高慶 崔冬玲

（1 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076；2 淮南師范學(xué)院金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽淮南 232038）

0 引言

隨著運(yùn)載火箭、飛機(jī)等飛行器復(fù)雜程度的日益提高，以及結(jié)構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和生產(chǎn)水平的提高，飛行器結(jié)構(gòu)與全箭重量的比例逐步降低，內(nèi)部?jī)x器設(shè)備及衛(wèi)星等有效載荷的重量比例逐步增大，內(nèi)部?jī)x器設(shè)備及有效載荷的動(dòng)特性對(duì)全飛行器動(dòng)特性的影響也逐步凸顯。

航天領(lǐng)域中，常采用子結(jié)構(gòu)綜合法或分支模態(tài)綜合法等[1-2]，開展星箭耦合特性分析，確定星箭界面的載荷和環(huán)境等設(shè)計(jì)條件，用作衛(wèi)星等有效載荷的設(shè)計(jì)輸入或設(shè)計(jì)約束；航空方面，也采用子結(jié)構(gòu)方法分析機(jī)翼掛載掛架、導(dǎo)彈等外掛物時(shí)，全機(jī)動(dòng)特性的變化情況[3]。因此子結(jié)構(gòu)綜合法能夠解決有效載荷與整機(jī)模態(tài)耦合的設(shè)計(jì)問題，但在全飛行器模態(tài)試驗(yàn)中，仍然多次發(fā)現(xiàn)子結(jié)構(gòu)與全飛行器的模態(tài)耦合現(xiàn)象，例如于海昌[4]利用模態(tài)試驗(yàn)和建模分析等方法，研究了發(fā)動(dòng)機(jī)及支架等局部模態(tài)對(duì)二級(jí)火箭的影響；吳素春等[5]在CZ-2F全箭模態(tài)試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)由于載人飛船的模態(tài)頻率比較低，飛船與火箭之間產(chǎn)生了模態(tài)耦合，箭體為二階振型模態(tài)，但飛船與整流罩的振型分別為同向和反向；王建民[6]在某飛行器模態(tài)試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)由于某儀器設(shè)備的安裝頻率與全彈一階模態(tài)耦合，產(chǎn)生了兩個(gè)類一階振型，并利用理論分析方法進(jìn)行了簡(jiǎn)要的解釋和說明。金晶[7]、王亮[8]等繼續(xù)研究了內(nèi)部分支結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模方法，以及對(duì)全彈模態(tài)參數(shù)的影響，但沒有關(guān)注內(nèi)部分支結(jié)構(gòu)局部模態(tài)與整體模態(tài)的耦合問題。本文針對(duì)復(fù)雜飛行器內(nèi)部分支與整體耦合問題，基于子結(jié)構(gòu)思想，提出了整體與局部統(tǒng)一的耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型，利用理論分析方法，研究了內(nèi)部分支結(jié)構(gòu)的局部模態(tài)參數(shù)對(duì)整體模態(tài)頻率、振型等的耦合特性，結(jié)果表明：局部結(jié)構(gòu)與整體發(fā)生模態(tài)耦合的必要條件為局部頻率與某階整體模態(tài)頻率接近，且局部結(jié)構(gòu)對(duì)該階廣義質(zhì)量的貢獻(xiàn)較大；振型耦合度與頻率比和廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度相關(guān)，頻率變化率與振型耦合度、頻率比和廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度相關(guān)。

1 耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

當(dāng)局部結(jié)構(gòu)的模態(tài)與整體模態(tài)接近時(shí)，將產(chǎn)生模態(tài)耦合情況，根據(jù)模態(tài)綜合法，該耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，可以簡(jiǎn)化為兩個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)的疊加，以無阻尼情況為例。

圖1 耦合系統(tǒng)的示意圖Fig.1 The sketch of coupling system

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中模態(tài)頻率的瑞雷-李茲計(jì)算方法，各狀態(tài)的模態(tài)頻率為

綜合上式，可得

式中，α的含義為不考慮局部模態(tài)時(shí)，局部結(jié)構(gòu)對(duì)整體廣義質(zhì)量的貢獻(xiàn)度，其與局部質(zhì)量成正比，與安裝處的整體模態(tài)振型平方成正比，但必然小于1，簡(jiǎn)稱為廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度；β的含義為局部結(jié)構(gòu)固支約束狀態(tài)的模態(tài)頻率，與不考慮局部結(jié)構(gòu)模態(tài)影響時(shí)的整體模態(tài)頻率的比值的平方，表征了局部結(jié)構(gòu)模態(tài)與某階整體模態(tài)的接近程度，簡(jiǎn)稱為頻率比；δ的含義為局部結(jié)構(gòu)固支狀態(tài)的模態(tài)振型，與不考慮局部結(jié)構(gòu)模態(tài)影響時(shí)，安裝基礎(chǔ)處整體振型之間的比值，簡(jiǎn)稱為振型耦合度。把頻率變化率定義為模態(tài)耦合對(duì)整體模態(tài)頻率的影響，是指考慮局部結(jié)構(gòu)模態(tài)耦合時(shí)某階整體模態(tài)頻率aω，與不考慮局部結(jié)構(gòu)模態(tài)耦合時(shí)該階整體模態(tài)頻率bω之間的比值。

2 耦合系統(tǒng)的動(dòng)特性理論分析

根據(jù)瑞雷商的極值性質(zhì)，式(3)可轉(zhuǎn)換為求解關(guān)于δ的極小值以確定δ以及的值，即

可得

則

代入可得頻率為：

當(dāng)1β=時(shí)

當(dāng)1β≠時(shí)

將式(10)代入式(7)，可得

各種耦合情況如表1所示，典型狀態(tài)振型耦合度和頻率變化率的變化情況見圖2和圖3。

在耦合頻率點(diǎn)附近，整體模態(tài)和局部模態(tài)的振型耦合度幅值相同，但符號(hào)相反，整體模態(tài)和局部模態(tài)頻率將發(fā)生突變，甚至難以區(qū)分整體模態(tài)和局部模態(tài)；同時(shí)廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度越大，頻率變化率和振型耦合度越大，耦合效應(yīng)就越顯著。因此，為避免局部模態(tài)與整體模態(tài)發(fā)生耦合，最佳途徑為調(diào)整局部結(jié)構(gòu)的局部頻率，并降低局部結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度。根據(jù)式（6）、（8）、（9）、（11）及圖2和圖3，可見局部結(jié)構(gòu)與整體發(fā)生模態(tài)耦合的必要條件為局部模態(tài)頻率與整體某階模態(tài)頻率接近，且局部結(jié)構(gòu)對(duì)該階廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度較大，振型耦合度與頻率比和廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度相關(guān)，頻率變化量與振型耦合度、頻率比和廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度相關(guān)。

綜上，可以利用整體和局部結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)預(yù)示模態(tài)耦合的程度，也可利用耦合模態(tài)的頻率和振型參數(shù)，分析確定局部模態(tài)與整體模態(tài)之間的關(guān)系，達(dá)到定位局部模態(tài)的目的。

表1 局部模態(tài)與整體模態(tài)的耦合規(guī)律Table1 The coupling relationship between local and global modal

圖2 典型情況下耦合頻率隨頻率比的變化Fig.2 The relationship between coupling frequencies and frequencies radio

圖3 典型情況下振型耦合度隨頻率比的變化Fig.3 The relationship between coupling mode and frequencies radio

3 典型耦合系統(tǒng)的數(shù)值分析

對(duì)于大部分飛行器的工程實(shí)際情況，可以利用典型梁模型來舉例說明。某梁模型全長(zhǎng)5m，重量為600kg，質(zhì)量均布，在0.5m處安裝有20kg的設(shè)備，可以利用有限元數(shù)值分析方法，研究該設(shè)備安裝模態(tài)與整體模態(tài)的耦合情況，有限元分析該設(shè)備對(duì)整體一階彎曲模態(tài)的廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度為α=0.03。圖4給出了該結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化模型，分別為：（a）考慮設(shè)備局部安裝模態(tài)的耦合模型、（b）不考慮設(shè)備局部安裝模態(tài)的整體模型以及（c）設(shè)備局部安裝的局部模型，與圖1及式（1）相對(duì)應(yīng)?？梢酝ㄟ^調(diào)整設(shè)備局部安裝頻率，研究確定局部模態(tài)頻率對(duì)整體耦合模態(tài)頻率和振型的影響（圖5、表2）。

表2的數(shù)值和理論分析結(jié)果對(duì)比表明，數(shù)值分析結(jié)果與理論分析結(jié)果基本吻合，且局部頻率越接近不考慮局部安裝結(jié)構(gòu)的整體頻率，則耦合狀態(tài)頻率的變化越大，同時(shí)耦合狀態(tài)反映全局特性的模態(tài)頻率分析偏差相對(duì)較小，反映局部特性的的模態(tài)頻率分析偏差相對(duì)較大。圖5描述了局部模態(tài)對(duì)耦合振型的影響，可見如果局部模態(tài)與整體模態(tài)接近時(shí)，將產(chǎn)生雙模態(tài)現(xiàn)象，即兩階模態(tài)，除了局部結(jié)構(gòu)的振型差異明顯外，其他結(jié)構(gòu)的振型相似度較大，這與部分地面模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果相互印證。綜合表2和圖5，可見頻率比β＞2時(shí)，局部頻率ωc對(duì)整體頻率ωb的影響已經(jīng)較?。s為1%），即局部頻率ωc大于整體頻率ωb的1.4倍ωb，與半功率帶寬概念相吻合。

圖4 典型耦合系統(tǒng)的梁模型 Fig.4 The beam model of a classical coupling system

表2 局部模態(tài)與整體模態(tài)耦合影響的理論和數(shù)值分析對(duì)比 Table 2 The theoretical and numerical results of coupling between local and global modal

圖5 典型耦合系統(tǒng)局部模態(tài)對(duì)全局振型的影響Fig.5 The influence from local modal to global modal of the classical coupling system

4 結(jié)論

本文針對(duì)復(fù)雜飛行器內(nèi)部結(jié)構(gòu)與整體模態(tài)的耦合問題，基于子結(jié)構(gòu)思想，提出了整體與局部統(tǒng)一的耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型，利用理論和數(shù)值分析方法，研究了內(nèi)部局部結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)對(duì)整體模態(tài)頻率、振型等的耦合特性，可得到以下結(jié)論：

1)在某些條件下，不引人注意的局部結(jié)構(gòu)，能夠與某階整體模態(tài)發(fā)生耦合，從而改變?cè)撃B(tài)的頻率、振型等參數(shù)；

2)局部結(jié)構(gòu)與整體模態(tài)發(fā)生耦合的必要條件為局部頻率與某階整體模態(tài)頻率接近，且局部結(jié)構(gòu)對(duì)該階廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度較大；振型耦合度與頻率比和廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度相關(guān)，頻率變化率與振型耦合度、頻率比和廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度相關(guān)；

3)為避免局部模態(tài)和整體模態(tài)的耦合，最佳途徑為調(diào)整局部結(jié)構(gòu)的頻率，并降低局部結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量貢獻(xiàn)度。