江蘇泰興市鼓樓小學(xué)教育集團鼓樓校區(qū)（225499） 趙麗君

何為數(shù)形結(jié)合？數(shù)學(xué)家華羅庚有過經(jīng)典總結(jié)：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！边@句話深刻揭示了數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵。實際教學(xué)中，廣大教師正是明白這一點，才不遺余力地用“形”的直觀去彌補“數(shù)”的抽象，用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)去彌補“形”的粗放，讓數(shù)和形完美結(jié)合，交相輝映，將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)功能發(fā)揮到極致。由此，數(shù)形結(jié)合既是一種研究數(shù)學(xué)問題的思想方法，同時又可以看成是揭示數(shù)學(xué)知識邏輯的有效手段。下面筆者將以數(shù)形結(jié)合為切入點和研究思路，對“倍數(shù)與因數(shù)”的教學(xué)進行改進。

一、借“形”引出概念

【教學(xué)片段1】

師（出示圖1、圖2）：某個運動會開幕式上，中日兩個國家的體育代表團分別站成兩種隊形，計算一下，中日兩國各派出多少人參加這次運動會的開幕式？

圖1

圖2

生1：根據(jù)圖1列隊的情況，可以算出中國代表團的人數(shù)為9×4=36（人）。根據(jù)圖2列隊的情況，可以算出日本代表團的人數(shù)為5×7=35（人）。

師：在9×4=36這個乘法算式中，按照以往的稱謂，相乘的兩個數(shù)9和4稱之為乘數(shù)，而相乘所得的結(jié)果36則稱之為積。在隊列中，9是每行站隊的人數(shù)，4則表示一共站了4行，36則是這個隊列中運動員的總數(shù)。

師：聯(lián)系今天學(xué)習(xí)的課題“倍數(shù)與因數(shù)”，請大家猜測，在計算圖1中國代表團的人數(shù)的乘法算式中，哪一部分是因數(shù)，哪一部分是倍數(shù)。

生2：在9×4=36這個算式中，4和9是36的因數(shù)，36是4和9的倍數(shù)。

師：現(xiàn)在請大家再次觀察圖2的隊形，重點關(guān)注行數(shù)、列數(shù)和總數(shù)，并對照匹配的乘法算式5×7=35，說說哪一部分是因數(shù)，哪一部分是倍數(shù)。

生3：列數(shù)5與行數(shù)7都是總?cè)藬?shù)35的因數(shù)，總?cè)藬?shù)35是行數(shù)5和列數(shù)7的倍數(shù)。

（根據(jù)學(xué)生回答板書，如圖3）

圖3

【評析】倍數(shù)與因數(shù)是定義兩個自然數(shù)的倍率關(guān)系的，這種關(guān)系可以用乘法算式直觀反映出來。在自然數(shù)的乘法算式中，乘數(shù)和積就是因倍數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)。可見，這部分新知完全可以脫離乘法算式，只要乘法算式中的各數(shù)字為非0自然數(shù)即可。僅僅依靠這種形式上的關(guān)聯(lián)還不夠，運動會開幕式體育代表團隊形的情境，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，而且能借助圖形的直觀性從另一個維度呈現(xiàn)因倍數(shù)的關(guān)系：行數(shù)和列數(shù)是因數(shù)，隊列總?cè)藬?shù)為倍數(shù)，而且它們是相互依存的。這樣一來，可以觀察出總?cè)藬?shù)就是行數(shù)和列數(shù)的整倍數(shù)，因為行數(shù)和列數(shù)以及總?cè)藬?shù)必須全部是整數(shù)。之后再來對照計算總?cè)藬?shù)的乘法算式，三管齊下，因倍數(shù)的概念就會非常清晰通透。這種融入數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，可謂匠心獨具，將陌生的新知在不知不覺中滲透到舊知中，毫無痕跡。

二、用“形”抽象概念

【教學(xué)片段2】

師：倍數(shù)與因數(shù)是兩個舉足輕重的概念，是分?jǐn)?shù)運算中通分和約分的奠基內(nèi)容，所以請同學(xué)們務(wù)必學(xué)好。

師：仿照前面習(xí)得的方法，請大家隨機寫出2～3個不重復(fù)的乘法算式，并在點陣圖（如圖4）中圈畫，然后與同桌互相說說“誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)”。

圖4

師（出示圖5）：這是“神算子”寫出的算式和配圖，正確嗎？如果沒有異議，請說說“誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)”。

圖5

師：像這樣具備因倍數(shù)關(guān)系的數(shù)對多嗎？

生（齊）：多。

師：誰能一口氣說完？

生1：唯一的辦法就是用代數(shù)式表示，這樣可以代表所有存在因倍數(shù)關(guān)系的數(shù)對。

師：好極了！如果分別用字母a、b、c表示3個不同的數(shù)，如何表示它們之間的因倍數(shù)關(guān)系？

生2：a×b=c（a、b、c均為大于0的自然數(shù)），則c為a、b的倍數(shù)，a、b為c的因數(shù)。

【評析】自主探究環(huán)節(jié)中的“圈畫、列式、陳述”，其目的在于構(gòu)建因倍數(shù)的幾何模型，即在點格圖中根據(jù)行數(shù)和列數(shù)來反映因數(shù)，用總數(shù)來反映倍數(shù)。借助這個幾何模型，它們之間的數(shù)量關(guān)系也呼之欲出——行數(shù)乘以列數(shù)等于總數(shù)，這就意味著因數(shù)乘以因數(shù)等于倍數(shù)。“神算子”的作品中，有只有一行的，也有列數(shù)大于行數(shù)的。這既提供了常規(guī)例子，又展示了特例——行數(shù)為1。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生抽象出字母表達(dá)式，就順理成章了。顯然，教學(xué)片段1的情境以及教學(xué)片段2的“圈畫、列式與陳述”，只是從情境、圖形、語言和操作幾個方面讓學(xué)生理解概念，最后抽象出的字母表達(dá)式才是終極形式，字母表達(dá)式才是概念內(nèi)涵的核心。那么，大費周章地運用這么多表征來讓學(xué)生理解概念有無必要？曾有美國權(quán)威學(xué)者采用圖6揭示概念的發(fā)展過程：“實物操作只是展示數(shù)學(xué)概念的初級形態(tài)，圖像、語言、表達(dá)式才能起到抽象作用，并且深刻揭示概念內(nèi)涵。”這一觀點就是概念教學(xué)的燈塔：在教學(xué)中，任何一種表征都不應(yīng)被忽略，各種表征應(yīng)該串聯(lián)起來形成合力，幫助學(xué)生學(xué)會根據(jù)客觀需要選用合適的表征來理解。

圖6

三、“形”助理解規(guī)定

【教學(xué)片段3】

師：以前學(xué)習(xí)的倍數(shù)，其實還可以用除法算式c÷a=b（abc≠0）表示，這里a、b、c的取值范圍不作限定，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)均可，只要不為0。今天學(xué)習(xí)的倍數(shù)則用乘法算式來理解，形如a×b=c的算式就可以表示因倍數(shù)關(guān)系，此處a、b、c的取值范圍是否還是那么隨意？

生1：我認(rèn)為不作限定，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)均可，只要不為0。

生2：不對！這次學(xué)習(xí)的倍數(shù)與以前學(xué)習(xí)的倍數(shù)大有不同，此處的a、b、c必須為非0自然數(shù)。

師：請說說你的理由。

生3：我們是在點陣圖中提煉因倍數(shù)概念的，行數(shù)、列數(shù)、總數(shù)都必須是非0自然數(shù)，這是常識。

師：“倍數(shù)”與“倍”只有一字之差，它們到底有何異同？

生4：從數(shù)量比較上看，它們反映的都是兩個數(shù)的倍率關(guān)系。不同點是，“倍”是一個廣義寬泛的概念，其中的“數(shù)”可以是所有數(shù)型，只要排除0；“倍數(shù)”是一個狹義的概念，其中的“數(shù)”嚴(yán)格限定為非0自然數(shù)，規(guī)定極為嚴(yán)苛。

【分析】“倍數(shù)”是什么？要向?qū)W生說清這一概念，不能僅靠范例，因為范例只是一面之詞，容易讓學(xué)生“一葉障目不見泰山”。如果此時與相近易混的概念“倍”做一番比較，那么學(xué)生的眼界和思路將會更加寬闊，看問題的角度也會更全，分析問題時會更全面。通過比較辨析，學(xué)生弄清二者之間的異同點。相同點是都表示兩數(shù)的倍率關(guān)系，都可以用乘除法算式表示。不同點僅僅在于稱呼和取值范圍的不同——“倍”只要不為0，所有數(shù)型都可，因為這是由除法的性質(zhì)決定的，除法算式的結(jié)果可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等各種形式，“倍”就是除法算式中衍生的一個概念，除法算式才是“倍”這個概念的母體；而“倍數(shù)”的概念則是由特殊的乘法算式?jīng)Q定的，特殊之處就在于是計算圈畫出的點子圖的總數(shù)時，行數(shù)、列數(shù)必須都是整數(shù)，所以這里的數(shù)只能是非0自然數(shù)。通過對比辨析，學(xué)生調(diào)用在點子圖中積累的直觀經(jīng)驗論述了因倍數(shù)概念的內(nèi)涵本質(zhì)。在此，借助直觀的點子圖還有另一好處，那就是讓“0除外的自然數(shù)”這一規(guī)定顯得合乎情理。

四、依“形”建構(gòu)模型

【教學(xué)片段4】

師：點子圖幫了我們的大忙，有了它，因倍數(shù)概念就非常淺顯易懂，以后找倍數(shù)就可以回想點陣圖。請大家思考一下，借助點陣圖尋找某數(shù)的倍數(shù)，其實是對應(yīng)地先確定什么，再找什么？

生1：先確定一行的點數(shù)，再逐步遞增行數(shù)計算總數(shù)。

師：下面請大家依據(jù)他的描述，自己動手圈畫一下，試著找一下7的倍數(shù)。

（學(xué)生邊匯報教師邊播放課件，最后得出圖7）

圖7

師：通過剛才的操作，請歸納找一個非0自然數(shù)a的倍數(shù)的方法。

生2：a×1，a×2，a×3……

生3：依次找a的1倍、2倍、3倍……

師：根據(jù)自然數(shù)的定義，倍數(shù)的數(shù)量是無限多的，有最小的倍數(shù)，一個數(shù)的最小倍數(shù)就是它本身，沒有最大的倍數(shù)。

【評析】“圈畫點陣圖，并嘗試找出7的倍數(shù)”的活動，一方面，讓學(xué)生體驗找倍數(shù)的直觀方法，進一步領(lǐng)悟倍數(shù)的概念；另一方面，在這種直觀操作中，找倍數(shù)的方法也不言自明：一個數(shù)就是每一行的點數(shù)，倍數(shù)就是在不同行數(shù)下的總點數(shù)。通過圈畫，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，求一個數(shù)的倍數(shù)，就是將這個數(shù)量不斷復(fù)制，復(fù)制一次就有一個倍數(shù)出現(xiàn)，倍數(shù)可以無限大，這映射到乘法算式里就是將目標(biāo)數(shù)從小到大不斷連續(xù)乘以自然數(shù)——從這個數(shù)的1倍開始找起，接著找它的2倍、3倍……同時，倍數(shù)的特征也一覽無余：一個數(shù)的最小倍數(shù)就是它自己，倍數(shù)可以無窮大，相鄰兩個倍數(shù)的相差值是它的本身。

因倍數(shù)本是一個代數(shù)概念，這個概念的內(nèi)涵本身并不復(fù)雜，可以直接借助乘除法算式來定義，只不過，一旦與乘除法發(fā)生勾連，那么概念的范圍勢必會受到學(xué)生前認(rèn)知的干擾，而倍數(shù)是專門針對非0自然數(shù)設(shè)計的，也就是只有正整數(shù)乘法算式中，才可言倍數(shù)概念。這樣一來，學(xué)生的理解難度就會驟然加大。在教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合之后，倍數(shù)概念必須定義在非0自然數(shù)范圍內(nèi)就顯得天經(jīng)地義，因為任何隊列的列數(shù)和行數(shù)以及總數(shù)都必須是正整數(shù)，這是與客觀現(xiàn)實相適配的。因此，用數(shù)形結(jié)合的方法來理解倍數(shù)概念可以精準(zhǔn)揭示概念內(nèi)涵。