胡 先 童

(安徽工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 安徽 馬鞍山 243000)

0 引 言

隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)和物聯(lián)網(wǎng)的激增，加上移動(dòng)智能設(shè)備的出現(xiàn)和移動(dòng)應(yīng)用的爆炸式增長(zhǎng)，5G蜂窩網(wǎng)絡(luò)被認(rèn)為是極其密集的[1]。網(wǎng)絡(luò)致密化被認(rèn)為是5G最顯著的特征之一[2]。在這樣的超密集網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，由于網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模，UEs數(shù)量巨大，功率控制和干擾感知，變得非常具有挑戰(zhàn)性[3,4]。此外，網(wǎng)絡(luò)中的時(shí)空流量需求波動(dòng)、信道條件的動(dòng)態(tài)性以及由于需要協(xié)調(diào)而增加的開銷將進(jìn)一步加劇用戶數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)中資源管理的挑戰(zhàn)。例如，隊(duì)列狀態(tài)信息(QSI)的不確定性及其隨時(shí)間的演變將在資源優(yōu)化中發(fā)揮關(guān)鍵作用。

在5G時(shí)代，節(jié)點(diǎn)和設(shè)備數(shù)量巨大，從而導(dǎo)致了經(jīng)典博弈的計(jì)算難度較大。這主要是由特定玩家的策略影響所有其他玩家的策略決定。由于大量設(shè)備的參與以及它們的控制參數(shù)彼此之間的嚴(yán)重耦合，用經(jīng)典博弈論的方法不足以研究用戶數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)中的資源優(yōu)化。如文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了信道狀態(tài)信息不確定的隨機(jī)波束形成。然而，由于小蜂窩網(wǎng)絡(luò)數(shù)量龐大，集中式干擾管理會(huì)遇到沉重的通信開銷，并且隨機(jī)部署和有限的回程容量，都會(huì)導(dǎo)致其可擴(kuò)展性和靈活性變差。

MFG是一種特殊形式的微分博弈，適用于具有大量參與人的系統(tǒng)[6]。傳統(tǒng)博弈論模擬了單個(gè)玩家與系統(tǒng)中所有其他玩家的互動(dòng)，而MFG用所有玩家的集體行為的效果來模擬單個(gè)玩家的交互，系統(tǒng)中玩家的集體行為由平均場(chǎng)(Mean Field,MF)建模。平均場(chǎng)平衡(Mean field Equilibrium，MFE)是通過求解兩個(gè)微分方程，即漢密爾頓-雅可比-貝爾曼(Hamilton-Jacobi-Bellman,HJB)和?？?普朗克-科爾莫戈羅夫(Fokker-Planck-Kolmogorov,FPK) 方程得到的。單個(gè)玩家與平均場(chǎng)的相互作用采用HJB方程來建模，根據(jù)玩家的動(dòng)作，玩家的集體行為被FPK方程建模。MFG特別適合這種超密集的網(wǎng)絡(luò)，因?yàn)橥婕业臄?shù)量可以趨向無窮，且MFG中的代理數(shù)量與性能無關(guān)。

在最近的大量研究中，MFG被用來解決基于UDN中的功率控制問題和邊緣緩存問題。例如：文獻(xiàn)[4]研究UDN中干擾問題，為了降低對(duì)完全信息的要求，考慮狀態(tài)動(dòng)態(tài)和成本函數(shù)的不確定性，建立了魯棒功率控制平均場(chǎng)博弈。文獻(xiàn)[7]提出了一種新的聯(lián)合功率控制和用戶調(diào)度方法，用于優(yōu)化超密集小蜂窩網(wǎng)絡(luò)的單位能量比特?cái)?shù)的能量效率。文獻(xiàn)[8]解決了密集天線接入網(wǎng)絡(luò)中節(jié)能分布式功率和速度控制的問題?？刂茊栴}被公式化為一個(gè)微分對(duì)策，在這個(gè)對(duì)策中，無線接入網(wǎng)絡(luò)的剩余電池能量和它們的位置被控制。文獻(xiàn)[9]針對(duì)與傳統(tǒng)宏蜂窩網(wǎng)絡(luò)共存的密集小蜂窩網(wǎng)絡(luò)，提出了一種新的分布式功率控制模式。將功率控制問題建模為隨機(jī)博弈，證明了納什均衡的存在性。文獻(xiàn)[10]研究霧無線接入網(wǎng)的邊緣緩存優(yōu)化問題?？紤]時(shí)變用戶請(qǐng)求和霧接入點(diǎn)的超密集部署，提出了一種分布式邊緣緩存方案，以共同最小化請(qǐng)求服務(wù)延遲和前端流量負(fù)載。文獻(xiàn)[11]研究在大量小基站和用戶情況下的蜂窩邊緣緩存問題。提出了隨機(jī)幾何網(wǎng)絡(luò)模型下的分布式緩存算法以及表征內(nèi)容流行動(dòng)態(tài)的時(shí)空用戶需求模型。

在以上研究的基礎(chǔ)上，研究一個(gè)擁有大量SBSs和UEs的UDN的下行通信系統(tǒng)，通過控制SBSs的功率提高 SBSs與其服務(wù)用戶之間成功傳輸?shù)母怕?，并考慮了SBSs的能量消耗問題。為了聯(lián)合最小化數(shù)據(jù)成功傳輸速率成本和SBSs的能量消耗，建立了一個(gè)動(dòng)態(tài)隨機(jī)博弈來模擬該問題。DSG捕捉到SBSs之間的相互作用和SBSs狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化。由于求解的計(jì)算復(fù)雜度較高，該算法被近似為一個(gè)MFG，利用SBSs的超密集特性來解決這一具有挑戰(zhàn)性的問題。在MFG中，所有SBSs的單個(gè)狀態(tài)可以用一個(gè)統(tǒng)計(jì)MF分布來近似。通過求解耦合的HJB和FPK方程獲得MFE。每個(gè)SBS能夠基于其本地狀態(tài)和平均場(chǎng)分布來確定動(dòng)態(tài)最優(yōu)功率控制策略。本方法在不需要與其他SBS進(jìn)行額外信息交換的情況下，可以獲得最優(yōu)功率控制策略，減小了通信開銷。同時(shí)能根據(jù)其最優(yōu)功率控制策略，有效減小達(dá)到最小成功傳輸速率所消耗的成本。

1 系統(tǒng)模型

1.1 網(wǎng)絡(luò)模型

考慮超密集5G小蜂窩網(wǎng)絡(luò)的下行鏈路，由I個(gè)SBSs、K個(gè)用戶和一個(gè)遠(yuǎn)程5G 基站(Base Station,BS)組成，如圖1所示，其SBS被超密集地部署，并通過云端鏈路與BS連接。SBS集和UE集分別用J={1,2,…,i,…,I}和κ={1,2,…,k,…,K}表示。假設(shè)有I個(gè)SBS到用戶設(shè)備的下行鏈路共享同一個(gè)信道。

圖1 UDN中的多個(gè)SBS

根據(jù)上述模型定義，SBSi與服務(wù)用戶k在t時(shí)刻的數(shù)據(jù)傳輸速率為

(1)

其中,B為傳輸帶寬，Pi(t)為SBSi在t時(shí)間的傳輸功率,σ2為噪聲功率。hi,k(t)表示SBSi和用戶k在時(shí)間t時(shí)的信道增益。Ij,k=∑j≠i,j∈Nhj,k(t)Pj(t)表示其他SBSs造成的干擾。

當(dāng)Ri,k(t)≥Rth時(shí)，下行通信可視為成功連接，其中Rth表示最小成功傳輸速率閾值。

(2)

hi,k(t)Pi(t)-R′(σ2+Ij,k)

(3)

1.2 隊(duì)列狀態(tài)模型和能量使用模型

假設(shè)SBSi發(fā)送qi,k(t)比特給UEk，第i個(gè)SBS隊(duì)列的時(shí)間演化由下式給出[7]:

dqi(t)=ai(t)-Ri(t,Pi(t),h(t))dt

(4)

其中,ai(t)和Ri(·)是SBSi的到達(dá)和傳輸速率的向量，并且h(t)是信道增益的向量。

玩家i在t時(shí)刻的剩余能量狀態(tài)Ei(t)等于可用能量的總量。同時(shí)，0≤Ei(t)≤Ei(0) ，其中Ei(0)是0時(shí)刻的能量。t時(shí)刻的功率控制應(yīng)是任意Pi(t)∈[0,Pmax]，而Pmax為可能的最大發(fā)射功率。不失一般性，將電池剩余能量的演化律定義為[8，15]

dEi(t)=-Pi(t)dt

(5)

即電池能量Ei(t)隨著發(fā)射功率Pi(t)消耗而減小。

根據(jù)介紹的系統(tǒng)模型，SBSi的整體狀態(tài)可以用式(4)中的隊(duì)列狀態(tài)和式(5)中的能量狀態(tài)表示為si=(qi(t),Ei(t))。

2 成本函數(shù)與動(dòng)態(tài)隨機(jī)博弈

2.1 成本函數(shù)

在t時(shí)刻SBSi的成本函數(shù)由如下兩部分組成。第一個(gè)組成部分是與滿足最小數(shù)據(jù)成功傳輸速率相關(guān)的成本Rth，用式(3)的平方來表示?？紤]的成本函數(shù)的第二個(gè)組成部分是與SBS傳輸時(shí)消耗的能量。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)SBSs所消耗的功率與傳輸功率成正比。因此，成本函數(shù)可以表示為

Ji(t)=ω1(hi,k(t)Pi(t)-R′(σ2+Ij,k))2+ω2Pi(t)

(6)

ω1和ω2用來平衡成本函數(shù)的兩個(gè)組成部分的單位。

2.2 動(dòng)態(tài)隨機(jī)博弈

每個(gè)SBS的控制策略隨著動(dòng)態(tài)方程式(4)和式(5)變化而變化。因此，最小化SBS式(6)的成本可以被建模為DSG。因此，將DSG定義為一個(gè)四維的{J，Si，Pi，Ji}。J指的是玩家的集合，它們是SBSs；其中Si和Pi分別是SBSi的狀態(tài)和控制空間；Ji表示玩家i在有限時(shí)間范圍內(nèi)T的累積成本，表示為Ji=

在上述所建立的DSG中，玩家i的控制優(yōu)化問題可以表述為

其中，s-i(t)={sj,j≠i,i∈J}表示其他I-1參與者的狀態(tài)。

據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論，一個(gè)問題在整個(gè)時(shí)間區(qū)間[0,T]上的整體最優(yōu)可以通過在時(shí)間反轉(zhuǎn)的方式[12]中依次構(gòu)造其子問題在時(shí)間區(qū)間[t,T]上的最優(yōu)策略得到。相應(yīng)地，可以將t時(shí)段內(nèi)參與人i的值函數(shù)Ui(t,si(t))設(shè)為[t,T]時(shí)間段內(nèi)的最小代價(jià):

?tsi(t)·Ui(t,si(t))]=0

在式(7)中定義哈密頓量:

H(si(t),Pi(t),Ui(t,si(t)))=

(7)

通過求解由于SBS之間的相互作用而耦合的I個(gè) HJB，可以得到每個(gè)SBS的最優(yōu)功率控制。然而，為了求解每個(gè)SBS的耦合HJB方程，需要每個(gè)SBS獲取所有其他接入SBS的狀態(tài)信息，這需要很高的計(jì)算復(fù)雜度，并且會(huì)導(dǎo)致巨大的額外通信開銷。因此，可以通過引入平均場(chǎng)博弈近似來解決這個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題。

3 平均場(chǎng)功率控制方案

3.1 平均場(chǎng)

由于耦合的偏微分方程而導(dǎo)致的原問題求解的困難性可以通過將原博弈近似為平均場(chǎng)游戲來解決，其中所有玩家的個(gè)體狀態(tài)可以通過單個(gè)統(tǒng)計(jì)分布來捕獲[14]。因此，可以顯著減少耦合的PDE的數(shù)量，并且玩家能夠以分布式方式做出決定。

平均場(chǎng)博弈的建立基于4個(gè)條件[15]:(1)參與者的理性;(2)玩家的連續(xù)性;(3)玩家狀態(tài)之間的互換性;(4)平均場(chǎng)型參與者之間的互動(dòng)。條件(1)是可以保證的，因?yàn)槊總€(gè)SBS都會(huì)做出邏輯決策。條件(2)是根據(jù)SBS的超密集部署來保證的。條件(3)成立，因?yàn)閭€(gè)體的影響在大量參與者中變得無窮小，而SBS指數(shù)之間的交換并不改變博弈的結(jié)果。條件(4)是確定的，因?yàn)槊總€(gè)SBS與MF相互作用，而不是游戲中的實(shí)際個(gè)體。

根據(jù)上述性質(zhì)，原始的DSG可以近似為MFG，其中每個(gè)參與者在眾多參與者中是無法區(qū)分的。因此，可以通過刪除SBS指數(shù)來考慮一個(gè)通用玩家。在MFG中，一般參與者和其他參與者之間的相互作用充分地由其自身的狀態(tài)和質(zhì)量狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布特征。具體來說s=(qT,E)T∈X表示通用玩家的狀態(tài)，m∈XT,XT=X×[0,T]表示平均場(chǎng)分布。m同時(shí)依賴于時(shí)間t和狀態(tài)s(t)，可以表示為

其中，Ⅱ 表示指示器函數(shù)，如果給定條件為真，則返回1，否則返回0。注意，平均場(chǎng)分布是博弈中所有參與者狀態(tài)的概率分布。

3.2 平均場(chǎng)近似(Mean Field Approximation，MFA)

(8)

(9)

ω2Pi(t)

m(t,s(t)) 演化對(duì)應(yīng)于FPK PDE為[10,11,17]:

-?tm(t,s)=(m(t,s)·s(t))

(10)

其中，s是狀態(tài)。

SBS MFG被定義為導(dǎo)出的HJB和FPK方程的組合，其中HJB方程重新定義為

?tUi(t,si(t))+

(11)

因此，SBS的MFG函數(shù)可以被定義為分別在式(10)和式(11)中給出的HJB和FPK方程的組合。HJB被稱為倒向函數(shù)，這意味著它的最終值是已知的，需要確定U(t)在時(shí)間[0,T]的值。由于這個(gè)原因，HJB方程從t=T開始求解，在時(shí)間上向后，在t=0結(jié)束。FPK方程被稱為前向方程，它隨時(shí)間向前發(fā)展。HJB和FPK的互動(dòng)演變導(dǎo)致了MFE。

4 平均場(chǎng)博弈解

4.1 平均場(chǎng)平衡

為了獲得了MFE[9]，本文利用有限差分法。將時(shí)間間隔[0,T]，能量使用狀態(tài)空間[0,Emax]，隊(duì)列狀態(tài)空間[0,qmax]離散為X×Y×Z空間。因此，將分別存在X+1、Y+1和Z+1個(gè)時(shí)間點(diǎn)、能量狀態(tài)和隊(duì)列狀態(tài)?？梢员ＷCMF的正定性的Lax-Friedrichs方法[8，9]被用于離散方程。

4.2 FPK方程的解

首先通過使用Lax-Friedrichs方法求解FPK方程:

-?tm(t,s)=Em(t,s)E(t)+qm(t,s)q(t)

通過使用Lax-Friedrichs方法，得到以下結(jié)果:

M(i,j,k-1)+M(i,j,k+1)]+

M(i,j-1,k)P(i,j-1,k)]+

M(i,j,k-1)P(i,j,k-1)Q(i,j,k-1)]

其中,M(i,j,k)、P(i,j,k)和Q(i,j,k)分別表示離散化網(wǎng)格中時(shí)刻i、能級(jí)j和隊(duì)列狀態(tài)k處的MF、功率和隊(duì)列狀態(tài)的值。

4.3 HJB方程的解

為了求解HJB方程，使用了有限差分技術(shù)。然而，由于哈密頓項(xiàng)的存在，該技術(shù)不能直接應(yīng)用于求解HJB方程。因此，HJB方程被重新定義為以FPK方程為約束的相應(yīng)的最優(yōu)控制問題。引入拉格朗日乘子λ(t,s)得到拉格朗日函數(shù)。假設(shè)終端成本J(T)=0，LangrarianL(m(t,s),p(t,s),λ(t,s))也被離散化。

對(duì)于離散化網(wǎng)格中的任意點(diǎn)(i,j,k)，通過計(jì)算得到的Langrarian關(guān)于M(i,j,k)的一階導(dǎo)數(shù)并使其等于零，可以重新排列以獲得更新λ的以下等式:

λ(i,j-1,k)]+δtQ(i,j,k)

其中，

L(m(t,s),p(t,s),λ(t,s))=

λ(t,s)(?tm(t,s)+E(m(t,s)E(t)+

隨著FPK方程可以通過有限差分離散化并且解決，可以根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件獲得最佳決策變量P*[18]?；?dòng)演變最終導(dǎo)致平均場(chǎng)平衡。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在本節(jié)中，提供了與所提出的平均場(chǎng)功率優(yōu)化控制的超密集5G小蜂窩網(wǎng)絡(luò)下行鏈路通信系統(tǒng)的仿真結(jié)果。為了簡(jiǎn)化模擬，假設(shè)有300個(gè)SBS和150個(gè)UE，并且SBS與其服務(wù)的UE是隨機(jī)分布在500 m×500 m的通信區(qū)域A，如圖2所示。不失一般性，假設(shè)信道帶寬W=20 MHz，σ2=-70 dBm ,Ei(0)=25 J,Pmax=20 W,ω1=10,ω2=0.001。

圖2 SBS分布圖

如圖3所示，可以觀察到與時(shí)間和SBS與匹配用戶之間的隊(duì)列狀態(tài)有關(guān)的平均場(chǎng)的分布。因?yàn)槌跏嫉腗F分布，設(shè)置為滿足于高斯分布，所以初始平均場(chǎng)的分布主要在0.2到0.8之間。隨時(shí)間的推進(jìn)，可以觀察到平均場(chǎng)趨向穩(wěn)定趨勢(shì)。

圖3 MF分布圖

如圖4所示，可以觀察到與時(shí)間和SBS與匹配用戶之間的隊(duì)列狀態(tài)有關(guān)的數(shù)據(jù)率的分布。當(dāng)把最小成功傳輸速率閾值設(shè)為Rth=0.3的時(shí)候，可以觀察到數(shù)據(jù)率的分布會(huì)非常接近0.3這個(gè)閾值。這是因?yàn)?，?dāng)達(dá)到最小成功傳輸閾值后，為了減小成本，數(shù)據(jù)率便不會(huì)再增加。

圖4 速率分布圖

在圖5中，使用所提出算法的飛行能耗用藍(lán)色圓曲線表示。而且，每個(gè)SBS都在初始時(shí)刻找到最優(yōu)功率控制，導(dǎo)致了較高的成本。但在t=0.3后，該算法的成本降低，且低于均勻功率方式。此外，還給出了完全信息下的平均總成本，這可以稱為理論性能，因?yàn)槊總€(gè)SBS都是基于局部信息知道其他SBS的信息的。圖5中的紅色方曲線顯示了完全信息的平均總成本，這與所提出的算法類似。

圖5 N個(gè)SBSs的平均總成本隨時(shí)間變化

6 結(jié)束語

本文研究了在UDN環(huán)境下小型基站的功率控制問題，并考慮了其能量消耗和隊(duì)列狀態(tài)信息。構(gòu)造了一個(gè)隊(duì)列狀態(tài)和能源感知控制策略，稱為MFG。基于導(dǎo)出的HJB和FPK耦合偏微分方程，并使用基于Lax-Friedreich和拉格朗日松弛方法的有限差分算法，得到了MFG的解。數(shù)值結(jié)果顯示了SBSs的分布和行為。此外，通過與一些基準(zhǔn)的比較，說明了所提出的最優(yōu)功率控制方案的性能。該方案的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是：在實(shí)踐中可以分布式執(zhí)行，以減輕中心管理人員的負(fù)擔(dān)。