郭 萍

（武漢交通職業(yè)學院智能制造學院，湖北 武漢 430065）

0 引言

工業(yè)機器人性能的好、壞決定著工業(yè)機器人作業(yè)的質(zhì)量、效率和效益，因此對工業(yè)機器人技術的研究必不可少。其中，工業(yè)機器人運動控制是核心技術之一，而工業(yè)機器人軌跡規(guī)劃是運動控制研究的基礎，軌跡規(guī)劃的優(yōu)、劣與工業(yè)機器人作業(yè)的質(zhì)量密切相關。

1 工業(yè)機器人軌跡規(guī)劃的意義

軌跡規(guī)劃是在滿足作業(yè)任務要求的前提下規(guī)劃出期望的運動軌跡。工業(yè)機器人軌跡規(guī)劃的目的是實現(xiàn)機械臂位置、速度和加速度的曲線盡可能連續(xù)且平滑，這樣可以減少機器人結構的磨損，同時提高追蹤的速度和精度，提高生產(chǎn)效率和效益。以手動操作機器人運動為例，在用示教器操控機器人運動到示教點位時，手動運行速度過大，會導致機械臂出現(xiàn)明顯的抖動，長時間運行下來，會對機械臂結構造成不可逆的損傷，同時影響機器人運行軌跡的準確性。因此，工業(yè)機器人軌跡規(guī)劃對工業(yè)機器人運動控制意義重大。針對如何獲得更精準更柔性的軌跡，相關研究學者做了大量研究，主要包括關節(jié)空間軌跡規(guī)劃和笛卡爾空間軌跡規(guī)劃2個方面。該文將從這2個方面來介紹工業(yè)機器人軌跡規(guī)劃的方法，并總結研究現(xiàn)狀。

2 工業(yè)機器人關節(jié)空間軌跡規(guī)劃

工業(yè)機器人關節(jié)空間軌跡規(guī)劃通過分別規(guī)劃各個關節(jié)的軌跡來實現(xiàn)整個機械臂的運動軌跡。一般而言，工業(yè)機器人任務中已知的是末端執(zhí)行器的運動軌跡，各個關節(jié)的具體運動軌跡點未知，需要根據(jù)運動學反解得到各個關節(jié)的軌跡點，然后進行關節(jié)空間下的軌跡規(guī)劃，再根據(jù)規(guī)劃出的關節(jié)軌跡進行運動控制，最后形成笛卡爾空間下的末端執(zhí)行器軌跡。關節(jié)空間下機械臂控制流程圖如圖1所示。

圖1 關節(jié)空間下的控制流程圖

以常見的六關節(jié)機器人為例，具體的關節(jié)空間軌跡規(guī)劃流程如圖2所示。其中，（X，Y，Z，A，B，C）為末端軌跡點坐標，q1、q2、q3、q4、q5和q6分別為6個關節(jié)軸。第一列是末端執(zhí)行器在空間下的4個軌跡點的坐標，第二列是將這4個點通過逆運動學求解分別得到6個關節(jié)對應的軌跡點，第三列是通過軌跡規(guī)劃算法得到的關節(jié)運動軌跡曲線，第四列是通過控制關節(jié)運動形成最終的末端執(zhí)行器的軌跡曲線。

圖2 關節(jié)空間軌跡規(guī)劃流程圖

進行關節(jié)空間軌跡規(guī)劃時，需要將關節(jié)的起始點、所有中間點和目標點連成一條光滑的曲線，同時還要保證各個關節(jié)到達目標點的時間一致，即關節(jié)空間軌跡規(guī)劃的研究主要集中在如何將離散的軌跡點規(guī)劃成一條連續(xù)曲線的問題上。目前，工業(yè)機器人軌跡規(guī)劃方法主要有多項式插值、T形加減速曲線、S曲線和B樣條插值。

多項式插值分為3次、5次和7次多項式插值等，其中最簡單的是3次多項式插值法，其表達式易懂且計算量少，是一種常用的方法。一般而言，只要明確位置、速度和時間，就可以規(guī)劃出連續(xù)的位置和速度曲線。但是該插值法不能對加速度進行約束，加速度曲線不一定是連續(xù)的[1]，適合應用于不關注運動過程的控制場景中，如點到點的運動控制，不適合連續(xù)軌跡的運動控制。然而，工業(yè)機器人的應用場景中大部分是連續(xù)的運動軌跡，因此3次多項式插值方法應用范圍窄，普適性不強。

5次多項式插值法對加速度進行了約束，規(guī)劃出的軌跡加速度是不突變的，減少了機械臂的抖動[2]。在運算方面，由于該插值算法的階次較高，計算量相對大一些，但是在可接受范圍內(nèi)。通常情況下，機器人運動時候，要得到連續(xù)平滑且噪聲低的運動控制，一般都需要對加速度進行約束，因此5次多項式插值算法應用較為廣泛，實用性強，可以覆蓋機器人的大多數(shù)應用場景。

階次在5次以上的多項式插值算法可以稱之為高階多項式插值，理論而言，多項式的階次越高，函數(shù)表達式越復雜，插值得到的曲線越平滑，加速度曲線也越平滑，機器人運動的軌跡也越平穩(wěn)[3]。由于高階多項式插值曲線越平滑，相應的加速過程越慢，整體平均速度越低，效率也越低。不僅如此，階次越高，計算量也越大，運算的要求也越高，因此高階多項式插值適用范圍小。

多項式插值算法一般是在2個跟蹤點之間進行先加速、后減速運動的軌跡規(guī)劃，并沒有勻速階段。在機器人應用中，對加工速度一般是有要求的，運動軌跡可能有勻速階段，僅單純的多項式插值并不適合有勻速段運動的軌跡規(guī)劃。T型加減速曲線的速度曲線是梯形，有上升期、平臺期和下降期。該算法表達式分為3段，運算簡單，還可以對最大的速度和加速度進行約束，但機械臂由加速到勻速的切換過程中存在較大的沖擊，不利于機械臂運動的平穩(wěn)。為克服T型曲線速度突變的問題，可以將S型速度曲線應用于工業(yè)機器人的軌跡規(guī)劃。S型速度曲線的速度平滑，在加速到勻速的連接處不帶拐點，是一種沖擊可控的加速和減速。該曲線能夠減少對控制過程中的沖擊，并使插補過程具有柔性[4-5]。根據(jù)表達式分段數(shù)目，S型速度曲線可分為多種，然而分段越多，曲線表達式越復雜，速度曲線越平滑，但同時計算量也越大，實現(xiàn)起來越困難。

以上軌跡規(guī)劃方法通常約束機器人的速度、加速度，并沒有計算運動到每個路點的時間。而B樣條插值方法表達精確，可以對機器人路徑點的時間進行約束。其中3次樣條是用的較為廣泛的一種，該算法在靈活性和計算速度之間進行了合理的折中[6-7]。同時B樣條曲線通過微調(diào)軌跡的控制點可以靈活改變曲線的形狀，方便后期的軌跡優(yōu)化，因此被應用得越來越廣泛。

關節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法簡單，只需要考慮關節(jié)的運動狀態(tài)，容易滿足關節(jié)運動過程中的速度、加速度等約束條件，研究成果較多。但是由于規(guī)劃中未考慮末端執(zhí)行器的軌跡，導致末端軌跡不確定性增大，可能出現(xiàn)磕碰、定位不精準等問題，因此在對末端軌跡有要求的應用場景中并不適用。

3 工業(yè)機器人笛卡爾空間軌跡規(guī)劃

笛卡爾空間即三維空間，笛卡爾空間軌跡規(guī)劃是在三維坐標系下建立數(shù)學表達式來描述工業(yè)機器人末端執(zhí)行器的運動軌跡，是一種直接對末端軌跡進行規(guī)劃的方法。笛卡爾空間下機械臂的控制流程圖如圖3所示。

圖3 笛卡爾空間下控制流程圖

以常見的六關節(jié)機器人為例，具體的笛卡爾空間下的軌跡規(guī)劃流程如圖4所示。其中，（X，Y，Z，A，B，C）為末端軌跡點坐標，q1、q2、q3、q4、q5和q6分別為6個關節(jié)軸。第一列是末端執(zhí)行器在空間下的4個軌跡點的坐標，第二列是通過軌跡規(guī)劃算法得到的笛卡爾空間下末端軌跡曲線。第三列是將第二列曲線上所有的點通過逆運動學求解得到的6個關節(jié)對應的軌跡曲線，第四列是將關節(jié)軌跡曲線離散化后得到的點，第五列是控制關節(jié)運動形成的笛卡爾空間下的末端執(zhí)行器軌跡。

圖4 笛卡爾空間下軌跡規(guī)劃圖

由于三維空間中大多數(shù)的運動都是直線和圓弧的結合，因此笛卡爾空間軌跡規(guī)劃的研究主要集中在直線和圓弧軌跡規(guī)劃。直線插補法是將末端軌跡的起點、中間點和終點之間的軌跡直線化處理，是基本的方法，而圓弧插補法是將各點之間的軌跡圓弧化處理，是直線插補的升級[8]。然而，不論是直線插補還是圓弧插補的軌跡規(guī)劃，機器人末端執(zhí)行器的軌跡都被分解為幾段連續(xù)的軌跡，都需要對連接點進行專門的平滑處理[9]。

笛卡爾空間下的軌跡規(guī)劃是在三維空間下進行的，而在實施具體控制時，需要對關節(jié)進行控制，并且是在關節(jié)空間下進行，因此必須將規(guī)劃出來的末端軌跡轉換為關節(jié)空間下的關節(jié)軌跡。在此過程中需要對每個末端軌跡點進行逆運動學求解，運算量大且復雜。另外，逆運動學求解過程中將不可避免地會討論到解的奇異性、存在性和唯一性問題，進一步增加了運算的不確定性。目前，逆運動學求解算法有很多，針對解的三性問題也有部分研究成果[10-11]。然而，逆運動學求解算法的相對成熟只是針對少數(shù)軌跡點的求解，對機器人末端大量軌跡點進行運動學反解并沒有快捷算法。且由于運算的難度較大，關于逆運動學解的三性方面的討論方法相對較少，影響了笛卡爾空間軌跡規(guī)劃的進一步應用。

相比于關節(jié)空間下的軌跡規(guī)劃，笛卡爾空間下的軌跡規(guī)劃直觀性強，可以準確地得到末端執(zhí)行器的軌跡，有一定的理論研究意義。但在實施具體控制時，逆運動學運算復雜、計算量大以及解的不確定性降低了軌跡規(guī)劃的準確性、控制的時效性，實用性不強，應用范圍小。

4 總結與展望

當前，不論工業(yè)機器人被應用于何種場景，工業(yè)機器人的軌跡規(guī)劃都是繞不開的一個過程，是各種作業(yè)得以實現(xiàn)的前提。良好的軌跡規(guī)劃可以減少機械臂的振動和磨損，提升定位精度和生產(chǎn)效率，增大經(jīng)濟效益。隨著工業(yè)機器人技術的發(fā)展，軌跡規(guī)劃的方法已得到充分的研究，以關節(jié)空間軌跡規(guī)劃和笛卡爾空間軌跡規(guī)劃為主的規(guī)劃方法已形成。但許多研究成果主要集中在理論的研究和仿真的應用上，在實踐性和實用性方面的還有很大的研究空間。