田素梅， 張應(yīng)鵬， 張賀銘， 祁武超

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空發(fā)動(dòng)機(jī)學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110136；2.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 沈陽(yáng) 110136)

0 引言

為降低能源需求，高空長(zhǎng)航時(shí)無(wú)人機(jī)通常采用大展弦比方案以追求高的升阻比。然而，隨著翼展的增大，機(jī)翼結(jié)構(gòu)固有頻率會(huì)發(fā)生相應(yīng)地降低，呈現(xiàn)出“長(zhǎng)且柔”的特點(diǎn),導(dǎo)致大展弦比無(wú)人機(jī)通常具有較低的顫振速度，且翼尖容易發(fā)生扭轉(zhuǎn)顫振。當(dāng)飛行任務(wù)改變導(dǎo)致飛行速度增加，例如被追擊時(shí)，機(jī)翼較低的顫振速度將成為其成功逃脫的限制因素。另一方面，由于無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)形式的特殊性，常采用空中投放的方式進(jìn)行起飛作業(yè)，較長(zhǎng)的翼展會(huì)對(duì)裝載空間提出很高的要求，尤其是無(wú)人機(jī)在需要完成集群作業(yè)時(shí)，單次投放的無(wú)人機(jī)數(shù)量會(huì)受到空間限制。一種解決方案是通過(guò)結(jié)合適當(dāng)?shù)你q鏈幾何結(jié)構(gòu)，在飛行過(guò)程中將大展弦比機(jī)翼進(jìn)行折疊和展開(kāi)一定的角度以期獲得更好的飛行和操縱性能。

2009年，Sebastian等[1]建立了一種氣動(dòng)彈性模型用于求解兩段均勻折疊機(jī)翼的顫振解析解，可通過(guò)調(diào)整該模型所設(shè)置的參數(shù)以觀察顫振解的變化，結(jié)果顯示，內(nèi)側(cè)機(jī)翼和外側(cè)機(jī)翼之間的折疊角對(duì)于兩段折疊翼的氣動(dòng)彈性行為具有重要影響。2010年，Attar等[2]研究了由機(jī)身、內(nèi)側(cè)機(jī)翼和外側(cè)機(jī)翼組成的折疊機(jī)翼結(jié)構(gòu)非線性氣動(dòng)彈性效應(yīng)，結(jié)構(gòu)部分采用馮卡門(mén)幾何非線性動(dòng)力學(xué)理論建模，而氣動(dòng)模型則使用三維渦格法進(jìn)行描述；將計(jì)算模型結(jié)果與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比發(fā)現(xiàn)，極限環(huán)振蕩幅度和理論的主響應(yīng)頻率結(jié)果相吻合；并且，具有最大外側(cè)折疊角的折疊機(jī)翼在極限環(huán)振蕩時(shí)翼尖位移要高于其他兩種配置。2011年，Wang等[3]基于梁理論提出一種預(yù)測(cè)多段折疊翼固有頻率的計(jì)算方法，結(jié)構(gòu)模型通過(guò)在各段機(jī)翼之間添加約束條件得到，并基于Lagrange方程得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，其將理論分析結(jié)果與試驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比，在分別考慮2段、3段、4段模型的情況下誤差不超過(guò)10%。Zhao等[4]研究了在不同參數(shù)配置下的折疊翼顫振特性并提出一種參數(shù)化氣動(dòng)彈性模型，結(jié)構(gòu)部分是在子結(jié)構(gòu)綜合的基礎(chǔ)上建立，而氣動(dòng)力模型采用偶極子格點(diǎn)法得到，算例結(jié)果顯示折疊翼的顫振特性對(duì)折疊角度是敏感的，隨著折疊角的增加會(huì)發(fā)生模態(tài)遷移的現(xiàn)象。Zhao等[5]還采用一種浮動(dòng)框架法建立了一組控制折疊翼變形過(guò)程中隨時(shí)間演化的微分代數(shù)方程組，并計(jì)算了機(jī)翼變形過(guò)程中的瞬態(tài)響應(yīng)，其所建立的方程組可以與計(jì)算流體力學(xué)(CFD)程序集成以對(duì)折疊機(jī)翼進(jìn)行瞬態(tài)氣動(dòng)彈性分析。

2016年，Hu等[6]考慮了折疊翼在變形過(guò)程中的氣動(dòng)彈性現(xiàn)象，折疊翼結(jié)構(gòu)使用柔性多體模型化，并通過(guò)偶極子格網(wǎng)法得到氣動(dòng)影響系數(shù)矩陣；結(jié)果顯示折疊過(guò)程和展開(kāi)過(guò)程對(duì)氣彈穩(wěn)定性有著相反的影響。同年，Castrichini等[7-8]研究了在飛行中利用折疊翼梢作為減少動(dòng)態(tài)陣風(fēng)載荷效應(yīng)的裝置，其引入了被動(dòng)非線性鉸鏈彈簧，僅在較大載荷情況下允許翼梢發(fā)生偏轉(zhuǎn)，結(jié)果表明，這種鉸鏈彈簧裝置對(duì)減少陣風(fēng)載荷具有顯著效果。Yuan等[9]研究了飛行器折疊椅在低空高速展開(kāi)的過(guò)程，這一過(guò)程伴隨有非定常流動(dòng)，為了準(zhǔn)確模擬非定常流動(dòng)中的移動(dòng)邊界問(wèn)題，采用具有重疊非結(jié)構(gòu)多面體網(wǎng)格的非定常CFD方法計(jì)算氣動(dòng)力，得到的結(jié)構(gòu)展開(kāi)角度和角速度可用于機(jī)翼展開(kāi)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)過(guò)程。Hu等[10]研究了具有立方剛度非線性折疊機(jī)翼的氣動(dòng)彈性特性，折疊翼的結(jié)構(gòu)模型由拉格朗日方程描述，同時(shí)使用偶極子網(wǎng)格法計(jì)算不同折疊狀態(tài)下的氣動(dòng)影響系數(shù)矩陣，并引入Kriging代理模型技術(shù)將系數(shù)矩陣插值為有理函數(shù)。具有立方剛度的折疊翼氣動(dòng)彈性響應(yīng)表明，折疊翼的變形過(guò)程對(duì)初始條件和折疊角是敏感的。范國(guó)芳等[11]針對(duì)飛行器翼面的高速展開(kāi)過(guò)程，采用和非定常兩種方法對(duì)折疊翼面展開(kāi)過(guò)程氣動(dòng)載荷進(jìn)行分析研究；研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)翼面展開(kāi)速度與來(lái)流速度相近時(shí)，展開(kāi)過(guò)程的非定常效應(yīng)不可忽略而必須采用非定常模擬方法。單繼祥等[12-13]對(duì)對(duì)稱折疊、順向折疊方式下折疊翼的氣動(dòng)特性及展開(kāi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬和動(dòng)力學(xué)仿真，比較了折疊方式對(duì)折疊翼氣動(dòng)特性、展開(kāi)運(yùn)動(dòng)特性的影響，并分析了影響機(jī)制。

2019年，Hui等[14]研究了受鴿子翅膀結(jié)構(gòu)啟發(fā)的仿生變形離散機(jī)翼，受變形骨架結(jié)構(gòu)控制，機(jī)翼可主動(dòng)變形為與鴿翼姿態(tài)相似的后掠翼構(gòu)型，同時(shí)保持與鴿翼相似的離散翼面，結(jié)果表明，仿生機(jī)翼可在不同雷諾數(shù)下通過(guò)折疊變形保持最佳升阻比，并且可通過(guò)有效降低翼尖渦強(qiáng)度來(lái)實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)的誘導(dǎo)減阻，并提高無(wú)人機(jī)的橫向穩(wěn)定性。Cheung等[15-16]指出，通過(guò)允許在飛行過(guò)程中折疊翼尖，可以在一定程度上實(shí)現(xiàn)陣風(fēng)載荷減緩，其基于折疊翼梢的概念設(shè)計(jì)了具有大幅降低彎曲剛度的大展弦比機(jī)翼，并將其置于帶有垂直陣風(fēng)發(fā)生器的低速風(fēng)洞中，發(fā)現(xiàn)機(jī)翼根部的彎矩峰值減少了11%；此外，其在折疊翼梢上安裝了一個(gè)可移動(dòng)的二次空氣動(dòng)力表面，該裝置能夠在穩(wěn)定的空氣動(dòng)力條件下有效地控制折疊翼梢的方向，并通過(guò)主動(dòng)控制進(jìn)一步降低陣風(fēng)過(guò)程中的機(jī)翼根部峰值彎矩。宋慧心等[17]基于多剛體動(dòng)力學(xué)對(duì)折疊翼飛行器建模，并對(duì)其變形進(jìn)行穩(wěn)定控制，通過(guò)氣動(dòng)計(jì)算擬合出氣動(dòng)參數(shù)與折疊角之間的函數(shù)關(guān)系，由此分析不同折疊角速度下飛行器的縱向動(dòng)態(tài)特性，結(jié)果表明，折疊翼飛行器變形過(guò)程中速度、高度和扭轉(zhuǎn)角均會(huì)發(fā)生變化。徐偉等[18]對(duì)處于極端工況和強(qiáng)氣流環(huán)境下的折疊翼飛機(jī)進(jìn)行模態(tài)和流固耦合分析，結(jié)果表明其所設(shè)計(jì)的折疊翼飛機(jī)能夠滿足極限工況環(huán)境下的強(qiáng)度和剛度要求。

2021年，Healy等[19]通過(guò)數(shù)值仿真和試驗(yàn)手段研究了外展折疊翼尖對(duì)飛機(jī)機(jī)翼滾轉(zhuǎn)性能的影響，其設(shè)計(jì)、制造和測(cè)試了相應(yīng)的滾動(dòng)裝置，并對(duì)不同長(zhǎng)度翼展和折疊翼尖的機(jī)翼進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果表明在飛機(jī)機(jī)翼上使用外展折疊翼尖可以提高空氣動(dòng)力性能，同時(shí)可顯著減低由于滾轉(zhuǎn)引起的空氣動(dòng)力阻尼。Favel等[20]提出一種具有幾何非線性的飛機(jī)氣動(dòng)彈性建模方法，其構(gòu)建了用于三維非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的模態(tài)模型，將機(jī)翼的線性段與非線性耦合項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)，模型的非線性是通過(guò)將機(jī)翼結(jié)構(gòu)沿展向分成幾個(gè)部分引入，在分段的界面處使用虛擬質(zhì)量以有效減少分段數(shù)量并獲得足夠的計(jì)算精度。詹玖榆等[21]提出一種基于流形切空間插值的可折疊式變體機(jī)翼參數(shù)化氣動(dòng)彈性建模方法，并以一小展弦比折疊翼為研究對(duì)象，從折疊翼自由振動(dòng)時(shí)的參變模態(tài)特性、顫振邊界預(yù)測(cè)兩方面進(jìn)行了算例驗(yàn)證。初雨田等[22]基于離散化的思想對(duì)折疊翼進(jìn)行建模，并利用Fluent軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，從升力系數(shù)和阻力系數(shù)變化及壓力分布分析艦載機(jī)折疊翼的氣動(dòng)特性。Huang等[23]提出一種對(duì)具有雙線性鉸鏈剛度折疊翼的參數(shù)化建模方法，可在不同折疊角度下對(duì)機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性參數(shù)化描述。Rafic[24]研究了外展鉸鏈?zhǔn)降恼郫B翼尖對(duì)窄體運(yùn)輸機(jī)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)和飛行動(dòng)力學(xué)的影響，并評(píng)估了折疊角和翼尖尺寸對(duì)機(jī)翼載荷的影響。

本文將基于彎扭組合梁元構(gòu)建大展弦比等剖面多段折疊翼的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，并根據(jù)修正的片條理論得到有限翼展升力面的氣動(dòng)力，最后引入V-g法(V為機(jī)翼與未擾空氣之間的相對(duì)速度，g為人工結(jié)構(gòu)阻尼)得到多段折疊翼的顫振速度和顫振頻率。

1 大展弦比等剖面多段折疊翼幾何模型

考慮如圖1所示的等剖面多段折疊翼，共分為n段，其中第k段的長(zhǎng)度記為L(zhǎng)k，折疊角記為ηk，k=1,2,…,n。

圖1 等剖面多段折疊翼Fig.1 A multi-segment folding wing with equal section

與舒展?fàn)顟B(tài)相比，機(jī)翼進(jìn)行折疊后其整體剛性會(huì)發(fā)生較大改變，并且，結(jié)構(gòu)幾何形狀的改變帶來(lái)了氣動(dòng)力的重新分布，可以預(yù)料機(jī)翼的顫振特性將發(fā)生較大的改變。所以，有必要對(duì)等剖面多段折疊翼的顫振特性進(jìn)行研究，以保證飛機(jī)結(jié)構(gòu)的安全性。

2 基于彎扭組合梁元的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

2.1 局部坐標(biāo)系中的彎扭組合梁元

基于有限元法對(duì)折疊翼的分段梁式結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行離散，作用在梁?jiǎn)卧系妮d荷既包括面內(nèi)橫向氣動(dòng)升力，還包括氣動(dòng)力對(duì)彈性軸產(chǎn)生的氣動(dòng)力矩。這實(shí)際上是一個(gè)空間梁元問(wèn)題，然而，在平面一般梁元的基礎(chǔ)上再疊加扭轉(zhuǎn)自由度也可模擬彎扭載荷共同作用下的梁式模型。在局部坐標(biāo)系中，疊加了軸向位移和扭轉(zhuǎn)角的平面直梁?jiǎn)卧總€(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度有4個(gè)，包括軸向位移v、橫向撓度w和面內(nèi)轉(zhuǎn)角θ和扭轉(zhuǎn)角α，如圖2所示。

圖2 局部坐標(biāo)系中的彎扭直梁?jiǎn)卧狥ig.2 A beam element considering bending and torsion deformations in a local coordinate system

(1)

在局部坐標(biāo)系中，彎扭組合梁元的勢(shì)能為

(2)

對(duì)于梁元的彎曲變形，選取2節(jié)點(diǎn)Hermite單元，其彎曲位移模式為

w=Nw·we=[Nw1,Nw2,Nw3,Nw4]·[wi,θi,wj,θj]T

(3)

式中：Nw1=1-3ξ2+2ξ3，Nw2=(ξ-2ξ2+ξ3)l，Nw3=3ξ2-2ξ3，Nw4=(ξ3-ξ2)l，ξ=yi/l為單元內(nèi)的自然坐標(biāo)，且有0≤ξ≤1。而對(duì)于梁元的軸向變形和扭轉(zhuǎn)變形，選取基于1維Lagrange插值多項(xiàng)式表示的位移模式，分別為

v=Nvve,α=Nααe

(4)

式中：Nv=Nα=[N1,N2]=[1-ξ,ξ]；ve=[vi,vj]T；αe=[αi,αj]T。

將(3)式和(4)式代入(2)式，彎扭梁元的勢(shì)能可重寫(xiě)為

(5)

(6)

另外，圖1(b)所示機(jī)翼截面中任意一點(diǎn)的速度為

(7)

忽略彎扭梁元軸線方向的變形速度，其動(dòng)能為

(8)

(9)

(10)

第k段機(jī)翼上非定常氣動(dòng)力所做的虛功為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

由(6)式、(10)式和(12)式，忽略結(jié)構(gòu)阻尼，可得第k段機(jī)翼上局部坐標(biāo)系中彎扭梁元的有限元方程

(16)

2.2 模態(tài)坐標(biāo)系下的多段折疊翼動(dòng)力學(xué)方程

(17)

式中：

(18)

(19)

對(duì)機(jī)翼根部施加約束，并進(jìn)行模態(tài)分析得到振型矩陣Φ。采用模態(tài)截?cái)喾?，僅引入較低的前r階固有頻率和振型參與氣動(dòng)彈性計(jì)算，記截?cái)嗪蟮恼裥途仃嚍?/p>

Φ*=[φ(1)φ(2)…φ(r)]

(20)

主坐標(biāo)列陣為

(21)

(22)

在(19)式兩端同時(shí)乘以Φ*T，可得到模態(tài)坐標(biāo)系下的多段折疊翼整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程：

(23)

3 顫振計(jì)算

對(duì)于等剖面大展弦比機(jī)翼，在空氣動(dòng)力學(xué)方面近似采用片條理論或修正的片條理論可得到有限翼展升力面的氣動(dòng)力。所以，可將機(jī)翼沿展向劃分為若干氣動(dòng)片條，將作用在每一個(gè)片條上的氣動(dòng)力視為二維氣動(dòng)力。在進(jìn)行氣動(dòng)彈性分析時(shí)，需要在結(jié)構(gòu)和空氣動(dòng)力之間提供相互連接的途徑，通常是將結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)和空氣動(dòng)力數(shù)據(jù)通過(guò)樣條插值實(shí)現(xiàn)相互傳遞。為方便起見(jiàn)，不失一般性地，可將空氣動(dòng)力片條劃分規(guī)則與機(jī)翼結(jié)構(gòu)彎扭梁元?jiǎng)澐忠?guī)則取為一致。如此，作用在每一個(gè)彎扭梁元上的氣動(dòng)載荷可視為是均勻分布的，可通過(guò)(12)式將氣動(dòng)升力和氣動(dòng)扭矩分配到彎扭梁元上的節(jié)點(diǎn)上。假設(shè)機(jī)翼和空氣的相對(duì)速度為V，空氣密度為ρa(bǔ)，根據(jù)Theodorsen非定常氣動(dòng)力理論，單位展長(zhǎng)機(jī)翼所受的氣動(dòng)力為

(24)

(25)

式中：h為機(jī)翼的沉浮位移，向下為正；α為機(jī)翼攻角，抬頭為正；C(kR)為T(mén)heodorsen函數(shù)(以下簡(jiǎn)記為C)；變?cè)猭R=ωb/V為折合頻率，ω為機(jī)翼作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率。

(26)

(27)

根據(jù)(3)式和(4)式，(26)式和(27)式中的wk和αk分別為

wk=Nw(1/2)·we,αk=Nα(1/2)·αe

(28)

從而(15)式可重寫(xiě)為矩陣形式：

(29)

式中：

將(29)式代入(16)式，可得第k段機(jī)翼在局部坐標(biāo)系中的有限元方程為

(30)

(31)

(32)

式中：

(33)

由顫振方程得到特征值為

(34)

進(jìn)一步得到

(35)

4 數(shù)值算例

考察一個(gè)等剖面三段式折疊機(jī)翼，完全舒展?fàn)顟B(tài)時(shí)為一大展弦比機(jī)翼[25]，如圖3所示，其物理參數(shù)如表1所示，進(jìn)行顫振計(jì)算時(shí)取空氣密度為1.225 kg/m3。取前2階彎曲模態(tài)(固有頻率分別為3.069 28 Hz、19.236 2 Hz)和前2階扭轉(zhuǎn)模態(tài)(固有頻率分別為45.782 7 Hz、137.348 Hz)參與計(jì)算，將該等剖面大展弦比機(jī)翼的顫振計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖3 等剖面三段式折疊機(jī)翼Fig.3 A three-segment folding wing with equal section

表1 大展弦比機(jī)翼的物理參數(shù)

圖4 顫振計(jì)算結(jié)果Fig.4 Results of flutter analysis

由圖4可知，該機(jī)翼顫振現(xiàn)象出現(xiàn)在第1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)上，顫振速度VF0=35.22 m/s，顫振頻率fF0=24.29 Hz。趙永輝等[25]使用與本文同樣的物理參數(shù)，并取前兩階彎曲模態(tài)和前兩階扭轉(zhuǎn)模態(tài)參與計(jì)算，得到的顫振速度為35.3 m/s，顫振頻率為24 Hz。與其相比，使用本文方法計(jì)算得到的顫振速度誤差為0.23%，顫振頻率誤差為1.21%。

4.1 多段折疊翼固有頻率特征

機(jī)翼折疊后，結(jié)構(gòu)固有頻率可能發(fā)生大的變化，在原有的顫振速度下機(jī)翼從氣流中獲取的能量將不能維持其簡(jiǎn)諧振動(dòng)的要求，所以折疊后機(jī)翼的固有頻率會(huì)對(duì)顫振速度有重要影響。另一方面，機(jī)翼在折疊后，折疊部分機(jī)翼的升力將隨著折疊角的增大而減小，當(dāng)折疊角增至90°時(shí)，折疊部分機(jī)翼不再產(chǎn)生升力。而當(dāng)折疊角進(jìn)一步增大時(shí)，其氣動(dòng)特性將是復(fù)雜的，并可能會(huì)引起升力面的反效。所以，為保證翼面的可操縱性，在本文的工作中，對(duì)各段機(jī)翼折疊角的范圍進(jìn)行限制，即令ηk∈[0°,90°)，這意味著各段機(jī)翼只能向上折疊且折疊角要小于90°。

約束機(jī)翼根部，由模態(tài)坐標(biāo)系下的多段折疊翼整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程(23)式可知，機(jī)翼的固有頻率為

(36)

以三段式折疊翼為例，約束機(jī)翼折疊角向量為η=[0，η2，η3]，翼段長(zhǎng)度向量為L(zhǎng)=L/3×[1,1,1]T時(shí)，三段式折疊翼的前3階固有頻率隨折疊角的變化如圖5所示。

圖5 機(jī)翼結(jié)構(gòu)前3階頻率隨折疊角的變化Fig.5 Changes of the first three order frequencies of the wing structure with folding angles

圖5中，折疊角η2由0°角開(kāi)始，每隔15°均勻變化至75°，而折疊角η3則由0°角間隔10°均勻變化至80°。由圖5(a)可知，機(jī)翼的1階固有頻率f1隨著折疊角η2和η3的變化呈現(xiàn)出非線性變化的趨勢(shì)。當(dāng)η2較小時(shí)(小于30°)，f1隨著η3的增大而單調(diào)遞增，且η2值越小，f1的增長(zhǎng)速度越快，至η3為80°時(shí)，f1達(dá)到5.240 5 Hz，相比舒展?fàn)顟B(tài)機(jī)翼增長(zhǎng)了70.74%。而當(dāng)η2較大時(shí)(大于45°)，η2越大則f1也越大，且f1隨著折疊角η3的增大會(huì)呈現(xiàn)先減小而后再增大的趨勢(shì)。有意思的是，機(jī)翼1階固有頻率曲線簇在η3為45°附近表現(xiàn)為“谷”。具體地，當(dāng)兩段機(jī)翼的折疊角均為45°時(shí)，f1的值為3.301 8 Hz，僅比舒展?fàn)顟B(tài)機(jī)翼增長(zhǎng)7.58%，即單段機(jī)翼大的折疊角對(duì)其1階固有頻率的影響更為顯著。由圖5(b)可知，當(dāng)η2不大于60°時(shí)，機(jī)翼2階固有頻率f2隨η3的增長(zhǎng)呈遞減趨勢(shì)，且η2越大f2也越大。然而，這一現(xiàn)象在η2達(dá)到75°時(shí)發(fā)生了根本性的變化，在η3為0°時(shí)，f2的值低于η2為45°時(shí)的值，之后隨著η3的增長(zhǎng)而快速變化，至40°時(shí)達(dá)到27.608 7 Hz。而隨著η3的進(jìn)一步增大，f2開(kāi)始減小，其規(guī)律與其他折疊角情形相同。由圖5(c)可知，當(dāng)η3為0°時(shí)，f3隨著η2的增大而減小，這一現(xiàn)象在η2小于30°時(shí)并不明顯，但當(dāng)η2超過(guò)45°時(shí)，f3開(kāi)始急劇降低。隨著η3的增大，f3曲線簇開(kāi)始聚集并集中在50 Hz附近。

由圖5可知，機(jī)翼結(jié)構(gòu)的前3階固有頻率均在一定程度上呈現(xiàn)出非線性的增長(zhǎng)規(guī)律，這是由于彎扭組合梁元在發(fā)生折疊時(shí)，單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣需要經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換才能組裝進(jìn)整體剛度矩陣和整體質(zhì)量矩陣。而坐標(biāo)變換矩陣?yán)锩姘苏郫B角的正弦或余弦值，若將坐標(biāo)變換矩陣看作關(guān)于折疊角的函數(shù)矩陣，則該函數(shù)矩陣為一簇隨折疊角非線性變化的曲線。另一方面，圖5中折疊后機(jī)翼的固有頻率相比未折疊狀態(tài)具有一定程度地提高，這是由于大展弦比機(jī)翼總是呈現(xiàn)出較“柔”的特征，將機(jī)翼折疊后，大展弦比機(jī)翼在長(zhǎng)度方向變短，提高了機(jī)翼結(jié)構(gòu)的整體剛性。

4.2 折疊翼顫振計(jì)算

圖6 兩種不同折疊方式的機(jī)翼Fig.6 Wings with two different folding modes

考慮兩種不同折疊方式的機(jī)翼，如圖6所示。兩種情況下機(jī)翼的折疊角向量分別為[0°,0°,60°]和[0°,60°,0°]，第1種情況主要反映了翼尖折疊對(duì)機(jī)翼顫振帶來(lái)的影響，而第2種情況則主要考察折疊角沿y軸向后移給機(jī)翼顫振速度和顫振頻率帶來(lái)的影響。為此，將第1種折疊方式下的V-g圖和V-f圖如圖7所示，而將第2種折疊方式下的V-g圖和V-f圖如圖8所示。

圖7 第1種折疊方式下的V-g和V-f圖Fig.7 Diagrams of V-g and V-f under the first folding mode

圖8 第2種折疊方式下的V-g和V-f圖Fig.8 Diagrams of V-g and V-f under the second folding mode

由圖7(a)可知，折疊角向量為[0°,0°,60°]的機(jī)翼顫振速度為46.43 m/s，較未折疊前機(jī)翼的顫振速度35.22 m/s 提高了11.21 m/s，提高比例達(dá)到了31.83%。同時(shí)，由圖7(b)可知，在該顫振速度下，機(jī)翼對(duì)應(yīng)的顫振頻率為30.95 Hz，同樣較未折疊前機(jī)翼的顫振頻率24.29 Hz提高了6.66 Hz，提高比例為27.42%。由此可見(jiàn)，折疊翼尖對(duì)機(jī)翼顫振速度和顫振頻率的提高具有積極意義。

然而，當(dāng)機(jī)翼折疊角向量為[0°,60°,0°]時(shí)，機(jī)翼的顫振模態(tài)從第3階的扭轉(zhuǎn)模態(tài)遷移至第2階彎曲模態(tài)，致使顫振速度和顫振頻率都發(fā)生了相應(yīng)地下降，分別為28.28 m/s和17.92 Hz。即當(dāng)將機(jī)翼中部進(jìn)行折疊而保持翼尖平直時(shí)，機(jī)翼易發(fā)生顫振模態(tài)跳轉(zhuǎn)而使得顫振速度和顫振頻率下降。

為更深入地考察折疊角η2和η3對(duì)機(jī)翼顫振速度VF和顫振頻率fF的影響性規(guī)律，令機(jī)翼翼尖折疊角η3從0°均勻變化至80°，而η2從0°間隔15°繪制顫振速度和顫振頻率的變化曲線，如圖9所示。

圖9 顫振速度和顫振頻率隨折疊角的變化曲線Fig.9 Changes of flutter velocities and frequencies with folding angles

由圖9可知，顫振速度和顫振頻率隨折疊角η2和η3的變化規(guī)律基本相同。當(dāng)折疊角η3較小時(shí)，折疊角η2越大，機(jī)翼顫振速度和顫振頻率越小，并且這種遞減的趨勢(shì)是非均勻的。當(dāng)η2不大于30°時(shí)，顫振速度和顫振頻率對(duì)η2的變化不敏感，而當(dāng)η2大于45°時(shí)，顫振速度和顫振頻率隨η2的下降速度不斷增大。

另一方面，隨著翼尖折疊角η3的增大，機(jī)翼顫陣速度和顫振頻率均呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)。而η2越大，機(jī)翼顫陣速度和顫振頻率的增速越大。當(dāng)η2和η3均較大時(shí)，機(jī)翼顫振速度和顫振頻率也具有較大的數(shù)值。這相當(dāng)于是將折疊翼尖帶來(lái)的增益效果向機(jī)翼中段進(jìn)行了擴(kuò)展。

4.3 折疊段數(shù)對(duì)顫振速度的影響

本節(jié)在各段機(jī)翼均勻折疊的情況下考察折疊段數(shù)對(duì)顫振速度的影響性規(guī)律。記第n段機(jī)翼的折疊角為ηn，則第k段機(jī)翼的折疊角為

(37)

當(dāng)ηn分別為80°、60°和40°時(shí)，將機(jī)翼的顫振速度和顫振頻率隨機(jī)翼段數(shù)n的變化如圖10所示。

圖10 顫振速度和顫振頻率隨折疊段數(shù)的變化曲線Fig.10 Changes of flutter velocities and frequencies with the number of folding segments

由圖10(a)可以看出，機(jī)翼顫振速度隨著機(jī)翼段數(shù)n的增大而減小。當(dāng)翼梢處折疊角為80°時(shí)，顫振速度從n=2時(shí)的63.8 m/s減小至n=10的56.7 m/s。并且，曲線斜率在n為2或3時(shí)較大，在大于3后曲線斜率變化較小。也就是說(shuō)，在機(jī)翼段數(shù)大于3時(shí)，機(jī)翼段數(shù)對(duì)顫振速度的影響并不明顯。另一方面，隨著最大折疊角ηn的減小，機(jī)翼顫振速度明顯下降。在ηn為60°時(shí)，2段機(jī)翼的顫振速度下降為50.17 m/s，而在ηn為40°時(shí)，則下降為41.36 m/s。由圖10(b)可知，機(jī)翼顫振頻率隨折疊段數(shù)的變化規(guī)律與顫振速度的變化規(guī)律基本相同。

由此可見(jiàn)，當(dāng)翼尖最大折疊角固定時(shí)，機(jī)翼的顫振速度隨折疊段數(shù)的增加而減小，但減小的幅度并不明顯。當(dāng)僅有兩段機(jī)翼時(shí)，雖然可獲得較高的顫振速度，但兩段之間過(guò)大的折疊角可能會(huì)引起氣動(dòng)方面的問(wèn)題，同時(shí)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面也會(huì)面臨更大的困難(例如折疊開(kāi)縫問(wèn)題)。而多段折疊機(jī)翼的顫振速度下降并不明顯，但可降低對(duì)折疊翼氣動(dòng)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面的要求。

5 結(jié)論

1)基于彎扭組合梁元構(gòu)建的大展弦比等剖面多段折疊翼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型能夠合理描述機(jī)翼彎曲和扭轉(zhuǎn)兩種變形形態(tài)，而根據(jù)修正片條理論得到的各梁段機(jī)翼上的頻域非定常氣動(dòng)力被離散為氣動(dòng)影響系數(shù)矩陣添加至顫振方程。

2)多段折疊翼的固有頻率隨折疊角的變化而發(fā)生改變，這種改變呈現(xiàn)出非線性形態(tài)。機(jī)翼的1階固有頻率曲線簇在外側(cè)機(jī)翼折疊角為45°附近表現(xiàn)為“谷”，且單段機(jī)翼較大的折疊角對(duì)其1階固有頻率的影響更為顯著。另外，第3階固有頻率的曲線簇聚集在50 Hz附近。

3)折疊翼尖對(duì)機(jī)翼顫振速度和顫振頻率的提高具有積極意義。當(dāng)機(jī)翼折疊角變化時(shí)，顫振模態(tài)可能會(huì)發(fā)生跳轉(zhuǎn)和遷移，致使顫振速度和顫振頻率都發(fā)生相應(yīng)地下降。另外，顫振速度和顫振頻率隨折疊角變化規(guī)律基本相同。

4)當(dāng)翼尖最大折疊角固定時(shí)，機(jī)翼的顫振速度隨折疊段數(shù)的增加而減小，但減小的幅度并不明顯，這一現(xiàn)象可明顯降低對(duì)折疊翼在氣動(dòng)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上的要求。