陳惠全，黃云海，張炯

（1.五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020；2.廣東華路交通科技有限公司，廣東 廣州 510000）

鋼薄板廣泛應(yīng)用于建筑及橋梁工程中，在實際工程中，由于各種需要不可避免地會對薄板進(jìn)行開孔[1-3]，比如檢修孔、螺栓孔、排水孔、管線孔和結(jié)構(gòu)孔等.開孔后的薄板在各種周期性荷載（比如疲勞荷載）作用下容易產(chǎn)生裂紋，進(jìn)而嚴(yán)重影響薄板的力學(xué)性能.而一旦鋼板的孔邊出現(xiàn)裂紋，在某些偶然荷載如地震、臺風(fēng)、爆炸和撞擊等作用下，鋼板承受壓應(yīng)力將出現(xiàn)屈曲問題[4-5].因此研究含孔邊裂紋鋼板在軸心受壓作用下的屈曲性能，對保證結(jié)構(gòu)安全有很重要的工程意義.

對屈曲性能的研究最早可以追溯到 18 世紀(jì)中葉歐拉和拉格朗日對壓桿屈曲的研究，但是僅限于線性問題.幾何非線性和物理非線性的屈曲理論在1900 至1950 年間得到了蓬勃發(fā)展.到了20 世紀(jì)下半葉，彈性穩(wěn)定理論經(jīng)過半個多世紀(jì)的發(fā)展取得了許多標(biāo)志性成果.在20 世紀(jì)末期，隨著計算手段和理論方法的發(fā)展，屈曲性能的研究空間逐漸被拓寬.近些年，數(shù)值方法和與之相應(yīng)的商業(yè)軟件逐漸走向多樣化和成熟化，如今的數(shù)值分析軟件已經(jīng)可以在計算中同時考慮復(fù)雜耦合荷載、初始幾何缺陷和非線性變形等因素的影響[6-7].在此基礎(chǔ)上，越來越多的學(xué)者開始關(guān)心含孔或裂紋薄板的屈曲和后屈曲問題.Zuxing Pan 等[8]基于Muskhelishvili 復(fù)變量公式和Raleigh-Ritz 能量法提出了一種改進(jìn)的混合半解析法，用于計算具有中心直穿厚裂紋的軸壓薄板的彈性屈曲荷載，文獻(xiàn)研究了不同邊界條件下裂紋長度和板的長寬比對裂紋擴(kuò)展的影響，結(jié)果表明：基于精準(zhǔn)的非均勻面內(nèi)應(yīng)力分布，比現(xiàn)有的幾種基于均勻面內(nèi)應(yīng)力分布的分析方法更準(zhǔn)確.Mohammad Hossein Taher[9]采用試驗和擴(kuò)展有限元法研究了裂紋長度和裂紋位置對單裂紋薄板屈曲穩(wěn)定性的影響，對含偏心裂紋的鋁板進(jìn)行了單軸壓縮試驗，并得出了相關(guān)結(jié)論.雖然Mohammad Hossein Taher 在前人的基礎(chǔ)上增加了夾具緊固夾條的高度，實現(xiàn)了更大的夾緊力，但是這兩種夾具都僅能對上下邊緣提供加載條件，對于側(cè)邊無法提供有效的約束.

因此本文將采用試驗和有限元的方法，對含孔邊裂紋的鋼板在軸心受壓下的屈曲性能開展研究，以探索有效準(zhǔn)確評估含孔邊裂紋板件受壓穩(wěn)定承載力的方法，并擬合出屈曲系數(shù)經(jīng)驗公式.

1 含孔邊裂紋鋼板的軸心受壓性能試驗

1.1 試驗介紹

本次鋼板壓縮試驗在 SANS 萬能試驗機上進(jìn)行.試驗件采用邊長200 mm、厚度1.4 mm 的正方形鋼薄板.鋼板的圓孔和裂紋采用迪能激光切割機進(jìn)行相應(yīng)的切割.本文對鋼板含有單邊不同形式的孔邊裂紋情況開展研究，具體的裂紋形式如圖1 所示.實驗中薄板的上邊緣固定、下邊緣移動，采用位移控制進(jìn)行軸心受壓，試驗固定加載速率為5 mm/min，并通過夾具的調(diào)整實現(xiàn)簡支和固支的約束邊界條件.

圖1 含孔邊裂紋板參數(shù)化模型

1.2 試驗?zāi)Ｐ驼f明

本試驗對不同孔徑、不同裂紋長度和不同裂紋傾角的含孔邊裂紋薄板的屈曲承載力和極限承載力進(jìn)行了研究.薄板在豎直方向受壓縮荷載作用，邊界條件分別為C-S 和S-S，其中C-S為下端固支上端簡支，S-S 為上下端簡支，兩種邊界下的側(cè)邊均為自由邊，如圖2 所示.

圖2 模型受力及邊界條件示意圖

1.3 試驗測試方式和加載速率

試驗數(shù)據(jù)的測量和采集由SANS 萬能試驗機自動記錄完成，測量數(shù)據(jù)主要為位移和反力.加載方式如圖3 所示，加載邊為鋼板上下邊緣，其中下邊緣可移動，采用位移控制進(jìn)行軸向壓縮試驗，試驗固定加載速率為5 mm/min.

圖3 加載中的鋼板

1.4 試驗結(jié)果

在實驗中，隨著薄板下邊緣位移的增加，薄板中部的撓度逐漸增加，并達(dá)到極限荷載失去承載力，典型的失效形式如圖4 所示.典型的位移-荷載曲線如圖5 所示.

圖4 典型的失效形式

圖5 位移-荷載曲線

從圖5 可以看出，隨著荷載的不斷增加，位移-荷載曲線首先達(dá)到初始屈曲點（紅色三角形點），在該過程中鋼板的兩個自由邊的撓度并無明顯增加.隨著荷載的繼續(xù)增加，位移-荷載曲線進(jìn)入非線性段，隨著位移的增加，薄板承載力稍有提升，并達(dá)到極限荷載（綠色圓形點），此時自由邊撓度快速增加.隨后位移-荷載曲線的迅速下降，此后試件完全喪失承載力.

1.5 試驗結(jié)果分析

含孔邊裂紋薄板在受壓時薄弱區(qū)域在撓度較大的中部，若薄弱區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)裂紋，則裂紋的長度和角度將對極限荷載造成較大影響.為了探究單邊裂紋長度和裂紋傾角對薄板屈曲荷載的影響，對54 個含單邊裂紋的開孔板進(jìn)行試驗，結(jié)果如表1 所示，結(jié)果分析如圖6 所示.

表1 單邊裂紋板試驗值

（續(xù)表1）

從圖6 可以看出：1）在C-S 和S-S 邊界條件下，穩(wěn)定極限荷載隨著裂紋長度比的增加而下降，當(dāng)裂紋長度比較小時裂紋傾角對極限荷載影響較小，但是隨著裂紋長度比的增加裂紋傾角的影響開始凸顯；2）含孔邊裂紋薄板在C-S 邊界條件下的極限荷載明顯大于S-S 邊界條件下的極限荷載；3）在C-S 邊界條件下，含孔邊裂紋板的極限荷載對30°至45°的裂紋傾角變化比較敏感，而在S-S邊界條件下，含孔邊裂紋板的極限荷載對0°至30°的裂紋傾角變化比較敏感.

由圖6-a 可見：1）D= 40 mm、θ=0°的板，裂紋長度比從0.1 增加到0.5，含孔邊裂紋鋼板比不含裂紋開孔板的極限承載力分別下降了1.3%、4%和8.3%；2）裂紋長度比一定時，θ=45°與θ=30°極限承載力相差不大，但與θ=0°相差較大.

由圖6-b 可見：1）在C-S 邊界下，D= 80 mm、θ=0°的板，裂紋長度比從0.1 增加到0.5，含孔邊裂紋鋼板比不含裂紋開孔板的極限承載力分別下降了4.4%、6.9%和17.5%；當(dāng)θ=45°時，隨著裂紋長度比從0.1 增長到0.5，其極限承載力與不含裂紋開孔板的極限承載力下降分別為2.3%、4.4%和10.8%；2）D= 80 mm，當(dāng)裂紋長度比為0.5 時，θ=30°與θ=0°、θ=45°的極限承載力的差率分別為：1%和9.1%，說明θ=45°與其他兩個角度極限承載力相差較大.

由圖6-c 可見：1）D= 40 mm、θ=0°的板，裂紋長度比從0.1 增加到0.5，含孔邊裂紋鋼板比不含裂紋開孔板的極限承載力分別下降了2%、3.4%和4.77%；2）當(dāng)裂紋的長度比為0.5 時，θ=45°與θ=30°極限承載力相差不大，但與θ=0°相差大.

由圖6-d 可見：1）D= 80 mm、θ=0°的板，裂紋長度比從0.1 增加到0.5，含孔邊裂紋鋼板比不含裂紋開孔板的極限承載力分別下降了4.1%、5.3%和22.6%；2）當(dāng)θ=45°時，隨著裂紋長度比從0.1 增長到0.5，其極限承載力的下降分別為0.3%、4.5%和8%.

圖6 裂紋長度比、裂紋傾角和孔徑對極限荷載的影響

2 含孔邊裂紋板軸心受壓性能的有限元驗證

由于鋼板的屈曲荷載與裂紋參數(shù)、邊界條件和開孔率等各種因素相關(guān)，因此本文采用有限元軟件ABAQUS 研究各種參數(shù)對鋼板的屈曲荷載的影響.在研究各種參數(shù)的具體影響之前，首先對有限元方法的有效性進(jìn)行驗證.

采用有限元方法對實驗中的含孔邊裂紋板的軸向壓縮進(jìn)行模擬，在有限元中，孔邊的裂紋通過ABAQUS 中的Interaction 模塊設(shè)置和生成，分析中采用4 節(jié)點減縮積單元[10].

在分析中，薄板的上邊緣的邊界條件分為固支和簡支，下邊緣的邊界條件分為固支和簡支，典型實例的邊界條件、網(wǎng)格劃分和計算結(jié)果（一階屈曲模態(tài)）如圖7 所示.

圖7 典型的含孔邊裂紋板的有限元模型

對C-S 單孔單裂紋板在不同裂紋長度比、傾角及孔徑下的薄板屈曲承載力進(jìn)行有限元模擬，并與實驗結(jié)果進(jìn)行對比，其結(jié)果如表2 所示.

表2 有限元結(jié)果與試驗結(jié)果對比

從表2 可以看出，極個別情況下，有限元分析（模擬結(jié)果）和試驗結(jié)果的誤差為10.26%，這是因為在有限元分析中，沒有考慮薄板因加工、運輸?shù)仍斐傻某跏紦隙龋约皫缀尾煌暾纫蛩貙Ρ“宄休d力的影響.此外，實驗過程中夾具的對中和邊界條件的實現(xiàn)與理想狀態(tài)也存在一定的誤差.除此之外，大部分誤差均在6.44%左右，誤差在允許的范圍內(nèi)，說明有限元分析結(jié)果與試驗結(jié)果有較好的吻合.

3 含孔邊裂紋板軸心受壓的臨界屈曲荷載的影響因素分析

下面通過有限元方法對裂紋參數(shù)、邊界條件和開孔率等因素對鋼板的屈曲承載力的影響進(jìn)行分析，以期得到含孔邊裂紋鋼板屈曲系數(shù)經(jīng)驗公式，方便工程應(yīng)用.

3.1 裂紋長度比對屈曲荷載的影響

在有限元中取薄板長寬為200 mm，厚度為1.4 mm，孔的直徑80 mm，裂紋長度比分別取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6 和0.7，裂紋傾斜角分別取0°、30°、45°、60°和90°，邊界條件分別為S-S 和C-S，通過有限元分析得到相應(yīng)的屈曲荷載，如圖8 所示.

圖8 裂紋長度比對屈曲荷載的影響

從圖8 可以看出：1）隨著裂紋長度比的增加，屈曲荷載明顯下降，這種趨勢在裂紋傾斜角度較小和孔徑較大的時候更為明顯.2）邊界條件對屈曲荷載的影響是顯著的，固支邊界下薄板的承載力遠(yuǎn)高于簡支邊界下薄板的承載力.3）當(dāng)裂紋長度比小于0.2 時，裂紋傾角對板件的屈曲荷載影響非常小，隨著裂紋長度比的增加，裂紋傾角對屈曲荷載的影響才開始凸顯，且出現(xiàn)兩種極端情況，即當(dāng)裂紋傾角為90°時，屈曲荷載基本不受裂紋長度的影響；而當(dāng)裂紋傾角為0°時，裂紋長度對荷載的影響最大.

3.2 裂紋傾斜角對薄板屈曲荷載的影響

在有限元中取薄板長寬為200 mm，厚度為1.4 mm，孔的直徑80 mm，裂紋長度比固定為0.5，研究裂紋傾角從0°逐漸增加到90°時，板件的屈曲荷載變化情況，其結(jié)果如圖9 所示.

圖9 裂紋傾斜角對屈曲荷載的影響

從圖9-a 可以看出：1）在S-S 邊界下，隨著裂紋傾斜角的增加，鋼板的屈曲荷載增幅逐漸增加，當(dāng)傾斜角為60°左右時，屈曲荷載的增幅開始下降.2）在C-S 邊界下，屈曲荷載隨著裂紋傾斜角增大呈現(xiàn)出先減少再增加的趨勢，屈曲荷載最小值出現(xiàn)在裂紋傾角為30°左右時，其原因可能是在邊界條件對稱的情況下，薄板剛度最薄弱的位置出現(xiàn)在中部，而當(dāng)邊界條件不對稱時，薄板剛度最薄弱的位置會出現(xiàn)一定的偏移.3）在C-C 邊界下，屈曲荷載隨著裂紋傾斜角的增加趨勢顯著變快，在傾斜角為 40°至60°時趨于平穩(wěn)，然后隨著裂紋傾斜角的變大荷載持續(xù)增加，但是增幅明顯比在10°至40°時小.

在圖9-b 中，SSSF 邊界下，屈曲荷載隨著裂紋傾角的增加先下降，最小值出現(xiàn)在裂紋傾斜角度為10°時，然后上升，當(dāng)裂紋傾角大于60°時趨于平穩(wěn)；當(dāng)裂紋傾斜角為30°至60°時，傾斜角對屈曲荷載的影響更為明顯.而當(dāng)裂紋傾斜角度大于60°后，隨著角度增加荷載值逐漸收斂.其原因可能是較大的裂紋傾斜角度會使得裂紋位置發(fā)生改變，裂紋由中部逐漸向中上部移動，使得裂紋不再位于薄板的剛度薄弱區(qū)，同時較大的傾斜角度會使得薄板在受壓方向的損傷減少，其抗彎剛度得到了一定的提升，所以此時裂紋角度變化對其臨界荷載的影響逐漸減少.

3.3 板件開孔率（開孔面積/開孔前薄板面積）對屈曲荷載的影響

在有限元中取薄板長寬為200 mm，厚度為1.4 mm，研究不同邊界條件下，薄板開孔率從0 到0.7 時，板件的屈曲臨界荷載的變化情況如圖10 所示.

從圖10 中可以看出，隨著開孔率的增加，板件的屈曲荷載逐漸下降，同時降幅也逐漸減小.在S-S邊界條件下，曲線相對平緩，呈下凹的形式；C-S邊界下，在開孔率為0 至0.1 時屈曲荷載下降幅度最大，同時下凹的趨勢放緩；在C-C 邊界下，當(dāng)開孔率為0 至0.1 時，隨著開孔率的增加屈曲荷載快速下降，但是在開孔率為0.1 至0.7 時，開孔率和屈曲荷載大致呈線性關(guān)系.

圖10 薄板開孔率對屈曲荷載的影響

3.4 屈曲系數(shù)經(jīng)驗公式

基于上述有限元的分析結(jié)果，通過MATLAB 采用最小二乘法對各種因素下含孔邊裂紋薄板的屈曲承載力的有限元結(jié)果進(jìn)行二次擬合，得到含孔邊裂紋板的屈曲系數(shù)k.

在S-S 邊界條件下，含孔邊裂紋板的屈曲系數(shù)擬合函數(shù)如下（R2= 0.935）：

在C-S 邊界條件下，含孔邊裂紋板的屈曲系數(shù)擬合函數(shù)如下（R2= 0.978）：

在C-C 邊界條件下，含孔邊裂紋板的屈曲系數(shù)擬合函數(shù)如下（R2= 0.927）：

在SSSF 邊界條件下，含孔邊裂紋板的屈曲系數(shù)擬合函數(shù)如式如下（R2= 0.986）：

在SSSS 邊界條件下，含孔邊裂紋板的屈曲系數(shù)擬合函數(shù)如下（R2= 0.932）：

其中D為圓孔直徑，θ為裂紋傾斜角，a為板裂紋長度.

選取θ=0°，a=0.1，D=0.8代入式（2），計算k= 2.162 - 0.007 6D- 0.006 3 ·，得：k= 1.492.

根據(jù)板殼理論，均勻軸向壓縮荷載下矩形薄板的臨界應(yīng)力計算如下：

其中，Kc為臨界屈曲系數(shù)；v為板材的泊松比；t為材料的厚度；E為彈性模量；b為薄板加載邊的寬度.根據(jù)Q235 鋼的力學(xué)性能，取v=0.3，E= 207 GPa，本文板的尺寸：t= 1.4 mm，b= 200 mm，由飛機設(shè)計手冊查得Kc=1.6，則σcr= 14.65 MPa，計算有：Fcr= 4102 N.而當(dāng)k= 1.492，其σ= 13.66，計算屈曲荷載：FN= 3826 N.根據(jù)表1 的實驗結(jié)果，屈曲荷載為：3 924 N.三者比較，式（2）擬合出來的屈曲系數(shù)k的誤差大約為2.6%，而理論屈曲系數(shù)Kc的誤差大約為4.5%.所以本文的屈曲系數(shù)更加接近工程實際.

4 結(jié)論

本文對含孔邊裂紋薄板進(jìn)行了軸心受壓試驗，結(jié)果表明：板件開孔率、裂紋長度、裂紋傾斜角度和邊界條件都會顯著影響薄板的屈曲荷載；對于開孔率（孔徑）較小或裂紋長度較小的薄板，裂紋傾斜角度的變化對其屈曲荷載影響較小.基于有限元分析軟件 ABAQUS 對含孔邊裂紋薄板進(jìn)行了屈曲性能分析，細(xì)化了裂紋長度、傾角和分布方式對屈曲荷載和極限荷載的影響，并基于大量的有限元計算結(jié)果，采用最小二乘法對5 種邊界條件下含孔邊裂紋板的屈曲系數(shù)和極限荷載進(jìn)行了擬合，得到了含孔邊裂紋薄板屈曲系數(shù)和極限荷載的經(jīng)驗公式.本文結(jié)果主要針對含有單個圓孔的情況，對于含有多孔多裂紋的情況需要進(jìn)一步探索.另外，本文僅對板件的軸心壓縮展開了研究，對于偏心壓縮還需要進(jìn)一步探索.