陳春濤|廣東省中山市華僑中學(xué)

融通，即融會(huì)貫通，“融”是過(guò)程，“通”是效果.從“教”的角度而言，教師需要圓融理解知識(shí)，并精心預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而讓復(fù)雜的問(wèn)題變簡(jiǎn)單、讓零亂的思維成系統(tǒng)，達(dá)到把厚書(shū)讀薄的目的.從“學(xué)”的角度而言，學(xué)生需要深度參與、積極思考、多方聯(lián)系，將簡(jiǎn)單問(wèn)題拓展開(kāi)來(lái)，創(chuàng)新研究，用系統(tǒng)的思維解決千變?nèi)f化的問(wèn)題，達(dá)到把書(shū)重新讀厚的目的.這種“教師的厚→學(xué)生的薄→學(xué)生的厚”，就是以融通的方法達(dá)到至簡(jiǎn)效果的過(guò)程.

至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)主張“讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生學(xué)得不簡(jiǎn)單”[1].復(fù)習(xí)課既需要把書(shū)讀薄，讓學(xué)生完成對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的消化吸收，又需要把書(shū)讀厚，從數(shù)學(xué)思想方法的歸納、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)等方面讓學(xué)生的積累變得更豐厚.它是知識(shí)融合的主陣地.以下，筆者以人教版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)（以下簡(jiǎn)稱“教材”）幾個(gè)不同章節(jié)的復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾螢閷W(xué)生創(chuàng)設(shè)融通學(xué)習(xí)環(huán)境，以達(dá)到至簡(jiǎn)效果的實(shí)施路徑.

一、融通學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)

知識(shí)融通理解的程度取決于能把新知識(shí)與多少舊知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái).對(duì)同一知識(shí)背景，一個(gè)人在頭腦中建立的連接越多，他對(duì)這一知識(shí)的掌握就會(huì)越扎實(shí)，運(yùn)用也會(huì)越熟練，并且在建立知識(shí)連接的過(guò)程中，對(duì)相關(guān)聯(lián)知識(shí)的理解也會(huì)越深刻.復(fù)習(xí)課中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)要復(fù)習(xí)的知識(shí)與技能，也積累了許多經(jīng)驗(yàn)，只是比較散亂，部分細(xì)節(jié)有所遺忘.因此，教師應(yīng)立足于查漏補(bǔ)缺，幫助學(xué)生串點(diǎn)成線.這就要求承載復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的題組要少而精.

以教材第十章“統(tǒng)計(jì)調(diào)查”的復(fù)習(xí)為例，教師可設(shè)計(jì)如下選擇題.

小明想調(diào)查七年級(jí)學(xué)生的身高情況，他選取了七年級(jí)1班作為樣本.以下認(rèn)識(shí)正確的是（ ）

A.調(diào)查表中需要設(shè)計(jì)班級(jí)、學(xué)號(hào)、姓名、性別、家庭住址、身高、電話號(hào)碼等項(xiàng)目

B.被調(diào)查的七年級(jí)1班學(xué)生是樣本

C.七年級(jí)1班共60人，身高在160~165cm的學(xué)生共13 人，占樣本的比例約為21.7%，由此可得出其對(duì)應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角度數(shù)約為78.12°

D.七年級(jí)1 班身高的最大值為175cm，最小值為150cm，畫(huà)頻數(shù)分布直方圖時(shí)，確定組距為5cm，則正好可分為5組

E.畫(huà)頻數(shù)分布直方圖時(shí)，身高在160~165cm的學(xué)生共13人，則畫(huà)出來(lái)的小長(zhǎng)方形面積代表頻數(shù)13

上述問(wèn)題分別對(duì)應(yīng)學(xué)生的以下認(rèn)識(shí)疑點(diǎn)：1.如何針對(duì)需要統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容設(shè)計(jì)一份問(wèn)卷表？2.在抽樣調(diào)查的過(guò)程中，什么是總體、樣本、個(gè)體（即到底是應(yīng)該回答對(duì)象還是對(duì)象的屬性）？3.畫(huà)扇形圖時(shí)如何計(jì)算圓心角的度數(shù)（樣本容量設(shè)計(jì)為50、100 這類(lèi)數(shù)據(jù)時(shí)，計(jì)算出來(lái)的頻率為有限小數(shù)，圓心角度數(shù)為有理數(shù)；但若將樣本容量設(shè)計(jì)為60，仍如此計(jì)算，就會(huì)因計(jì)算出來(lái)的頻率為無(wú)限小數(shù)，從而出現(xiàn)偏差）？4.畫(huà)頻數(shù)分布直方圖時(shí)，如何合理設(shè)置組距與組數(shù)？5.畫(huà)頻數(shù)分布直方圖時(shí)，對(duì)縱軸所表示含義的理解（縱軸表示的應(yīng)是，即小矩形面積對(duì)應(yīng)的才是頻數(shù)，只是因?yàn)樗?huà)出的小矩形是等距的，故小矩形面積之比與高之比相同，因此往往將縱軸直接用頻數(shù)表示）.

上述設(shè)計(jì)按照章節(jié)順序復(fù)習(xí)了學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，教師在講解點(diǎn)評(píng)時(shí)，可順勢(shì)串聯(lián)起該章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)：統(tǒng)計(jì)調(diào)查的主要過(guò)程，如何收集數(shù)據(jù)，用劃記法整理數(shù)據(jù)，全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)知識(shí)，描述數(shù)據(jù)時(shí)四種統(tǒng)計(jì)圖各自的適用范圍，扇形圖、頻數(shù)分布直方圖的畫(huà)法等.

基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能是淺層次的復(fù)習(xí)內(nèi)容，主要是梳理結(jié)構(gòu)和回顧知識(shí)要點(diǎn).因此對(duì)應(yīng)的例題應(yīng)該既精簡(jiǎn)又全面，即通過(guò)改善教師的教，把復(fù)雜的東西講簡(jiǎn)單，把雜亂的東西理清楚，以達(dá)到“讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)”的目的.

二、融通教學(xué)流程，讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)

至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)主張?jiān)跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，聚焦一個(gè)對(duì)象、遵循一個(gè)原則、解決一個(gè)問(wèn)題.學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，往往是因?yàn)榻處熢谡n堂中設(shè)置了大量毫無(wú)關(guān)聯(lián)的練習(xí)，沒(méi)有對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容形成聚焦.而學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難情緒，則往往源自于問(wèn)題的梯度設(shè)置過(guò)大，學(xué)生跳一跳仍無(wú)法達(dá)到其認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū).教師如果能設(shè)置統(tǒng)一的問(wèn)題情境，從一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，在已知與未知之間搭建適當(dāng)?shù)哪_手架，作好鋪墊，讓學(xué)生逐步解決問(wèn)題，就可以融通教學(xué)流程，讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué).

在教材的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，適合學(xué)生解決的實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，可以通過(guò)二元一次方程的整數(shù)解、二元一次方程組、一元一次方程、不等式（組）等多種途徑解決.這種將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程就是數(shù)學(xué)抽象，而合理分析抽象后的數(shù)學(xué)問(wèn)題、選擇合適模型去解決問(wèn)題的過(guò)程，就是數(shù)學(xué)建模.解法屬于基本技能，既可借助數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)解決，又可借助工具解決，不應(yīng)該是章節(jié)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn).

基于這一認(rèn)識(shí)，筆者在“二元一次方程組”的章節(jié)復(fù)習(xí)中，以某一方程組為核心，添加實(shí)際情境或數(shù)學(xué)情境，設(shè)置“一意性”的問(wèn)題串，整合整章節(jié)內(nèi)容.

（1）已知落地風(fēng)扇200 元/臺(tái)，水冷風(fēng)扇300 元/臺(tái)，小明買(mǎi)了若干臺(tái)風(fēng)扇，一共用了2000元，則兩種風(fēng)扇他各買(mǎi)了多少臺(tái)？

（2）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得小明只有唯一的購(gòu)買(mǎi)方案，并根據(jù)你添加的條件，求出答案.

【設(shè)計(jì)意圖】第一，從基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能層面而言，此情境素材可用于復(fù)習(xí)二元一次方程（組）的概念、二元一次方程的整數(shù)解以及解二元一次方程組的基本方法.第二，對(duì)于200x+300y=2000，應(yīng)該先化簡(jiǎn)為2x+3y=20，再進(jìn)行后續(xù)運(yùn)算，這種化繁為簡(jiǎn)的意識(shí)正是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的體現(xiàn).第三，從數(shù)學(xué)思想方法層面而言，開(kāi)放型問(wèn)題更能培養(yǎng)學(xué)生的抽象與建模素養(yǎng).這一例題，從總價(jià)的角度可得到一個(gè)等量關(guān)系，另一個(gè)等量關(guān)系則可從其他角度來(lái)設(shè)置，例如總數(shù)量、總利潤(rùn)等，具有很強(qiáng)的擴(kuò)展性，但其核心是找到兩個(gè)不同的等量關(guān)系，并用合適的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).二元一次方程組就是將兩個(gè)不同的數(shù)量關(guān)系抽象化的結(jié)果.

【設(shè)計(jì)意圖】這一問(wèn)題是從純數(shù)學(xué)情境的角度，抽象出方程組模型，還附帶有對(duì)非負(fù)數(shù)性質(zhì)的理解.此外，將原方程的系數(shù)同除200后，出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，這加大了運(yùn)算的技巧性.

（4）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足3x-2y=4，求m的值.

【設(shè)計(jì)意圖】第一，此題解題方法較多，既可通過(guò)原方程組加減消去字母m，又可通過(guò)后面的條件代入消元消去x或y，還可將方程①×（-5）、方程②×13，再兩式相加，直接得到3x-2y=m=4.而若將三個(gè)式子聯(lián)立，就得到了三元一次方程組.但通法都是應(yīng)用消元思想，只是首消的元不同而已.這可促使學(xué)生對(duì)消元思想有更深入的理解.第二，從技能訓(xùn)練的角度來(lái)看，可訓(xùn)練學(xué)生解含字母參數(shù)的二元一次方程組.而為達(dá)到訓(xùn)練的目的，還可將條件更改為“滿足3x-2y＜4”，以加強(qiáng)方程與不等式的聯(lián)系.

（5）小明從網(wǎng)站上查到，某商家正在開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，落地風(fēng)扇199 元/臺(tái)，水冷風(fēng)扇299元/臺(tái)，且買(mǎi)滿200 元減15 元，買(mǎi)滿300 元減30元，小明仍用不超過(guò)2000元去購(gòu)買(mǎi)風(fēng)扇，則他最多可購(gòu)買(mǎi)多少臺(tái)？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的目的是為了解決問(wèn)題，而不是訓(xùn)練解題套路.開(kāi)放型問(wèn)題可讓學(xué)生從方程、不等式等多種不同的模型中，尋找適合的方法解決問(wèn)題.此問(wèn)題并不一定需要建立方程或不等式模型，使用單純的列舉法也能解決問(wèn)題，但學(xué)生對(duì)多種方法的嘗試正是積累建模經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.

數(shù)學(xué)思想方法的感悟是在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐漸積累的，問(wèn)題情境的連續(xù)性、核心問(wèn)題的一致性、教學(xué)流程的圓融性可加速這一感悟過(guò)程.上述設(shè)計(jì)中的每一個(gè)問(wèn)題均建立在對(duì)同一式子進(jìn)行變化的基礎(chǔ)上，每一個(gè)問(wèn)題又代表不同的類(lèi)別.由此，既能讓學(xué)生積累更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，又能讓學(xué)生感悟解方程和列方程解決實(shí)際問(wèn)題的通性通法——合理消元、巧妙建模，自然而然地將數(shù)學(xué)思想方法融入對(duì)知識(shí)的回顧與鞏固之中，從而達(dá)到“讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)”的目的.

三、融通主體客體，讓學(xué)生學(xué)得不簡(jiǎn)單

復(fù)習(xí)課除了要回顧基礎(chǔ)知識(shí)、訓(xùn)練基本技能外，也需要對(duì)知識(shí)適當(dāng)拓展延伸，還需要對(duì)基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作適當(dāng)?shù)臍w納與提升.但由于每個(gè)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)有差異，復(fù)習(xí)課在確定共性學(xué)習(xí)內(nèi)容、整體鞏固提升的同時(shí)，還必須追求個(gè)性化的學(xué)習(xí)，讓每個(gè)學(xué)生都能有不同的收獲.個(gè)性化學(xué)習(xí)必然要求學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)，這一過(guò)程也是學(xué)生融合新老經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.具體做法很多，如教師可讓學(xué)生自主整理章節(jié)思維導(dǎo)圖，自主整理筆記本、錯(cuò)題本，自編章節(jié)練習(xí)題，站上講臺(tái)指導(dǎo)其他學(xué)生復(fù)習(xí)等.但由于學(xué)生認(rèn)知水平有限，高效的復(fù)習(xí)課應(yīng)該是教師選定主體素材，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，共同完成復(fù)習(xí)過(guò)程.

以“平面直角坐標(biāo)系”的復(fù)習(xí)為例，這一章是函數(shù)模塊的起始章節(jié)，知識(shí)點(diǎn)眾多，有許多解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)在二次函數(shù)中仍然通用，若讓學(xué)生自主復(fù)習(xí)，則會(huì)出現(xiàn)類(lèi)別繁雜且思維含量不夠的現(xiàn)象.這就可采用教師選定母題、學(xué)生補(bǔ)充完善的方式，師生共同復(fù)習(xí).

母題：△AOB位于平面直角坐標(biāo)系中（圖略），且A、O兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，5），O（0，0）[2].

在實(shí)際教學(xué)中，筆者提供這一基本圖形，讓學(xué)生補(bǔ)充問(wèn)題，并在學(xué)生的積極參與下，整理出以下問(wèn)題.

（1）將平面直角坐標(biāo)系補(bǔ)充完整，寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo).

【考查要點(diǎn)】復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)概念.

（2）將△AOB先向左平移3個(gè)單位再向上平移2 個(gè)單位，得到△A′O′B′，作圖并寫(xiě)出這三點(diǎn)的坐標(biāo).

【考查要點(diǎn)】復(fù)習(xí)了“用坐標(biāo)表示平移”的知識(shí).學(xué)生甚至仿效教材第80頁(yè)第10題，提出了平移個(gè)單位的問(wèn)題.

（3）求△AOB的面積.

【考查要點(diǎn)】復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求三角形面積（母題為教材第80頁(yè)第9題），主要用“補(bǔ)”的方法，二次函數(shù)背景下求三角形面積也常用這種方法.

（4）在x軸正半軸上找一點(diǎn)C，使S△AOC=S△AOB.

【考查要點(diǎn)】仍是復(fù)習(xí)面積問(wèn)題，但屬于已知面積求點(diǎn)的坐標(biāo)，涉及坐標(biāo)與距離的轉(zhuǎn)換.

（5）在坐標(biāo)軸上找到一點(diǎn)D，使△BOD的面積為5個(gè)單位.

【考查要點(diǎn)】雖然仍是復(fù)習(xí)面積問(wèn)題，但需要分類(lèi)討論.

（6）用合適的方法描述A、B兩點(diǎn)間的位置關(guān)系.

【考查要點(diǎn)】教材“用坐標(biāo)表示地理位置”一節(jié)，介紹了兩種表示地理位置的方法，分別是借助平面直角坐標(biāo)系和“方位+距離”的方法.此題中點(diǎn)B恰在點(diǎn)A的東南方向3個(gè)單位的位置（母題為教材第75頁(yè)練習(xí)2）.

（7）另作一點(diǎn)E，使A、O、B、E四點(diǎn)可連成平行四邊形.

【考查要點(diǎn)】復(fù)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中形成平行四邊形的問(wèn)題，比較常見(jiàn)的方法是用平移的思想去解決，這也是二次函數(shù)背景下綜合題的常見(jiàn)考查類(lèi)型.

由上可知，學(xué)生在復(fù)習(xí)前已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)教師激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性時(shí)，他們就會(huì)迸發(fā)出強(qiáng)大的能量.從學(xué)生補(bǔ)充的內(nèi)容來(lái)看，這節(jié)復(fù)習(xí)課已經(jīng)達(dá)到了至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)“讓學(xué)生學(xué)得不簡(jiǎn)單”的效果.當(dāng)然，學(xué)生提出的問(wèn)題，大多是他們做過(guò)或見(jiàn)過(guò)的題目，教師還可在點(diǎn)評(píng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，適度補(bǔ)充拓展，豐富他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

（8）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且平行于x軸的直線交AO于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【考查要點(diǎn)】在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積，常用的方法是“割”或“補(bǔ)”，因?yàn)閷W(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)一次函數(shù)知識(shí)，故此時(shí)只能用“補(bǔ)”的方法，但在已知面積和點(diǎn)的坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，學(xué)生自然也可求得“割”出的三角形的底或高，并將線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo).

學(xué)習(xí)過(guò)程中，“學(xué)”是模仿，“習(xí)”是踐行.教師融合學(xué)習(xí)內(nèi)容、圓融教學(xué)流程，可讓“學(xué)”變得簡(jiǎn)單；學(xué)生主動(dòng)參與、積極反思，將已有經(jīng)驗(yàn)連點(diǎn)成線、連線成面，可讓“習(xí)”變得簡(jiǎn)明.上述復(fù)習(xí)過(guò)程，就是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生主動(dòng)融合已有解題經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.不管學(xué)生能在課堂上補(bǔ)充多少內(nèi)容，這種從已經(jīng)做過(guò)的習(xí)題中收集、整理、遴選問(wèn)題并融入母題的過(guò)程，就是新舊知識(shí)融通的過(guò)程，就是令已積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)更清晰簡(jiǎn)明的過(guò)程.

“讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)”解決的是“學(xué)什么”的問(wèn)題，需要教師融通理解教學(xué)內(nèi)容；“讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)”解決的是“怎么學(xué)”的問(wèn)題，需要教師合理預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)過(guò)程；“讓學(xué)生學(xué)得不簡(jiǎn)單”解決的是“學(xué)到什么程度”的問(wèn)題，需要師生共同參與，利用好課堂生成性資源.只要師生堅(jiān)持共同營(yíng)造這種“知識(shí)融合、過(guò)程圓融、課堂交融”的學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)習(xí)將變成一件簡(jiǎn)單而快樂(lè)的事情，也必然能達(dá)到至簡(jiǎn)境界.