shù)據(jù)的可靠性．

3.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

在對(duì)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析之前，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理以滿足模型的要求． 對(duì)于等待時(shí)間非常小的數(shù)據(jù)，即使預(yù)測(cè)值只有微小的偏差，其相對(duì)誤差也會(huì)非常大，造成整體的平均誤差偏大，影響預(yù)測(cè)效果． 因此，本文選取第1個(gè)站和第2個(gè)站的平均等待時(shí)間均大于0.1的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析． 從圖2和圖3的分布來看，模擬得到的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的第1個(gè)站和第2個(gè)站的平均等待時(shí)間均呈現(xiàn)嚴(yán)重的右偏現(xiàn)象，為了滿足機(jī)器學(xué)習(xí)模型的數(shù)據(jù)要求，提高模型精度和訓(xùn)練效率，本文對(duì)第1個(gè)站的平均等待時(shí)間W1和第2個(gè)站的平均等待時(shí)間W2分別進(jìn)行對(duì)數(shù)處理，令

圖2 第1個(gè)站的平均等待時(shí)間W1及其對(duì)數(shù)變換W′1

圖3 第2個(gè)站的平均等待時(shí)間W2及其對(duì)數(shù)變換W′2

W′i=log(Wi+1)，i=1，2

計(jì)算模擬得到的數(shù)值Wi和W′i(i=1，2)的核密度如圖2，3所示． 從圖中可知經(jīng)過對(duì)數(shù)處理后，W′1的分布近似服從正態(tài)分布，W′2的右偏現(xiàn)象明顯有所緩解，W′i，i=1，2的值域均縮小到[-2，8]之間，采用W′i加快了梯度下降求最優(yōu)解的速度，即機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練的速度．

3.3 基于線性回歸模型預(yù)測(cè)平均等待時(shí)間

表2 線性回歸模型的最佳λ值

圖4 基于線性回歸模型對(duì)第1個(gè)站平均等待時(shí)間的預(yù)測(cè)

圖5 基于線性回歸模型對(duì)第2個(gè)站平均等待時(shí)間的預(yù)測(cè)

3.4 基于非線性回歸模型預(yù)測(cè)平均等待時(shí)間

下面使用非線性回歸模型對(duì)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中包括K近鄰(KNN)、 支持向量機(jī)(SVM)、 決策樹(DT)、 隨機(jī)森林(RF)、 梯度提升樹(GBDT)以及極端梯度提升(XGBoost)算法． 大多數(shù)機(jī)器學(xué)習(xí)算法都需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，參數(shù)設(shè)置不同，學(xué)習(xí)得到的模型性能往往有顯著的差異． 因此，使用非線性回歸模型對(duì)平均等待時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要對(duì)參數(shù)調(diào)優(yōu)． 為了提高參數(shù)優(yōu)化的效率，使用10重交叉驗(yàn)證的方法調(diào)整參數(shù)，并通過網(wǎng)格搜索找到最佳的參數(shù)組合． 各模型參數(shù)的范圍和最優(yōu)值如表3所示，其中參數(shù)最優(yōu)值(x1，x2)中x1和x2分別表示預(yù)測(cè)W1和W2所設(shè)定的模型參數(shù)．

表3 模型的參數(shù)范圍和最優(yōu)值

對(duì)于上述非線性回歸模型，使用最優(yōu)的參數(shù)組合對(duì)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，并對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)． 非線性回歸模型預(yù)測(cè)的第1個(gè)站和第2個(gè)站的平均等待時(shí)間及其模擬值如圖6，7所示． DT，RF，GBDT以及XGBoost算法的預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)于KNN和SVM算法，這是由于RF，GBDT和XGBoost是基于DT的集成學(xué)習(xí)算法，結(jié)合了對(duì)所有弱學(xué)習(xí)器的預(yù)測(cè)，優(yōu)于單一的學(xué)習(xí)器．

圖6 基于非線性回歸模型對(duì)第1個(gè)站平均等待時(shí)間的預(yù)測(cè)

圖7 基于非線性回歸模型對(duì)第2個(gè)站平均等待時(shí)間的預(yù)測(cè)

為了比較DT，RF，GBDT以及XGBoost算法的預(yù)測(cè)效果，將平均相對(duì)誤差r作為模型的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，4種模型的第1個(gè)站的平均等待時(shí)間的平均相對(duì)誤差分別為3.42%，2.33%，2.79%，1.60%，第2個(gè)站的平均等待時(shí)間的平均相對(duì)誤差分別為8.34%，4.13%，3.34%，1.86%． 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，DT算法對(duì)于第2個(gè)站的平均等待時(shí)間的預(yù)測(cè)效果較差，XGBoost算法對(duì)第1個(gè)站和第2個(gè)站的平均等待時(shí)間的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率分別為98.40%和98.14%，對(duì)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間的預(yù)測(cè)較優(yōu)．

4 機(jī)器學(xué)習(xí)與近似方法的比較

目前，對(duì)于到達(dá)過程為更新過程，服務(wù)時(shí)間服從一般分布的排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間的研究均采用近似方法． 文獻(xiàn)[24]研究了GI/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間． 文獻(xiàn)[6]基于文獻(xiàn)[24]的方法使用排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)分析方法(QNA)研究了具有非馬爾可夫性的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間． 基于布朗運(yùn)動(dòng)，文獻(xiàn)[7]利用一階矩和二階矩的近似方法提出了使用QNET方法估計(jì)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間．

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，下面分別對(duì)GI/G/1-G/1系統(tǒng)以及M/G/1-G/1系統(tǒng)的平均等待時(shí)間的誤差進(jìn)行比較．

對(duì)于上述串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)，分別采用Kingman方法以及本文提出的XGBoost方法對(duì)第1個(gè)站的平均等待時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)；使用QNA，QNET以及本文提出的XGBoost方法對(duì)第2個(gè)站的平均等待時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)，各種方法預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差如表4，5所示．

表4 系統(tǒng)1中兩個(gè)站的平均等待時(shí)間的相對(duì)誤差比較

由表4可知，在不同的繁忙程度下，對(duì)于第1個(gè)站的平均等待時(shí)間，XGBoost方法、 Kingman方法的平均相對(duì)誤差分別為0.43%，28.02%． Kingman方法是對(duì)平均等待時(shí)間上限的近似分析，其預(yù)測(cè)效果比XGBoost方法差．

對(duì)于第2個(gè)站的平均排隊(duì)時(shí)間，XGBoost方法、 QNA方法以及QNET方法的平均相對(duì)誤差分別為0.56%，30.49%以及19.42%． 相比于其他方法，XGBoost方法的相對(duì)誤差最小且平均誤差均小于1%． 在繁忙程度ρ較小時(shí)，顧客的平均等待時(shí)間較短，相對(duì)誤差較大． 由此可知，本文提出的XGBoost方法明顯優(yōu)于其他方法，并且在繁忙程度ρ較大時(shí)，預(yù)測(cè)效果最佳．

在M/G/1-G/1排隊(duì)系統(tǒng)中，第1個(gè)站的平均等待時(shí)間存在精確解析表達(dá)式，因此，僅對(duì)第2個(gè)站的平均等待時(shí)間的相對(duì)誤差進(jìn)行比較． QNA方法、 QNET方法均通過考慮離去過程的一階矩和二階矩來刻畫串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)中第1個(gè)站對(duì)第2個(gè)站的影響． 雖然這些方法很容易計(jì)算平均等待時(shí)間的近似值，但是其計(jì)算的精確度不高． 由表5可知，當(dāng)ρ={0.1，0.2，0.3，0.5，0.6，0.8，0.9}時(shí)，本文提出的XGBoost方法相對(duì)誤差最小，XGBoost方法、 QNA以及QNET方法的平均相對(duì)誤差分別為0.83%，4.58%以及3.55%． XGBoost方法的平均相對(duì)誤差最小，QNET方法優(yōu)于QNA方法，這是由于QNA方法在平方變異系數(shù)較大的情況下，參數(shù)分解方法的性能下降導(dǎo)致預(yù)測(cè)效果不佳[7]． 綜上所述，XGBoost方法優(yōu)于其他方法，近似效果較好，能夠比較準(zhǔn)確地計(jì)算串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間．

表5 系統(tǒng)2中第2個(gè)站的平均等待時(shí)間的相對(duì)誤差比較

5 結(jié)論

本文采用機(jī)器學(xué)習(xí)中的線性回歸算法和非線性回歸算法預(yù)測(cè)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間． 將仿真的通用性與機(jī)器學(xué)習(xí)的計(jì)算效率相結(jié)合，提高了平均等待時(shí)間預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性． 大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，XGBoost方法對(duì)平均等待時(shí)間的預(yù)測(cè)效果較好．

本文主要研究了兩個(gè)站的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)，未來可以使用該方法對(duì)其他排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行深入研究，例如具有多個(gè)服務(wù)站的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)、 具有有限緩沖區(qū)的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)、 具有批量服務(wù)的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)以及復(fù)雜的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)等．