姜曉翔

（浙江省湖州市南潯開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

羅增儒教授曾提出，解題即找出題目解的活動(dòng)，解題教學(xué)是解題活動(dòng)的教學(xué).基于此，筆者認(rèn)為，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題，先要提升自己解題教學(xué)的水平，尤其是在專題復(fù)習(xí)課中，優(yōu)質(zhì)的解題教學(xué)能讓學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并最終總結(jié)與歸納解題的通性、通法.卜以樓先生提出了生長(zhǎng)理念，即找準(zhǔn)生長(zhǎng)點(diǎn)，選好生長(zhǎng)路徑，運(yùn)用生長(zhǎng)架構(gòu)講述思維登高的理性故事.基于生長(zhǎng)理念下“六環(huán)”解題教學(xué)法探索研究，即“入題”“審題”“析題”“解題”“拓題”“理題”六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，將其應(yīng)用于專題復(fù)習(xí)課等課型，能幫助學(xué)生獲得更好的解題經(jīng)驗(yàn)和思維方式，進(jìn)而達(dá)成知識(shí)、方法、能力和思維等全方位的生長(zhǎng).通過對(duì)2018年中考浙江杭州卷第10題進(jìn)行深入研究，并將該題作為教學(xué)素材中的母題，設(shè)計(jì)成一節(jié)“一題一課”形式的專題復(fù)習(xí)課，教學(xué)中滲透生長(zhǎng)理念，并結(jié)合“六環(huán)”解題教學(xué)法探索出深刻的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式.

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)

在知識(shí)層面上，復(fù)習(xí)鞏固求三角形面積的常用方法，即直接法、等積法和等比法等；在方法層面上，探索并發(fā)現(xiàn)運(yùn)用代數(shù)式、方程、不等式及函數(shù)等基本代數(shù)模型解決三角形面積問題的基本套路；在思想層面上，體會(huì)代數(shù)模型在幾何直觀視角下的建構(gòu)與運(yùn)用，并掌握數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、方程、數(shù)學(xué)建模及分類討論等重要數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和價(jià)值.最終達(dá)成知識(shí)生長(zhǎng)、方法生長(zhǎng)、能力生長(zhǎng)及思維生長(zhǎng)的目標(biāo).

二、學(xué)情分析

該專題復(fù)習(xí)課基于一道經(jīng)典中考試題的解題教學(xué)，定位在學(xué)生學(xué)習(xí)完“相似三角形”內(nèi)容后，作為章節(jié)專題復(fù)習(xí)課或中考第二輪專題復(fù)習(xí)課進(jìn)行教學(xué).此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)擁有上述提到的代數(shù)模型及相似三角形性質(zhì)等必要的知識(shí)儲(chǔ)備，并且具有初步的抽象能力、模型觀念、幾何直觀、推理能力及運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)生正值亟待提升數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)和思維品質(zhì)之時(shí)，教師通過該復(fù)習(xí)課中的解題教學(xué)，以期能達(dá)成上述復(fù)習(xí)目標(biāo).

三、思考方向

1.試題呈現(xiàn)

題目 （2018年浙江·杭州卷）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E，連接BE，記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2，（ ）.

圖1

（A）若2AD＞AB，則3S1＞2S2

（B）若2AD＞AB，則3S1＜2S2

（C）若2AD＜AB，則3S1＞2S2

（D）若2AD＜AB，則3S1＜2S2

2.試題思考

該試題是一道壓軸選擇題，借助三角形面積等常規(guī)知識(shí)考查代數(shù)建模思維在幾何直觀視角下的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化.從試題的呈現(xiàn)形式來看，題干精煉，選擇支勻稱，圖形簡(jiǎn)潔，是一道典型的幾何與代數(shù)綜合推理試題.然而，由于該題選擇支中所設(shè)計(jì)的條件和結(jié)論均以不等關(guān)系呈現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生而言相對(duì)陌生，較難理解和處理，難以入手，需通過有效轉(zhuǎn)化進(jìn)行具體分類與分析，具有較高的思維含量，故題目區(qū)分度也得以體現(xiàn)，是一道值得深入研究的好題.筆者運(yùn)用基于生長(zhǎng)理念下的“六環(huán)”解題教學(xué)法，將整個(gè)解題教學(xué)過程自然地串聯(lián)成完整的一節(jié)生長(zhǎng)型復(fù)習(xí)課，以求知識(shí)得到自然生長(zhǎng).

四、教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

1.入題：設(shè)本源問題，搭雙重鋪墊

引例1 如圖2，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，且AD=2，AB=6，則△ADC與△ABC的面積比為（ ）.

圖2

（A）1∶2 （B）1∶3

（C）1∶4 （D）1∶9

引例2 如圖3，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，且AD=2，AB=6，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則△ADE與△ABC的面積比為（ ）.

圖3

（A）1∶2 （B）1∶3

（C）1∶4 （D）1∶9

題后總結(jié)，如圖4所示.

圖4

【評(píng)析】以兩道起點(diǎn)較低的練習(xí)題作為引例，降低了問題思維起點(diǎn)的難度，增加了入題的寬度，不僅起到了讓全體學(xué)生都能參與的目的，還能引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)解決原題所必需的本源知識(shí)，即三角形的面積比問題.教師通過題后總結(jié)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從引例提煉出與三角形面積之比相關(guān)的知識(shí)儲(chǔ)備，并用如圖4所示的思維導(dǎo)圖直觀呈現(xiàn)，進(jìn)而為解決題目做好知識(shí)和思維上的雙重鋪墊.該環(huán)節(jié)既是對(duì)于“三角形的面積比問題”的一種知識(shí)生長(zhǎng)，也為后續(xù)的各種其他層面的生長(zhǎng)填石鋪路.

2.審題：尋關(guān)鍵詞句，破審題難點(diǎn)

題干關(guān)鍵詞句：題目的大前提條件是“在△ABC中，DE∥BC，記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2”.（以上詞句以劃線形式進(jìn)行標(biāo)注和強(qiáng)調(diào).）

選擇支解讀：四個(gè)選擇支均為通過改變線段DE的位置，即當(dāng)2AD＞AB或2AD＜AB時(shí)，來推理判斷3S1與2S2的大小關(guān)系.

【評(píng)析】在整個(gè)解題中，審題環(huán)節(jié)盡量做到精準(zhǔn)和精細(xì).因此，在解題教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)并督促學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，提高審題能力.上述審題環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生通過劃關(guān)鍵詞句的形式從題目中獲取對(duì)問題解決有價(jià)值的重要信息，并找到原題中最難理解的審題困惑所在，結(jié)合圖形和已知等相關(guān)信息精準(zhǔn)地破解審題難點(diǎn)，從而為接下來的解題環(huán)節(jié)做好理解層面上的準(zhǔn)備工作.

3.析題：悟幾何直觀，尋代數(shù)模型

（1）從關(guān)鍵詞句思考.

由審題環(huán)節(jié)中所尋的題干關(guān)鍵詞句“DE∥BC”，再結(jié)合引例的鋪墊，不難聯(lián)想到三角形的面積關(guān)系需要去分析相關(guān)線段的比，再結(jié)合“同（等）高不等底的三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)底之比”和“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”的解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行三角形面積之間的轉(zhuǎn)化.

（2）從選擇支思考.

【評(píng)析】在審題環(huán)節(jié)，雖已確定該題的選擇支是審題的難點(diǎn)，并進(jìn)行了解讀，但對(duì)于學(xué)生來說，這四個(gè)結(jié)論比較抽象和陌生，仍難以覓得解題思路.在析題過程中，教師從“關(guān)鍵詞句”和“選擇支”兩個(gè)不同的思維起點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)，并激發(fā)學(xué)生的有效數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而體悟幾何直觀.與此同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)模型在解決此類問題中的重要作用，結(jié)合題中的相關(guān)條件去尋找突破口，進(jìn)而解決問題.

4.解題：建代數(shù)模型，生自然解法

解題環(huán)節(jié)，即引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范、完整地解答原題，并激發(fā)學(xué)生思考多元化解題思路的形成.基于上述各環(huán)節(jié)的思考與分析，有些解法即呼之欲出、自然生成，如特殊值法、縮放法、不等式性質(zhì)法等.筆者預(yù)設(shè)了以下七種解題方法，其中方法1～方法4可以在解題教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)并掌握，這也體現(xiàn)了方法的自然生長(zhǎng).

方法1：特殊值法.

對(duì)于選擇題而言，特殊值法不失為一種有效、快捷的好方法.

由此推斷，若2AD＞AB時(shí)，3S1與2S2的大小無法判斷，故選項(xiàng)A和選項(xiàng)B均不正確.

該方法依托的代數(shù)模型是代數(shù)式求值問題.

方法2：合情推理法.

該題雖然是選擇題，但用特殊值法也并不容易得到正確答案，真正容易想到的自然解法是合情推理法，即借助臨界情況，通過位置的變化觀察與推理3S1與2S2的大小關(guān)系.

當(dāng)向上平移DE，即2AD＜AB時(shí)，S1將變小，S2將變大，則3S1＜2S2始終成立；

而當(dāng)向下平移DE，即2AD＞AB時(shí)，S1將變大，S2將變小，此時(shí)3S1與2S2的大小無法確定.

故選項(xiàng)D正確.

該方法實(shí)質(zhì)上是借助函數(shù)增減性來進(jìn)行合情推理.

方法3：適度縮放法.

該題涉及不等關(guān)系，解決不等關(guān)系的通法是通過對(duì)關(guān)鍵的量進(jìn)行適度縮放，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為所需的結(jié)果.

故選項(xiàng)D正確.

該方法借助不等式模型，確定臨界位置，適度縮放轉(zhuǎn)化來解決問題.

方法4：不等式性質(zhì)法.

利用不等式的基本性質(zhì)往往可以巧妙地解決一些關(guān)于不等關(guān)系的推理問題.

同方法1，考慮臨界情況，當(dāng)2AD=AB時(shí)，AE=EC，S1+S△BDE=S2.

當(dāng)2AD＜AB時(shí)，AD＜DB，AE＜EC，所以S1+S△BDE＜ S2，S1＜ S△BDE，S1＜ S2.所以3S1+S△BDE＜ 2S2+S△BDE，即3S1＜ 2S2.

當(dāng)2AD＞AB時(shí)，AD＞DB，AE＞EC，所以S1+S△BDE＞ S2，S1＞ S△BDE，S2＞ S△BDE.所以 2S1+2S△BDE＞2S2. 所以4S1＞ 2S2，即2S1＞ S2，此時(shí)3S1與2S2的大小無法確定.

故選項(xiàng)D正確.

該方法借助不等式模型，利用不等式基本性質(zhì)進(jìn)行適度縮放轉(zhuǎn)化來解決問題.

方法5：基準(zhǔn)構(gòu)造法.

對(duì)于幾何問題中不等關(guān)系的推理，可以構(gòu)造一個(gè)基準(zhǔn)，通過分析不等式兩邊與該基準(zhǔn)的大小關(guān)系進(jìn)行推理.

圖5

同理，當(dāng)2AD＞AB時(shí)，在AB的延長(zhǎng)線上截取DF=DA，過點(diǎn)F作FG∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FE，如圖6所示.

圖6

所以此時(shí)3S1與2S2的大小無法確定.

故選項(xiàng)D正確.

該方法表面上是幾何層面的構(gòu)造，但實(shí)質(zhì)還是依托不等式模型的傳遞性來轉(zhuǎn)化處理，進(jìn)而解決問題.

方法6：參數(shù)面積法.

關(guān)于三角形的面積問題，學(xué)生也容易想到三角形的面積公式，然而題中沒有具體數(shù)據(jù)，故可以根據(jù)選擇支的條件設(shè)好參數(shù)，利用參數(shù)面積法求解.

如圖7，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，

圖7

故選項(xiàng)D正確.

該方法利用代數(shù)式的比值來解決代數(shù)式的大小比較問題.

方法7：構(gòu)造函數(shù)法.

基于選擇支的四個(gè)結(jié)論，上述方法都以“2AD=AB”為臨界情況，如果逆向思考，也可以以“3S1=2S2”為臨界情況，用設(shè)參數(shù)和借助函數(shù)模型解決問題.

即n1≈-2.4，n2≈1.1.（為了便于分析，根的值用近似值代替.）

因?yàn)閥是關(guān)于n的二次函數(shù)，拋物線開口向上，故由圖象可知：當(dāng)n=1.1時(shí)，y=0；當(dāng)0＜n＜1.1時(shí)，y＜0；當(dāng)n＞1.1時(shí)，y＞0.

由此可判斷只有選項(xiàng)D正確.

該方法通過建構(gòu)函數(shù)模型，借助方程思想解決問題.

【評(píng)析】上述解題環(huán)節(jié)展示了多種不同思路的解題方法，在拓寬學(xué)生思維的同時(shí)揭示了問題的本質(zhì).從知識(shí)層面來看，選擇支中研究的“面積關(guān)系”實(shí)質(zhì)上就是“線段關(guān)系”的一種函數(shù)表征，此乃知識(shí)生長(zhǎng).從方法層面來看，上述方法均反映了代數(shù)模型在幾何直觀視角下的建構(gòu)與運(yùn)用，方法1～方法6單純只是為了得出結(jié)果，解決原問題，而方法7將幾何問題通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為通過作差比較大小，最終利用函數(shù)性質(zhì)來解決，方法進(jìn)一步得到生長(zhǎng).從能力層面來看，無論何種方法，通法就是確定臨界位置，適度縮放轉(zhuǎn)化.教師通過解題環(huán)節(jié)的組織，讓學(xué)生探究和自然生長(zhǎng)出多種解題方法，并最終體悟出所有方法的本質(zhì)，進(jìn)而提煉出解題通法，最終促進(jìn)學(xué)生能力的生長(zhǎng).

解題教學(xué)源于解題和解題研究，教學(xué)效果取決于教師解題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累.筆者預(yù)設(shè)的以上七種解題方法，相較而言，前四種方法基于初中學(xué)生的能力自然生成，而后三種方法帶有一定的技巧性及高中階段的參數(shù)理念，可以作為教師的解題研究.站得高才能看得遠(yuǎn).在解題教學(xué)時(shí)，教師研究的高度需要更高一些，才能讓學(xué)生的能力提升更快一些.

5.拓題：依托元問題，促思維生長(zhǎng)

教師預(yù)設(shè)的元問題1：不改變?cè)瓐D形，將原題中的部分條件改掉，試編制一個(gè)新的問題.

以下生長(zhǎng)問題均為筆者所預(yù)設(shè)，教師在教學(xué)中應(yīng)盡量引導(dǎo)學(xué)生編制新問題.

教師預(yù)設(shè)的元問題2：在原題的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加條件，試編制一個(gè)新問題.

圖8

生長(zhǎng)問題6：如圖9，在原題的條件下，F(xiàn)是線段DE上任意一點(diǎn)，連接FB和FC，分別記△ADE，△BFD，△CFE的面積為a，b，c，求△BFC的面積（用含a，b，c的代數(shù)式表示）.

圖9

【評(píng)析】在拓題環(huán)節(jié)，通過巧妙設(shè)計(jì)兩個(gè)元問題，充分激活了學(xué)生的思維.如果教師能加以精準(zhǔn)引導(dǎo)，學(xué)生高階思維中的創(chuàng)新思維能力和批判性思維能力將得以彰顯.教師應(yīng)該適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸類與整理，培養(yǎng)學(xué)生的整體性思維和結(jié)構(gòu)化思維，使學(xué)生的思維能力得到進(jìn)一步升華和生長(zhǎng)，使深度思考得以落實(shí).

6.理題：畫思維導(dǎo)圖，得解題套路

到了結(jié)課之時(shí)，該題的學(xué)習(xí)暫告一段落，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂內(nèi)容的整理、歸納與提煉，得如圖10所示的思維導(dǎo)圖.知識(shí)生長(zhǎng)：三角形面積關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段關(guān)系.方法生長(zhǎng)：不同的代數(shù)模型可以生長(zhǎng)出不同的方法，關(guān)鍵在于擇優(yōu)和通性通法.思維與能力生長(zhǎng)：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透和掌握.

圖10 代數(shù)模型在幾何直觀視角下的建構(gòu)與運(yùn)用

【評(píng)析】成功的解題教學(xué)既要有生長(zhǎng)，又要有回歸與整理.理題，即反思與提煉環(huán)節(jié)，是解題的歸宿.解題后要養(yǎng)成反思、提煉的習(xí)慣，回顧問題的深層次結(jié)構(gòu)，從而提煉和積累重要的解題經(jīng)驗(yàn)和思維方式.在“結(jié)課”環(huán)節(jié)，結(jié)合思維導(dǎo)圖的形式加以表征，既能使學(xué)生抓住解題重點(diǎn)、方法和步驟，又能厘清各個(gè)環(huán)節(jié)之間的邏輯聯(lián)系，更全面、直觀地感受該題的解題精髓與脈絡(luò)，為今后解題方法的觸類旁通及靈活運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

五、結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)有法，教無定法，貴在得法.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課也是如此，它沒有一個(gè)固定的模式，但有一定的規(guī)律需要遵循.一節(jié)好的復(fù)習(xí)課，不僅要精心選擇與打磨例題，還要對(duì)例題的教學(xué)以及促進(jìn)學(xué)生各方面生長(zhǎng)的過程進(jìn)行精心設(shè)計(jì).本節(jié)基于生長(zhǎng)理念的“六環(huán)”解題教學(xué)法復(fù)習(xí)課，將一道典型的中考試題作為教學(xué)素材的母題，通過用“六環(huán)”進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成教師預(yù)設(shè)的復(fù)習(xí)目標(biāo)的同時(shí)，更讓學(xué)生初步理解和掌握代數(shù)模型在幾何直觀視角下的建構(gòu)與運(yùn)用.相信，學(xué)生不僅在知識(shí)層面和方法層面上有質(zhì)的提升，還能在能力層面與思維層面上延續(xù)生長(zhǎng)，并對(duì)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到可持續(xù)性的數(shù)學(xué)育人作用.