洪 升， 付勇強， 李銘暉， 張妤歆

(南昌大學信息工程學院， 江西南昌330031)

0 引 言

互補序列集[1](Complementary Sets of Sequences, CSS)具備理想的非周期自相關特性，因此被廣泛應用于通信[2]、雷達[3]等領域，受到了許多研究學者的關注。

隨著雷達系統(tǒng)與通信系統(tǒng)的迅速發(fā)展，頻譜資源日益緊張，工作在甚高頻和超高頻雷達會面臨同頻干擾[4]。針對此問題，雷達稀疏頻率序列設計得到了廣泛關注，其思想是將雷達序列干擾頻帶設置為阻帶，降低雷達在該頻帶上的功率。這種設計提高了頻帶的利用率和雷達系統(tǒng)的抗干擾能力。因此，設計較低旁瓣的稀疏頻率序列問題受到了廣泛關注。文獻[5]利用乘數(shù)近似法(Proximal Method of Multipliers, PMM)設計低旁瓣單個稀疏頻率序列。但是該文獻是基于峰值旁瓣電平(Peak Sidelobe Level, PSL)準則抑制序列自相關旁瓣，在求解自相關函數(shù)最大值時難以處理。文獻[6]采用循環(huán)迭代算法(Cyclic Iterative Algorithm, CIA)設計具備低距離旁瓣的單個稀疏頻率序列，并進一步將該算法擴展到具備低旁瓣的正交稀疏頻率序列集設計。文獻[7-8]提出基于CIA的正交稀疏頻率序列設計。同時考慮序列旁瓣性能和稀疏頻譜性能，利用CIA迭代求解最優(yōu)序列的閉式解，并在每次迭代中利用FFT變換，降低了運算的復雜度。文獻[9]采用一種結合最速下降方法的迭代算法對單個稀疏頻率序列設計和正交稀疏頻率序列集設計，該算法通過沿梯度方向搜索，提高了算法的收斂速度。文獻[10]將序列集的PSL作為目標函數(shù)，頻率阻帶功率和序列恒模作為約束并建立優(yōu)化問題。然后利用塊逐次最小化(Block Successive Upper-bound Minimization, BSUM)算法求解該問題，并得到具有良好相關特性和稀疏頻率特性的正交序列集，該算法每次迭代都可利用FFT計算，收斂速度快。上述文獻[5-10]中的研究大都是針對單個稀疏頻率序列或正交稀疏頻率序列集進行設計，只有少數(shù)文獻針對互補稀疏頻率(Complementary Sparse Frequency, CSF)序列集進行設計。例如，文獻[4，11]優(yōu)化設計了CSF序列集，分別采用功率譜密度(Power Spectrum Density, PSD)為約束、積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level, ISL)為目標函數(shù)以及ISL為約束，PSD為目標函數(shù)建立兩個非線性優(yōu)化模型，然后運用MATLAB優(yōu)化工具箱中“fmincon”函數(shù)中的內(nèi)點法求解。該方法將非線性約束問題近似轉化為線性約束問題進行求解，所求取的解為原非線性約束問題的次優(yōu)解，并且直接提取該次優(yōu)解的相位以滿足恒模約束。而CIA是經(jīng)典的優(yōu)化算法，在每次迭代中可直接得到優(yōu)化變量閉式解。因此，該算法收斂速度快，性能高，被廣泛運用于單個序列稀疏頻譜優(yōu)化設計[6]和正交稀疏頻率序列集優(yōu)化設計[6-8]。本文進一步將CIA擴展到CSF序列集的優(yōu)化設計中。建立針對CSF序列集的加權積分旁瓣電平(Weighted ISL, WISL)數(shù)學模型和稀疏頻譜數(shù)學模型，將二者的加權和作為優(yōu)化的目標函數(shù)，然后采用CIA對該模型進行求解，在每次迭代過程中，給出了滿足恒模約束的CSF序列集閉式解。仿真結果表明，相比于文獻[11]算法，CIA所優(yōu)化的序列集具有更好的自相關特性和稀疏頻率特性，收斂速度更快，且可靈活控制自相關旁瓣的抑制范圍，具有廣泛的適應性。

1 優(yōu)化模型的建立

1.1 WISL優(yōu)化模型

定義一個復恒模序列集Z，包含M個序列，每個序列長度為N，序列集可以表示為

Z={z1,z2,…,zM}

(1)

其中zm=[zm(1),zm(2),…,zm(N)]T。將序列集Z中的序列按照如下方式進行堆疊：

(2)

式中，0N×1為一個長度為N的全零列向量，q∈L×1為堆疊后的列向量；顯然L=(2M-1)N。按照上述堆疊方式，可得：序列q的非周期自相關函數(shù)在時延[-N+1,N-1]的范圍內(nèi)等于序列集{z1,z2,…,zM}各序列的自相關之和。堆疊序列q的自相關函數(shù)表示為

(3)

PSL和ISL是目前優(yōu)化旁瓣的兩種主要指標。若以PSL為優(yōu)化指標，會使序列的旁瓣電平隨著序列長度增加而增大，而ISL為優(yōu)化指標相對較為穩(wěn)定[7]。本文考慮一般性，選用WISL指標優(yōu)化序列旁瓣?；谖墨I[12]討論，利用Parseval定理可知，序列z的WISL可以表示為

(4)

式中，Φ(wp)表示自相關序列的離散傅里葉變換。Φ(wp)可表示為

(5)

其中γk,k=0,1,…,L-1為自相關序列的加權系數(shù)，且γk=γ-k。通常，將γk的取值設為0或1，以對待優(yōu)化的旁瓣區(qū)域進行選擇。

因此，為得到自相關旁瓣最小化的恒模序列集，將式(4)中的WISL作為目標函數(shù)，使其最小化，并添加序列的恒模約束，可建立序列集旁瓣優(yōu)化模型如下：

s.t. |zm(n)|=1,n=1,…,N,m=1,2,…,M

(6)

(7)

(8)

(9)

為保證矩陣Γ為半正定矩陣，設式(9)中γ0≥λmin，λmin為矩陣γ0Γ中對角元素全為0矩陣的最小特征值[12]。

由文獻[12]可知，式(7)中CSF序列集的WISL可進一步近似等價為

(10)

將式(10)代入式(6)中，序列集的WISL優(yōu)化模型可重新寫成

s.t.|zm(n)|=1,n=1,…,N,m=1,2,…,M

‖αp‖2=MN,p=1,…,2L

(11)

1.2 PSD優(yōu)化模型

為了使設計的CSS具有稀疏頻率特性，本文通過優(yōu)化序列集以抑制頻率阻帶內(nèi)的能量(Energy in the Frequency Stopband, EFS)。

假設序列集Z的頻率阻帶為

(12)

其中，(fn1,fn2)表示歸一化頻率(即頻率取值范圍為從0到1)范圍，Ns為頻率阻帶個數(shù)。

對長度為N的序列進行頻域變換，考慮正負頻率，變換后的頻譜序列長度為2N。對序列的頻譜序列進行加權，定義頻譜序列的加權向量為

wf=[wf(1),…,wf(2N)]T

(13)

假設阻帶內(nèi)的頻譜序列加權系數(shù)為1，通帶內(nèi)的頻譜序列加權系數(shù)為0，即

(14)

于是，序列集在頻率阻帶內(nèi)的能量EFS可由下式計算：

(15)

為抑制序列集在頻率阻帶內(nèi)的能量，以序列集的EFS為目標函數(shù)，使其最小化，并添加序列集的恒模約束，從而建立CSF序列集的頻譜優(yōu)化模型

s.t.|zm(n)|=1,n=1,…,N,m=1,2,…,M

(16)

根據(jù)文獻[13]的推導，式(16)中的目標函數(shù)可以等價為

(17)

為方便地從堆疊序列q中快速地選擇出第m個序列zm，定義選擇矩陣

Sm=[0N×(2m-2)N,IN×N,0N×(L-(2m-1)N)]

(18)

從而有

zm=Smq

(19)

(20)

將式(20)替換式(16)中的目標函數(shù)，EFS的優(yōu)化模型可表示為

s.t.|zm(n)|=1,n=1,…,N,m=1,2,…,M

(21)

1.3 聯(lián)合優(yōu)化模型

為了使雷達的發(fā)射序列集同時具有低自相關旁瓣和稀疏頻譜特性，需對序列集的WISL和EFS進行聯(lián)合優(yōu)化。聯(lián)合式(11)和式(21)，可建立CSF序列集聯(lián)合優(yōu)化問題為

s.t.|zm(n)|=1，n=1,…,N,m=1,2,…,M

‖αp‖2=MN,p=1,…,2L

(22)

2 CIA求解

針對式(22)中的優(yōu)化問題，本文采用CIA進行求解，其主要思想是交替迭代優(yōu)化不同的變量。式(22)中的優(yōu)化問題有3個優(yōu)化變量q(或{zm}m=1,2,…,M)，{bm}m=1,2,…,M和V，其中變量{bm}m=1,2,…,M和V為輔助變量，且相互獨立。交替迭代優(yōu)化的過程為：首先，固定變量q，求解{bm}m=1,2,…,M和V；然后，利用更新后的{bm}m=1,2,…,M和V，求解變量q。上述兩個步驟不斷地交替迭代。該兩個步驟是每次迭代的主要步驟，具體的求解過程如下：

(23)

其中，const1表示與bm無關常數(shù)項。

由式(23)可得變量bm的閉式解為

(24)

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

式中，

(29)

其中，Cm,n表示矩陣C的第m行第n列元素。

結合式(29)，式(28)可進一步寫為

(30)

(31)

Ρ=[1,N]∪[2N+1,3N]∪…

∪[2(M-1)N+1,(2M-1)N]

(32)

將式(31)代入式(30)有

const5

(33)

式中，const5表示與q(或zm)無關的常數(shù)項。

(34)

由式(33)和式(34)可得第二步的優(yōu)化目標函數(shù)為

(35)

式中，const7=const5+const6。

由式(35)可得到優(yōu)化變量q中的第m個序列zm的閉式解為

(36)

循環(huán)迭代上述步驟，便可得到基于CIA的CSF序列集優(yōu)化設計流程，如表1所示。

表1 CIA算法流程

3 實驗仿真分析

為驗證本文所提CIA算法的有效性、所設計CSF序列集良好的相關性和稀疏頻率特性，定義兩個關于序列集的性能評估指標，分別為WISL和平均通帶阻帶功率比(Average Passband Stopband Power Ratio, APSPR)。具體地，WISL和APSPR指標可由下式來計算：

(37)

(38)

式中，Pp為序列集的通帶平均功率，Ps為序列集的阻帶平均功率。WISL越小，序列集的相關性能越好；APSPR越大，序列集的頻譜特性越好。以式(37)和式(38)為衡量指標，將本文所提算法CIA和文獻[11]算法進行比較。為了保證比較的公平性，兩種算法的初始序列保持相同，均采用隨機相位的單模序列集。除了WISL和APSPR之外，亦評估了本文CSF序列集設計算法的運算速度。所有的仿真均在一臺CPU為3.60 GHz，i7-4790，內(nèi)存為8 GB的PC機上用Matlab軟件運行計算的。

3.1 CSF序列集優(yōu)化設計

假設所設計CSF序列集中序列個數(shù)和各序列長度分別為M=2，N=143，加權系數(shù)η=0.012 2,自相關函數(shù)加權系數(shù)為

(39)

算法終止條件為優(yōu)化變量q的迭代誤差精度ε=10-5或總迭代時間t=15 000 s。將頻率進行歸一化，設置5個頻率阻帶，分別為[0.04,0.21],[0.23,0.25],[0.28,0.37],[0.39,0.49],[0.52,0.56]；剩下的頻率范圍為頻率通帶。圖1為本文算法和文獻[11]算法優(yōu)化得到的CSF序列集的自相關函數(shù)。圖中，本文算法與文獻[11]算法均可設計較低旁瓣的CSF序列集；且本文算法和文獻[11]算法設計CSF序列集的WISL均是-3.91 dB。圖2和圖3分別為本文算法和文獻[11]算法優(yōu)化CSF序列集的兩個序列的PSD。圖2和圖3中灰色陰影區(qū)域為所設定的5個阻帶區(qū)域，由圖可知，在設定的頻率阻帶區(qū)域，經(jīng)兩種算法優(yōu)化后序列具備較低的幅度(能量)。具體地，本文算法設計的APSPR分別是24.40 dB，24.47 dB，文獻[11]所設計兩個序列的APSPR分別是24.06 dB，24.06 dB。將圖1、圖2和圖3中兩種算法所設計序列的WISL和APSPR相比較，可知，在WISL性能相同的情況下，本文所提算法的APSPR性能優(yōu)于文獻[11]中的算法。

圖1 互補稀疏頻率序列集的自相關

圖2 CSF序列1的PSD

圖3 CSF序列2的PSD

進一步地，考慮CSF序列集M=3，序列長度N=143的情況。此時，加權系數(shù)設為η=0.012 4，自相關函數(shù)加權系數(shù)為式(39)，算法的終止條件分別設置為ε=10-5或t=24 000 s。將該情況(M=3)和圖1～3中情況(M=2)下，兩種算法所設計CSF序列集的WISL和APSPR值總結在表2中。由表2可知，當序列個數(shù)為M=2和M=3時，兩種算法在WISL基本相同(本文算法WISL甚至稍優(yōu)于文獻[11]算法的情況下，本文算法的阻帶能量抑制能力優(yōu)于文獻[11]算法。由此可知，本文算法優(yōu)化得到的CSF序列集具有更低自相關旁瓣特性以及更好的稀疏頻率特性。

表2 CIA和文獻[11]算法設計CSF序列集的數(shù)據(jù)對比dB

3.2 算法收斂速度

圖4 不同收斂精度ε下的算法運行時間

為進一步對比兩種算法優(yōu)化設計CSF序列集的收斂速度，研究了兩種算法在不同收斂精度ε下的運行時間。序列集的WISL和EFS間的加權系數(shù)設置為η=0.012 2，自相關函數(shù)加權系數(shù)和頻率阻帶通帶設置與3.1節(jié)實驗相同，兩種算法設計的序列個數(shù)和長度為M=2，N=143。圖4給出了兩種算法在不同收斂精度下所需要的時間，橫坐標表示不同的收斂精度ε。由于文獻[11]算法在收斂精度ε=10-5條件下，運行時間過長，因此僅記錄前5個收斂精度下算法的運行時間。由圖可知，兩種算法的運行時間都隨著收斂精度的提高而增加。然而，在相同的收斂精度下，本文算法CIA設計CSF序列集所需的時間小于文獻[11]算法。因此，本文算法優(yōu)化設計CSF序列集的收斂速度快于文獻[11]算法。

3.3 部分旁瓣抑制的CSF序列集設計

實際情況中的一些特殊場景需要在特定的延遲范圍內(nèi)抑制CSF序列集的自相關旁瓣，而非在全部延遲范圍內(nèi)抑制自相關旁瓣。此時，文獻[11]的設計算法失效，而本文算法可以有效實現(xiàn)CSF序列集自相關旁瓣在指定區(qū)域內(nèi)的優(yōu)化和稀疏頻譜優(yōu)化。

假定優(yōu)化設計一個CSF序列集，其序列個數(shù)和長度分別為M=2，N=143；且需要在k∈[40,60]∪[80,100]延遲范圍內(nèi)抑制CSF序列集旁瓣，k表示延遲點。則可將式(37)中自相關旁瓣加權系數(shù)修改為

(40)

圖5 部分旁瓣抑制的CSF序列集自相關

假設所要求的頻率阻帶范圍和3.1節(jié)中的要求相同。設定算法的終止條件為ε=10-6或t=25 000 s，加權系數(shù)為η=0.001。圖5為CIA算法優(yōu)化設計得到的CSF序列集的自相關函數(shù)。由圖可知，在所設定的旁瓣抑制范圍k∈[40,60]∪[80,100]和對稱范圍k∈[-60,-40]∪[-100,-80]內(nèi)，CSF的旁瓣得到了有效抑制。圖中，在設定的旁瓣抑制范圍內(nèi)，自相關旁瓣可抑制至-50 dB，全部延遲范圍內(nèi)的WISL為-33.35 dB。圖6和圖7分別為所設計的序列1和序列2的PSD。由圖可知，所設計序列滿足所設定的阻帶頻譜要求，且兩個序列的APSPR分別為26.52 dB和27.32 dB。由于文獻[11]算法不可對部分自相關旁瓣進行抑制；因此，本文算法相比文獻[11]算法更具廣泛性。

圖6 CSF序列1的PSD

圖7 CSF序列2的PSD

4 結束語

本文提出了一種基于CIA的雷達CSF序列集優(yōu)化設計方法。該算法以最小化序列WISL和各序列EFS之間的加權為目標，引入輔助變量，將輔助變量和待優(yōu)化的序列集變量進行迭代優(yōu)化。由于在每次迭代中都可以求出恒模序列集的閉式解，方便快速地解決了恒模約束的困難。和已有算法相比較，本文算法優(yōu)化性能高、收斂速度快，并且具備更廣泛的應用性。