劉楊賈林瑞崔萍

(1.山東建筑大學 熱能工程學院，山東 濟南 250101；2.香港理工大學 建筑環(huán)境及能源工程學系，香港 999077)

0 引言

在我國雙碳目標下，地熱能作為可再生能源，利用其作為建筑暖通空調(diào)系統(tǒng)的冷熱源具有節(jié)能減排的優(yōu)勢，故其規(guī)模化開發(fā)利用勢在必行。根據(jù)地熱能所處深度，一般將其分為淺層地熱能和中深層地熱能。淺層地熱能是儲存在地表至一定深度范圍內(nèi)(一般為200 m)，其溫度＜25 ℃，具有一定開發(fā)利用價值的地熱能[1]。對于淺層地熱能開發(fā)利用技術而言，地埋管換熱器埋深一般為80 ～150 m，且淺層巖土溫度通常＜20 ℃，存在可利用溫差小的缺點，因此淺層地埋管換熱器通常需要一定的占地面積來鉆孔埋管[2-4]。除此之外，淺層地熱能利用系統(tǒng)還存在由于全年冷熱負荷不平衡造成的地下冷/熱堆積問題，限制了其地域性應用范圍，尤其在寒冷地區(qū)的應用。中深層地熱能是指貯存在200～3 000 m 地層中的儲量豐富、分布廣泛、環(huán)保清潔的地熱能資源。與淺層地熱能可利用的地溫相比，中深層地埋管換熱器能利用的地溫可以達到70～90 ℃，相同取熱負荷下，所需的占地面積遠小于淺層地埋管的面積。同時，由于其較高的地溫和較大的換熱體，中深層地埋管換熱器本身具有良好的地下熱平衡性，非常適合用于寒冷地區(qū)有單獨供熱需求的建筑[5-7]。

中深層地埋管傳熱問題復雜，多數(shù)學者采用數(shù)值解分析法研究中深層地埋管換熱器傳熱問題。HOLMBERG 等[8]借助有限差分法構建循環(huán)液以及巖土節(jié)點方程，研究了循環(huán)液流向?qū)ρ用讚Q熱量的影響。FANG 等[9]利用交叉差分法構建巖土內(nèi)部節(jié)點方程，采用追趕法求解差分方程組得到巖土溫度場。對于地埋管換熱器的實際應用而言，簡捷的設計計算方法是利用直觀的循環(huán)液溫度解析解模型。PAN 等[10]和FANG 等[11]基于套管式準三維解析解模型，建立綜合考慮地溫梯度的鉆孔內(nèi)循環(huán)液傳熱解析解模型并驗證了其計算精度，該模型可在一定程度上有效提高計算效率。然而，上述解析解模型中未考慮鉆孔深度方向換熱量不均勻的真實條件。

要實現(xiàn)中深層地埋管換熱器的有效應用，關鍵是要在設計階段對系統(tǒng)的可持續(xù)換熱量進行定量計算，進而對工程開展提供有價值的參考意見和改進措施，避免造成不必要的經(jīng)濟、土地浪費等?？讖埖萚12]采用Beier 解析解法和雙重連續(xù)介質(zhì)數(shù)值模擬法評估了深井換熱技術的換熱量，發(fā)現(xiàn)無論是短期(4 個月)還是長期(30 a)每天連續(xù)從深井取熱，延米換熱功率上限均≤150 W。方亮[13]、邵珠坤[14]利用交叉差分法對套管式地埋管換熱器傳熱過程進行了數(shù)值分析，并通過“名義取熱量”評估了地埋管換熱器的換熱性能。滿意等[6]模擬研究了利用棄井開采的中深層地熱能，分析了多種因素對地埋管換熱器名義取熱量的影響，結果表明名義取熱量會隨著外管管徑和外管導熱系數(shù)的增大而增大，隨著內(nèi)管管徑和外管導熱系數(shù)的增大而減小。

傳統(tǒng)的解析解模型將地埋管換熱器分為鉆孔內(nèi)與鉆孔外兩個傳熱模型，然后以均勻的孔壁溫度為耦合溫度進行求解。其中在鉆孔外的傳熱模型中，往往將鉆孔深度方向的換熱量設定為均勻分布，對于地溫變化范圍高達30～40 ℃的中深層巖土而言，將導致較大的計算誤差。因此，文章提出的中深層地埋管換熱器解析解模型將基于變延米換熱量的真實條件，引入無限長線熱源的瞬態(tài)熱阻，建立由鉆孔內(nèi)循環(huán)液至遠端巖土的一體化傳熱模型，通過拉普拉斯變換以及溫度疊加原理，得到了中深層地埋管換熱器循環(huán)液的溫度響應解析解。一體化傳熱模型取消了傳統(tǒng)中深層地埋管換熱器模型中鉆孔壁溫均勻的假設，更加符合工程實際。為探討中深層地埋管換熱器的換熱性能，利用模型分析多個參數(shù)對地埋管換熱器最大換熱功率以及出口水溫的影響。

1 地埋管換熱器變延米換熱量模型

1.1 物理模型及其傳熱模型假設條件

在中深層地埋管換熱器中通常采用套管式地埋管，鉆孔深度一般為1 000～2 500 m。套管式換熱器采用同心埋管，攜帶能量的循環(huán)介質(zhì)從套管外管流入內(nèi)管流出，或者從內(nèi)管流入外管流出，完成與周圍巖土的熱量交換。

為了簡化中深層地埋管換熱器解析解模型及求解過程，在后續(xù)推導模型過程中采用以下假設條件:

(1)巖土熱物性參數(shù)為常量，不受溫度影響；

(2)不考慮地表邊界條件影響；

(3)不考慮鉆孔內(nèi)流體、回填材料熱容影響；

(4)忽略地下水的滲流對傳熱的影響；

(5)不考慮循環(huán)液、回填材料以及管材在深度方向上的熱傳導。

模型重點求解循環(huán)液的溫度響應。利用線性疊加原理，模型中將循環(huán)液溫度響應看作由初始地溫均勻作用下給定熱流引起的溫度響應與初始地溫梯度對循環(huán)液溫度引起的溫度響應之和。

1.2 忽略巖土地溫梯度的傳熱解析解模型

在取熱工況下，換熱器內(nèi)循環(huán)介質(zhì)最優(yōu)流動方向為外進內(nèi)出式[5，9]。模型中的熱阻示意圖如圖1所示。傳統(tǒng)模型往往將地埋管換熱器求解區(qū)域分為鉆孔內(nèi)與鉆孔外兩部分分別求解，然后在孔壁處耦合，如圖1(a)所示。文章提出的模型不再區(qū)分鉆孔內(nèi)外兩個求解區(qū)域，而是基于線熱源模型將外管流體與巖土換熱作為一個整體考慮，建立傳熱一體化模型，如圖1(b)所示。

圖1 模型中熱阻示意圖

將埋管視作無限長線熱源，鉆孔外巖土的瞬態(tài)傳熱熱阻R1(t)由式(1)表示為

式中Ei為指數(shù)積分函數(shù)；rb為鉆孔直徑，m；a為巖土熱擴散系數(shù)，m2/s；t為時間，s；ks為巖土導熱系數(shù)，W/(m·K)。

外管流體至鉆孔壁的熱阻Rp由式(2)表示為

式中ku為外管導熱系數(shù)，W/(m·K)；kg為回填材料導熱系數(shù)，W/(m·K)；ro為外管外徑，m；ri為外管內(nèi)徑，m；h為對流傳熱系數(shù)，W/(m·K)。

將外管流體至鉆孔壁的穩(wěn)態(tài)熱阻與鉆孔壁至遠端巖土的瞬態(tài)熱阻進行簡單的疊加，即可獲得流體至遠端巖土的瞬態(tài)熱阻R′11(t)，由式(3)表示為

內(nèi)外管循環(huán)液之間的熱阻R12與傳統(tǒng)模型一致，由式(4)表示為

式中ku2為內(nèi)管導熱系數(shù)，W/(m·K)；rii為內(nèi)管內(nèi)徑，m；rio為內(nèi)管外徑，m。

在求解過程中，選取遠端巖土初始溫度作為過余溫度的參考溫度，即θ ＝Tf-T0，其中T0為零初始條件下的初始地溫，該數(shù)值可取鉆孔深度方向巖土平均溫度。兩股循環(huán)介質(zhì)在橫截面中的凈傳熱量將各自與其所在軸向的對流傳熱量平衡，根據(jù)能量守恒定律以及假設條件可以得到流體能量平衡方程，由式(5)表示為

令

故內(nèi)外管溫度由式(7)表示為

邊界條件由式(8)表示為

式中M為循環(huán)液質(zhì)量流量，kg/s；c為循環(huán)液比熱容，J/(kg·K)；θf1為外管流體溫度，℃；θf2為內(nèi)管流體溫度，℃；q1(z，t)為外管每米取熱量，W/m；q2(z，t)為內(nèi)管每米取熱量，W/m；Q為鉆孔總?cè)崃?，W；H為鉆孔深度，m；z為深度坐標，m。

對式(5)進行關于z的拉普拉斯變換，結合式(6)以及邊界條件(8)，拉普拉斯變換后得到內(nèi)外管循環(huán)水溫度公式，由式(9)表示為

其中，

根據(jù)式(6)，延米換熱量q1(z，t)、q2(z，t)由式(14)和(15)表示為

總?cè)崃縌與q1(z，t)、q2(z，t)之間關系由式(16)表示為

1.3 考慮地溫梯度的解析解模型

對于淺層埋管而言，地溫梯度影響較小，但對于中深層地埋管而言，地溫梯度則不可忽視[15]。假設巖土初始地溫梯度為初始時刻的熱源，并將巖土視為半無限大物體，即z＝0 的表面，始終維持恒定溫度T0。假設地溫梯度為ΔT，則巖土初始過余溫度為θg(z)＝ΔT·z。則初始地溫作為假想的虛擬熱源所引起的溫度響應可由式(7)表示為

該問題的初始條件由式(18)表示為

所以地溫梯度對巖土體的溫度響應可由式(19)表示為

式中z′為積分坐標。

基于巖土體溫度響應已知，即假設鉆孔壁溫已知，在計算地溫梯度對鉆孔內(nèi)循環(huán)液溫度響應時，可將鉆孔內(nèi)及循環(huán)液簡化為均勻的回填材料，則鉆孔內(nèi)回填材料傳熱由式(20)表示為

該問題的邊界條件由式(21)表示為

運用分離變量法求解得式(22)

式中Δθ1(r，z)、Δθ2(r，z)分別由式(23)和(24)表示為

式中βm、μm均為特征值；Jn(x)、In(x)為n階貝塞爾函數(shù)。

故考慮地溫梯度影響下的循環(huán)液溫度由式(25)表示為

2 模型驗證對比

為驗證解析解模型的有效性，利用FANG 等[9]建立的數(shù)值模型進行驗證。用于模型驗證的基本參數(shù)見表1。

表1 基本參數(shù)表

連續(xù)2 880 h 從巖土提取熱量150 kW，數(shù)值解及解析解計算所得的循環(huán)液進出口溫度隨時間的變化曲線如圖2 所示。可以看到，循環(huán)液外進內(nèi)出取熱時，解析解模型計算得到的溫度與數(shù)值解模型計算的結果具有相同的變化趨勢，計算結果吻合較好。運行2 880 h 后，循環(huán)液進出口溫度誤差分別為0.72%、0.55%。因此，該解析解模型可有效預測中深層地埋管換熱器中循環(huán)液的溫度分布。

圖2 循環(huán)液溫度隨時間的變化曲線圖

3 影響因素分析

3.1 最大換熱功率

以“最大換熱功率”來衡量中深層地埋管換熱器換熱性能。根據(jù)文獻[5]和[13]規(guī)定的最大名義取熱量，地埋管進口溫度在取熱期間不得＜5 ℃，此時達到最大換熱功率。

以表1 基本參數(shù)為例，利用上述解析解模型反復試算求得，當恒定取熱為225.5 kW 時，2 000 m 鉆孔深度連續(xù)運行2 880 h，地埋管進、出口水溫分別為5.00、9.45 ℃，所以該工況下2 000 m 鉆孔深度的換熱器最大換熱功率為225.5 kW，每米鉆孔最大換熱功率為112.75 W/m。流體進出口溫度隨時間的變化如圖3 所示。

圖3 不同時刻地埋管進出口水溫隨時間變化曲線圖

3.2 鉆孔深度的影響

保持基本參數(shù)不變，改變鉆孔深度，不同鉆孔深度地埋管換熱器的最大換熱功率如圖4 所示?？梢缘贸?，隨著鉆孔深度的不斷增加，地埋管換熱器的最大換熱功率也隨之增加。這是因為在地溫梯度的影響下，隨著鉆孔深度增加，巖土的平均溫度隨之升高，地埋管換熱器單位長度的換熱溫差逐漸增大，即地埋管的最大換熱功率也隨之增加。在基本工況下，當鉆孔深度為1 000～2 000 m 時，鉆孔每米最大換熱功率范圍為72～113 W/m。

圖4 不同鉆孔深度地埋管換熱器最大換熱功率圖

以每米鉆孔恒定換熱功率為50 W/m 從鉆孔取熱，地埋管出口水溫隨時間的變化曲線如圖5(a)所示，當鉆孔深度分別為1 000、1 200、1 400、1 600、1 800、2 000 m 時，運行2 880 h 后地埋管出水端溫度較最初時刻分別下降了11.85、11.65、11.26、10.66、9.85、8.83 ℃，這說明當每米鉆孔換熱功率一定時，鉆孔深度對地埋管出水溫降影響不大。以鉆孔總恒定換熱量100 kW 從巖土層取熱時，地埋管出口水溫隨時間的變化曲線如圖5(b)所示，地埋管出水溫降會隨著鉆孔深度的增大(即每米換熱功率減小)而逐漸減小。同時，隨著深度的增大地埋管出口水溫雖逐漸提升，但這種提升的幅度逐漸趨緩。

圖5 不同鉆孔深度下地埋管出口水溫隨時間的變化曲線圖

當換熱功率恒定時，深度每增加200 m，相應的地埋管出口水溫升高約2.9 ℃，即等幅度改變鉆孔深度時，地埋管出口水溫也近似等幅改變，這說明在每米換熱功率恒定時鉆孔深度與地埋管出口水溫近似呈線性影響關系，如圖6 所示。

圖6 恒定換熱功率下不同深度對應的地埋管出口水溫圖

3.3 地溫梯度的影響

地溫梯度主要受地質(zhì)構造等因素影響。不同地區(qū)地質(zhì)情況不同，地溫梯度也有一定的差異，由于地溫梯度是影響地埋管換熱器換熱效率的重要因素，因此有必要對其影響程度進行量化分析。以表1 基本參數(shù)為例，不同鉆孔深度下，不同地溫梯度對應的最大換熱功率如圖7 所示。隨著巖土地溫梯度的不斷增加，中深層地埋管換熱器的最大換熱功率不斷增大。當?shù)販靥荻葹?.02 ℃/m、鉆孔深度為1 000 m時，地埋管換熱器最大換熱功率僅為57 W/m，當?shù)販靥荻葹?.04 ℃/m、鉆孔深度為2 000 m 時，地埋管換熱器最大換熱功率可達148 W/m，約為前者的2.6 倍。由此可見，地溫梯度對地埋管換熱效率的影響不可忽視。當?shù)販靥荻葹?.020 ～0.040 ℃/m，1 000～2 000 m 地埋管換熱器的最大換熱功率范圍約為57～148 W/m。

圖7 不同鉆孔深度下地埋管最大換熱功率與地溫梯度的關系曲線圖

當?shù)販靥荻葹?.020 ℃/m、鉆孔深度為2 000 m時，地埋管換熱器所對應的地埋管最大換熱功率與地溫梯度為0.030 ℃/m、鉆孔深度為1 200 m 及地溫梯度為0.035 ℃/m、鉆孔深度為1 000 m 的地埋管換熱器所對應的最大換熱功率相近，因此在獲取相同最大換熱功率的條件下選擇較大巖土地溫梯度的地區(qū)可以大大縮短鉆孔深度從而減小初投資。

以基本工況為例，連續(xù)120 d 以恒定75 W/m換熱功率從巖土取熱，不同地溫梯度的地埋管出口水溫隨時間的變化如圖8 所示。

圖8 不同地溫梯度下地埋管出口水溫隨時間的變化曲線圖

當?shù)販靥荻纫?.005 ℃/m的步長依次增大時，地埋管出口水溫依次升高約5 ℃，即在等步長改變地溫梯度的情況下，地埋管出口水溫也近似等幅度改變，這說明地埋管出口水溫與地溫梯度近似呈現(xiàn)正比的關系，地溫梯度較大工況下地埋管出口水溫明顯高于地溫梯度較小的工況。這是因為地溫梯度的改變直接影響了巖土溫度，進而影響地埋管與周圍巖土之間的換熱。相同條件下，地溫梯度為0.04 ℃/m時的地埋管出口水溫約為地溫梯度為0.02 ℃/m 時的3 倍，由此可見，地溫梯度變化對地埋管出口水溫的影響比較明顯。

3.4 巖土導熱系數(shù)的影響

在對地埋管換熱性能影響參數(shù)的考量中，不同巖土導熱系數(shù)對整個地埋管系統(tǒng)換熱性能的影響也不容忽視。以表1 基本參數(shù)為例，不同鉆孔深度下，地埋管換熱器最大換熱功率與巖土導熱系數(shù)的關系曲線如圖9 所示。隨著巖土導熱系數(shù)的增大，中深層地埋管換熱器的最大換熱功率也隨之增大。這是因為增大巖土導熱系數(shù)相當于增強了巖土與地埋管之間的換熱效果，地埋管最大換熱功率與巖土導熱系數(shù)呈正相關影響關系。同樣，在巖土導熱系數(shù)相同的條件下，2 000 m 鉆孔深度的地埋管換熱器最大換熱功率約為1 000 m 深度地埋管換熱器最大換熱功率的1.5 倍。在巖土導熱系數(shù)范圍為1.5 ～3.0 W/(m·k)時，1 000～2 000 m 鉆孔深度的地埋管換熱器最大換熱功率范圍約為53～130 W/m。

圖9 不同鉆孔深度下地埋管換熱器最大換熱功率與巖土導熱系數(shù)的關系曲線圖

以基本工況為例，連續(xù)120 d 恒定換熱功率50 W/m從巖土取熱，改變巖土導熱系數(shù)，地埋管出口水溫隨時間的變化如圖10 所示。

圖10 不同巖土導熱系數(shù)下地埋管出口水溫隨時間的變化曲線圖

巖土導熱系數(shù)越大，地埋管出口水溫越高。但隨著巖土導熱系數(shù)的增大，地埋管出水溫度升高的幅度逐漸緩慢。因此，準確獲取鉆孔周圍巖土導熱系數(shù)對評價地埋管換熱效果而言十分關鍵。

3.5 質(zhì)量流量的影響

循環(huán)液質(zhì)量流量也是地源熱泵研究及設計過程中的一個重要參數(shù)。不同質(zhì)量流量對地埋管換熱器最大換熱功率的影響如圖11 所示。可以看出，地埋管換熱器最大換熱功率隨循環(huán)水流量的增大而增大，但增大的趨勢越來越慢。質(zhì)量流量由8 kg/s 增加到10 kg/s，地埋管換熱器的最大換熱功率提升了約8.6%，而質(zhì)量流量由14 kg/s 增加到16 kg/s 時，最大換熱功率僅提升2.4%。在質(zhì)量流量為8 ～16 kg/s范圍內(nèi)，2 000 m 鉆孔深度的地埋管換熱器最大換熱功率約為101～123 W/m。

圖11 不同質(zhì)量流量下2 000 m 鉆孔深度地埋管最大換熱功率圖

恒定取熱功率為100 W/m 時，不同質(zhì)量流量條件下，地埋管出口水溫隨時間的變化如圖12 所示。質(zhì)量流量由14 kg/s 增加到16 kg/s，地埋管出口水溫僅提升了0.29 ℃，因此，當流量達到一定程度時，地埋管出口水溫受質(zhì)量流量的影響相對較小。

圖12 不同質(zhì)量流量下地埋管出口水溫隨時間的變化曲線圖

4 結論

文章建立了中深層地埋管變延米換熱量解析解模型，并利用該模型分析了不同鉆孔深度、地溫梯度、巖土導熱系數(shù)以及質(zhì)量流量對地埋管換熱器最大換熱功率、出口水溫的影響，主要結論如下:

(1)隨著鉆孔深度不斷增加，地埋管換熱器最大換熱功率隨之增加，在基本工況下，鉆孔深度1 000～2 000 m 時的地埋管換熱器最大換熱功率約為72～113 W/m。恒定取熱量時鉆孔深度對循環(huán)液出口溫度的影響較大，但循環(huán)液出口溫度隨鉆孔深度增加而增大的速率減緩。

(2)地溫梯度對中深層地埋管換熱器最大換熱功率的影響較大，地溫梯度越大地埋管換熱器最大換熱功率越大。在地溫梯度為0.02 ～0.04 ℃/m 時，1 000～2 000 m 鉆孔深度的地埋管換熱器最大換熱功率約為57 ～148 W/m。地溫梯度對地埋管出口水溫的影響近似呈現(xiàn)線性影響關系。

(3)地埋管最大換熱功率與巖土導熱系數(shù)呈正相關影響關系。當巖土導熱系數(shù)從1.5 W/(m·k)增加到3.0 W/(m·k)時，鉆孔深度為1 000 ～2 000 m時，地埋管換熱器最大換熱功率可從53 W/m 增加至130 W/m。這說明巖土導熱系數(shù)對地埋管出口水溫影響較為顯著。

(4)地埋管換熱器最大換熱功率隨循環(huán)水流量的增加而增加，但增加的趨勢逐漸減緩。相比于其他影響因素，質(zhì)量流量對地埋管最大換熱功率的影響較小，在質(zhì)量流量為8～16 kg/s 的范圍內(nèi)，2 000 m 鉆孔的地埋管換熱器最大換熱功率約為101～123 W/m。