孫光明，張大衛(wèi)，孫銘澤，胡高峰，李志軍

（1.天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2.天津城建大學(xué)控制與機(jī)械工程學(xué)院，天津 300384；3.天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300082；4.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；5.天津大學(xué)內(nèi)燃機(jī)燃燒學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

精密機(jī)床是制造業(yè)的核心設(shè)備，直線進(jìn)給軸是機(jī)床的重要部件，其位姿誤差直接影響機(jī)床的末端精度。直線進(jìn)給軸存在6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差，其中運(yùn)動(dòng)方向的位置偏差與2項(xiàng)直線度誤差稱為位置誤差，3項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差稱為姿態(tài)誤差，位置誤差與姿態(tài)誤差合成位姿誤差。影響直線軸位姿誤差的因素主要包括導(dǎo)軌幾何誤

差[1-2]、彈性變形[3]、熱誤差[4]和伺服參數(shù)[5]等，其中裝配后的導(dǎo)軌幾何誤差是影響直線軸位姿誤差的重要因素。直線軸位姿誤差建模是建立導(dǎo)軌幾何誤差與位姿誤差之間的數(shù)學(xué)模型。目的是在裝配過程中，通過測(cè)量幾何誤差實(shí)現(xiàn)對(duì)位姿誤差的預(yù)測(cè)；根據(jù)給定的位姿誤差要求，通過精度設(shè)計(jì)的方法，對(duì)幾何誤差優(yōu)化分配。位姿誤差建模是精度預(yù)測(cè)和精度設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，本文從靜力平衡建模法、等效剛度建模法、有限元建模法等方面，探討現(xiàn)有直線軸位姿誤差建模方法的特點(diǎn)及尚需解決的問題。

1 靜力平衡建模法

靜力平衡建模法是根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)軸的結(jié)構(gòu)特征，分析其受力狀態(tài)，根據(jù)力學(xué)知識(shí)將系統(tǒng)中的力和力偶矩按照力的平移法則，將它們向坐標(biāo)系的原點(diǎn)簡(jiǎn)化為1個(gè)合力矢和1個(gè)合力偶矩，再根據(jù)力和力偶矩的方向，獲得運(yùn)動(dòng)軸在各個(gè)方向上的平衡方程。靜力平衡建模法的基本數(shù)學(xué)模型為

式中：F為合力矢；M為合力偶矩；q為運(yùn)動(dòng)軸所受力的數(shù)量；Pi為運(yùn)動(dòng)軸所受第i個(gè)分力的大?。籶為運(yùn)動(dòng)軸所受力偶矩?cái)?shù)量；mi為第i個(gè)分力偶矩的大小。

Shimizu[6-7]利用赫茲接觸理論分析了滾動(dòng)導(dǎo)軌中滾動(dòng)體的受力狀態(tài)和載荷分布，在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用力平衡方程和力矩平衡方程，研究了滾動(dòng)導(dǎo)軌支撐下直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的載荷分布和剛性特征。周傳宏等[8]以精密滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副工作臺(tái)為研究對(duì)象，運(yùn)用力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出在任意力和力偶矩作用下，工作臺(tái)中滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副負(fù)載以及工作臺(tái)上任意點(diǎn)的位移。較早期使用靜力平衡建模法研究了四滑塊雙導(dǎo)軌和六滑塊雙導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)的直線運(yùn)動(dòng)軸的負(fù)載分布，結(jié)合變形協(xié)調(diào)方程獲得了各個(gè)滑塊的受力和變形狀態(tài)，并得到了工作臺(tái)的轉(zhuǎn)角誤差。四滑塊導(dǎo)軌副負(fù)載與變形協(xié)調(diào)如圖1所示。

靜力平衡方程為式中：R1至R4分別為工作臺(tái)在z方向所受作用力；S1至S4分別為工作臺(tái)在y方向所受作用力；Fy和Fz分別為作用在工作臺(tái)中心沿y和z方向的力；Mx、My和Mz分別為作用在工作臺(tái)中心沿x、y和z方向的力矩；L1為滑塊沿x方向的距離，L2為兩導(dǎo)軌之間的距離。

變形協(xié)調(diào)方程為

工作臺(tái)的位姿誤差

式中：δ1至δ4分別為四滑塊在z方向的彈性變形；δ1'至δ4'分別為四滑塊在y方向的彈性變形；φx、φy、φz分別為工作臺(tái)繞坐標(biāo)系中x軸、y軸、z軸的轉(zhuǎn)角誤差。

應(yīng)強(qiáng)[9]、范靜鋒[10]使用靜力平衡建模法研究了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌靜剛度、導(dǎo)軌副載荷特性和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。Wu等[11]在研究直線軸位姿誤差的過程中考慮了導(dǎo)軌滑塊的剛度，運(yùn)用靜力平衡建模法研究四滑塊雙導(dǎo)軌系統(tǒng)的受力狀態(tài)，并獲得了工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。劉曙光[12]運(yùn)用靜力平衡建模法計(jì)算了四滑塊雙導(dǎo)軌系統(tǒng)的受力狀態(tài)，研究了滾柱直線導(dǎo)軌力學(xué)性能，獲得了工作臺(tái)的姿態(tài)誤差。靜力平衡建模法不僅可以用于誤差建模，還可以用于分析滑塊磨損和載荷分布研究。Fan等[13]利用靜力平衡方程求解滑塊和導(dǎo)軌之間的接觸面上產(chǎn)生的反作用力，在此基礎(chǔ)上建立了機(jī)床直線軸的精度損失模型，根據(jù)滑軌的磨損量預(yù)測(cè)工作臺(tái)長(zhǎng)期運(yùn)行后的定位誤差。Sun等[14-15]結(jié)合材料滯彈性，運(yùn)用靜力平衡建模法建立直線進(jìn)給軸的重復(fù)定位誤差模型，研究裝配誤差和結(jié)構(gòu)件剛度對(duì)重復(fù)定位誤差的作用機(jī)理。

除了滾動(dòng)導(dǎo)軌支撐的直線軸之外，靜力平衡建模法在非滾動(dòng)導(dǎo)軌（靜壓導(dǎo)軌、氣浮導(dǎo)軌）支撐的直線運(yùn)動(dòng)軸誤差建模方面也有著廣泛的應(yīng)用。Onat等[16]研究了空氣靜壓導(dǎo)軌幾何誤差與位姿誤差之間的關(guān)系，建立了位姿誤差的數(shù)學(xué)模型，建模過程中使用軸承位置和剛度、導(dǎo)軌幾何誤差和靜態(tài)平衡來生成矩陣形式的模型。Xue等[17]在研究靜壓導(dǎo)軌誤差均化效應(yīng)的過程中，建立了四墊塊運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的靜力平衡方程，獲得了系統(tǒng)的位姿誤差和轉(zhuǎn)角誤差，靜壓導(dǎo)軌受力平衡分析如圖2所示。

圖2 靜壓導(dǎo)軌受力平衡分析

Wang等[18]以工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)平衡方程和液膜雷諾方程為基礎(chǔ)，考慮了流體的可壓縮性和擠壓油膜效應(yīng)，提出了流體靜壓導(dǎo)軌的位姿誤差建模方法，獲得了四墊閉式靜壓導(dǎo)軌的直線度誤差和轉(zhuǎn)角誤差。Qi等[19]應(yīng)用流體靜力平衡建模法，建立了單墊和雙墊靜壓導(dǎo)軌的誤差均化模型，提出了一種考慮導(dǎo)軌三維輪廓誤差的靜壓導(dǎo)軌誤差均化效果的評(píng)估方法。Zha等[20-21]為了研究直線度誤差的不同變化趨勢(shì)，分析了考慮外部載荷的四墊開式靜壓導(dǎo)軌的靜態(tài)平衡條件，建立了誤差均化的數(shù)學(xué)模型。

靜力平衡法具有計(jì)算簡(jiǎn)便、應(yīng)用范圍廣的優(yōu)點(diǎn)，但這種方法僅能適用于理想狀態(tài)下直線軸位姿誤差的建模，而實(shí)際裝配后的直線進(jìn)給軸不可避免地存在裝配誤差，因此靜力平衡建模法難以進(jìn)行精確建模。

2 等效剛度建模法

等效剛度建模法是在赫茲接觸理論和靜力平衡建模法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的[22-24]，該方法在建模過程中考慮導(dǎo)軌滑塊的等效剛度，并能夠建立多種類型導(dǎo)軌誤差的傳遞模型。Shamoto等[25-27]提出了傳遞函數(shù)模型，該模型將滑塊所受合力的幅值與導(dǎo)軌幾何誤差的幅值之比定義為傳遞函數(shù)K（ω），且K（0）為導(dǎo)軌滑塊的等效剛度，根據(jù)靜力平衡方程分析工作臺(tái)的受力狀態(tài)，獲得工作臺(tái)的位姿誤差。傳遞函數(shù)的表達(dá)式為

式中：fe（ω）為工作臺(tái)所受合力的幅值；e（ω）為導(dǎo)軌幾何誤差幅值。

Khim等[28-29]運(yùn)用傳遞函數(shù)理論，對(duì)滾動(dòng)導(dǎo)軌支撐的直線軸誤差建模，建模過程中根據(jù)赫茲接觸理論推導(dǎo)了在導(dǎo)軌幾何誤差影響下滑塊的受力情況，將滑塊所受合力與導(dǎo)軌幾何誤差的幅值之比等效為導(dǎo)軌滑塊的剛度K（0），并以此為橋梁，根據(jù)靜力平衡方程分析工作臺(tái)的受力狀態(tài)，獲得了工作臺(tái)的位姿誤差，以傳遞函數(shù)為等效剛度的建模方法如圖3所示。

圖3 以傳遞函數(shù)為等效剛度的建模方法

以傳遞函數(shù)為等效剛度的靜力平衡方程為

式中：fei（x）為第i個(gè)滑塊對(duì)工作臺(tái)的作用力；Zi（x）為第i個(gè)滑塊組在z方向的位移；Xi為相鄰2個(gè)滾動(dòng)體組之間的中心距離。

在此基礎(chǔ)上，Hwang等[30]運(yùn)用該誤差傳遞函數(shù)理論，根據(jù)導(dǎo)軌輪廓的空氣靜壓軸承的力平衡，預(yù)測(cè)XY型工作臺(tái)二維位姿誤差。隨后，Khim等[31]基于等效剛度建模法，提出了一種工作臺(tái)五自由度位姿誤差的計(jì)算方法。研究建立了導(dǎo)軌的實(shí)際幾何誤差和工作臺(tái)位姿誤差之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了氣浮導(dǎo)軌支撐的直線軸五項(xiàng)位姿誤差的預(yù)測(cè)，將工作臺(tái)位姿誤差模型擴(kuò)展至三維（3D）范圍。

Kim等[32]運(yùn)用等效剛度建模方法，采用雙彈簧系統(tǒng)，考慮到導(dǎo)軌平行度和墊間距誤差引起的反作用力力矩的影響，建立了考慮導(dǎo)軌平行度的誤差模型，進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度。在使用等效剛度建模法建模過程中，需用傅里葉變換將實(shí)際導(dǎo)軌輪廓誤差轉(zhuǎn)換為周期函數(shù)。對(duì)于大多環(huán)境，導(dǎo)軌表面曲線是隨機(jī)的，為了建立導(dǎo)軌輪廓誤差和位姿誤差之間更加精確的數(shù)學(xué)模型，Tang等[33]提出了一種基于測(cè)量導(dǎo)軌表面和擬合曲線的直線度和角度誤差的系統(tǒng)計(jì)算方法，導(dǎo)軌隨機(jī)誤差作用下工作臺(tái)位姿誤差如圖4所示。

圖4 導(dǎo)軌隨機(jī)誤差作用下工作臺(tái)位姿誤差

根據(jù)導(dǎo)軌誤差測(cè)量結(jié)果選擇合適的特征函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，進(jìn)而計(jì)算位姿誤差，該方法與傳統(tǒng)方法相比，在曲線擬合和誤差計(jì)算方面更為精確，可以通過同樣的程序應(yīng)用于其他類似的環(huán)境。此外，Xue等[17]在靜壓導(dǎo)軌誤差均化建模過程中，將每個(gè)墊塊油膜等效為支撐剛度，研究直線軸的位姿誤差。

等效剛度建模法通用性強(qiáng)，能夠適用于靜壓導(dǎo)軌、氣浮導(dǎo)軌以及滾動(dòng)導(dǎo)軌，建模時(shí)需要導(dǎo)軌導(dǎo)向面的輪廓誤差，它在一定程度上決定了模型的預(yù)測(cè)精度。

3 有限元建模法

靜力平衡建模法和等效剛度建模法是在滑塊滾動(dòng)體為彈性體、其他部件為剛體的假設(shè)下提出的模型。隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的發(fā)展，有限元建模法的應(yīng)用越來越廣泛，該方法可將參與計(jì)算的零件作為彈性體[34-35]。

在建立有限元模型的過程中，元件之間的接觸特性以及滾動(dòng)體的模擬是難點(diǎn)。Chlebus等[36]采用有限元建模法計(jì)算了滑動(dòng)導(dǎo)軌接觸層的剛度，將2個(gè)元件接頭的接觸層設(shè)置為一種的“第三體”，并根據(jù)接觸特性賦予材料屬性，該方法考慮了接觸層的非線性特性。Wu等[37]在研究滾動(dòng)導(dǎo)軌動(dòng)態(tài)特性的過程中，為了模擬滾動(dòng)界面的接觸特性，在每個(gè)球體的上、下側(cè)分別采用了零厚度的三維膜接觸單元建模。Ohta等[38]研究了考慮滑塊和導(dǎo)軌柔性的預(yù)加載線性導(dǎo)軌型滾珠軸承的垂直剛度，建立了導(dǎo)軌滑塊的有限元模型，在滾動(dòng)體的接觸點(diǎn)施加了等效載荷，計(jì)算了滑塊的變形。Hung等[39]在赫茲接觸理論分析的基礎(chǔ)上，采用彈簧單元模擬導(dǎo)軌滑塊的滾動(dòng)體剛度，建立了立柱運(yùn)動(dòng)部件的有限元模型，分析了機(jī)床的動(dòng)態(tài)特性。Shi等[40]在對(duì)機(jī)床進(jìn)行有限元建模時(shí)提出，導(dǎo)軌由梁?jiǎn)卧硎荆瑝K由面單元表示，滑塊安裝面采用Glue命令相連，同時(shí)與滑動(dòng)點(diǎn)Node用Mean命令相連，而滑動(dòng)點(diǎn)與導(dǎo)軌上對(duì)應(yīng)的Node節(jié)點(diǎn)重合，采用Bushing剛度單元相連，Bushing單元可以設(shè)定六維的靜剛度。

目前，通用的有限元建模法為Majda[41]提出的一種直線導(dǎo)軌幾何誤差對(duì)工作臺(tái)位姿誤差影響的分析方法，該方法考慮到導(dǎo)軌幾何誤差的非線性特性，將滾動(dòng)體等效為彈簧單元，通過改變彈簧單元的長(zhǎng)度來模擬導(dǎo)軌幾何誤差，建立了雙導(dǎo)軌四滑塊系統(tǒng)的有限元模型，并研究了多種導(dǎo)軌誤差狀態(tài)下工作臺(tái)的轉(zhuǎn)角誤差。在此基礎(chǔ)上，郭龍真[42]使用有限元方法建立了機(jī)床直線軸導(dǎo)軌滑塊系統(tǒng)的剛彈耦合模型，將導(dǎo)軌滑塊的滾動(dòng)體簡(jiǎn)化為等剛度的彈簧，通過修改彈簧的長(zhǎng)度來模擬導(dǎo)軌的幾何誤差，研究了工作臺(tái)在不同導(dǎo)軌誤差狀態(tài)下的位姿誤差和轉(zhuǎn)角誤差，并進(jìn)一步研究了直線軸的誤差均化機(jī)理和低應(yīng)力裝配技術(shù)。直線軸有限元模型如圖5所示。

圖5 直線軸有限元模型

有限元建模法的優(yōu)點(diǎn)是所有零部件均作為彈性體參與計(jì)算，計(jì)算精度更高，缺點(diǎn)是建模過程繁瑣，時(shí)間較長(zhǎng)，模型通用性差。

除靜力平衡建模法、等效剛度建模法和有限元建模法外，還有學(xué)者提出了各自的建模方法。何改云等[43]基于齊次坐標(biāo)變換和最小余能原理定量分析了工作臺(tái)的位姿誤差，研究了直線滾動(dòng)導(dǎo)軌平行度誤差對(duì)機(jī)床工作臺(tái)位姿誤差的影響。Ekinci等[44]提出了一種基于誤差分類的機(jī)床誤差分析方法，研究了機(jī)床直線軸轉(zhuǎn)角誤差和直線度誤差之間的關(guān)系。類似地，Wahid等[45]使用積分法建立導(dǎo)軌直線度誤差和工作臺(tái)位姿誤差之間的映射模型。Ma等[46]基于激光跟蹤儀，研究了零件制造誤差和變形對(duì)直線軸位姿誤差的影響。He等[47]提出了分層誤差建模法，把直線軸的誤差分為基面層誤差、導(dǎo)軌層誤差、滑塊層誤差、工作臺(tái)誤差，使用靜力平衡建模法和等效剛度建模法分層建模，取得了較好的效果。

4 結(jié)論

本文綜述了國(guó)內(nèi)外機(jī)床直線進(jìn)給軸位姿誤差建模方法的進(jìn)展和成果，分析了現(xiàn)有方法的特點(diǎn)。著眼于精密、超精密加工，當(dāng)前的機(jī)床直線軸位姿誤差的建模方法仍然存在一些不足，需要從以下幾個(gè)方面深入研究：

（1）現(xiàn)有的建模方法著重于預(yù)測(cè)機(jī)床定位的準(zhǔn)確度，然而體現(xiàn)機(jī)床定位穩(wěn)定性的重復(fù)定位誤差已經(jīng)成為影響機(jī)床定位性能的關(guān)鍵因素，其建模方法還有待進(jìn)一步研究。

（2）機(jī)床的動(dòng)態(tài)誤差已經(jīng)成為影響機(jī)床定位精度的重要因素，目前的建模方法從不同角度衡量導(dǎo)軌幾何誤差對(duì)位姿誤差的影響程度，屬于靜態(tài)建模，建立準(zhǔn)確的動(dòng)態(tài)誤差模型，需要進(jìn)一步研究。

（3）降低裝配后的導(dǎo)軌幾何誤差是提高機(jī)床精度的重要途徑，但目前位姿誤差建模的目的多用于精度預(yù)測(cè)，基于控制導(dǎo)軌幾何誤差的精度設(shè)計(jì)方法是未來研究的重要方向。