李禹平，朱永忠

(河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 211100)

統(tǒng)計(jì)過程控制(Statistical Process Control , SPC)在現(xiàn)如今質(zhì)量監(jiān)測行業(yè)中扮演著重要的角色，是一種應(yīng)用廣泛的質(zhì)量控制手段。應(yīng)用SPC對生產(chǎn)過程進(jìn)行控制最有效的一種形式就是通過繪制控制圖來進(jìn)行監(jiān)測。常見的一元質(zhì)量控制圖有休哈特控制圖、Page(1961)[1]提出的累積和(Cumulation Sum，CUSUM)控制圖、Roberts(1959)[2]提出的指數(shù)加權(quán)移動平均(Exponentially Weighted Moving Average，EWMA)控制圖等。上述提到的控制圖都是針對一元的情況，只能針對一種質(zhì)量特性進(jìn)行監(jiān)控。而隨著社會生活的發(fā)展，在生產(chǎn)行業(yè)中需要監(jiān)控的指標(biāo)或者質(zhì)量特性也越來越多，因此多元控制圖也應(yīng)運(yùn)而生。相應(yīng)地在一元控制圖的基礎(chǔ)上人們提出了針對多元情況的控制圖。例如：Hotelling(1947)[3]提出了多元休哈特控制圖、Lowry(1992)[4]提出了多元指數(shù)加權(quán)移動平均(Multivariate Exponentially Weighted Moving Average,MEWMA)控制圖、Crosier(1988)[5]提出了多元累積和(Multivariate Cumulation Sum, MCUSUM)控制圖。Shamm等(1992)[6]提出了雙指數(shù)加權(quán)移動平均(Double Exponentially Weighted Moving Average ,DEWMA)控制圖，提高了EWMA控制圖對于數(shù)據(jù)發(fā)生小偏差時(shí)的檢測能力。Haq (2017)[7]提出了混合指數(shù)加權(quán)移動平均(Hybrid Exponentially Weighted Moving Average， HEWMA)控制圖，但其本質(zhì)與DEWMA控制圖并無較大差別。Abbass等(2018)[8]提出了一種新型一元記憶型控制圖,稱為均勻加權(quán)移動平均(Homogeneously Weighted Moving Average ，HWMA)控制圖,這種控制圖與之前的EWMA控制圖的不同點(diǎn)是采用確定當(dāng)前時(shí)刻對應(yīng)數(shù)值的權(quán)重，將剩余權(quán)重平均分配給之前所有時(shí)刻對應(yīng)的數(shù)值的方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，HWMA控制圖相比傳統(tǒng)的一元記憶型控制圖對于過程均值的變化更加敏感。Abid等(2020)[9]在Abbas提出的HWMA記憶型控制圖的基礎(chǔ)上提出了雙均勻加權(quán)移動平均(Double Homogeneously Weighted Moving Average, DHWMA)記憶型控制圖，但是其主要結(jié)構(gòu)與之前的HWMA記憶型控制圖并無本質(zhì)變化，只是平滑系數(shù)由λ變成了λ2。Adeoti(2020)[10]提出了混合均勻加權(quán)移動平均(Hybrid Homogeneously Weighted Moving Average ，HHWMA)控制圖，但是在Vasileios等(2021)[11]提出的一種拓展的雙均勻加權(quán)移動平均(Double Homogeneously Weighted Moving Average, DHWMA)記憶型控制圖的文章中指出HHWMA控制圖統(tǒng)計(jì)量的方差是不正確的。而Vasileios等提出的DHWMA記憶型控制圖的主要結(jié)構(gòu)是通過模仿Shamm等(1992)[6]提出DEWMA控制圖的構(gòu)造過程而得到的，對于控制過程中小幅度的數(shù)據(jù)偏差的檢測效果比之前提出的HWMA控制圖、DEWMA控制圖以及DHWMA控制圖有很大提高。而在多元控制圖中，HWMA控制圖的多元形式已被提出，即多元HWMA控制圖，其性能較之前已有的控制圖有了很大提高。而DHWMA控制圖的多元形式還沒有被提出。

因此本文旨在提高多元控制圖對于過程均值變化的檢測能力，在Vasileios提出的DHWMA基礎(chǔ)上，參照Adegoke等(2019)12]開發(fā)多元HWMA控制圖和Alkahtani等(2012)[13]開發(fā)雙多元指數(shù)加權(quán)移動平均(Double Multivariate Exponentially Weighted Moving Average，DMEWMA)控制圖的思想，將其拓展成多元的形式，稱為雙多元均勻加權(quán)移動平均(Double Multivariate Homogeneously Weighted Moving Average ，DMHWMA)控制圖。對于過程中均值變化的監(jiān)測效果，DMHWMA控制圖相比之前存在的多元EWMA控制圖、多元CUSUM控制圖、多元HWMA控制圖有很大提高。

1 DMHWMA控制圖

假設(shè)有m個(gè)p維隨機(jī)變量X1,X2,…,Xm且服從均值為μ0，協(xié)方差為∑0的p維正態(tài)分布。本文監(jiān)測變量過程均值的變化情況。

1.1 MHWMA控制圖的主要表達(dá)式

MHWMA控制圖的主要結(jié)構(gòu)：

(1)

本文假定平滑系數(shù)矩陣對角線上的元素滿足ω1=ω2=…=ωp=ω，則表達(dá)式(1)可寫成如下形式：

1.2 DMHWMA控制圖的主要表達(dá)式

1.2.1 主要結(jié)構(gòu)

在MHWMA控制圖的基礎(chǔ)上，本文提出了DMHWMA記憶型控制圖(樣本容量n=1)，其主要結(jié)構(gòu)為：

(2)

本文假定平滑系數(shù)矩陣對角線上的元素滿足ω1=ω2=…=ωp=ω，則表達(dá)式(2)可寫成如下形式：

(3)

1.2.2 表達(dá)式推導(dǎo)證明過程

DHi表達(dá)式與其協(xié)方差的表達(dá)式推導(dǎo)過程如下：

(1)i=1時(shí)，

E(DH1)=E(ω2X1+(1-ω2)μ0)=ω2E(X1)+(1-ω2)μ0=μ0

∑DH1=Var(DH1)=Var(ω2X1+(1-ω2)μ0)=ω4∑0

(2)i=2時(shí)，

E(DH2)=ω2E(X2)+2ω(1-ω)E(X1)+(1-ω)2μ0=μ0

∑DH2=Var(DH2)=Var(ω2X2+2ω(1-ω)X1+(1-ω)2μ0) =ω2(ω2+4(1-ω)2)∑0

(3)i>2時(shí)，

同理可驗(yàn)證

E(DHi)=μ0

因此統(tǒng)計(jì)量DHi的表達(dá)式如下:

對于i時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)量DHi的協(xié)方差矩陣表達(dá)式如下：

1.2.3 方向不變性

DMHWMA控制圖具有方向不變性，DMHWMA控制圖的平均運(yùn)行長度特性只與偏移系數(shù)δ有關(guān)[3]-[4]，其中，其主要證明過程如下：

假設(shè)M是一個(gè)p×p的滿秩矩陣，且有DH*=MDH。

(1)i=1時(shí)，

(2)i=2時(shí)同理可得。

(3)i>2時(shí)：

1.3 幾種特殊情況

1.3.1 若ω=1

此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量DHi=Xi，統(tǒng)計(jì)量∑DHi=∑0，DMHWMA記憶型控制圖就變成了之前的記憶型χ2控制圖，因此在ω=1時(shí)，采用DMHWMA控制圖和采用記憶型MHWMA控制圖對生產(chǎn)過程的監(jiān)控效果一致。

1.3.2 若p=1

DHi的表達(dá)式：

1.3.3 若n>1

統(tǒng)計(jì)量DHi的表達(dá)式中Xi需要用i時(shí)刻得到的一組內(nèi)n個(gè)樣本觀察值的平均值代替，并且∑DHi的表達(dá)式更改為：

2 模擬對比分析

衡量一個(gè)控制圖監(jiān)控性能的好壞有許多種方法。其中最常用的就是用平均運(yùn)行長度(ARL)這一特性來進(jìn)行衡量。ARL指的是控制圖首次發(fā)出失控信號而必須采集的樣本數(shù)量集，一般地，稱過程處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的ARL為ARL0，過程處于失控狀態(tài)時(shí)的ARL為ARL1。在控制圖檢測過程中，我們希望過程處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，ARL0越大越好，過程失控時(shí)，ARL1越小越好。

本文采用R軟件運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法對滿足多元正態(tài)分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行抽樣，隨機(jī)模擬10000次，在控制ARL0為200的前提下計(jì)算本文提出的DMHWMA控制圖與現(xiàn)有的多元控制圖的ARL1，模擬結(jié)果如下：

表1 已知μ0和∑0,ARL0為200時(shí) DMHWMA控制圖的ARL

表2 μ0和∑0,ARL0為200時(shí)MHWMA控制圖的ARL

表3 已知μ0和∑0，ARL0為200時(shí)MEWMA控制圖的ARL

表4 已知μ0和∑0，ARL0為200時(shí)MCUSUM控制圖的ARL

將p=2和p=5以上表格中各個(gè)控制圖在δ取不同值時(shí)最小的ARL(即表1至表4中加粗的數(shù)字)取對數(shù)繪制曲線如圖1、圖2所示。

由表1至表4及圖1、圖2可知，

(1)固定ω值，δ越大，各個(gè)控制圖對應(yīng)的ARL1越小。

(2)固定某一δ。若δ值相對較小，則ω越小，控制圖的監(jiān)測敏感度越強(qiáng)。若δ值相對較大，則ω越大，控制圖的監(jiān)測敏感度越強(qiáng)。

(3)通過圖1、圖2以及對比上述表格中各個(gè)控制圖對于不同程度的偏移的平均運(yùn)行長度數(shù)值，可知不論是二維變量還是五維變量下過程均值發(fā)生哪種程度的偏移，DMHWMA控制圖ARL的數(shù)值都是最小的。

圖1 p=2時(shí)DMHWMA、MHWMA、MEWMA、MCUSUM控制圖在不同程度偏移下最優(yōu)ARL對比

圖2 p=5時(shí)DMHWMA、MHWMA、MEWMA、MCUSUM 控制圖在不同程度偏移下最優(yōu)ARL對比

3 實(shí)證分析

本文使用文獻(xiàn)[14]的雙金屬恒溫?cái)?shù)據(jù)集，此數(shù)據(jù)集包含每個(gè)雙金屬恒溫(黃銅和鋼)的偏轉(zhuǎn)、曲率、電阻率和硬度、低膨脹面和高膨脹面共5個(gè)屬性的數(shù)據(jù)。第一階段的過程數(shù)據(jù)樣本量為m=28，且p=5。通過參考第一階段過程的歷史樣本，運(yùn)用傳統(tǒng)無偏估計(jì)方法估計(jì)出了過程參數(shù)μ0和∑0。

DMHWMA(ω=0.2，h=10.74)

MHWMA(ω=0.2，h=17.05)

MEWMA(ω=0.2,h=16.30)

MCUSUM(k=0.25，h=15.25)

上述參數(shù)來源于表1至表4，以控制本例一期數(shù)據(jù)集的ARL0為200。二期數(shù)據(jù)各個(gè)控制圖監(jiān)控情況如圖3至圖6所示：

從圖3到圖6，對于二期數(shù)據(jù)的20個(gè)失控樣本，其中DMHWMA控制圖在第3個(gè)樣本之后開始發(fā)出警報(bào)，MHWMA控制圖在第6個(gè)樣本之后開始發(fā)出警報(bào)，MEWMA控制圖在第11個(gè)樣本之后開始發(fā)出警報(bào),而MCUSUM控制圖在第18個(gè)樣本后才發(fā)出警報(bào)。因此，從實(shí)例可以看出對于小偏差的失控?cái)?shù)據(jù)DMHWMA控制圖的檢測效果要優(yōu)于現(xiàn)有的MEWMA控制圖、MHWMA控制圖與MCUSUM控制圖。

圖3 DMHWMA控制圖

圖4 MHWMA控制圖

圖5 MEWMA控制圖

圖6 MCUSUM控制圖

4 結(jié) 論

提出了一個(gè)用于監(jiān)測過程均值變化的雙多元均勻加權(quán)移動平均控制圖。運(yùn)用蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)與MEWMA控制圖、MHWMA控制圖、MCUSUM控制圖比較監(jiān)測性能，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對于過程均值不同幅度的變化，DMHWMA控制圖的檢測效果都要優(yōu)于其他控制圖，特別是對于小幅度的偏移，DMHWMA控制圖的監(jiān)測效果優(yōu)越性更加明顯。并且使用一個(gè)實(shí)例數(shù)據(jù)驗(yàn)證了上述結(jié)論的正確性。因此，在監(jiān)測多變量均值變化時(shí)，建議使用DMHWMA控制圖進(jìn)行監(jiān)控。