王國良，狄心瑩

（遼寧石油化工大學信息與控制工程學院，遼寧 撫順 113001）

鋰離子電池作為電源系統(tǒng)的重要組成部件，其具有小巧輕便、環(huán)保節(jié)能、高續(xù)航能力等優(yōu)點[1]，被廣泛應用于各大領域。為了促進新能源技術的發(fā)展，對鋰離子電池的剩余壽命進行預測研究至關重要。以往對鋰離子電池充放電過程的研究中發(fā)現(xiàn)，隨著電池的使用時間和充放電循環(huán)次數(shù)的增加，其容量在不斷減小[2]。為了避免對重要設備造成永久性損壞，必須對電池容量進行預測，從而保證電池在使用期間處于健康狀態(tài)[3]。

鋰離子電池的剩余壽命預測可分為基于概率統(tǒng)計分布、模型驅動和數(shù)據(jù)驅動預測方法[4]。數(shù)據(jù)驅動作為概率統(tǒng)計理論的主要預測方法，其結合神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機（SVM）[5]等學習方法，通過建立輸入和輸出變量之間的模型來預測鋰離子電池的剩余壽命。解冰[6]建立基于最小二乘支持向量機模型，引入遺傳退火算法提高了預測精度。王瀛洲等[7]利用蟻獅優(yōu)化和支持向量回歸的方法提高了電池壽命預測準確性。倪裕隆[8]改進了蟻獅優(yōu)化算法，為SVM方法提供最優(yōu)參數(shù)，進一步提高了其預測精度。但是，支持向量機須選用滿足一定約束條件的核函數(shù)，預測結果為無概率性表現(xiàn)形式，并且神經(jīng)網(wǎng)絡收斂速度慢，訓練時間長，預測值為稀疏性的點估計值。引入貝葉斯思想后，彌補了該不足。但是，通常基于RVM相關的鋰離子電池壽命預測方法只考慮單一變量的輸入輸出關系，對多變量輸入與輸出不能直接建立關系模型。對單一特征因素變量分別預測并加權融合得到的預測值，雖然在一定程度上提高了預測精度，但效果不夠明顯且步驟冗余。針對這一問題，本文提出了基于主元分析的特征因素變量加權的RVM鋰離子電池剩余壽命預測方法，該方法的普適性更廣，對鋰離子電池的壽命預測精度更高。

1 基本原理和算法

基于相關向量機的鋰離子電池壽命預測模型數(shù)據(jù)處理方法，對單一特征變量預測輸出值加權和基于PCA的特征因素變量加權融合構建得到預測輸出值。首先，對不同特征變量，通過相關向量機得到相應預測模型，考慮輸出的各預測值向量之間線性相關性得到相應權值。然后，基于PCA思想，直接將不同特征變量對電池壽命衰減的影響程度作為給出權值的重要依據(jù)。

1.1 PCA的數(shù)學意義

假設對系統(tǒng)的n個采樣點進行m次獨立采樣，則系統(tǒng)可以由一個n×m維的隨機矩陣G∈Rm×n描述。

式中，gi,j為采樣數(shù)據(jù)變量，i=1,…,m;j=1,…,n。

由于所采集的數(shù)據(jù)中包含不同量綱，為消除帶有不同量綱的數(shù)據(jù)所組成的數(shù)據(jù)矩陣對PCA的運行結果有所影響，先對G進行歸一化處理，去除系統(tǒng)數(shù)據(jù)的量綱。

1.1.1 歸一化處理 通過式（2）對數(shù)據(jù)進行歸一化處理。

式中，為對向量Gi歸一化處理后的得到的新數(shù)據(jù)向量；μi和σi分別為Gi的均值和方差。通過處理，可得隨機矩陣

隨機矩陣可以分解為n個向量的外積之和，即：

式中，Um×n=[u1,u2,…,un]為得分矩陣，由得分主元ui∈Rm×1構 成；Vn×n=[v1,v2,…,vn]為 負 荷 矩陣，由負荷向量vi∈Rn×1構成，且由矩陣Gˉ的協(xié)方差矩陣給出。

1.1.2 特征值與特征向量 記上述隨機矩陣Gˉ的協(xié)方差矩陣為ΣGˉ，則：

對式（5）求解：

式中，λi為特征值；I為特征向量。

求解后可以分別得到協(xié)方差矩陣ΣGˉ的特征值λi(i=1,…,n)及相對應的特征向量vi(i=1,…,n)。通常假設n個特征值都不相等，并且有λ1＞λ2＞λ3＞…＞λn。為證明式（4）成立，兩邊同乘以vi得：

1.1.3 確定主成分個數(shù) 一般情況下，設主成分個數(shù)為k(k≤n)，且k滿足：

求得k，那么矩陣則可表示為：

式中，?為主成分空間（主元空間）為殘差空間。

在現(xiàn)代工業(yè)控制研究中，PCA常與其他方法結合應用于各領域控制系統(tǒng)的在線故障檢測問題研究[9-10]及其他方面的數(shù)據(jù)分析中。T2和SPE是PCA中兩個常用的性能指標，用于故障診斷。

1.2 相關向量機

相關向量機（RVM）[11]是在SVM的基礎上做相應的改進，由E.M.Tipping[12]在2001年提出的。

假設存在訓練樣本集{xk,yk},(k=1,2,…,n),其中xk為輸入向量，yk為輸出向量，并認為yk是關于xk的函數(shù)?(xk)的輸出，即：

式中，εk為方差σ2的高斯噪聲，服從均值為0。常見的?(xk)形式為：

式中，ω=(ω1,ω2,…,ωn)為權重向量；K(x,xi)為核函數(shù)；ω0為偏差[13]。E.M.Tipping從貝葉斯理論的角度出發(fā)，認為ω服從先驗分布，即

可以得到權重向量的后驗分布：

式中，Σ為后驗分布方差；μ為后驗分布均值；y為訓練 樣 本 的 輸 出 量；A=diag(θ1,θ2,…,θn)，Φ=[?(x1),…,?(xn)]T為設計矩陣，?(x)=[1,K(x,x1),…,K(x,xn)]T。超參數(shù)的θ和方差σ2優(yōu)化可以通過式（17）和式（18）實現(xiàn)。

選取RBF核函數(shù)[14]，該核函數(shù)具有使特征輸入和輸出樣本呈現(xiàn)非線性的能力，僅在測試數(shù)據(jù)點的附近較小領域內產生影響，非線性逼近能力很強，其表達式為：

式中，r為核函數(shù)的參數(shù)。r越小，RBF對原數(shù)據(jù)的影響范圍越小。

1.3 基于PCA特征因素變量加權建構概述

1.3.1 單因素變量RVM預測值的加權處理 根據(jù)RVM理論基礎，分別對可能影響鋰離子電池容量的不同特征變量測量值與電池容量真實值建立RVM模型，得到所對應的預測輸出y*。由于電池容量的變化非單獨某個特征變量引起，不同y*和實際容量存在相應的線性關系：

式中，y*1,y*2,…,y*n分別對應n個特征變量；x1,x2,…,xn為RVM模型下的預測容量值；Y*為預測值線性融合向量，由預測值線性融合所得；ti為相應的權重系數(shù)，由向量相關系數(shù)給出：

式中，ρy*y為表征電池容量預測值向量y*與真實值向量y之間線性關系的緊密程度指標(||ρ≤1),其絕對值決定二者之間的緊密程度，cov(·)為協(xié)方差為標準差。|ρy*y|較大，說明y*與y的線性相關程度較強；|ρy*y|較小，說明y*與y的線性相關程度較弱；|ρy*y|=0，則說明y*與y不相關。。

1.3.2 基于PCA的特征變量加權建構方法 根據(jù)PCA的數(shù)學意義可知，對采樣特征變量原始數(shù)據(jù)矩陣G歸一化去量綱處理后得到矩陣Gˉ，通過Gˉ求取協(xié)方差矩陣ΣGˉ，并計算該協(xié)方差矩陣特征值及與之對應的特征向量，可以找到表征變量主要特征的主元向量ui(i=1,2,…,m)。特征值決定主元的重要程度。

式中，ri為權重系數(shù)由協(xié)方差矩陣特征值給出：

該協(xié)方差矩陣特征值同樣決定主元的重要程度，即主元向量對原變量向量的覆蓋程度。因此，可以得到相關主元的權重系數(shù)，從而得到各特征因素變量加權構建以后的特征變量。將此變量作為鋰離子電池在線剩余壽命預測相關向量機的輸入，與真實電容值建立相應預測模型。對新采集的電池數(shù)據(jù)進行PCA分析，并對處理后的特征變量通過相關向量機進行在線預測，得到預測結果。具體流程如圖1所示。

圖1 PCA加權特征建構電池壽命預測流程

2 實驗與分析

為了驗證所提出的預測值加權構建及特征因素變量加權構建方法的性能，證明兩種方法的有效性，選取B7型號鋰離子電池實驗所得數(shù)據(jù)，采用兩種方法進行仿真實驗。對已有的相關研究分析發(fā)現(xiàn)，鋰離子電池在線運行存在不完全充放電的現(xiàn)象，因此需將數(shù)據(jù)中鋰離子電池不完全充放電時數(shù)據(jù)全部剔除，對鋰離子電池進行在線剩余壽命預測方法的研究才具有一定意義。等壓升充電時間間隔、等流降充電時間間隔和等壓降放電時間間隔三個特征因素變量可作為主要相關向量機建立模型的輸入。提取可測量特征因素變量后，根據(jù)已有容量數(shù)據(jù)，通過相關向量機（RVM）建立特征因素變量與電池容量的關系模型；將在線采集的特征變量數(shù)據(jù)向量作為輸入，輸出得到相應的容量預測值向量。充電時，電壓從2.7 V上升到4.2 V所需時間作為特征因素變量x1，即x1為等壓升充電時間間隔；電流從1.5 A下降到0.3 A所需時間作為特征因素變量x2，即x2為等流降充電時間間隔。放電時，電壓從3.7 V下降到2.7 V所需時間作為特征因素變量x3，即x3為等壓降放電時間間隔。

綜上，提取等壓升充電時間間隔等三個特征因素變量及相應的電池容量數(shù)據(jù)進行實驗分析。實驗所用數(shù)據(jù)均采用NASA公布的B7號鋰離子電池的164組充放電循環(huán)真實測量數(shù)據(jù)。

2.1 預測值加權構建

分別利用B7號鋰離子電池的三個特征因素變量x1、x2、x3進行預測，所得預測值由相關系數(shù)線性融合所得值與融合前的三組單一變量預測值進行對比，其中選取前100組建模數(shù)據(jù)作為靜態(tài)數(shù)據(jù)，用于建立預測模型。模擬建模完成后，采集的新產生64組數(shù)據(jù)設為動態(tài)采集數(shù)據(jù)，用于在線預測，預測起點為101。

單一變量及預測值加權建構預測結果如圖2所示。預測輸出Y*由預測值線性融合所得。預測值從101循環(huán)開始，64組預測數(shù)據(jù)實驗分析結果為對不同單一特征因素變量預測結果線性擬合得到的加權預測值，考慮了多個特征因素變量對電池容量衰減的影響。對比單一特征因素變量建立的預測模型機制，由數(shù)學增長率算法計算得擬合程度分別比單個特征變量的預測值擬合程度提高2.3%、0.4%、0.7%，在一定程度上增加了其預測精度，預測值更加接近容量真實值，對提高鋰離子電池在線壽命的預測性能具有一定意義。

圖2 單一變量及預測值加權建構預測結果

單一變量加權構建方法的預測效果如表1所示。

表1 單一變量加權構建方法的預測效果

2.2 基于PCA的特征因素變量加權建構

基于PCA的特征因素變量加權建構預測實驗分析，采用B7號鋰離子電池164組充放電循環(huán)真實數(shù)據(jù)進行實驗分析。其中，選取前100組中3個特征因素變量數(shù)據(jù)作為靜態(tài)數(shù)據(jù)，經(jīng)PCA分析用于相關向量機建立電池壽命預測模型，得到其相應核函數(shù)參數(shù)，即通用程序里可調節(jié)參數(shù)a=3，J=1.8；取后64組設為動態(tài)采集數(shù)據(jù)，用于電池壽命的在線預測。在線壽命預測過程如下：

預測建模確定相關向量機核函數(shù)參數(shù)后，開始進行在線預測實驗；讀取第101組數(shù)據(jù)中3個變量值為第一組測量值，將所構成的1×3維向量型矩陣作為PCA的輸入得到加權建構特征變量值，由相關向量機得到對應預測電池容量值；繼而讀取第102組數(shù)據(jù),重復上述運算步驟，得到對應預測值；以此類推，分析計算第103，104，…，164組數(shù)據(jù)，依次得到相應電容的預測值，進而完成鋰離子電池的在線壽命預測實驗。

基于PCA的特征變量加權構建預測結果如圖3所示。

圖3 基于PCA的特征變量加權構建預測結果

由PCA加權構建所得特征變量作為輸入得到的電池容量預測值，避免忽略多個特征變量輸入對鋰離子電池容量衰減的影響，從根本上解決了多個不同特征因素變量對電池容量衰減影響程度不同而導致存在預測精準度差異的現(xiàn)象，擬合程度較比單個特征變量的預測值擬合程度分別提高2.3%、0.7%、0.9%，在一定程度上提高了其預測精度，使預測值更加接近容量真實值，有效地提高了鋰離子電池壽命的在線預測性能。

PCA特征變量加權構建方法的預測效果如表2所示。其中，X*為PCA加權建構所得特征變量。

表2 PCA特征變量加權構建方法的預測效果

2.3 兩種建構方法預測結果對比

預測值加權構建與基于PCA特征變量加權構建方法對鋰離子電池容量預測結果（見圖4）。

圖4 兩種預測結果對比

從圖4可以看出，與單一變量加權構建方法相比基于PCA的特征變量加權構建方法的預測效果更好。

3 結論

多個單一變量預測值加權線性融合的方法，雖考慮到多個特征因素變量對電池容量衰減的影響，在一定程度上增加了預測精度，但僅適用于變量少的相關預測實驗研究，普適性低。由PCA加權構建所得特征變量的方法進行預測，可避免不同特征變量對鋰離子電池容量衰減的影響，同時從根本上解決因多個不同特征因素變量對電池容量衰減影響程度不同而存在預測精度差異的現(xiàn)象，增加其預測精度，使預測值更加接近容量真實值，普適性更高。驗證實驗結果表明，所提變量加權建構處理方法的預測結果與電池真實容量值擬合程度更好，證明所提方法的可行性和有效性。