石金晶 陳 添 陳淑慧* 李 琴 施榮華

①(中南大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 長沙 410083)

②(湘潭大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 湘潭 411105)

1 引言

圖像傳輸不僅攜有通信者之間的敏感信息，還含有不可估量的樣本數(shù)據(jù)，如何可靠有效地進(jìn)行圖像傳輸便成為網(wǎng)絡(luò)通信中的重點(diǎn)研究方向之一?；诹孔盈B加和量子糾纏等特性，很多杰出的量子算法[1–4]被提出，從而威脅到大多基于數(shù)論的經(jīng)典密碼算法的安全性。因此在當(dāng)今信息飛速發(fā)展的時(shí)代，設(shè)計(jì)出更加安全有效的圖像密碼算法至關(guān)重要。

早在2013年，Zhou等人[5]結(jié)合經(jīng)典密碼和量子幾何轉(zhuǎn)換首次提出了量子圖像密碼的概念，為圖像加密提供了新的研究方向。目前為止，關(guān)于量子圖像加密算法的研究方式主要分為兩種：一種是基于量子仿射變換和隨機(jī)旋轉(zhuǎn)操作[6–8]來更改圖像的像素位置和像素值以模糊明文圖像；另一種則處于較新的研究領(lǐng)域，即基于混沌系統(tǒng)生成的混沌系數(shù)來控制量子邏輯門[9]。雖然后者發(fā)展不久，但在密碼研究方面具有潛在的優(yōu)勢：根據(jù)混沌系統(tǒng)生成的混沌系數(shù)(隨機(jī)數(shù))使每次加密對象的處理參數(shù)均不同，從而比固定參數(shù)的加密方法更能抵抗重放攻擊。

2013年Yang等人[10]首次將雙重隨機(jī)相位編碼技術(shù)引入到量子密碼研究當(dāng)中，并結(jié)合量子傅里葉變換提出了量子圖像加密算法。哈密頓量對初始參數(shù)的超敏感性可使量子系統(tǒng)呈現(xiàn)出混沌力學(xué)行為[11]，2013年Abd等人[12]便利用Goggin等人[13]提出的量子邏輯斯蒂(logistic)映射，設(shè)計(jì)了一種新的經(jīng)典彩色圖像加密方案，進(jìn)一步增加了密鑰空間與算法性能。接下來，為了改進(jìn)經(jīng)典圖像加密算法的安全性及圖像處理效率，Tan等人[14]利用陳氏超混沌系統(tǒng)[15]和量子傅里葉變換實(shí)現(xiàn)了量子彩色圖像加密算法，該算法計(jì)算復(fù)雜度為O(n2)，相比于經(jīng)典圖像加密算法具有指數(shù)級優(yōu)化。2016年Yang等人[16]通過構(gòu)建1維量子細(xì)胞自動機(jī)實(shí)現(xiàn)了量子圖像加密方案，在安全性和魯棒性方面具有一定優(yōu)勢。2018年Liu等人[17]基于量子Arnold變換和量子比特隨機(jī)旋轉(zhuǎn)提出了雙重量子圖像加密方案，由量子傅里葉變換實(shí)現(xiàn)的量子比特隨機(jī)旋轉(zhuǎn)操作使得其計(jì)算復(fù)雜度為O(n2)。同年，Zhou等人[9]結(jié)合5D超混沌系統(tǒng)和量子交換操作來增強(qiáng)量子彩色圖像加密方案中的隨機(jī)性和不可預(yù)測性，相比于經(jīng)典圖像加密方案在有效性和安全性方面具有一定的改善。鑒于當(dāng)前實(shí)際量子資源的稀缺性，為進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜度，2018年Wang等人[18]使用小波變換存儲圖像的低頻部分來縮小圖像，旨在提高處理圖像效率并降低計(jì)算復(fù)雜度到O(n)。但是，該方法由于不能完全解密出原始圖像，因此不適用于要求高清晰度解密圖像的場景當(dāng)中。2019年，Khan等人[19]提出一種基于置換的特殊線性變換應(yīng)用于量子圖像加密算法，能夠抵御一定程度的密鑰攻擊。2020年，Liu等人[20]基于位平面排列和正弦邏輯映射提出了一種新的量子圖像加密算法，其加密圖像有著更高的信息熵，但難以抵抗高裁剪攻擊的情況。2021年，Liu等人[21]在此基礎(chǔ)上采用Arnold變換和logistic映射進(jìn)一步優(yōu)化了加密圖像的信息熵和抗噪聲攻擊性?？梢?，優(yōu)化算法的安全性、計(jì)算復(fù)雜度與解密圖像清晰度等各項(xiàng)評判指標(biāo)仍是目前量子圖像密碼研究方向的重點(diǎn)。

基于混沌系統(tǒng)的量子圖像加密算法具有密鑰強(qiáng)敏感性和巨大的密鑰空間，能夠抵抗許多非法攻擊[14,22,23]，提高圖像密碼方法的安全性與加解密效率。量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為混沌系統(tǒng)可以實(shí)時(shí)、并行地對信號進(jìn)行處理，并被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)量大的圖像處理當(dāng)中。此外，相對于傳統(tǒng)的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還具有低消耗、高集成的特點(diǎn)，因而更符合實(shí)際應(yīng)用需求[16,23]。量子酉操作(量子邏輯門)具有可逆性，即在保證量子態(tài)不被破壞的情況下，量子邏輯門的輸入、輸出態(tài)可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，可用于提高解密圖像的清晰度。為此，本文結(jié)合量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和量子酉操作，提出一種新的量子灰度圖像混沌加密方法，在確保量子圖像加密算法安全的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化解密圖像清晰度及計(jì)算復(fù)雜度。此外，本方案中所涉及的圖像處理操作包括量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(混沌系統(tǒng))均可由量子線路實(shí)現(xiàn)，表明本方案具有在量子設(shè)備上實(shí)現(xiàn)的前景。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的超混沌屬性

混沌是非線性系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象。混沌系統(tǒng)[15,24]憑借不確定性、不可重復(fù)性和不可預(yù)測性被廣泛應(yīng)用于密碼學(xué)中。超混沌系統(tǒng)屬于高維度混沌模型，對于初始控制參數(shù)具有超敏感性。由多個(gè)量子細(xì)胞機(jī)構(gòu)成的量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于一種超混沌系統(tǒng)[25,26]。具體來講，量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第k個(gè)細(xì)胞機(jī)的動態(tài)特性表示為經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌屬性，可以令w2為自變量，計(jì)算出該量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最大李雅普諾夫指數(shù)[28]。如圖2所示，最大李雅普諾夫指數(shù)值均大于0，證明耦合2個(gè)細(xì)胞機(jī)的量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型系統(tǒng)便很容易產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象。

圖2 量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最大李雅普諾夫指數(shù)

2.2 新型量子圖像表示方法

可見，相比于經(jīng)典圖像表示方法，該量子圖像表示方式能指數(shù)級降低圖像存儲空間：對于同一個(gè)2n×2n大小的經(jīng)典灰度圖像，該量子圖像表示方式所需量子比特?cái)?shù)為8 +2n，而經(jīng)典圖像表示方法則需比特?cái)?shù)8 ×2n×2n+n2。另外，相比于其他量子圖像表示方法[30,31]，該量子圖像表示方式可以平方級降低制備圖像的時(shí)間復(fù)雜度，且能夠完全正確地表示出經(jīng)典圖像[16]，量子線路如圖3所示。

圖 1 量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中P 1, P 2, φ 1之間的軌跡曲線

圖3 新型量子圖像表示量子線路圖

2.3 量子Arnold變換

2.4 量子交換操作

在混淆像素位置之前，量子交換操作可以用于擴(kuò)散圖像像素值來增強(qiáng)密文圖像的模糊性。量子交換操作Uxy的量子線路如圖4所示，其應(yīng)用到某一個(gè)像素值|f(x,y)〉上的表示為

圖4 量子交換操作

3 量子灰度圖像加密和解密方法

本節(jié)將著重介紹基于量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子灰度圖像加密和解密步驟。整體加解密過程如圖5所示。圖5所涉及的量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超混沌同步技術(shù)可基于電路實(shí)現(xiàn)[36,37]，因此如何傳輸混沌信號(密鑰參數(shù))將不再贅述。值得注意的是，在3.1節(jié)和3.2節(jié)所涉及的處理對象均針對圖像中的一個(gè)像素點(diǎn)。

圖5 圖像加解密全過程

3.1 量子灰度圖像加密步驟

3.2 量子灰度圖像解密步驟

b1b2w1w2P1(0)

(1)獲取控制參數(shù) , , , ，初始值 ,

4 仿真和理論分析

為了探求本方案的可行性及有效性，基于MATLAB平臺，本文對方案加解密過程進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。所有的仿真實(shí)驗(yàn)均基于同一個(gè)量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并且給定的控制參數(shù)b1=b2=0.28,w1=0.7,w2=0.3 ， 初始值P1(0)=?0.348391961265269,P2(0)=3.18935060634640,φ1(0)=?0.0862955569903436,φ2(0)=5.76650621975721， 隨機(jī)起始點(diǎn)N0=8，信號取值間隔N=10000。圖6(a)、圖6(b)分別展示了512×512大小的原始圖像Woman和Pepper，圖6(c)、圖6(d)為Woman, Pepper加密后的圖像。

圖6 明文圖像Woman, Pepper及相應(yīng)密文圖像

4.1 信息熵

信息熵(以下簡稱熵)是用于衡量一個(gè)圖像(系統(tǒng))混亂程度的重要指標(biāo)[37]，其數(shù)學(xué)表達(dá)為

4.2 直方圖分析

一個(gè)有效的圖像密碼算法應(yīng)使不同密文圖像具有相似的直方圖。由圖7可知，明文圖像Woman和Pepper的直方圖很不一樣，但兩者對應(yīng)的密文圖像直方圖幾乎一致，證明本方案具有有效性，能夠較好地抵抗直方圖攻擊。

圖7 明文圖像Woman, Pepper及相應(yīng)密文圖像的直方圖

表1 明文圖像及相應(yīng)密文圖像的熵

其中，xi和yi為鄰接像素。表2展示了明文圖像及相應(yīng)密文圖像在水平、垂直、對角3個(gè)方向的相關(guān)性，從中可以看出，密文圖像鄰接像素相關(guān)性無論在哪個(gè)方向均接近于0。從圖8可以看出，明文圖像中鄰接像素聯(lián)系均很強(qiáng)-呈直線狀，但密文圖像中鄰接像素聯(lián)系均很弱-呈平鋪狀，證明本加密算法可強(qiáng)有力地混淆明文圖像以很好地抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊。

圖8 圖像加密前后鄰接像素的聯(lián)系

表2 明文圖像及相應(yīng)密文圖像在水平、垂直、對角方向的相關(guān)性

4.4 密鑰空間

對于圖像加密算法來說，密鑰空間需達(dá)到2100數(shù)量級才能較好地抵抗暴力攻擊[38]。本方案中，密鑰由b1,b2,w1,w2,P1(0),P2(0),φ1(0),φ2(0),N0,N構(gòu)成。設(shè)非線性混沌系統(tǒng)中參數(shù)的有效精度為 1 0?14，結(jié)合本文中給出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本圖像算法的密鑰空間可達(dá)到 10120?2100。因此本方案具有巨大的密鑰空間可以抵抗經(jīng)典計(jì)算機(jī)甚至量子計(jì)算機(jī)帶來的暴力攻擊及唯密文攻擊。

4.5 計(jì)算復(fù)雜度

4.6 密鑰敏感性分析

密鑰出現(xiàn)極其微小的改變從而導(dǎo)致獲得非理想的解密圖像，這種現(xiàn)象稱為強(qiáng)密鑰敏感性。密鑰敏感性可由直觀的解密圖像變化來評估。以明文圖像Lena為例，從圖9可以看出，即使密鑰有極小的偏移，也不能解密出正確的圖像，說明本方案具有較強(qiáng)的密鑰敏感性，能夠抵抗密鑰攻擊，證明了本方案的安全性。

圖9 不同密鑰情況下解密出的Lena圖像

5 結(jié)論

基于量子Arnold變換與量子邏輯操作，本文以確保圖像算法安全為基礎(chǔ)，利用超混沌系統(tǒng)量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)增強(qiáng)加密過程中的不確定性和不可預(yù)測性，提出一種量子灰度圖像混沌密碼方法。其具有以下優(yōu)勢：(1)為進(jìn)一步模糊明文圖像，對明文圖像行像素值和列像素值均作了擴(kuò)散處理。根據(jù)理論分析，本方案具有高安全性可以抵抗許多非法攻擊，如熵攻擊、統(tǒng)計(jì)攻擊；(2)為進(jìn)一步降低圖像加密過程的計(jì)算復(fù)雜度，引入迭代量子Arnold變換、量子交換及量子控制非操作，將算法計(jì)算復(fù)雜度降為O(n)，為至今所提出的量子灰度圖像密碼方案中的較優(yōu)值；(3)為進(jìn)一步提高解密圖像質(zhì)量，圖像加密操作全由可逆的量子邏輯門實(shí)現(xiàn)，在密鑰完全正確的情況下，本文方案能以較高保真度(100 dB)恢復(fù)出明文圖像。